Как найти границу области определения

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn_. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

• умножение корней;
• деление корней;
• корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Расположим функции и их области определения.

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое область определения функции, как обозначается и задается. Также перечислим эти области для наиболее популярных функций.

Понятие области определения

Область определения – это множество значений x, на котором задана функция, т.е. существует y. Иногда называется областью задания.

• x – независимая переменная (аргумент);
  
• y – зависимая переменная (функция).

Общепринятая запись функции: y = f (x).

Функция – это зависимость между двумя переменными (множествами). При этом каждому x соответствует только одно определенное значение y.

Геометрическая интерпретация области определения функции – это проекция соответствующего ей графика на ось абсцисс (0x).

Множество значений функции – все значения y, принимаемые функцией на ее области определения. С точки зрения геометрии, это проекция графика на ось ординат (0y).

Область определения обозначается как D (f). Вместо f, соответственно, указывается конкретная функция, например: D(x²), D(cos x) и т.д

Затем обычно ставится знак равно и пишутся конкретные значения:

1. Через точку с запятой указываем левую и правую границы промежутка, соответствующего значениям на оси 0x (строго в этом порядке).
2. Если граница входит в область определения, рядом с ней ставим квадратную скобку, в противном случае – круглую.
3. Если нет левой границы, вместо нее указываем “-∞“, правой – “∞“ (читается как “минус/плюс бесконечность”).
4. При необходимости, если требуется объединить несколько диапазонов, делается это с помощью специального знака “∪”.

Например:

• [3; 10] – множество всех значений от трех до десяти включительно;
• [4; 12) – от четырех включительно до двенадцати исключительно;
• (-2; 7] – от минус двух исключительно до плюс семи включительно.
• [-10; -4) ∪ (2; 8) – от минус десяти включительно до минус четырех исключительно и от двух до восьми исключительно.

Примечание:

• Все числа больше нуля записываются так: (0; ∞);
• Все отрицательные: (-∞; 0);
• Все действительные числа: (-∞; ∞) или просто R.

Области определения разных функций

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число интервалов монотонности (которые иногда чередуются с интервалами постоянства функции).

Пример 2.25. Найти y ‘ (0) в точке А(1; 0), если еу + ху = е. Дифференцируем заданное соотношение и определяем y :

В последнее соотношение подставляем координаты точки А

х = 0, у = 1:

Монотонность функции y = /(х) характеризуется знаком ее первой производной / (х), а именно, если в некотором интервале /’ (х) > 0 (/ (х) < 0), то функция возрастает (убывает) в этом интервале. Следовательно, отыскание интервалов монотонности функции y = /(х) сводится к нахождению интервалов знакопостоян-ства ее первой производной /'(х).

Отсюда получаем правило нахождения интервалов монотонности функции:

1. Найти нули и точки разрыва /’ (х).

2. Определить методом проб знак /’ (х) в интервалах, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функции /(х); интервалы, в которых / (х) > 0, являются интервалами возрастания функции, а интервалы, в которых / (х) < 0, — интервалами убывания функции. При этом, если на двух соседних интервалах, граничная точка которых является нулем производной/’ (х), знак / (х) одинаков, то они составляют единый интервал монотонности.

Решение. Область определения данной функции — вся числовая ось. Дифференцируя, находим

Точек разрыва производная y’ не имеет. Нулями производной y’ будут корни уравнения х2^ – 1) = 0, т. е. x1 = 0 и

x2 = 1.

Область определения функции — ось Ох — разбивается полученными точками на три интервала (-<»; 0), (0; 1), (1; +<»), в каждом их которых y’ сохраняет определенный знак. Подставляя в

‘ 5 1 5

выражение для y значения x = -5, x = 7, x = 5 из этих интервалов,

получим соответственно знаки «-», «-», «+». Следовательно, в интервале (-<»; 1) функция убывает, а в интервале (1; +¥) — возрастает.

Точка x = х0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х (х ф х0) этой окрестности выполняется неравенство

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) — максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т. е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f'(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная f'(x) меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку x = х0 в положительном направлении знак f'(x) меняется с «+» на «-» (с «-» на «+»), то точка x = х0 есть точка максимума (минимума).

Отсюда получаем правило отыскания экстремумов функции у = /(х):

1. Найти нули и точки разрыва / ‘(х).

2. Определить методом проб знак / (х) в интервалах, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функции /(х).

3. Из этих точек выделить те, в которых функция /(х) определена и по разные стороны от каждой из которых производная / (х) имеет разные знаки — это и есть экстремальные точки. При этом экстремальная точка х = х0 является точкой максимума, если при движения по оси Ох в положительном направлении она отделяет интервал, в котором производная / (х) > 0, от интервала, в котором / (х0) < 0, и точкой минимума — в противном случае.

В заключение заметим, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной / “(х0): точка х = х0, в которой /’ (х0) = 0, а /”(х) существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно, точкой максимума, если /”(х0) < 0, и точкой минимума, если /”(х0) > 0.

Пример 2.27. Найти экстремумы функции y = х3^( х-1)2.

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Вычислим производную:

, „ 2 3Г ГГ 3 2 х2 „ , . х2(11х – 9)

y = 3х У(х-1) + х • 3,-= 3,-(9х – 9 + 2х) =- – .

3 V х-1 3 V х-1 3 V х-1

9

Производная /’ обращается в нуль при х = 0 и х = — и не существует при х = 1. Полученные точки разбивают числовую ось

на четыре интервала,	в каждом из которых / сохраняет опреде-
ленный знак: (-да, 0),	(0,11 (^	]> (1, +¥).	Найдем знак произ-
водной у в полученных интервалах:
в интервале	(-¥, 0)	имеем	/’ (-1) > 0;
» »	(0-SI	»	y 11 )¦ *
» »	(H-iI	»	¦1^ S )¦ •
»»	(1, +¥)	»	у’ (5) > 0.

Экстремальными являются точки x1 = — — точка максимума и х2 = 1 — точка минимума. Экстремумы функции получим, вычислив ее значения в экстремальных точках:

максимум и у(1) = 0 — минимум

функции.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором интервале, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого интервала. Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x), характеризуется знаком второй производнойf”(x), а именно, если в некотором интервале f”(x) < 0 f”(x) > 0], то кривая выпукла (вогнута) в этом интервале.

Таким образом, отыскание интервалов выпуклости и вогнутости графика функции у = f(x) сводится к нахождению интервалов знакопостоянства ее второй производной f”(x).

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участки вогнутости.

Точками перегиба графика функции у = f(x) могут служить только точки, абсциссы которых являются критическими точками II рода, т. е. точки, находящиеся внутри области определения функции у = f(x), в которых вторая производная f”(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Точками перегиба графика функции у = f(x) являются лишь только те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная f”(x) меняет знак.

Отсюда получаем правило отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции:

1. Найти точки, в которых вторая производная f “(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

2. Определить методом проб знакf “(x) в интервалах, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения f(x); интервалы, в которых f”(x) < 0, являются интервалами выпуклости, а интервалы, в которых/”(x) > 0, — интервалами вогнутости графика функции у = f(x). При этом если на двух соседних интервалах, граничная точка которых является нулем второй производной f”(x), знак f “(x) одинаков, то они составляют единый интервал выпуклости или вогнутости.

3. Из полученных в п. 1 точек выделить те, в которых функция f(x) определена и по разные стороны от каждой из которых вторая производная f”(x) имеет противоположные знаки — это и есть абсциссы точек перегиба графика функции у = f(x).

Пример 2.28. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции f(x) = 3х5 + 5х4 – 20х3 + 60х – 5.

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Дифференцируя ее дважды, получим

Вторая производная существует на всей числовой оси и обращается в нуль при х = -2, х = 0 и х = 1. Этими точками область определения разбивается на четыре интервала (-да, -2), (-2, 0), (0, 1), (1, +да), в каждом из которых f”(x) сохраняет знак. Определяя знак второй производной в произвольно взятой точке каждого из интервалов, получим знак ее в соответствующем интервале:

Таким образом, в интервалах (-да, -2) и (0, 1) кривая выпукла, а в интервалах (-2, 0) и (1, да) — вогнута.

Граничные точки х1 = -2, х2 = 0, х3 = 1 этих интервалов являются абсциссами точек перегиба. Вычислим значения функции у = f(x) в этих точках:

Итак, данная функция имеет три точки перегиба: (-2; 19), (0; -5), (1; 43).

Ассимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность.

I. Если, то прямая х = а есть асимптота кривой у = /(х). Например, криваяИмеет асимптоту х = а.

II. Если в правой части уравнения кривой у = /(х) можно выделить линейную часть у = /(х) = кх + b + а(х) так, что оставшаяся часть а(х) ® 0, когда х ® ±¥, то прямая у = кх + b есть асимптота кривой.

Примеры:

1) криваяимеет асимптоту у = х + 1 (и асимптоту х = 0);

2) криваяИмеет асимптоту у = 0.

III. Если существуют конечные пределыИ

То прямая у = кх + b есть асимптота.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на некотором отрезке [a, b], надо вычислить значения этой функции на концах отрезка и во всех ее критических точках, принадлежащих этому отрезку (такими точками в данном случае являются точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует). Наибольшее и наименьшее из полученных значений являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке.

В случае, если исследуемая функция претерпевает разрыв в некоторых точках отрезка [a, b] или же задана на бесконечном интервале, то необходимо дополнительно рассмотреть ее поведение в окрестности точек разрыва и при х ® ±¥.

Пример 2.29. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций:

97

Решение.

1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [1, 3]. Находим

В данном случае критическими являются только точки, в которых производная f'(x) равна нулю, т. е. х = 0 и х = 2. Отрезку [1, 3] принадлежит лишь одна из этих критических точек, а именно х = 2. Вычислим значения функции f(x) в точке х = 2 и на концах отрезка х = 1 и х = 3:

Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и достигается на правой границе отрезка в точке х = 3; наименьшее значение функции равно нулю и достигается ею во внутренней точке х = 2.

2. Функция j(x) претерпевает разрыв в точке х = 0, принадлежащей отрезку [-2, 2]. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:

Следовательно, вблизи точки х = 0 функция j(x) достигает сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных значений, и, следовательно, не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции, установить точки разрыва и интервалы непрерывности функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения с осями координат. Вычислить предельные значения функции на границах области определения. Найти асимптоты кривой, если они существуют. После этого можно построить примерный вид графика, удовлетворяющего проведенному исследованию.

4. Уточнить характер графика с использованием первой производной, т. е. исследовать функцию на экстремум, установить интервалы монотонности функции.

5. Уточнить характер графика по второй производной, т. е. исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Пример 2.30. Построить график функции

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на интервале (-<»; <»).

2. Функция нечетная, т. к. у(-х) = – у(х), т. е.

следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести исследование для х > 0.

3. Найдем точки пересечения кривой с осями координат

Определим значения функции на границах области существования, т. е. при х ® ±¥.

Вертикальных асимптот нет, т. к. функция не имеет точек разрыва. Определим наклонные асимптоты y = кх + b.

Найдем критические точки 1-го рода

х1 = -1; х2 = 1 — критические точки 1-го рода.

Чтобы выяснить, являются ли эти точки экстремальными, используем второе достаточное условие экстремума. Для этого определим знак второй производной в найденных критических точках:

Подставив значение х = 1 в y” (берем только один корень, т. к. проводим исследование для х > 0 в силу нечетности функции), получим y”(1) = 14 > 0; значит, в точке х = 1 функция достигает минимума (при х = -1 — максимума). Вычислим экстремальные значения функции:

Составим таблицу изменения знаков первой производной.

5. Найдем критические точки 2-го рода, приравняв к нулю правую часть y”:

100

х1 = 0, х2 = -/0,3, х3 = Д3 являются критическими точками 2-го рода, которые делят всю числовую ось на интервалы:

(-¥; – д/03), (-Л/0,3; 0), (0^70,3), (^0,3; ¥). Выясним знак второй

производной в указанных интервалах. На интервале (-»; –^/0,3) возьмем, например, точку х = -1; y “(-1) = -14 < 0, значит, кривая в этом интервале выпукла.

На интервале (-0,3; 0) рассмотрим точку

значит, кривая на этом интервале вогнута, вторая производная при переходе через х2 = ->/0з меняет знак с – на +, следовательно, значение х = -^/0,3 является абсциссой точки перегиба. Аналогично определяем, что на интервале (0^^/0,3) кривая выпукла, а на интервале (V03; ¥) — вогнута; значения х = 0 и х = являются абсциссами точек перегиба кривой.

Составим таблицу изменения знаков y “(х).

Определим значения функции в точках перегиба:

Чтобы точнее нарисовать кривую графика, можно найти углы наклона касательных, проведенных к кривой в точках перегиба. Так, при х = 0, у’ (0) = -2, т. е. tga = -2, где a — угол наклона касательной к кривой в точке х = 0, а при х = д/0,3,

y'(V0,3)» -2,45. Окончательный график функции y = х5 – х3 – 2х изображен на рис. 24.

Рис. 24

Пример 2.31. Провести полное исследование и построить график функции

1. Функция определена всюду на интервале (-<»; <»).

2. Функция общего вида.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

Определим значения функции на границах области существования:

Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек разрыва. Определим наклонные асимптоты:

Так как b ® ¥ при х ® ¥, то наклонных асимптот кривая не имеет.

На рис. 25 изображена простейшая кривая, удовлетворяющая проведенному исследованию.

Рис. 25

4. Далее продолжим исследование по первой производной

— критические точки.

Чтобы выяснить, являются ли они точками экстремумов, используем первое достаточное условие экстремума

При прохождении через точку х1 = 0, у’ меняет знак с « -» на «+»; значит, точка х = 0 является точкой минимума функции, причем функция имеет в этой точке так называемый острый эстремум:

8

При прохождении через точку x2 = — мы аналогично можем проверить, что первая производная меняет знак с «+» на «-». Значит, точка x2 = 27 является точкой максимума:

Составим таблицу изменения знаков первой производной.

5. Найдем вторую производную.

Вторая производная всегда отрицательна, значит, точек перегиба нет, кривая всегда выпукла. Окончательный график функции изображен на рис. 26.

Рис. 26

Пример 2.32. Провести полное исследование и построить график функции

Областью определения функции являются интервалы (0; 1) ^ (1; ¥).

ФункцияЯвляется функцией общего вида. При 0 < x < 1

y < 0, при 1 < x < ¥ y > 0.

Вычислим предельные значения функции на границах области существования:

В последнем случае применено правило Лопиталя.

Из найденных пределов ясно, что прямая х = 1 является вертикальной асимптотой.

Определим наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот функция не имеет, горизонтальных асимптот не имеет также. Примерный ход графика изображен на рис. 27.

Ищем экстремум функции. Ее производная: у ‘= 0 при x = e — критическая точка.

у’ = ¥ при x = 1 — граничная точка, она не может быть экстремальной.

Итак, имеем одну критическую точку x = e.

Чтобы проверить, является ли точка x = e экстремальной, найдем знак y” в точке x = e

Значит, точка x = e является точкой минимума функции. Здесь мы использовали второе достаточное условие экстремума. Определим точки перегиба функции: y” = 0 при x = e2 — критическая точка 2-го рода; y” = ¥ при x = 1, но эта точка не является критической точкой 2-го рода, так как она является г2раничной точкой.

При прохождении через x = e y” меняет знак с + на -, так как

абсциссой точки перегиба,

значит, значение x = e2 является

Составим таблицу изменения знаков первой и второй производных.

Окончательный график функции изображен на рис. 28.

Пример 2.33. Исследовать и построить график функции

Функция существует всюду, кроме х = -1, т. е. ее областью определения являются интервалы (-¥; -1), (-1; ¥).

Найдем точки пересечения кривой с осями координат:

Определим значения функции на границах области существования:

Очевидно, прямая х = -1 является вертикальной асимптотой функции. Определим наклонные асимптоты:

Итак, прямаяЯвляется наклонной асимптотой кривой, причем точки кривойБудут неограниченно приближаться к прямойКак при х ® -¥, так и при х ® ¥. 108

На рис. 29 построена простейшая кривая, удовлетворяющая проведенному исследованию.

у’ = 0 при х1 = -3 и х1 = 0 — критические точки 1-го рода. у’ = ¥ при х = -1 — граничная точка.

Находим производные:

Проводя обычное исследование, находим, что при х = -3 функция достигает максимума, а в точке х = 0 экстремума нет, так как первая производная при прохождении через х = 0 знак не меняет.

Составим таблицу изменения знаков первой и второй производных.

Находим, что х = 0 является абсциссой точки перегиба функции, причем у(0) = 0.

График является выпуклым на интервалах (-¥; -1) и (-1; 0) и вогнутым на интервале (0; ¥).

Окончательный график функцииизображен на

рис. 30.

< Предыдущая		Следующая >

Область определения функции: понятие

Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому — аргументом. Числовое значение y, как правило, является зависимой переменной.

Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной. Записывают ее в виде функции y = f(x)

Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.

Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.

Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.  

Ограничение области определения

Область ограничения действительных чисел может быть от [(0 ;+infty)].

Например: [-4;1)U[5,7).

Область определения может указывать на следующие характеристики:

• деление функции как [y=x+frac{2 cdot x}{x^{4}-1}];
• корень четной степени и переменная под корнем:
  [=sqrt{x+1} text { или } y=sqrt[n]{2^{2 cdot x+1}}]

• переменная в основании степенного значения

• логарифмическая переменная [y=ln frac{x^{4}+x}{8} ; y=2+]. Значения основания должно быть положительным. Также, как и логарифмическое значение.

• переменная тангенса и котангенса в виде следующего уравнения: y=arcsin (x+4)+4*x².

Если отсутствует хотя бы один из перечисленных характеристик область определения функции определяется иначе.

Пример 1: [y=frac{x^{4}+2 x-x+2}{4}+2 frac{2}{3} cdot x], в данном множестве нет переменной, поэтому и решается оно иначе.

Пример 2: [y=frac{3}{x-1}], нужно вычислить область определения. Обязательно, при решении нужно уделить внимание на знаменатель. Потому что, по законам алгебры деление на ноль запрещено.

Получаем следующее действие:[frac{3}{x-1}].

Область значения не должна быть равной единице, так как в знаменателе получим нулевое значение. Отсюда область определения будет в пределах [(-infty, 1) cup(1,+infty)].

Область определения для суммы, разности и произведений числовых значений

Чтобы правильно уметь определять данную область, нужно знать следующие утверждения: если функция вычисляется, при помощи суммы: [f_{1}+f_{2}+ldots f_{n} text { или } mathrm{y}=f_{1}+f_{2}+ldots f_{n}]

Область определения будет следующего вида: [mathrm{D}(mathrm{f})=mathrm{D}left(f_{1}right)left(f_{2}right) ldotsleft(f_{n}right)]

Пример суммы числовых значений: возьмем уравнение: [y=x^{7}+x+5+t g x].

Решение: уравнение представлено в виде суммы нескольких значений, где степень равна семи, показатель один.

Области определения tg характерны все действительные числа.

Ответ: для заданной функции относится пересечение областей или количество действительных чисел кроме [pi / 2+pi cdot n cdot n in z]

Пример разности значений:

Пример произведения чисел:

Сложные функции х и y и их область определения и значения

Сложная функция имеет следующий вид: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]

D (f) — множество значений;

Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.

[mathrm{k} in Dleft(f_{2}right) text {и } D f_{2}(x) in Dleft(f_{1}right)]

Примеры:

[y=ln x^{2}]

Представим функцию в виде: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]

Используем изученные в данном уроке области определения:

Исходя из этого получаем систему неравенства:

Ответ: все действительные числа, кроме нуля.

Область определения функции в виде дробного значения

Когда функция задается выражение в виде дроби. Переменная значений находится в знаменателе. Следовательно, область определения являются действительные числа. Исключением служит число, которое приведет знаменатель к нулевому значению.

Пример №1: [y=frac{x-4}{x+4}]. Решив уравнение, определим искомое значение области определения. Которое является [-infty ;-4 cup-4 ;+infty]

Пример №2: [y=frac{1}{x^{2-1}}];

[x^{2-} 1=0 Rightarrow x^{2} Rightarrow x_{1}=-1 quad x_{2}=1]

Искомая область: [-]-infty ;-1[cup]-1 ; 1[cup] 1 ;+infty[.]

Пример №3. [y=cos x+frac{3}{x^{2}-4}].

Первое слагаемое имеет область определения множество действительных чисел. Второе — также все числа, кроме -2 и 2, они приведут знаменатель к нулю. Область определения должна соответствовать условиям двух слагаемых и равняться действительным числам, кроме -2 и 2.

Область определения тригонометрических функций

Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.

Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу, y = sin x и y = cos x. Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1

Областью определения функции тангенс tg x, является выражение [mathrm{x} neq frac{pi}{2}+pi k, mathrm{k} in z].

Областью определения функции y = ctg x  является множество чисел [x neq frac{pi}{2}, quad k in z].

На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.

Пример №1

Определить область значения функции sin x

Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется 2п.

Определяем множество значений на следующем отрезке:( 0;2).

Пример №2:

Необходимо определить область значения функции cos x.

Наименьшее значение равно -1;

Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и следовательно равняется -1.

Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.

Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].

Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:

[-1 leq cos x leq 1]

Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.

Таким образом, минимальное  значение cos x, cos (15a), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться  -1;

Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется  1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы[0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.

Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]

[0 leq(cos a) leq 1]

Пример №3

y = tgx на определенном интервале [left(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2}right)]

Решение:

Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.

Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.

Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводиться к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.

Пример №4

[y=(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}] на определенном интервале (-1;1).

Решение:

Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1

Область определения показательной и логарифмической функции

Показательная функция записывается как: y = k^x, где значения:

• x — показатель степени;

• k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: [(-infty,+infty)].

Логарифмическая функция выражается как: y=log n^k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1:

y = lnx , определить область определения натурального логарифма.

[D(y)=(0 ;+infty)]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

[y=ln x=frac{1}{x}]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что  множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Определения области значения функции x

На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.

Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.  

Пример №1 :

Необходимо вычислить область значений уравнения y = x⁴ — 5x³ + 6x² на отрезке [ 1 ;   4 ] [1; 4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)]

Пример №2.

Необходимо вычислить область значений уравнения

y = x⁴ — 7x³ + 5x² на отрезке [ 1 ;   4 ] [1; 4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{231-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 34right)]

Пример №3 :

На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.

Для этого, первоначально вычислим:

•  наименьшее и наибольшее значение;
•  определим промежуток возрастания и убывания функции;
•  односторонние пределы;
•  предел бесконечности.

Решение:

Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}]

[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать [text { От }-infty text { до }-frac{1}{4} text {. }]

Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к [-infty].

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале [-infty text { до }-frac{1}{4}].

Ответ: [left(-infty-frac{1}{4}right)]

Область определения функции y

Пример №1:

Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. [D(y)=(0 ;+infty)].

Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].

Так как функция имеет положительное значение, то на всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От [-infty text { до + — }].

Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.

Пример №2:

 У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}];

Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.

Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.

Если значение x будет больше, либо равным 0,то функция будет убывать.

Если значение x будет меньше либо равным нулю , функция будет возрастать.

Затем рассмотрим поведение функции и  ее значения на бесконечной прямой.

Вывод: если аргумент изменяется от [-infty] до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0  до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0  до [+infty], значения функции будут уменьшаться  от 9 до 0.

Пример №3:

Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики, знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: [D(y)=(-infty ; 2)(+infty ; 2)].

Определим множества на первом отрезке. [(-infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным:

Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке [(+infty ; 2)].

На этом отрезке функция будет также убывающей:

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x	y = 2x
x = −2	у = 2 · (−2) = −4
x = 0	y = 2 · 0 = 0
x = 1 2	y = 2 · 1 2 = 2 · 1 2 = 1
x = 3	y = 2 · 3 = 6

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x	y = 2x
−2	−4
0	0
1 2	1
3	6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

• −2
• 0
• 10
• 30,5
• 1 000 000
• и так далее…

В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».

Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции

« f(x) = ».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».

Ответ:

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = √6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = √x + 3 +
»

есть дробь «

»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x ² − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = √x + 3 +
»

корень четной степени.

В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».

Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

• знаменатель дроби
  «
  » не равен нулю ;
• подкоренное выражение «
  √x + 3
  » должно быть больше или равно нулю.

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = ⁶√x +
⁵√1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«⁶√x».

Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «⁶√x»
должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
также есть корень пятой степени
«⁵√1 + x
».

Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«⁶√x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

---

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

	√x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.

	√x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

√x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

√x + 2 ≠ 0     (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей
   с « x »
   не равны нулю;
2. проверка, что
   подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Условие проверки	Результат
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю	x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»

с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---