АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА
х – точное число
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:
| х – а | = ∆
Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина
Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:
| х – а | ≤ ∆а
Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают
х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3
В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.
Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:
25,63 ± 0,2
Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим
цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2 данного числа тоже верная.
Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной
2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа
Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:
табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.
Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;
приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;
приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.
Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10р, где р – число таких нулей.
В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:
- Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
- Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
- Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10р , где р – число нулей, которые надо заменить
Например,
Записать правильно следующие приближенные числа:
- а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
- а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на 10р а = 74600·104
- а = 0,35 ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит
а = 0,3500 (последние верные цифры нули)
- а = 765000 ∆а = 5 – здесь погрешность 5<10 значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
- а = 0,3700 ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4
В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,
Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:
- а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
- а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
- а = 263·104 , значит ∆а = 10000
Число в стандартном виде записывают так:
а = а0, а1 а2 … аk ·10m , где 1 ≤ а0 ≤ 10,
а0, а1 а2 … аk – все верные цифры числа,
показатель m – называется порядком числа.
Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:
7,03 – три значащие цифры
4400 – четыре значащие цифры
0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).
Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,
например:
Округлить число с заданной точностью:
- с точностью до 10-3 (10-3 = 0,001)
1,5783
Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)
1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)
23,4997
Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная
7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим
23,4997 ≈ 23,500
- с точностью до 10-2 (10-2 = 0,01)
4,761 ≈ 4,76
31,009 ≈ 31,01
- с точностью до 103 (103 = 1000)
159734 ≈ 160000 = 160·103
28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
А какая ваша оценка?
Числа, полученные
в результате измерения лишь приблизительно
с некоторой точностью характеризует
искомую величину. Х – это точное значение
величины; а – это приближенное значение
вылечены.
Если, а ≤ х –
приближенное значение с недостатком
(приближение с низу).
Если, а ≥х –
приближенное значение с избытком
(приближение с верху).
Разность точного
и приближенного значения величины
называют – погрешностью приближения
(х-а).
x-a
– абсолютная погрешность приближения
а – ∆х ≤ х ≤ а +∆х.
Во многих случаях
нельзя найти абсолютную погрешность
приближения, т.к. неизвестно точное
значение пелесины. Однако можно указать
положительное число, больше которого
эта абсолютная погрешность быть не
может. Любое положительное число, которое
больше или равно абсолютной погрешности
называется – границей абсолютной
погрешности (∆х≤h;
x
a
с точностью до h;
x=a+-h).
2. Относительная погрешность и граница относительной погрешности.
Отношение абсолютной
погрешности приближается к модулю
приближенного значения величины
называется – относительной
погрешности приближения и выражается
в %.
∆x/a*100%
– относительная
погрешность. x-a/a*100%
Любое положительное
число, которое больше или равно
относительной погрешности называется
границей относительной погрешности =>
∆x/a≤δ
; h/a=δ;
h=δa.
3. Цифры верные в широком смысле, верные в строгом смысле.
Цифра m
приближенного числа a
называется верной
в широком смысле,
если граница абсолютной погрешности
числа а не превысит единицы того разряда
в котором записана цифра n.
Цифра m
приближенного числа a
называется верной
в строгом смысле,
если граница абсолютной погрешности
числа а не превосходит половины единицы
того разряда в котором записана цифра
n.
В цифрах полученных
в результате измерений или вычислений
и используемых при расчетах, а так же в
десятичной записи приближенного числа
все цифры должны быть верными.
Те цифры, о которых неизвестно являются
ли они верными называют сомнительными.
4. Значащие цифры в записи приближенного числа.
Значащими цифрами,
приближенного числа, называются все
его верные цифры кроме отличной от нуля
(с лево на право). При округлении числа
до m
значащих цифрах отбрасывают все цифры
или для сохранения разряда заменяемым
нулем.
При применении
этого правила погрешность округления
не превосходит половины единицы
десятичного разряда определяемого
последней оставленной значащей цифры.
5. Округление
числа, погрешность округления.
Округление
методом отбрасывания.
Операция округления
десятичной дроби состоит в отбрасывании
единиц младших разрядов начиная с
некоторых. Абсолютная погрешность,
допускаемая при округлении называется
– ошибкой округления.
1 способ. Округление
с недостатком. Состоит
в отбрасывании единиц всех младших
разрядов и при этом все цифры десятичной
дроби до данного разряда включительно
не меняются. А цифры младших разрядов
заменяются нулями. Пример: х= 23,467
Округление с недостатком: 23,460; 23,400;
23,00; 20,00.
2 способ. Округление
с избытком.
Число единиц данного разряда увеличивают
на единицу. Пример: х= 23,467 Округление с
избытком: 23,47; 23,5; 24,30
3 способ. Округление
с наименьшей погрешностью.
1. Единицы младшего разряда отбрасываются.
2. Число
единиц данного разряда не меняется,
если следующая цифра дроби <5 и
увеличивается на единицу, если следующая
цифра ≥5.
Из правила округления
следует, что ошибка округления с
наименьшей погрешностью не порывает
половины единицы последнего сохраненного
разряда.
Пример: x=
23.467; х= 23.47; 23.5; 23; 20. ошибки округления:
0,003; 0,033; 0,467; 3,467
Из правил округления
следует что ошибка округления с наименьшей
погрешностью не прерывает половины
единицы последнего сохраняемого разряда.
Погрешность
произведения. xa
с точностью δ1;
yb
с точностью δ2;
δ=
δ1+δ2
.Граница
относительной погрешности произведение
= сумме границ относительно погрешностей
сомножителей (x*y
a*b;
с точностью δ).
Пр:
( x*y
a*b;
δ=
δ1+δ2
) х
4 у
5,4 с точностью до 1% найти х и у.
x*y
4*5,421,6;
δ = 2% = 0,02; ;h=
21,6 *0,02 = 0,432; x*y=21.6
+- 0.43
Погрешность
частного. xa
с точностью δ1;
yb
с точностью δ2.
Граница относительной погрешности
частного = сумме относительных погрешностей
делимого и делителя. x/y
a/b
с точностью δ=
δ1+δ2
Погрешность
степени и корня. xa
с точностью δ,
n
принадлежит N
– степень
xnan
с точностью до nδ.
Граница относительной погрешности
степени = произведению границы
относительной погрешности основания
на показатель степени.
xnan
δ=
nδ;
√x
√a
Граница относительной погрешности
корня n
степени в n
раз меньше границы относительной
погрешности подкорневого числа.
6. Математические
модели, основные принципы построения
моделей.
Математ.
Мод. – это сист. матем. соотношений
которые в абстрактной форме приближенно
описывает изучаемый процесс или
систему.
Этапы построения мат.
модели:
1) определение цели
2)
опред. параметров модели
3)
формирование упр. Переменных
4)
опред. обл. допустимых изменений
5)
знач. упр. переменных
6) опред. обл.
значений решения
7) выявление
неизв. факторов
8) выражение цели
через упр. перемен. параметры и неизв.
факторы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
21.04.2019172.03 Кб3ЧМ.doc
- #
- #
- #
- #
- #
Абсолютная погрешность
- Причины возникновения погрешности измерения
- Систематическая и случайная погрешности
- Определение абсолютной погрешности
- Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
- Значащие цифры и правила округления результатов измерений
- Примеры
Причины возникновения погрешности измерения
Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.
Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.
Виды погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Теоретическая погрешность
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Систематическая и случайная погрешности
Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.
Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.
Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.
Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.
Определение абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:
$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$
Например:
При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:
$m_i,г$
98,4
99,2
98,1
100,3
98,5
$Delta m_i, г$
1,6
0,8
1,9
0,3
1,5
Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $
Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.
Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:
$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$
Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:
$$ Delta x_i = |x_i-a| $$
Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:
$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$
Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.
Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:
$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$
Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:
$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Например:
0,00501 – три значащие цифры 5,0 и 1.
5,01 – три значащие цифры.
5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.
Внимание!
Правила округления.
Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).
Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.
Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:
$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$
Примеры
Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?
По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:
$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$
$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$
Ответ: 0,04 ℃
Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.
$x_i$
15,3
16,4
15,3
15,8
15,7
16,2
15,9
Находим среднее арифметическое:
$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$
Находим абсолютные погрешности:
$$ Delta x_i = |x_i-a| $$
$ Delta x_i$
0,5
0,6
0,5
0
0,1
0,4
0,1
Находим среднее арифметическое:
$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$
Выбираем большую величину:
$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max {0,1; 0,31} = 0,31 $$
Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.
Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$
Границы: $15,4 le x le 16,2$
Ответ: $15,4 le x le 16,2$
Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.
Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:
$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$
$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$
Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:
$$ 5,3 le a le 5,9 $$
Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $
Материал по математике на тему “Абсолютная и относительная погрешность”
Разработка содержит определения и примеры по теме.
Описание разработки
Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.
Однако:
– Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.
– Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.
– Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.
В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.
Определение.
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.
Δ = |а-х|, где Δ – абсолютная погрешность
a – точное значение величины
x – приближенное значение
Δ = |а-х| → a – x= ± Δ → a = x ± Δ
Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.
Δ = |4/9-0,44| = |4/9-11/25|=|100-99/225| = 1/225
На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.
Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Δ = |а-х| ≤ h
Пример. 1/225=0,004444 < 0,0045
x – Δ – Нижняя граница (Н. Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В. Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей.
Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.
Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра.
В противном случае она называется сомнительной.
Пример. x = 3,7412 ± 0,002.
Определить верные и сомнительные цифры.
В. Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432
Н. Г. = 3,7412 – 0,002 = 3,7392
Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.
Замечания.
1) В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7
2) Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.
x = 0,301 ±0,001
В. Г. = 0,302 Н. Г. = 0, 300 → x = 0,30
3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.
0, 583; 38,57; 38,507; 29,830
Весь материал – в документе.
Содержимое разработки
Тема: Абсолютная и относительная погрешность.
Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.
Однако:
– Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.
– Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.
– Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.
В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.
Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.
Δ = 
, где Δ – абсолютная погрешность
a – точное значение величины
x – приближенное значение
Δ = 
a – x= 
Δ a = x Δ
Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.
Δ = 
= 
На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.
Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Δ = 
h
Пример. 
0,0045
x – Δ – Нижняя граница (Н.Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.
Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.
Пример. x = 3,7412 0,002
Определить верные и сомнительные цифры.
В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432
Н.Г. = 3,7412 – 0,002 = 3,7392
Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.
Замечания.
-
В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7
-
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.
x = 0,301 0,001
В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300 x = 0,30
3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.
0, 583; 38,57; 38,507; 29,830
Правило округления чисел: Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.
Пример. 5,739 (с точностью до 0,01) 
5,74
3, 53 (с точностью до целых) 4
30253 (с точностью до 1000) 30000
Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения.
Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.
Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.
ω = 
; ω% = 
Т.о. для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.
Пример. Сравнить точность двух измерений .
d = 4 0,3; H = 600 0,3
ω(d) = 
ω(H) = 
Второе измерение более точное.
-80%
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Материал по математике на тему “Абсолютная и относительная погрешность” (61 КB)
Похожие файлы
-
Научно-исследовательская работа по математике “Решение уравнений содержащих переменную под знаком модуля”
-
Сборник методических указаний по выполнению практических работ по учебной дисциплине «Математика»
-
Рабочая программа по математике (алгебра, 9 класс)
-
Календарно-тематическое планирование по математике 8 класс
-
Рабочая программа по математике (7 класс)
