Как найти границы графика функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Исследование функции и построение графика

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены “горбы” выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих “особенностей” и строится макет графика – картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции – объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Найти точки пересечения с осями координат.
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Провести полное исследование и построить график функции
$$
y(x)=frac{x^2+8}{1-x}.
$$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
$$1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$$
Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем:
$$
D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty).
$$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ – вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не
является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ – точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ – точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y” gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y” lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$
y(-5)=5.5; quad y(2)=-12; quad y(7)=-9.5.
$$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{e^x}{x}.$$

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=ln frac{x+1}{x+2}.$$

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=frac{x}{sqrt{x^2+x}}.$$

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{x^3-1}{4x^2}.$$

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=frac{x^3}{x^2-1}.$$

Поможем с исследованием функции: быстро, подробно

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

$$x=frac{t^2}{t+1}, y=frac{1}{t}-frac{t^3}{3}.$$

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции
$y = cos 3x – 2 sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

$$y=frac{4-x^3}{x^2}.$$

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$f(x)=frac{x}{2}-arccosfrac{2x}{1+x^2}.$$

Еще примеры исследования функции (контрольные работы)

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com

Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=frac{x^3}{4(x-2)^2}$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru

Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень “съедобно” даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена – около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм “Математика. Функции и графики”. Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

Закажите полное исследование функции в МатБюро

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Источник

п.1. Алгоритм исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума
5. Взять вторую производную. Определить критические точки 2-го порядка, интервалы выпуклости и точки перегиба
6. Найти точки пересечения функции с осями координат (если уравнение (f(x)=0) не имеет аналитического решения, указать количество точек пересечения с осью OX)
7. Построить график функции

п.2. Примеры

Пример 1. Постройте график функции (y=2x^3-6x^2-18x+7)
1) Область определения (xinmathbb{R})
Точек разрыва нет

2) Четность begin{gather*} f(-x)=2(-x)^3-6(-x)^2-18(-x)+7ne left[ begin{array}{l} f(x)\ -f(x) end{array} right. end{gather*} Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}2x^3-6x^2-18x+7=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}2x^3-6x^2-18x+7=+infty\ end{gather*} Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{2x^3-6x^2-18x+7}{x}=+infty\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{2x^3-6x^2-18x+7}{x}=+infty\ end{gather*} Пределы бесконечны, наклонных асимптот нет.

4) Первая производная begin{gather*} f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\ =6(x-3)(x+1)\ f'(x)=0 text{при} left[ begin{array}{l} x=3\ x=-1 end{array} right. end{gather*} Критические точки: (x=-1) и (x=3)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-1))	-1	(-1;3)	3	((3;+infty))
(f'(x))	>0	0	<0	0	>0
(f(x))	(nearrow)	max	(searrow)	min	(nearrow)

Функция возрастает при (xin(-infty;-1)cup(3;+infty))
Функция убывает при (xin(-1;3))
Точка максимума (x=-1; y_{max}=f(-1)=-2-6+18+7=17)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=54-54-54+7=-47)

5) Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=(6x^2-12x-18)’=6cdot 2x-12cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\ f”(x)=0 text{при} x=1 end{gather*} Критическая точка 2-го порядка: (x=1)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;1))	1	((1;+infty))
(f”(x))	<0	0	>0
(f(x))	(cap)	перегиб	(cup)

Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;1))
Функция выпуклая вниз при (xin(1;+infty))
Точка перегиба (x=1; f(1)=2-6-18+7=-15)

6) Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью OY: (x=0, y=7)
Пересечение с осью OX: $$ 2x^3-6x^2-18x+7=0 $$ У кубической параболы точка максимума (-1;17), точка минимума (3;-47).
Т.к. (y_{max}gt 0, y_{min}lt 0) кубическая парабола пересекает ось OX в трех точках: $$ x_1lt -1, -1lt x_2lt 3, x_3gt 3 $$
7) График

Пример 2. Постройте график функции (y=frac3x+frac x3)
1) Область определения
ОДЗ: (xne 0)
(x=0) – точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}left(frac 3x+frac x3right)=frac{3}{-0}+0=-infty, lim_{xrightarrow +0}left(frac 3x+frac x3right)=frac{3}{+0}+0=+infty end{gather*} Пределы не равны и бесконечны. (x=0) – точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=frac{3}{-x}+frac{-x}{3}=-left(frac 3x+frac x3right)=-f(x) $$ Функция нечётная.
Периодов нет. Функция не периодическая.

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота (x=0) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}left(frac 3x+frac x3right)=0+(-infty)=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}left(frac 3x+frac x3right)=0+(+infty)=+infty end{gather*} Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: begin{gather*} k_1=frac1x lim_{xrightarrow -infty}left(frac 3x+frac x3right)=lim_{xrightarrow -infty}left({3}{x^2}+frac13right)=0+frac13=frac13\ k_1=frac1x lim_{xrightarrow +infty}left(frac 3x+frac x3right)=lim_{xrightarrow +infty}left({3}{x^2}+frac13right)=0+frac13=frac13\ k=k_1=k_2=frac13 end{gather*} Ищем b: $$ b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)=lim_{xrightarrow infty}left(frac3x+frac x3-frac x3right)=lim_{xrightarrow infty}frac 3x=0 $$ Есть одна наклонная асимптота (y=frac 3x)
Кривая стремится к ней на минус и плюс бесконечности.

4) Первая производная: begin{gather*} f'(x)=-frac{3}{x^2}+frac13=frac{x^2-9}{3x^2}=frac{(x+3)(x-3)}{3x^2}\ f'(x)=0 text{при} x=pm 3 end{gather*} Критические точки: (x=left{0;pm 3right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-3))	-3	(-3;0)	0	((0;3))	3	((3+infty))
(f'(x))	>0	0	<0	(varnothing)	<0	0	>0
(f(x))	(nearrow)	max	(searrow)	(varnothing)	(searrow)	min	(nearrow)

Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;+infty))
Функция убывает при (xin(-3;0)cup(0;3))
Точка максимума (x=-3; y_{max}=f(-3)=-1-1=-2)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=1+1=2)

5) Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=frac13left(1-frac{9}{x^2}right)’=frac13left(0+frac{9cdot 2}{x^3}right)=frac{6}{x^3} end{gather*} Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: (x=0)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;0))	0	((0;+infty))
(f”(x))	<0	(varnothing)	>0
(f(x))	(cap)	(varnothing)	(cup)

Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;0))
Функция выпуклая вниз при (xin(0;+infty))
Точек перегиба нет.

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с осью OY: (x=0notin D) – не входит в ОДЗ, пересечений с OY нет
Пересечение с осью OX:
(frac3x+frac x3=0Rightarrow frac{9+x^2}{3x}=0Rightarrow xin varnothing) – решений нет, пересечений с OX нет

7) График

Пример 3*. Постройте график функции (y=frac{x^3-4}{(x-1)^3})
Сколько корней имеет уравнение (frac{x^3-4}{(x-1)^3}=a)?

1) Область определения
ОДЗ: (xne 1)
(x=1) – точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3-4}{(x-1)^3}=frac{1-4}{(1-0-1)^3}=frac{-3}{-0}=+infty\ lim_{xrightarrow 1+0}frac{x^3-4}{(x-1)^3}=frac{1-4}{(1+0-1)^3}=frac{-3}{+0}=-infty end{gather*} Пределы не равны и бесконечны. (x=1) – точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=frac{(-x)^3-4}{(-x-1)^3}ne left[ begin{array}{l} f(x)\ -f(x) end{array} right. $$ Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота (x=1) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^3-4}{(x-1)^3}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^3left(1-frac{4}{x^3}right)}{x^3left(1-frac{1}{x^3}^3right)}=frac{1-0}{(1-0)^3}=1\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^3-4}{(x-1)^3}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^3left(1-frac{4}{x^3}right)}{x^3left(1-frac{1}{x^3}^3right)}=frac{1-0}{(1-0)^3}=1\ b=b_1=b_2=1 end{gather*} Одна горизонтальная асимптота: (y=1)
Функция стремится к ней на минус и плюс бесконечности.

3. Наклонные асимптоты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow infty}frac{x^3-4}{x(x-1)^3}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow infty}frac{x^4left(frac1x-frac{4}{x^4}right)}{x^4left(1-frac{1}{x^3}^3right)}=frac{0-0}{(1-0)^3}=0 end{gather*} Угловой коэффициент (k=0). Наклонных асимптот нет.

4) Первая производная: begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^3-4}{(x-1)^3}right)’=frac{3x^2(x-1)^3-(x^3-4)cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}=frac{3x^2(x-1)-3(x^3-4)}{(x-1)^4}=\ =frac{3x^3-3x^2-3x^3+12}{(x-1)^4}=frac{-3(x^2-4)}{(x-1)^4}=frac{-3(x-2)(x+2)}{(x-1)^4}\ f'(x)=0 text{при} x=pm 2 end{gather*} Критические точки: (x=left{1;pm 2right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-2))	-2	(-2;1)	1	((1;2))	2	((2+infty))
(f'(x))	<0	0	>0	(varnothing)	>0	0	<0
(f(x))	(searrow)	min	(nearrow)	(varnothing)	(nearrow)	max	(searrow)

Функция возрастает при (xin(-2;1)cup(1;2))
Функция убывает при (xin(-infty;-2)cup(2;+infty))
Точка максимума (x=2; y_{max}=f(2)=frac{2^3-4}{(2-1)^3}=4)
Точка минимума (x=-2; y_{min}=f(-2)=frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3}=frac{-12}{-27}=frac49)

5) Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=left(frac{-3(x^2-4)}{(x-1)^4}right)’=-3left(frac{2x(x-1)^4-(x^2-4)cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8}right)=\ =-3left(frac{2x(x-1)-4(x^2-4)}{(x-1)^5}right)=-3left(frac{2x^2-2x-4x^2+16}{(x-1)^5}right)=\ =-3left(frac{-2x^2-2x+16}{(x-1)^5}right)=frac{6(x^2+x-8)}{(x-1)^5}=frac{6(x-x_1)(x-x_2)}{(x-1)^5}\ D=1^2-4cdot (-8)=33, x_{1,2}=frac{-1pm sqrt{33}}{2}= left[ begin{array}{l} approx -3,37\ approx 2,37 end{array} right.\ f”(x)=0, text{при} x=x_{1,2} end{gather*} Критические точки 2-го порядка: (x=left{1;frac{-1pm sqrt{33}}{2}right})

(x)	((-infty;x_1))	(x_1)	((x_1;1))	1	((1;x_2))	(x_2)	((x_2;+infty))
(f”(x))	<0	0	>0	(varnothing)	<0	0	>0
(f(x))	(cap)	перегиб	(cup)	(varnothing)	(cap)	перегиб	(cup)

Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;x_1)cup(1;x_2))
Функция выпуклая вниз при (xin(x_1;1)cup (x_2;++infty))
Точки перегиба: $$ begin{cases} x=frac{-1-sqrt{33}}{2}approx -3,37\ yapprox 0,51 end{cases}, begin{cases} x=frac{-1+sqrt{33}}{2}approx 2,37\ yapprox 3,62 end{cases} $$
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: (x=0, y=frac{0^3-4}{(0-1)^3}=4)
Пересечение с осью OX:
(frac{x^3-4}{(x-1)^3}=0Rightarrow x=sqrt[3]{4}, y=0)

7) График

Чтобы узнать количество корней уравнения (frac{x^3-4}{(x-1)^3}=a), нужно снизу вверх двигать горизонталь (y=a) и считать количество точек её пересечения с графиком функции.
Последовательно, получаем:
(altfrac{12}{27}) – один корень
(a=frac49) – два корня
(frac49lt alt 1) – три корня
(a=1) – два корня
(1lt alt 4) – три корня
(a=4) – два корня
(agt 4) – один корень

Ответ:
(altfrac49cup agt 4), один корень
(a=left{frac49;1;4right}), два корня
(frac{12}{27}lt 1lt 1cup 1lt alt 4), три корня

Пример 4*. Постройте график функции (y=sin^4⁡x+cos^4⁡x), используя правила преобразования тригонометрических функций и с помощью стандартной процедуры исследования функции

1) Область определения (xinmathbb{R})

2) Четность $$ f(-x)=sin^4(-x)+cos^4(-x)=sin^4x+cos^4x=f(x) $$ Функция четная.

Чтобы найти период, преобразуем тригонометрическое выражение, применяя формулы понижения степени (см. §15 данного справочника): begin{gather*} sin^4x+cos^4x=left(frac{1-cos2x}{2}right)^2+left(frac{1+cos2x}{2}right)^2=\ =frac14(1-2cos2x+cos^2 2x+1+2cos2x+cos^2 2x)=frac{1+cos^2 2x}{2}=\ =frac12left(1+frac{1+cos4x}{2}right)=frac{3+cos4x}{4} end{gather*} Функция периодическая с периодом (T=frac{2pi}{4}=frac pi 2)
Исходя из полученного выражения и применяя правила преобразования графиков тригонометрических функций (см. §8 данного справочника), можно сразу получить результат. $$ y=frac{3+cos4x}{4}=frac34+frac14 cos4x $$ Цепочка преобразований: $$ x xrightarrow1 4xxrightarrow2 cos4x xrightarrow3 frac14xrightarrow4 frac34+frac14 cos4x $$ Пошагово получаем:
1. Умножение аргумента на 4 приводит к уменьшению периода в 4 раза (T=fracpi 2)
2. Косинус – функция четная, при (x=0, cos⁡4x=1), остальные единицы будут через период: (x=frac{pi k}{2}, cos⁡4x=1). Соответственно: (x=fracpi 4+frac{pi k}{2}0 ,cos⁡4x=-1).
Нули функции: (x=fracpi 8+frac{pi k}{4}, cos⁡4x=0).
3. Умножение на (frac14) уменьшает амплитуду косинусоиды в 4 раза: (-frac14leqfrac14 cos4xleq frac14)
4. Прибавление (frac34) перемещает график на (frac34) вверх: (frac12leqfrac34+frac14 cos4xleq 1)

Получаем график:

Продолжим стандартное исследование функции.

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. нет пределов на бесконечности.
3. Наклонных асимптот нет, т.к. на бесконечности отношение ограниченной тригонометрической функции к бесконечному x дает (k=0).

4) Первая производная:
Исследуем промежуток, равный одному периоду (T=fracpi 2, 0leq xleqfracpi 2) begin{gather*} f'(x)=(sin^4 x+cos^4 x)’=left(frac{3+cos4x}{4}right)’=0-frac14cdot 4cdot sin4x=-sin4x\ sin4x=0Rightarrow 4x=pi kRightarrow x=frac{pi k}{4} end{gather*} Критические точки: (x=frac{pi k}{4}). На периоде (T=fracpi 2) получаем три точки (x=left{0;fracpi 4;fracpi 2right})

(x)	0	(left(0;fracpi 4right))	(fracpi 4)	(left(fracpi 4;fracpi 2right))	(fracpi 2)
(f'(x))	0	<0	0	>0	0
(f(x))	1 max	(searrow)	(frac12) min	(nearrow)	1 max

Функция убывает при (xinleft(frac{pi k}{2};fracpi 4+frac{pi k}{2}right))
Функция возрастает при (xinleft(fracpi 4+frac{pi k}{2};fracpi 2+frac{pi k}{2}right))
Точки минимума (x=fracpi 4+frac{pi k}{2}; y_{min}=frac12)
Точки максимума (x=frac{pi k}{2}; y_{max}=1)

5) Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=(-sin4x)’=-4cos4x\ cos4x=0Rightarrow 4x=fracpi 2+pi kRightarrow x=fracpi 8+frac{pi k}{4} end{gather*} Критические точки 2-го порядка: (x=fracpi 8+frac{pi k}{4}).
На периоде (T=fracpi 2) получаем две точки (x=left{fracpi 8;frac{3pi}{8}right})

(x)	(left(0;fracpi 8right))	(fracpi 8)	(left(fracpi 8;frac{3pi}{8}right))	(frac{3pi}{8})	(left(frac{3pi}{8};fracpi 2right))
(f”(x))	<0	0	>0	0	<0
(f(x))	(cap)	перегиб	(cup)	перегиб	(cap)

Функция выпуклая вниз при (xinleft(fracpi 8+frac{pi k}{2};frac{3pi}{8}+frac{pi k}{2}right))
Функция выпуклая вверх при (xinleft(-fracpi 8+frac{pi k}{2};fracpi 8+frac{pi k}{2}right))
Точки перегиба: ( x=fracpi 8+frac{pi k}{4}, y=frac{3+cos4cdot left(fracpi 8+frac{pi k}{4}right)}{4}=frac{3+0}{4}=frac34 )

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: (x=0, y_{max}=1)
Пересечение с осью OX: т.к. функция ограничена (frac12leq yleq 1), пересечений с OX нет.

7) График

График тот же, что и полученный с помощью правил преобразований графиков тригонометрических функций. Добавились только точки перегиба.

Источник

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график.

Как построить график функции?

После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале – график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна – график ниже оси абсцисс.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна – график функции возрастает, отрицательна – убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна – график функции выпукл вверх. Отрицательна – график функции выпукл вниз.

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №2

Пример исследования функции и построения графика №3

Пример исследования функции и построения графика №4

Пример исследования функции и построения графика №5

Пример исследования функции и построения графика №6

Пример исследования функции и построения графика №7

Пример исследования функции и построения графика №8

Пример исследования функции и построения графика №9

Пример исследования функции и построения графика №10

Пример исследования функции и построения графика №11

Пример исследования функции и построения графика №12

Пример исследования функции и построения графика №13

Пример исследования функции и построения графика №14

Пример исследования функции и построения графика №15

Пример исследования функции и построения графика №16

Пример исследования функции и построения графика №17

Пример исследования функции и построения графика №18

Пример исследования функции и построения графика №19

Пример исследования функции и построения графика №20

Пример исследования функции и построения графика №21

Пример исследования функции и построения графика №22

Пример исследования функции и построения графика №23

Пример исследования функции и построения графика №24

Пример исследования функции и построения графика №25

Пример исследования функции и построения графика №26

Пример исследования функции и построения графика №27

Источник

Содержание:

Полная схема исследования функции:

Найти область определения функции.
Исследовать функцию на чётность и периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Найти интервалы знакопостоянства.
Найти первую производную, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции.
Найти вторую производную. Определить интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
Исследовать поведение функции на концах промежутков определения.
Найти асимптоты графика функции.
Построить график функции.

Пример:

Исследуйте функцию

Решение:

1) Область определения функции:

2) Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

3) — точка пересечения графика функции с осями координат.

5) Чтобы найти производную функции, запишем её в виде

Поскольку в точке функция производной не имеет, то найдем производную отдельно для Имеем:

Функция имеет две критические точки:

(производная не существует) и (производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для первой производной

Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутках а убывает на промежутках

Первая производная при переходе через точку меняет знаке а при переходе через точку поэтому — точка максимума, а — точка минимума.

6) Найдём вторую производную:

Функция имеет две критические точки второго рода: (вторая производная не существует) и (вторая производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для второй производной

Как видим из таблицы, кривая выпуклая на промежутке а вогнутая на промежутках

Вторая производная при переходе через точку меняет знак а при переходе через точку на поэтому — точки перегиба. В этих точках на графике выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

7) Исследуем поведение заданной функции на концах промежутков определения:

8) Найдём асимптоты. Функция не определена в точке

Поскольку то вертикальная асимптота.

Поскольку то горизонтальная асимптота.

9) Используя полученные данные, построим график функции {рис. 88).

Пример:

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривых:

Решение:

1) Область определения функции —

2) Найдём первую и вторую производные. Имеем: Найдём критические точки второго рода: Других критических точек второго рода нет.

3) Определим знак второй производной на каждом из интервалов Для этого достаточно определить знак производной в произвольной внутренней точке каждого интервала.

Если поэтому на интервале кривая вогнутая.

Если поэтому на интервале кривая выпуклая.

Точка является точкой перегиба, поскольку при переходе через эту точку вторая производная меняет знак.

Следовательно, — точка перегиба.

1) Область определения функции—

2) Найдём критические точки второго рода:

Как видим, вторая производная существует на множестве всех действительных чисел и ни в одной точке в ноль не превращается. А потому критических точек второго рода нет. Следовательно, нет и точек перегиба. На всей области определения поэтому на множестве действительных чисел кривая вогнутая.

Пример:

Найдите асимптоты кривой

Решение:

Область определения функции — поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту:

Следовательно, прямая наклонная асимптота данной кривой. Других асимптот кривая не имеет.

Исследование функций

Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.

В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.

Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.

Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.

Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.

Монотонность функции

Функция y = y (x) называется возрастающей на промежутке l, если для любых точек , из промежутка l, удовлетворяющих неравенству ,. Функция называется убывающей на l, если из условия следует .

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала (a,b).

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке l тогда и только тогда, когда

Пример:

Найти промежутки возрастания и убывания функции

Вычислим:

Точки делят числовую прямую R натри интервала:

Производная положительна на интервалах . Следовательно, функция y(x) возрастает на каждом из этих интервалов. На интервале производная неположительна, значит, у(х) убывает на этом интервале.

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции у = у{х) если существует интервал , содержащий точку такой что

Точка называется точкой локального минимума функции если существует интервал содержащий точку такой что

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании .v при переходе через стационарную точку х0 производная у'(х) меняет знак с + на – , то – точка локального максимума. Если меняет знак с – на + , то – точка локального минимума функции f(x). Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то – точка локального минимума функции Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то – точка локального максимума функции y(x).

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Пример:

Найти экстремум функции

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точке производная обращается в бесконечность.

Поскольку то функция имеет в точке локальный минимум

Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с – на +, значит, функция имеет локальный максимум

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке [a;b] функция у = y(x) принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение min y(x) в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и min y(x) поступают следующим образом.

Находят стационарные точки функции;
Находят точки в которых производная у'(x) не существует или обращается в бесконечность;
Вычисляют значения: – и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут – глобальные экстремальные значения.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ – 2; 2 ].

Вычисляем Получаем числа 7, 3, 3, -7. Следовательно,

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции у = у(х), заданной на множестве X, называют множество точек плоскости с координатами. График называют выпуклым вниз на промежутке I, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке l вторая производная у'(х) положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если .у “(x) < 0 на промежутке l, то график является выпуклым вверх на промежутке l.

Точка М(с;у{с)) может быть точкой перегиба только в том случае, когда у'(x) = 0, либо у”(x) не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке с не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

Пример:

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции

Вычислим вторую производную .

Точки -1 и 1 разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке (-l;l) – отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на (-l;l).

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим . Поскольку , то в точке и в точке график функции имеет перегиб.

Исследование функции и построение графика

График функции у = у(х)у заданной на множестве X, т.е. множество точек плоскости с координатами обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции у = у{х) выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и се производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых у'(х) и y”(x) сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента х, при которых y(x) имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для [0;], а затем периодически продолжают.

Для четной функции:, или нечетной: . Исследование проводят на промежутке Построенный график продолжают на все множество X.

Используя симметричное отражение относительно оси Oy для четной функции и относительно точки О – для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества X (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если X ограничено, то вычисляют пределы функции при . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту у = а, если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту у = b. Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты у = кх + b. Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции у(х)у т.е. стационарные точки и точки, в которых y(x) не существует. Выделяют промежутки, на которых y”(x) сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции y(x).

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной Выделяют промежутки, на которых y”(x) сохраняет знак, и, следовательно, график функции y(x) сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной /(а) (т.е. точки, в которых у”(х) равны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции у(х), находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение y”(x) в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 1-6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика

Пример:

Построить график функции

I. Область определения

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку – точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая х = 0 является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

3. Из уравнения у'(х)=0 находим стационарные точки: =-2, = 1.

IV. Точка=1 является стационарной точкой для производной у'(х), так как у”() = 0.

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума перегиба (1,0), асимптоты

Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.

Интерполяция и аппроксимация функций

При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) – приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение д: лежит между приведенными в таблице значениями которым соответствуют значения функции и то считают, что:

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.

В общем виде интерполяционная задача состоит в построении обобщенного многочлена Р(х), принимающего значения исследуемой функции у = f(x) на конечном множестве (область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям . Точки х называются узлами интерполирования.

В частности, если A = [a,b] а множество , искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде , где – коэффициенты разложения, — линейно независимые на функции.

Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:

К системе можно применить векторно-матричную форму записи если ввести обозначения:

Если семейство функций составляет базис на [a,b], то условия интерполирования однозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов. Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.

Заказать решение задач по высшей математике

Интерполяционный полином Лагранжа

Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему

Утверждение 1. Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при n +1 различных значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пусть многочлены P(x) и Q(x) степени n, – такие попарно различные числа, что . Рассмотрим многочлен

Очевидно, что степень не превосходит я, либо – нулевой многочлен, причем т.е. многочлен имеет n + 1 различных корней, что невозможно. Следовательно,

Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Для каждого натурального числа n существует один и только один многочлен степени , который принимает любые наперед заданные значения при n +1 значениях неизвестной.

Пусть – различные числа – произвольные числа. Построим многочлен P (x)степени такой, что . По утверждению 1, он определен однозначно:

Степень и, очевидно, Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений:

Формула Тейлора

Задача аппроксимации (приближенного вычисления) функции в окрестности данной точки, которую часто называют рабочей точкой, является одной из основных задач математического анализа. Для дифференцируемых функций эта задача решается с помощью формулы Тейлора.

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение представимо в виде:

т.е. существует многочлен первой степени такой, что при выполняются условия

В более общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке n производных f'(), Необходимо найти многочлен степени не выше n, такой, что: где удовлетворяет условиям:

Предположим, что искомый аппроксимационный многочлен имеет вид:

Тогда:

Тогда, с учетом условий (5), можно получить:

Таким образом, если в аппроксимационый полином подставить полученные значения коэффициентов, то полином можно записать следующим образом:

Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции f. Можно показать, что он удовлетворяет условию

Рассмотрим функцию Эта функция представляет собой погрешность при замене функции f многочленом в окрестности точки . Из приведенных выше условий следует, что:

Для того, чтобы убедиться, что ПРИ необходимо показать, что. Для раскрытия этой неопределенности нужно применить n раз правило Лопиталя:

Полученные выводы можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки и n раз дифференцируема в ней. Тогда, при имеет место формула:

Полученный многочлен называется формулой Тейлора n -го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если = 0, то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Так, если функция f имеет производную n-го порядка в окрестности точки , то остаточный член может быть представлен в форме Лагранжа:

Основные разложения

Используя основные разложения можно получать формулы Тейлора для других функций. При этом используют то, что:

Понятие об эмпирических формулах

На практике часто возникает задача аппроксимации данных о зависимости между двумя переменными у их, полученных опытным путем и представленных в табличной форме. Это могут быть результаты опыта, наблюдений, статистической обработки результатов и т.д. При этом необходимо зависимость между этими переменными представить в виде аналитического выражения функции у = f(x) так, чтобы эта формула наилучшим образом отражала общую тенденцию зависимости у от fx, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими. Задача нахождения эмпирических формул выполняется в два этапа:

Установление вида зависимости у = f(x);
Определение неизвестных параметров этой функции.

При определении вида эмпирической функции у-f{x)

обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов, в качестве неизвестных параметров функции у = f (х) выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений у. от значений функции вычисленных по соответствующим им значениям аргументов, т.е.:

Разность называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой – она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции y = f(x) возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому, прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирический функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Пространство R”
Неопределённый интеграл
Методы интегрирования неопределенного интеграла
Определённый интеграл
Квадратичные формы – определение и понятие
Системы линейных уравнений с примерами
Линейное программирование
Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Источник

Графики
функций Качевский Д. Н.

Д.
Н. КАЧЕВСКИЙ

ГРАФИКИ
ФУНКЦИЙ

Учебное
пособие по высшей математике

Чебоксары
«ДНК» 2008

К 30

УДК 517

Качевский
Дмитрий Николаевич

К
30 Графики
функций. Учебное пособие по высшей
математике. – Чебоксары: ДНК, 2008, 25 с.,
ил.

В учебном пособии
посвящено экспресс методу построения
графиков функций на основе вычисления
пределов функций на границах области
определения.

Помимо
большого количества примеров схематического
построения графиков функций в пособие
включены типовые задания для самостоятельной
работы. Для освоения представленного
материала предполагается наличие
навыков вычисления пределов и
дифференцирования. Пособие предназначено
для студентов вузов всех форм обучения,
для школьников с углубленным изучением
математики, а также для специалистов
широкого профиля, занимающихся анализом
графических закономерностей.

Графики функций

Исследование
и построение графиков функций часто
представляет собой задачу весьма
сложную, с громоздкими вычислениями.
В то же время, оказывается возможным и
быстрое,
достаточно простое схематическое
построение графиков функций с помощью
вычисления пределов функции на границах
ее области определения.
Последнему
методу и посвящено данное учебное
пособие

§ 1. Общая схема исследования и построения графика функции.

Нахождение области
определения функции (области допустимых
значения аргумента-ОДЗ).
Сужение (уменьшение)
рассматриваемой области определения
для четных (нечетных), а также для
периодических функций.
Поведение функции
на границах области определения –
находится с помощью вычисления
соответствующих пределов.
Нанесение
значений вычисленных пределов на
координатную плоскость. Предварительный
рисунок графика функций.
Проверка
существования дифференцируемых и
недифференцируемых локальных экстремумов.
(Нахождение критических точек – точек
обращения в нуль производной; точек
разрыва производной, обращения ее в
бесконечность).
Уточнение
предполагаемого графика функции по
найденным локальным экстремумам и
точкам разрыва производной. Нанесение
на график функции характерных точек
функции и точек пересечения с осями
координат.
Дальнейшее
уточнение графика функции, если это
требуется.

( Нахождение
наклонных асимптот, точек перегиба и
др.).

Окончательное
построение графика функции
с продолжением его на всю область
определения (если было сужение области,
связанное с четностью, периодичностью
функции).

Приведем
здесь формулы для нахождения параметров
наклонных асимптот функции

:
Для наклонной асимптоты

параметры могут быть найдены по формулам:

§ 2. Примеры построения графиков функций

Пр.1
Построим
график функции

.

ОДЗ:

С
учетом нечетности функции

произведем сужение области определения,
отбрасывая из рассмотрения область
отрицательных значений аргумента:
ОДЗ:

.

Выясним
поведение функции на границах ОДЗ:

;

Нанесем
на координатную плоскость результаты
вычисления пределов (Рис.
1):

y
y

Р

ис.1

Рис.
2

0
1
x
0 1 x

Теперь
можно нарисовать предположительный
вид графика функции (Рис.
2).

Убедимся, в
справедливости нашего предположения.
Проверим, что на графике отсутствуют
локальные экстремумы.

Найдем первую
производную функции, попытаемся
приравнять ее нулю:

Поскольку в
числителе имеем отрицательное число,
производная в нуль не обращается.
Следовательно, критических точек на
графике функции нет, как нет и
дифференцируемых экстремумом.

Найдем,
в каких точках производная не существует
или обращается в бесконечность.
Приравнивая знаменатель производной
нулю, получаем значение такой точки:

.
Однако из Рис.
2 мы уже
знали, что при

производная обращается в бесконечность
(слева от

это

,
справа

).
Таким образом, на Рис.
2 график
изображен правильно.

Сделаем
одно уточнение. Найдем под каким углом
пересекает начало координат график
функции. Для этого подставим абсциссу
начала координат

в найденную производную:

Таким
образом, пересечение графика функции
начала координат осуществляется под
углом

,
примерно так, как мы и нарисовали.

С
учетом нечетности функции, продолжим
график функции на всю числовую ось, и
окончательно получим искомый график
(Рис. 3).

y Рис.
4

-1 0 1 x

Пр.2
Построим
график функции.

.

ОДЗ:

.

Исследуем поведение
функции на границах области определения:

о о

;

о о

Нанесем
результаты вычисления пределов на
координатную плоскость (Рис.
5):

Рис.
5

-1
0 1 2 3
x

Предположительный
график функции теперь может быть
изображен на Рис.6:

Рис.
6

-1
0 3 x

Теперь
остается убедиться в существовании
одного экстремума (одного максимума с
координатами (
))
изображенного на Рис.6.
Найдем
координаты

.
Для этого вычислим производную функции:

Приравнивая
производную нулю, находим что
единственным

действительным
корнем числителя является значение

,
где
.

Соответствующее
значения функции

.

Таким
образом, предположительный график
функции, изображенный на Рис.
6 , соответствует
действительности. Точка пересечения
графика с осью абсцисс:

.
( В этой точке функция, обращается в
ноль.)

Пр.3
Построим
график функции

.

ОДЗ:

.
Учитывая,
что функция четная (функция не «чувствует»
изменения знака

,
т. е.

,
произведем сужение области определения
функции, ограничиваясь рассмотрением
только положительных

ОДЗ:

.

Выясним
поведение функции на границах области
определения:

Добавление
(-0) показывает, что предельное значение
1 достигается функцией, которая при
конечных

принимает значения, меньшие единицы.

Наносим
значения вычисленных пределов на
координатную плоскость (Рис.
7):

y
y

1 1

Р

ис.
7 Рис. 8

X x

Предполагаемый
график функции изображен на Рис.
8. График
функции при всех значениях

располагается ниже прямой линии

.
Сама прямая является горизонтальной
асимптотой. График будет иметь такой
вид, если функция во внутренних точках
ОДЗ не
имеет экстремумов. Проверим это. Найдем
производную функции:

Ввиду
того, что числитель дроби не обращается
в ноль, производная функции не равна
нулю, следовательно на графике отсутствуют
дифференцируемые локальные экстремумы.
Таким образом, предполагаемый график
функции (Рис.
8) действительно
является
графиком
функции.

Для
уточнения графика найдем точки разрыва
производной. Таким точкам соответствует
случай обращения производной в
бесконечность. Для этого знаменатель
у производной должен обратиться в ноль.
Единственная возможность для этого –
обращение в ноль

.
Таким образом, при

производная функции обращается в
бесконечность и график функции пересекает
начало координат вертикально. Учитывая
последнее обстоятельство, и продолжая
график функции на всю область определения,
с учетом четности функции окончательно
получаем искомый график (Рис.
9).

Рис. 9

Пр.
4 Построим
график функции

.

Рассматриваемая
функция является периодической с
периодом

.
Сразу произведем сужение области
определения функции и будем изучать
поведение функции лишь на множестве

.

О
ДЗ:

.

Найдем поведение
функции на границах области определения:

Здесь
для вычисления значений тригонометрических
и логарифмической функций были
использованы их графики:

o

x 0

x 0
1 x

Рис. 10

Нанесем
вычисленные значения пределов на
координатную плоскость (Рис.11):

y
y

x
0

Рис. 11 Рис.
12

Предполагаемый
график функции изобразим на Рис. 12.
Убедимся, что в соответствии с
предполагаемым видом графика, функция
не имеет локальных дифференцируемых
экстремумов. Для этого найдем критические
точки, приравняв производную функции
нулю:

Покажем
сначала, что на отрезке от 0 до

существует только одна критическая
точка

.
Обозначая

,
(учитываем, что на этом интервале

,
а, следовательно, и

)
приравняем числитель предыдущего
уравнения нулю, освободившись от квадрата
под знаком логарифма. Заменив

,
имеем:

Полученное
уравнение решим графически (см. Рис.
13):

t t
Рис. 13

-1

Покажем
теперь, что и на отрезке от

до

также существует только одна критическая
точка

.
Приравняв числитель производной

нулю, предварительно заменяя

,
(на рассматриваемом интервале

,
следовательно

),
имеем:

Решая,
как и в первом случае, то же самое
уравнение, графически (см. Рис. 13),
убеждаемся в существовании на
рассматриваемом интервале только одной
критической точки

,
а, следовательно,

,
откуда

.

Таким
образом, из предполагаемого графика
функции на Рис. 12 убеждаемся, что
найденные критически точки

не могут являться локальными экстремумами,
т. к. в противном случае для каждой из
них должны бы существовать еще по одной
критической точке, чтобы график функции
имел, например, вид, изображенный на
Рис.14.

x Рис. 14

Ввиду того, что
найденные критические точки не являются
точками экстремума, они представляют
собой точки перегиба с горизонтальными
асимптотами.

Проверим, что у
заданной функции отсутствуют и
недифференцируемые экстремумы. Для
этого убедимся, что производная нигде
во внутренних точках области определения
не имеет разрыва.

Из
вида производной следует, что единственными
точками, в которых производная не
существует (обращается в бесконечность),
являются точки, соответствующие решению
уравнения

,
(т. к.

располагается в знаменателе

,
а также является аргументом логарифма,
а

).
Однако указанные точки (
) уже
были исключены из рассматриваемой
области определения и график предполагаемой
функции (Рис. 12) уже отражал тот факт,
что в указанных точках производная
функции обращается в бесконечность.

Таким
образом, отмечая на графике найденные
точки перегиба (с горизонтальными
асимптотами), соответствующие значениям

и продолжая график Рис.12
на всю числовую ось, с учетом периодичности
функции, получаем искомый график функции

Рис.
16

Пр.
5 Построим
функцию

.

ОДЗ:

>
> 0.

Решаем неравенство
методом интервалов:

(+)
(+)

-1/2 (-) -1/3
.

Исследуем
поведение функции на границах области
определения:

Найденные значения
пределов наносим жирными штрихами на

Рис.
17

координатную
плоскость, а предполагаемый график
функции рисуем тонкой линией, (Рис. 17).
Конец стрелки на графике означает
исключение соответствующей точки из
графика.

Убедимся
в правильности предположения о виде
графика функции. Найдем точки
дифференцируемых локальных экстремумов.
Для этого найдем производную функции
и приравняем ее нулю.

Производная
может равняться нулю только за счет
обращения в ноль квадратной скобки.
Приравнивая ее нулю, решая уравнение
графически, находим два корня уравнения:

=0 . Соответствующие
значения функции при этом находятся
как:

.

Теперь
уточним угол, под которым график
«пересекает» ось абсцисс в точке

.
Для этого вычислим предел:

При вычислении
предела пренебрегли первым слагаемым
в квадратной скобке поскольку рост
логарифмической функции происходит
значительно медленнее роста любой
степенной функции. В нашем случае имеем:

Таким
образом, график функции «пересекает»
ось абсцисс в точке

вертикально. Внесем все уточнения в
Рис. 17 и изобразим на
Рис. 18
окончательно график функции

Рис. 18

-1 …-0,84 -0,5 -1/3
0 x

Пр.
6 Построим
функцию

.

О
ДЗ:

Исследуем
поведение на границах ОДЗ:

.
.

Результаты
вычисления пределов нанесем на
координатную плоскость жирными штрихами,
а предполагаемый график функции –
тонкой линией (см. Рис.19):

Рис.
19

-3 0
x

Убедимся
в отсутствии дифференцируемых локальных
экстремумов, для чего найдем производную
функции и попытаемся приравнять ее
нулю:

Ввиду
того, что дискриминант числителя
отрицателен, производная в ноль не
обращается, это означает, что у функции
нет дифференцируемых локальных
экстремумов, а также отсутствуют точки
на графике, в которых касательная
горизонтальна. Производная функции не
существует в точках

,
которые исключены из области определения
функции, т. е. у функции отсутствуют и
недифференцируемые локальные экстремумы.
Таким образом график функции, изображенный
на Рис. 19 соответствует действительности.
Уточним его, проверив наличие наклонных
асимптот:

Предполагаем
наличие асимптоты с уравнение.

у функции при

.
Если таковая имеется, найдем ее параметры:

Таким
образом, при

действительно имеется наклонная
асимптота с уравнением

,
причем знак минус перед нулем в правой
части предыдущего равенства означает,
что функция

т. е. график функции располагается при

ниже самой асимптоты .

Аналогичным
образом найдем наклонную асимптоту
при
.

Полагая,
что уравнение ее опять имеет вид

,
найдем параметры асимптоты:

Здесь
были использованы формулы для функций,
эквивалентных в нуле (Гл. I,
§ 4).

Знак
(+) перед нулем в последнем выражении
можно трактовать так, что при

график функции

располагается выше асимптоты

поскольку

.

С
помощью найденных асимптот уточним
Рис. 19,
и нарисуем искомый график функции, см.
Рис. 20:

Рис. 20

-3
0
х

Пр.
7 Построим
график функции

.

ОДЗ:

.

Поведение
функции на границах ОДЗ:

Вычисленные
пределы обозначим жирными штрихами на
координатной плоскости, а предполагаемый
график функции рисуем тонкой линией
(Рис. 21).

Рис.
21

Координаты локального максимума
(1,
).

0
x

Найдем
точку предполагаемого дифференцируемого
локального максимума:

Приравнивая
производную нулю, находим критическую
точку

,
соответствующую локальному максимуму

.

Поскольку
график проходит через начало координат,
найдем угол, под которым пересекается
ось абсцисс:

.

Из
вида производной заключаем, что
недифференцируемых локальных экстремумов
у функции нет, т. к. производная существует
и принимает конечные значения на всей
области определения функции.

Проверим
наличие при

наклонной асимптоты

Поскольку
параметр предполагаемой асимптоты не
является конечной величиной , наклонной
асимптоты не существует. Функция

действительно изображена на Рис. 21.

Пр.
8 Построим
график функции

.

(плотность
логнормального распределения)

ОДЗ:

> 0
.

Выясним
поведение функции на границах области
определения:

о
о

Нанесем
результаты вычислений жирными штрихами
на координатную плоскость, а предполагаемый
график функции тонкой линией (Рис. 22).

x Рис.
22

Найдем
предполагаемый дифференцируемый
локальный максимум функции.

Приравнивая
производную нулю, получаем абсциссу
локального максимума:

.
Для соответствующей ординаты получаем
значение
0,005.

Недифференцируемых
локальных экстремумов функция не имеет
т. к. производная существует в каждой
точке ОДЗ
(не имеет
разрывов и не обращается в бесконечность).

Найдем
угол, под которым график функции
“пересекает” ось абсцисс в начале
координат:

о
о

Таким образом,
график функции приближается справа к
началу координат горизонтально (угол
между графиком и осью абсцисс равен
нулю ).

Сделаем
более точный рисунок графика функции
( Рис. 23 ):

0,005

Рис.
23

Здесь
абсциссы двух точек перегиба

могут быть найдены из равенства нулю
второй производной функции

Пр.
9 Построим
график функции

.

ОДЗ:

.

Для
удобства дальнейших вычислений сначала
построим график функции

,
(«перевернутый» график тангенса), (Рис.
24).

0
x Рис.
24

Найдем
поведение графика функции на границах
области определения:

Здесь
добавки

к значениям

взяты из графика

.
Действительно, значение

достигается арктангенсом со стороны
меньших углов, а значение

достигается арктангенсом со стороны
больших углов. А при вычислении пределов
при

воспользовались разложением в ряд
Тейлора арктангенса в соответствии с
формулой:

.

Замечая,
что график функции проходит через начало
координат (т. к.

),
нанесем жирными штрихами значения
вычисленных пределов на координатную
плоскость, а предполагаемый график
функции тонкой линией (см. Рис. 25)

0 3
х Рис. 25

Теперь
остается проверить, что, действительно,
как следует из Рис. 25, исследуемая
функция не имеет дифференцируемых
локальных экстремумов.

Поскольку
производная в ОДЗ
в ноль не
обращается, дифференцируемые локальные
экстремумы отсутствуют.

Интересной
особенностью графика функции является
то, что в исключенной из ОДЗ
точке

функция не обращается в бесконечность,
а имеет разрыв первого рода (конечный
скачок). Для уточнения графика интересно
выяснить под каким углом график функции
“пересекает” вертикальную прямую

Как
видно из вычисленного значения предела
этот угол не равен ни нулю, ни 90°, но
слева и справа от вертикали

наклоны касательных к разным веткам
графика одинаковые. На Рис. Этот факт
отмечен.

Пр.
10 Построим
график функции

.

Обратим
внимание на то, каким образом меняется
график функции, если функция взята по
модулю (Рис. 26):

A B
A
B

Рис.
26

График
функции, взятой по модулю, отличается
от графика самой функции тем, что
отрицательные значения функции
становятся положительными , не меняясь
при этом по модулю (участок кривой между
точками А и В симметрично отображается
на верхнюю полуплоскость). Положительные
же значения функции при этом не меняются.

Таким
образом, в точках, пересечения графика
функции с осью абсцисс, происходит
резкое изменение направления касательной
к графику, т. е. производная функции при
этом претерпевает разрыв, следовательно,
в этих точках производная функции не
существует (существует производная
слева и производная справа, не совпадающие
друг с другом).

Найдем
область определения заданной функции

.

О
ДЗ:

.

Поведение
функции на границах области определения:

Нанесем
жирными штрихами значения вычисленных
пределов на координатную плоскость. С
учетом характерных точек, через которые
проходит график,

,
,
рисуем тонкой линией и линией пунктирной
два возможных предполагаемых графика
функции, (Рис. 27):

-5
-4 x – – 2 – 1
.. 0 …. x

Рис.
27

С помощью первой
производной удостоверимся в существовании
локального максимума, и найдем его, а
также выясним, имеются ли точки разрыва
производной.

Всю
область определения разобьем на участки
точками, в которых

,
и для каждого участка, освободившись
от модулей , запишем заданную функцию
в виде:

Учитывая,
что на участке

функция

положительна,
один из предполагаемых графиков функции,
а именно, график, изображенный пунктиром,
не может являться графиком рассматриваемой
функции.

Найдем
производную функции:

Если
приравнивать производную нулю для
каждой из трех рассматриваемых областей,
и решать соответствующие уравнения
графически, то можно видеть, что только
в области

существует один действительный корень
уравнения

,
равный

с соответствующим значением функции

.
Таким образом, в соответствии с Рис. 27
найден единственный дифференцируемый
максимум функции, имеющий координаты
(-3,22 ; 1,42 ).

С
помощью найденной функции
проверим
существование точек разрыва производной.
Разрыв производной возможен лишь в
точках, где производная обращается в
бесконечность ( из внешнего вида

видно, что это возможно только при

)
и в точках, разделяющих три участка
графика функции (
).