Как найти характеристический вектор - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Важной
разновидностью смежного размещения
является случай, когда такому представлению
подвергается подпоследовательность
последовательности.

В
этом случае подпоследовательность
можно представить характеристическим
вектором
– последовательности из 0 и 1.

Так
например, для последовательности
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
характеристический вектор последовательности
чисел, кратных 3 имеет вид
(0,0,1,0,0,1,0,0,1).

3.1.4. Списки. Деревья

Использование
списков для разработки алгоритма
«Крестики-нолики»

На
практических занятиях рассматривался
один из вариантов решения «примитивной»
игровой задачи – «крестики-нолики».
Рассматривался один из возможных
подходов к решению задачи- критериальный
подход. Суть которого сводится к введению
некоторого критерия оценки веса каждой
из клеточек игрового поля, в зависимости
от текущей ситуации и перспектив развития
игры для алгоритма.

Была
предложена достаточная простая схема
формирования критерия оценки веса
«клетки» игрового поля. Например, для
всех угловых клеток поля итоговый
(суммарный) критерий
складывается из значений частных
критериев ()
по всем исходящим из клетки линиям, на
которых образуется выигрышная или
проигрышная ситуация (для угловых клеток
таких линий три).

Для
простоты, чтобы не вводить сложных
структур данных, был предложен следующий
простой алгоритм вычисления весовой
оценки клетки. Для каждой клетки смежной
с клеткой, для которой производится
вычисления критерия вводится собственная
переменная, принимающая значение (в
зависимости от ситуации)(см. рис.9). Критериивычисляются для каждой из «операционных»
линий.

Тогда,
с помощью языка GRAPH,
алгоритм вычисления критерия
по линии (*,x,
y)
можно представит граф-программой (см.
рис. 9).

Следует
заметить, что не всегда при
разработке алгоритмов следует использовать
сложные «изящные» решения. Очень
часто, для достаточно несложных задач
простые решения оказываются более
результативными и качественными.

Однако
для трехмерной игры в «крестики-нолики»
предложенный подход явно неприемлем.

Рассмотрим
его модификацию, использующую модель
данных – линейный список.

Поместим
в корень дерева ссылку на элемент
матрицы, содержащей координаты базовой
угловой вершины, расположенной в точке
(0, 0), далее в списке расположены ссылки
на координаты смежных с ней операционных
линий так, как это представлено на
рисунке 11.

Здесь
в матрице Mv
вектора
содержат координаты элементов матрицы
игрового поля, например.
Используя построенный список можно
вычислить критериидля базовой угловой вершины. Для
оставшихся 3 вершин можно сформировать
еще 3 списка, но можно этого и не делать.

Если
ввести линейное преобразование

связанное
с поворотом осей координат на заданный
угол
,
и в матрицеA
над каждым вектором
произвести данное преобразование,
то получим новую матрицув которой все элементы повернуты на
угол.
Для того, чтобы перебрать все варианты
угловых вершин необходимо сделать три
поворота.

Источник

Характеристический вектор

Cтраница 3

Для каждой из составляющих рассмотренного выше характеристического вектора (6.36) и к v равны соответственно ее вещественной и мнимой компонентам.
[32]

Указанный метод всегда приводит к характеристическим векторам с наибольшей константой распада. Поэтому, чтобы определить характеристический вектор со второй по величине константой распада, должна быть найдена матрица, которая не зависит от векторов с наибольшими корнями.
[33]

Получающиеся при этом векторы являются характеристическими векторами множеств соответственно внутренней и внешней устойчивости.
[34]

Вычислим явно в терминах уравнения компоненты характеристического вектора.
[35]

Теперь покажем, что скалярное произведение любого левого характеристического вектора zs с Я 0 на а инвариантно по времени и, следовательно, соответствует ограничительному уравнению.
[36]

Достаточно заметить, что если для характеристических векторов состояния движения за полюс принимается точка О, то будем иметь о0 – О, так что все сводится к определению изменения До) угловой скорости.
[37]

САУ оценивается по виду частотного годографа характеристического вектора замкнутой системы.
[39]

Специальными исследованиями, проведенными ВТИ, определены характеристические векторы поправки в режиме постоянной скорости, а также на концевые ограничители. Установлено, что в режиме постоянной скорости с увеличением амплитуды и частоты входного сигнала коэффициент усиления и угол опережения ПИ-регулятора уменьшаются. Концевые ограничители уменьшают коэффициент усиления и увеличивают угол опережения регулятора, что способствует стабилизации системы регулирования.
[41]

Здесь в правой части в числителе стоит характеристический вектор замкнутой системы, а в знаменателе – характеристический вектор разомкнутой системы.
[42]

В работе [7] показано, что построение характеристических векторов для программ-трансляторов ТА-1, ТА-2, ПП-М-20 и а-системй с алгоритмических языков АЛГОЛ и адресный показало, что в алгоритмах трансляции арифметические операции, составляющие около 40 % общего набора операций М-20, используются в ТА-1 на 1 2 %, ТА-2-25 %, ПП-М-20-47 % и а-системе – 0 7 %; с другой стороны, операции поразрядного сравнения, логического умножения и сложения, пересылки кодов, составляющие около 8 % в общем количестве операций машины М-20, при трансляции составляют 33 % используемых операций. Эти характеристики показывают целесообразность построения специализированной транслирующей машины при большом количестве транслируемых задач.
[43]

Выражение W ( ico) носит название характеристического вектора или комплексной частотной функции системы автоматического регулирования или ее элемента. Составляющие ее полиномы Р ( со) и Q ( со) называют соответственно вещественной и мнимой частотной функциями, или вещественной и мнимой частотной характеристиками.
[45]

Страницы:

Источник

Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление, поэтому является собственным вектором этого преобразования, соответствующим некоторому собственному значению lambda (здесь оно равно единице, так как вектор не изменил свою длину). Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение (которое может быть равно 0). Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц^[1]^[2].

Понятия собственного вектора и собственного числа^[3] являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Это связано с тем, что многие соотношения, связанные с линейными операторами, существенно упрощаются в системе координат, построенной на базисе из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора (спектр оператора) характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат. По этим причинам собственные векторы имеют важное прикладное значение. Так, например, собственные векторы часто встречаются в механике, квантовой теории и так далее. В частности, оператор проекции спина на произвольную ось имеет два собственных значения и соответствующие им собственные векторы.

Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о собственных функциях операторов.

Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством^[4] этого оператора.

Поиск оптимальных алгоритмов вычисления собственных значений для заданного линейного оператора является одной из важных задач вычислительной математики.

Определения[править | править код]

Другая трансформация Джоконды. Синий вектор меняет направление, а красный — нет. Поэтому красный является собственным вектором, а синий — нет. Так как красный вектор ни растянулся, ни сжался, его собственное значение равно, как и на картинке выше, единице. Все векторы, коллинеарные красному, тоже собственные.

Собственным вектором линейного преобразования , где — линейное пространство над полем , называется такой ненулевой вектор xin L , что для некоторого имеет место .

Собственным значением (собственным числом) линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение xin L .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор , который отображается в коллинеарный ему вектор оператором , а соответствующий скаляр lambda называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством (или характеристическим подпространством) линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов xin L , соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором. Обозначим собственное подпространство, отвечающее собственному числу lambda , через $E_{lambda }$ , а единичный оператор — через . По определению, собственное подпространство является ядром оператора то есть множеством векторов, отображаемых этим оператором в нулевой вектор:

${displaystyle E_{lambda }=ker(A-lambda cdot I)}$

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор xin L , что для некоторого натурального числа имеет место:

${displaystyle (A-lambda cdot I)^{m}x=0}$

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ${displaystyle (A-lambda cdot I)^{m-1}xneq 0}$ ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов xin L , соответствующих данному собственному числу, если это множество дополнить нулевым вектором. Обозначим корневое подпространство, отвечающее собственному числу λ, через $V_{lambda }$ . По определению:

${displaystyle V_{lambda }=bigcup _{m=1}^{infty }ker(A-lambda cdot I)^{m}=bigcup _{m=1}^{infty }V_{m,lambda }}$

История[править | править код]

Собственные значения обычно вводятся в контексте линейной алгебры, однако исторически они возникли при исследовании квадратичных форм и дифференциальных уравнений.

В XVIII веке Эйлер, изучая вращательное движение абсолютно твёрдого тела, обнаружил значимость главных осей, а Лагранж показал, что главные оси соответствуют собственным векторам матрицы инерции. В начале XIX века Коши использовал труды Эйлера и Лагранжа для классификации поверхностей второго порядка и обобщил результаты на высшие порядки. Коши также ввёл термин «характеристический корень» (фр. racine caractéristique) для собственного значения. Этот термин сохранился в контексте характеристического многочлена матрицы^[5]^[6].

В начале XX века Гильберт занимался исследованием собственных значений интегральных операторов, рассматривая последние как матрицы бесконечного размера^[7]. В 1904 году для обозначения собственных значений и собственных векторов Гильберт начал использовать термины eigenvalues и eigenvectors, основанные на немецком слове eigen (собственный)^[8]. Впоследствии эти термины перешли и в английский язык, заменив используемые ранее «proper value» и «proper vector»^[9].

Свойства[править | править код]

Общий случай[править | править код]

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования (-инвариантным подпространством), если:

Собственные подпространства $E_{lambda }$ , корневые подпространства $V_{lambda }$ и подпространства $V_{m,lambda }$ линейного оператора являются -инвариантными.

Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): $E_{lambda }subseteq V_{lambda }$ ;

Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей:

$A={begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}}$

$(A-E)^{2}=0$

, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу

, но

имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

$V_{lambda }bigcap V_{mu }={0}$

если

Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт теорема Куранта — Фишера.

Конечномерные линейные пространства[править | править код]

Выбрав базис в -мерном линейном пространстве , можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы:

${displaystyle P_{A}(lambda )=det(A-lambda cdot I)=sum limits _{k=0}^{n}a_{k}lambda ^{k}}$

Характеристический многочлен не зависит от базиса в . Его коэффициенты являются инвариантами оператора . В частности, $a_{0}=det ,A$ , $a_{n-1}=operatorname {tr} ,A$ не зависят от выбора базиса.

Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы. Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы. Если выбрать в качестве базисных векторов собственные векторы оператора, то матрица в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой). Для положительно определённой симметричной матрицы процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является не чем иным, как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Если числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел), то характеристический многочлен разлагается в произведение линейных множителей:

$P_{A}(lambda )=(-1)^{n}prod _{i=1}^{n}(lambda -lambda _{i})$

где $lambda _{i};(i=1,ldots ,n)$ — собственные значения; некоторые из $lambda _{i}$ могут быть равны. Кратность собственного значения $lambda _{i}$ — это число множителей, равных ${displaystyle lambda -lambda _{i},}$ в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

Размерность корневого пространства $V_{lambda _{i}}$ равна кратности собственного значения.

Векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

$L=bigoplus _{lambda _{i}}V_{lambda _{i}}$

где суммирование производится по всем $lambda _{i}$

— собственным числам

Геометрическая кратность собственного значения $lambda _{i}$ — это размерность соответствующего собственного подпространства $E_{lambda _{i}}$ ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку $E_{lambda _{i}}subseteq V_{lambda _{i}}$

Нормальные операторы и их подклассы[править | править код]

Все корневые векторы нормального оператора являются собственными. Собственные векторы нормального оператора , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, то есть если , Ay=mu y и , то (x,y)=0 (для произвольного оператора это неверно).

Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными, антиэрмитового оператора — мнимыми, а все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности .

В конечномерном случае сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора ${displaystyle Acolon mathbb {C} ^{n}to mathbb {C} ^{n}}$ , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

${displaystyle L=bigoplus _{lambda _{i}}E_{lambda _{i}}}$

где суммирование производится по всем $lambda _{i}$ — собственным числам , а $E_{lambda _{i}}$ взаимно ортогональны для различных $lambda _{i}$ . Это свойство для нормального оператора над в конечномерном случае является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе.

Положительные матрицы[править | править код]

Квадратная вещественная матрица $A=(a_{{ij}})$ называется положительной, если все её элементы положительны: $a_{ij}>0$ .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона — Фробениуса): Положительная квадратная матрица имеет положительное собственное значение , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению соответствует собственный вектор $e_{r}$ , все координаты которого строго положительны. Вектор $e_{r}$ — единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор $e_{r}$ может быть вычислен посредством прямых итераций: выбирается произвольный начальный вектор $v_{0}$ с положительными координатами, последующий элемент задаётся рекуррентной формулой:

$v_{k+1}={frac {Av_{k}}{|Av_{k}|}}$

получается последовательность $v_{{k}}$ , сходящаяся к нормированному собственному вектору $e_{r}/|e_{r}|$ .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Неравенства для собственных значений[править | править код]

Неравенство Шура: для собственных значений ${displaystyle lambda _{1},dots ,lambda _{n}}$ матрицы $A=(a_{ij})_{i,j=1,ldots ,n}$ :

${displaystyle sum _{i=1}^{n}|lambda _{i}|^{2}leqslant sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}=|A|_{F}^{2}}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда — нормальная матрица^[10].

Для собственных значений $lambda _{1},...,lambda _{n}$ матрицы A=B+iC , где матрицы B,C — эрмитовы, имеет место:

${displaystyle sum _{i=1}^{n}|Re lambda _{i}|^{2}leqslant sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij}|^{2}}$

и ${displaystyle sum _{i=1}^{n}|Im lambda _{i}|^{2}leqslant sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij}|^{2}}$

^[11].

Для эрмитовых матриц A,B и C=A+B их собственные значения, упорядоченные в порядке возрастания: $alpha _{1}leqslant ...leqslant alpha _{n},beta _{1}leqslant ...leqslant beta _{n},gamma _{1}leqslant ...leqslant gamma _{n}$ дают: $gamma _{i}geqslant alpha _{i}+beta _{i-j+1}$ при и $gamma _{i}leqslant alpha _{i}+beta _{i-j+n}$ при ^[11].

Примечания[править | править код]

↑ Herstein (1964, pp. 228,229)
↑ Nering (1970, p. 38)
↑ Иногда используются синонимичные термины: характеристический вектор и характеристическое число оператора.
↑ Не путать с собственным подпространством линейного векторного пространства — любым подпространством, отличным от тривиальных подпространств, то есть от самого этого пространства и от нулевого пространства.
↑ Kline, 1972, pp. 807–808.
↑ Augustin Cauchy (1839) «Mémoire sur l’intégration des équations linéaires» (Memoir on the integration of linear equations), Comptes rendus, 8 : 827—830, 845—865, 889—907, 931—937. p. 827: Архивная копия от 7 июня 2019 на Wayback Machine «On sait d’ailleurs qu’en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d’une certaine équation que j’appellerai l’équation caractéristique, le degré de cette équation étant précisément l’order de l’équation différentielle qu’il s’agit d’intégrer.»
↑ Kline, 1972, p. 1063.
↑ David Hilbert (1904).«Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)» Архивная копия от 5 ноября 2018 на Wayback Machine, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), «Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms», in Jeff Miller (ed.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Архивная копия от 23 декабря 2017 на Wayback Machine
↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 206.
↑ ¹ ² Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 207.

Литература[править | править код]

Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с. — ISBN ISBN 5-9221-0524-8.
Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с. — ISBN 978-5-458-25464-9.
Гельфанд И. М.. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, КДУ, 2009. — 320 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-98227-625-4.
Фаддеев Д. К.. Лекции по алгебре. — М.: ЁЁ Медиа, 2012. — 416 с. — ISBN 978-5-458-25543-1.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 512 с. — ISBN 978-5-9221-1139-3.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
Икрамов Х. Д. Несимметричная проблема собственных значений. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. & Johnson, Charles F. (1985), Matrix analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Источник

Определение.

Множество M с двумя введенными бинарными операциями (& V), одной унарной операцией (*) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (Аксиомы булевой алгебры). Названия операций пока не введены.

1. X & Y = Y&X, X V Y = Y V X – коммутативность.

2. (X & Y) & Z = X & (Y & Z), (X V Y) V Z = X V (Y V Z) – ассоциативность.

3. (X V Y) & Z = (X & Z) V (Y & Z), (X & Y) V (Y & Z) = (X V Z) & (Y & Z) – дистрибутивность.

4. Поглощение – X & X = X, X V X = X.

5. Свойства констант

X & 0 = 0

X & I = X, где I – аналог универсального множества.

6. Инвальтивность (X*)* = X

7. Дополнимость X V X* = I, X & X* = 0.

8. Законы двойственности – (X & Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* & Y

Булева алгебра всех подмножеств данного множества.

U = {a1, a2… an)

[U] = N

[P(U)] = 2n

Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, Множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй.

Oбъединение эквивалентно V, пересечение – &, дополнение – *, пустое множество – 0, а универсальное – I.

Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами.

Булева алгебра характеристических векторов.

Пусть A <= U, A <- P(U) a- характеристический вектор этого подмножества.

AA = {a, a2 ..an)

N = [P(U)]

Ai = 1, если ai <- A (принадлежит).

Ai = 0, если ai не принадлежит A.

U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}

A = {2 4 6 8}

B = {1 2 7}

AA = {0 1 0 1 0 1 0 1 0}

AB = {1 1 0 0 0 0 1 0 0}

Или

AA = 010101010 – скобки не нужны

AA= 110000100

Характеристические векторы размерностью n называются булевыми векторами.

Они располагаются в вершинах n – мерного булева куба.

Номером булевого вектора является число в двоичном представлении, которым он является

1101 – номер.

Два булевых вектора называются соседними, если их координаты отличаются только в одном разряде (если они отличаются только одной координатой).

Совокупность всех булевых векторов размерности n называется булевым кубом размерностью Bn.

Булев куб размерности 1

Булев куб размерности 2

Булев куб размерности 3

0 – нулевой вектор.

I – вектор из одних единиц.

Отрицание

X = 0 Y = 0

_ _

Х = 1 Y= 1

Для размерности n операции над векторами производятся покоординатно.

Логическая сумма двух векторов – вектор, координаты которого являются логическими суммами соответствующих исходных векторов. Аналогично определено произведение.

Утверждение

Между множеством всех подмножеств множества U и булевым кубом Bn, где n= =[U] можно установить взаимное соответствие, при котором операции объединения множества соответствует операции логического сложения (их характеристических векторов), операции пересечения множеств соответствует операция логического умножения их характеристических векторов, а операции дополнения – операция отрицания. Пустому множеству соответствует нулевой вектор, а универсальному – единичный.

Следствие

Множество всех характеристических векторов является булевой алгеброй.

Булева алгебра высказываний (алгебра логики)

Высказыванием об элементах множества U называется любое утверждение об элементах множества U, которое для каждого элемента либо истинно, либо ложно.

U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}

A = «число четное»

B = «число, меньшее пяти»

Множеством истинности высказывания называется совокупность всех элементов, для которых это высказывание истинно.

SA = {2 4 6 8}

SB = {1 2 3 4}

Высказывание, для которого множество истинности пусто, называется тождественно ложным, а для которого SB = U называется тождественно истинным.

Высказывания, для которых множества истинности совпадают, называются тождественными или равносильными.

Равносильные высказывания объединим в один класс Р. В. и не будем их разделять, т. к. все они имеют одно и то же множество истинности.

Операции над высказываниями

Дизъюнкция высказываний (V, ИЛИ, OR)

Дизъюнкция высказываний – высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.

Конъюнкция высказываний (&, И, AND).

Конъюнкцией высказываний называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны все высказывания.

Отрицание высказываний (- над буквой, НЕ, NOT).

Отрицанием высказывания называется высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно.

A B	A & B	A V B	Not A
Л Л	Л	Л	И
Л И	Л	И	И
И Л	Л	И	Л
И И	И	И	Л

Л – ложно.

И – истинно.

Утверждение (основа всей алгебры логики)

Между множеством всех классов эквивалентных высказываний об элементах множества U и множеством P(U) можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором операция дизъюнкции высказываний соответствует операции объединения множеств истинности, а конъюнкция соответствует операции пересечения. Операция отрицания соответствует операции дополнения.

Следствие. Множество классов эквивалентных высказываний является булевой алгеброй.

Теорема

Существуют 3 булевых алгебры:

1. P(U)

2. Bn

3. Множество классов эквивалентных высказываний.

Три булевых алгебры являются изоморфными, если между их элементами можно установить такое однозначное соответствие, при котором операции сохраняются.

Договоримся конъюнкцию обозначать точкой (как знак умножения в алгебре чисел). Конъюнкция выполняется раньше дизъюнкции (аналог выполнения операций сложения и умножения в алгебре чисел).

< Предыдущая		Следующая >

Источник

3.1.4. Списки. Деревья

Характеристический вектор

Определения[править | править код]

История[править | править код]

Свойства[править | править код]

Общий случай[править | править код]

Конечномерные линейные пространства[править | править код]

Нормальные операторы и их подклассы[править | править код]

Положительные матрицы[править | править код]

Неравенства для собственных значений[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Булева алгебра характеристических векторов.

Булева алгебра высказываний (алгебра логики)

Операции над высказываниями

Вам также может понравиться

Как найти внутренний угол правильного шестиугольника

Как найти компромат своей жены

Как найти свой код на прививку

Добавить комментарий Отменить ответ