Как найти характеристику десятичного логарифма

Как найти характеристику десятичного логарифма

Десятичный логарифм

Характеристика и мантисса

Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10. Кроме общего обозначения $log_{10} N$ для десятичных логарифмов обычно применяют сокращенное обозначение $lg N$.

Десятичные логарифмы широко применяются в приближенных вычислениях; в связи с этим имеются подробные и весьма точные таблицы десятичных логарифмов.

Для применения к приближенным вычислениям нам потребуются некоторые свойства и понятия, относящиеся к десятичным логарифмам.

Рассмотрим все числа вида $10^{n}$, где $n$ — целое число:

$cdots; 10^{-3} = 0,001; 10^{-2} = 0,01; 10^{-1} = 0,1; 10^{0} = 1; 10^{1}=10; 10^{2}=100; 10^{3} = 1000; cdots$

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если $n > 0$, и с предшествующими нулями, если $n < 0$). Из определения логарифма видно, что эти числа имеют целые десятичные логарифмы: $lg 10^{n} = n$. Удобно сформулировать следующее правило:

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

$lg 0,0001=-4, lg 0,01=-2, lg 1000 = 3, lg 1000000 = 6$.

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части. При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

$3,176 = 3 + 0,176; – 2,143 = — 3 + 0,857 = overline{3},857$.

Введем теперь следующее.

Определение. Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть—мантиссой этого логарифма.

Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число $N > 0$; тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями $n$ и $n + 1$, между которыми находится данное число $N$:

$10^{n} < N < 10^{n+1}$.

Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:

$n leq lg N < n+1$

в соответствии со свойством 5 логарифмов (Определение и свойства логарифмов). Отсюда следует, что целая часть, т. е. характеристика $lg N$, равна $n: lg N = n, cdots$ Многоточием обозначены неизвестные десятичные знаки мантиссы, т. е. дробной части $lg N$. При этом в случае $n < 0$ применяется искусственная форма записи $lg N$.

Для формулировки соответствующего правила рассмотрим два случая: $N > 1$ и $N < 1$.

Пусть $N > 1$ (десятичный логарифм $lg N$ в этом случае положителен). Обозначим через $k$ число цифр в записи целой части $N$. Ясно, что в этом случае

$10^{k-1} leq N < 10^{k}$. (1)

Например, для $N = 378,6$ (трехзначная целая часть)

$10^{2} leq 378,6 < 10^{3}$.

Логарифмируя неравенства (1), получаем

$k – 1 leq lg N < k$ (2)

и видим, что характеристика $lg N$ равна $k – 1$ (например, характеристика логарифма 378,6 равна 2).

Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части.

Например:

$lg 3,524 = 0, cdots; lg 47,01 = 1; cdots, lg 936,3 = 2, cdots$

Пусть теперь положительное число $N$ меньше единицы: $0 < N < 1$. Тогда $lg N$ по свойству 4 будет отрицательным числом: числа $N$ и 10 в рассматриваемом случае лежат по разные стороны от единицы.

Запись числа $N$ начинается в этом случае с нуля целых; за этим нулем может следовать еще несколько нулей перед первой отличной от нуля цифрой числа. Если число нулей перед первой ненулевой цифрой (включая и нуль целых) равно $l$, то

$1^{-l} leq N < 10^{-(l-1)} = 1$. (28.3)

Например:

$10^{-1} leq 0,32 < 10^{0} = 1$,

$10^{-2} leq 0,032 < 10^{-1}$,

$10^{-3} leq 0,0032 < 10^{-2}$,

$cdots cdots$

Неравенства (3) показывают, что

$- l leq lg N < – (l-1)$, (4)

т. е. характеристика логарифма $lg N$ равна $-l$.

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:

$lg 0,3052 = overline{1}, cdots; lg 0,0587 = overline{2} cdots; lg 0,0096 = overline{3}, cdots$

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). В самом деле, перенести в числе запятую — это значит умножить его на некоторую целую (положительную или отрицательную) степень числа 10. Например, при переносе запятой на 2 знака вправо число умножится на $10^{2} = 100$, а при переносе запятой на 2 знака влево оно умножится на $10^{-2} = 1/100$. Пусть

$lg N = n + m$,

где $n$ — характеристика, а $m$ — мантисса этого логарифма. После переноса запятой в числе $N$ на $k$ знаков получится число $N cdot 10^{ pm k}$t (верхний знак относится к случаю переноса запятой вправо, а нижний — к случаю переноса запятой влево). На основании правил логарифмирования имеем

$lg (N cdot 1^{pm k}) = lg N pm k lg 10 = lg N pm k$.

Но $k$ — целое число, так что прибавление $pm k$ к $lg N$ может отразиться лишь на его характеристике:

$lg (N cdot 10^{pm k}) = n + m pm k = (n pm k) + m$.

Из рассмотренного можно заключить, что если числа записаны с помощью одних и тех же и одинаково расположенных цифр и отличаются одно от другого только местоположением в них запятой, то десятичные логарифмы таких чисел имеют одну и ту же мантиссу (но, конечно, разные характеристики!). Таковы, например, числа $42,59, 4,259, 0,4259, 0,04259$ и т. д.

В качестве примера найдем без таблиц разность $lg 28,76 – lg 0,002876$.

Логарифмы, из которых составлена данная разность, отличаются лишь характеристиками, а мантиссы у них одинаковы и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому искомая разность логарифмов равна разности их характеристик: $lg 28,76 – lg 0,002876 = 1 – ( – 3) = 1 + 3 = 4$. Этот пример можно решить и так:

$lg 28,76 – lg 0,002876 = lg frac{28,76}{0,002876} = lg 10000 = lg 10^{4} = 4$.

Источник

Макеты страниц

§ 2. Десятичные логарифмы

28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.

Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10. Кроме общего обозначения для десятичных логарифмов обычно применяют сокращенное обозначение .

Десятичные логарифмы широко применяются в приближенных вычислениях; в связи с этим имеются подробные и весьма точные таблицы десятичных логарифмов.

Читателю известны четырехзначные таблицы В. М. Брадиса, применяемые при изучении логарифмов в школьном курсе математики. Об использовании таблиц функций вообще говорится специально в п. 220.

Для пользования таблицами десятичных логарифмов и для их применения к приближенным вычислениям нам потребуются некоторые свойства и понятия, относящиеся к десятичным логарифмам.

Рассмотрим все числа вида где — целое число:

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если и с предшествующими нулями, если Из определения логарифма видно, что эти числа имеют целые десятичные логарифмы: . Удобно сформулировать следующее правило:

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части (см. пп. 4, 6). При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

Введем теперь следующее.

Определение. Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой этого логарифма.

Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями между которыми находится данное число

Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:

в соответствии со свойством 5 логарифмов (п. 26). Отсюда следует, что целая часть, т. е. характеристика равна .

Многоточием обозначены неизвестные десятичные знаки мантиссы, т. е. дробной части При этом в случае применяется искусственная форма записи

Для формулировки соответствующего правила рассмотрим два случая: N > 1 и N < 1.

Пусть N > 1 (десятичный логарифм в этом случае положителен). Обозначим через k число цифр в записи целой части N. Ясно, что в этом случае

Например, для N = 378,6 (трехзначная целая часть)

Логарифмируя неравенства (28.1), получаем

и видим, что характеристика равна (например, характеристика логарифма 378,6 равна 2).

Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части,

Например:

Пусть теперь положительное число N меньше единицы: Тогда по свойству 4 из п. 26 будет отрицательным числом: числа N и 10 в рассматриваемом случае лежат по разные стороны от единицы.

Запись числа TV начинается в этом случае с нуля целых; за этим нулем может следовать еще несколько нулей перед первой отличной от нуля цифрой числа. Если число нулей перед первой ненулевой цифрой (включая и нуль целых) равно I, то

Например:

Неравенства (28.3) показывают, что

т. е. характеристика логарифма равна .

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). В самом деле, перенести в числе запятую — это значит умножить его на некоторую целую (положительную или отрицательную) степень числа 10. Например, при переносе запятой на 2 знака вправо число умножится на , а при переносе запятой на 2 знака влево оно умножится на . Пусть

где — характеристика, мантисса этого логарифма. После переноса запятой в числе N на k знаков получится число (верхний знак относится к случаю переноса запятой вправо, а нижний — к случаю переноса запятой влево). На основании правил логарифмирования (п. 25) имеем

Но – целое число, так что прибавление к может отразиться лишь на его характеристике:

Из рассмотренного можно заключить, что если числа записаны с помощью одних и тех же и одинаково расположенных цифр и отличаются одно от другого только местоположением в них запятой, то десятичные логарифмы таких чисел имеют одну и ту же мантиссу (но, конечно, разные характеристики!). Таковы, например, числа 42,59, 4,259, 0,4259, 0,04259 и т. д.

В качестве примера найдем без таблиц разность .

Логарифмы, из которых составлена данная разность, отличаются лишь характеристиками, а мантиссы у них одинаковы и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому искомая разность логарифмов равна разности их характеристик: . Этот пример можно решить и так:

1

Оглавление

  • ВВЕДЕНИЕ
  • Часть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
  • Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
  • 2. Простые и составные числа. Признаки делимости.
  • 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  • 4. Целые числа. Рациональные числа.
  • 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями.
  • 6. Иррациональные числа. Действительные числа.
  • 7. Действия с приближенными числами.
  • 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости.
  • § 2. Степени и корни
  • 9. Степени с натуральными показателями.
  • 10. Степени с целыми показателями.
  • 11. Корни.
  • 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.
  • 13. Алгоритм извлечения квадратного корня.
  • § 3. Комплексные числа
  • 14. Основные понятия и определения.
  • 15. Рациональные действия с комплексными числами.
  • 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
  • 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.
  • 18. Извлечение корня из комплексного числа.
  • Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
  • 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.
  • 20. Формулы сокращенного умножения.
  • 21. Бином Ньютона.
  • 22. Разложение многочлена на множители.
  • 23. Дробные алгебраические выражения.
  • § 2. Иррациональные алгебраические выражения
  • 24. Радикалы из алгебраических выражений.
  • 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
  • Глава III. ЛОГАРИФМЫ
  • 26. Определение и свойства логарифмов.
  • 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода.
  • § 2. Десятичные логарифмы
  • 28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
  • 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям.
  • Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
  • 30. Величина. Числовые множества.
  • 31. Определение функции.
  • 32. График функции. Способы задания функций.
  • 33. Элементарное исследование поведения функции.
  • 34. Сложная функция.
  • 35. Обратная функция.
  • 36. Функции нескольких переменных.
  • § 2. Элементарные функции
  • 37. Обзор элементарных функций.
  • 38. Линейная функция.
  • 39. Квадратичная функция у=ах^2.
  • 40. Степенная функция у = х^n.
  • 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени.
  • 42. Показательная функция.
  • 43. Логарифмическая функция.
  • § 3. Преобразование графиков
  • 44. Параллельный сдвиг графика.
  • 45. График квадратного трех члена.
  • 46. График дробно-линейной функции.
  • 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.
  • 48. Построение графиков функций.
  • 49. Сложение графиков.
  • § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях
  • 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов.
  • 51. Схема Горнера. Теорема Безу.
  • 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители.
  • Глава V. УРАВНЕНИЯ
  • 53. Уравнение. Корни уравнения.
  • 54. Равносильные уравнения.
  • 55. Системы уравнений.
  • 56. Графическое решение уравнений.
  • §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной
  • 57. Число и кратность корней.
  • 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения).
  • 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).
  • 60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители.
  • 61. Исследование квадратного уравнения.
  • 62. Уравнения высших степеней. Целые корни.
  • 63. Двучленные уравнения.
  • 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
  • 65. Возвратные уравнения.
  • § 3. Системы алгебраических уравнений
  • 66. Линейные системы.
  • 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
  • 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения.
  • 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней.
  • § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
  • 70. Иррациональные уравнения.
  • 71. Показательные уравнения.
  • 72. Логарифмические уравнения.
  • 73. Разные уравнения. Системы уравнений.
  • Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
  • 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами.
  • 75. Алгебраические неравенства.
  • § 2. Решение неравенств
  • 76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства.
  • 77. Графическое решение неравенств.
  • 79. Квадратные неравенства.
  • 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х.
  • 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.
  • 82. Неравенства с двумя неизвестными.
  • Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
  • 83. Числовая последовательность.
  • 84. Предел числовой последовательности.
  • 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода.
  • § 2. Арифметическая прогрессия
  • 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена.
  • 87. Свойства арифметической прогрессии.
  • 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.
  • § 3. Геометрическая прогрессия
  • 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.
  • 90. Свойства геометрической прогрессии.
  • 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии.
  • 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
  • Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ)
  • 93. Вектор, проекция вектора.
  • 94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°.
  • 95. Углы и дуги, большие 360°.
  • 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов.
  • § 2. Тригонометрические функции произвольного угла
  • 97. Определение основных тригонометрических функций.
  • 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.
  • § 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
  • 99. Основные тригонометрические тождества.
  • 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них.
  • 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
  • § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
  • 102. Четность и нечетность.
  • 103. Понятие периодической функции.
  • 104. Периодичность тригонометрических функций.
  • § 5. Формулы приведения
  • 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.
  • 106. Формулы приведения.
  • Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ
  • § 1. Тригонометрические функции числового аргумента
  • 108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций.
  • 109. Некоторые неравенства и их следствия.
  • § 2. Графики тригонометрических функций
  • 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций.
  • 111. Основные графики.
  • 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций.
  • 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций.
  • Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
  • 114. Расстояние между двумя точками на плоскости.
  • 115. Косинус суммы и разности двух аргументов.
  • 116. Синус суммы и разности двух аргументов.
  • 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов.
  • 118. О формулах сложения для нескольких аргументов.
  • § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a
  • 119. Тригонометрические функции двойного аргумента.
  • 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.
  • 121. Тригонометрические функции половинного аргумента.
  • 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2).
  • § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb
  • § 4. Преобразование в произведение сумм вида
  • § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
  • 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa.
  • 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b
  • 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b.
  • Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
  • 130. Функция у = arcsin x (арксинус).
  • 131. Функция y = arccos x (арккосинус).
  • 132. Функция y = arctg x (арктангенс).
  • 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс).
  • 134. Пример.
  • § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
  • 135. Тригонометрические операции.
  • 136. Операции сложения (вычитания).
  • § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями
  • 137. Функция у = arcsin (sin x).
  • 138. Функция y = arctg (tg x).
  • Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
  • 139. Уравнение sin х = а.
  • 140. Уравнение cos х = a.
  • 141. Уравнение tg x = a.
  • 142. Уравнение ctg x = a.
  • 143. Некоторые дополнения.
  • § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
  • 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента.
  • 146. Способ разложения на множители.
  • 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
  • § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем
  • 148. Введение вспомогательного аргумента.
  • 149. Преобразование произведения в сумму или разность.
  • 150. Переход к функциям удвоенного аргумента.
  • 151. Решение уравнения типа…
  • 152. Применение подстановок sinx ± соsx = y.
  • § 4. Решение тригонометрических неравенств
  • 154. Простейшие тригонометрические неравенства.
  • 155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим.
  • Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ
  • 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок.
  • 157. Плоскость. Фигуры и тела.
  • 160. Равенство фигур. Движение.
  • 161. Равенство тел.
  • § 2. Измерение геометрических величин
  • 162. Сложение отрезков. Длина отрезка.
  • 163. Общая мера двух отрезков.
  • 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных.
  • 165. Измерение углов.
  • 166. Радианная мера угла.
  • 167. Измерение площадей.
  • 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда.
  • Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
  • 169. Перпендикуляр и наклонные.
  • 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине.
  • 171. Параллельные прямые.
  • 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.
  • 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.
  • § 2. Геометрические места точек. Окружность
  • 174. Геометрическое место точек.
  • 175. Свойство биссектрисы угла.
  • 176. Окружность.
  • 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.
  • 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент.
  • 179. Взаимное расположение двух окружностей.
  • § 3. Основные задачи на построение
  • 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров.
  • 182. Построение углов.
  • 183. Другие задачи на построение.
  • Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
  • 184. Стороны и углы треугольника.
  • 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность.
  • 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность.
  • 187. Медианы и выcоты треугольника.
  • 188. Равенство треугольников.
  • 189. Построение треугольников.
  • 190. Равнобедренные треугольники.
  • 191. Прямоугольные треугольники.
  • § 2. Параллелограммы
  • 192. Четырехугольники.
  • 193. Параллелограмм и его свойства.
  • 194. Прямоугольник.
  • § 3. Трапеция
  • 196. Трапеция.
  • 197. Средняя линия треугольника.
  • 198. Средняя линия трапеции.
  • 199. Деление отрезка на равные части.
  • § 4. Площади треугольников и четырехугольников
  • 200. Площадь параллелограмма.
  • 201. Площадь треугольника.
  • 202. Площадь трапеции.
  • Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
  • 203. Пропорциональные отрезки.
  • 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника.
  • § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)
  • 205. Определение гомотетичных фигур.
  • 206. Свойства преобразования подобия.
  • § 3. Общее подобное соответствие фигур
  • 207. Подобные фигуры.
  • 208. Периметры и площади подобных треугольников.
  • 209. Применение подобия к решению задач на построение.
  • Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ
  • 210. Углы с вершиной на окружности.
  • 211. Углы с вершиной внутри и вне круга.
  • 212. Угол, под которым виден данный отрезок.
  • 213. Четырехугольники, вписанные в окружность.
  • 214. Пропорциональные отрезки в круге.
  • 215. Задачи на построение.
  • § 2. Метрические соотношения в треугольнике
  • 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
  • 218. Теорема синусов. Формула Герона.
  • 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов.
  • 218. Теорема синусов. Формула Герона.
  • 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей.
  • § 3. Решение треугольников
  • 220. Таблицы функций.
  • 221. Решение треугольников. Сводка основных формул.
  • 222. Решение прямоугольных треугольников.
  • 223. Решение косоугольных треугольников.
  • Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА
  • 224. Выпуклые многоугольники.
  • 225. Правильные многоугольники.
  • 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой.
  • 227. Периметр и площадь правильного n-угольника.
  • 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника.
  • § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей
  • 229. Длина окружности.
  • 230. Площадь круга и его частей.
  • Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
  • 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
  • 232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.
  • 233. Взаимное расположение двух плоскостей.
  • 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей.
  • 235. Построения в стереометрии.
  • § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  • 236. Перпендикуляр к плоскости.
  • 237. Перпендикуляр и наклонные.
  • 238. Угол между прямой и плоскостью.
  • 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей.
  • 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
  • § 3. Двугранные и многогранные углы
  • 241. Двугранный угол.
  • 242. Взаимно перпендикулярные плоскости.
  • 243. Трехгранные углы.
  • 244. Многогранные углы.
  • § 4. Многогранники
  • 245. Многогранники.
  • 246. Правильные многогранники.
  • Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА
  • 247. Цилиндры и призмы.
  • 248. Параллелепипеды.
  • 249. Объемы призм и цилиндров.
  • 250. Площадь боковой поверхности призмы.
  • 251. Площадь поверхности цилиндра.
  • § 2. Пирамида. Конус
  • 252. Свойства пирамиды и конуса.
  • 253. Объем пирамиды и конуса.
  • 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса.
  • 255. Усеченный конус и усеченная пирамида.
  • § 3. Шаровая поверхность. Шар
  • 256. Шар и шаровая поверхность.
  • 257. Объем шара и его частей.
  • 258. Площадь поверхности шара и ее частей.
  • 259. Понятие телесного угла.
  • Ответы к упражнениям
  • Приложения
Источник

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Десятичные логарифмы и их свойства

За основание логарифмов часто принимают число 10. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак lg, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log10105 пишут просто: lg 105; вместо log102 пишут lg 2 и т. д.

Десятичным лосарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чисел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. д. Но, кроме того, десятичные логарифмы обладают и рядом специфических свойств, которыми и объясняется, почему в качестве основания логарифмов удобно выбирать именно число  10.

Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение.

Целая часть десятичного логарифма числа а называется характеристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а обозначается как [lg а], а мантисса как {lg а}.

Известно, например, что lg 2 ≈ 0,3010. Поэтому

[lg 2] = 0,                 {lg 2} ≈ 0,3010.

Известно* также, что lg 543,1 ≈  2,7349. Следовательно,

[lg 543,1] = 2,            {lg 543,1}≈ 0,7349.

* В дальнейшем мы научимся находить десятичные логарифмы положительных чисел по таблицам.

Точно так же из равенства lg 0,005 ≈  — 2,3010 заключаем, что

[lg 0,005] = — 3,                {lg 0,005} = 0,6990.

Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных логарифмов.

Свойство 1. Десятичный логарифм целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа.

Например, lg 1000 = 3,

                    lg 1 000000 = 6.

Вообще,  если

то а = 10n и потому

lg a = lg 10n = n lg 10 = п.

Свойство 2. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен — п, где п — число нулей в записи этого числа, считая и нуль целых.

Например, lg 0,01 = — 2,

                   lg 0,00001 = — 5.

Вообще, если

,

то a = 10—n и потому

lg a = lg 10—n = —n lg 10 = —п

Свойство 3. Характеристика десятичного логарифма положительного числа, большего 1, равна количеству цифр в целой части этого числа без одной.

Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 75,631 равна 1.

Действительно, 10 < 75,631 < 100. Поэтому

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

или

1 < lg 75,631 < 2.

Значит,

lg 75,631 = 1 + α,

где α — некоторая правильная  положительная дробь. Но тогда

[lg 75,631] = 1,

что и требовалось доказать.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 равна 3. Действительно,

1000 < 5673,1 < 10 000. Поэтому

lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

или

3 <  lg 5673,l  < 4.

Следовательно,

[lg 5673,1] = 3.

Вообще, если целая часть положительного числа а, большего единицы, содержит пцифр, то

10n —1 < а < 10n.

Поэтому

lg 10n —1 < lg а < lg 10n.,

или

n — 1 < lg a < n.

cледовательно,

[lg a] = n — 1.

Свойство 4. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна — п, где п — число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых.

Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 0,0015 равна — 3.

Действительно,

0,001 < 0,0015 < 0,01.

Поэтому

lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,

или

— 3 < lg 0,0015 < — 2.

Значит, lg 0,0015 = — 3 + α, где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

[lg 0,0015] = — 3.

2) Характеристика логарифма lg 0,6 равна — 1. Действительно.

0,1< 0,6 < 1.

Поэтому

lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

или

— 1 < lg 0,6 < 0.

Следовательно,

lg 0,6 = —1+ α,

где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

[lg0,6] = —1.

Вообще, если первой значащей цифре правильной десятичной дроби α предшествуетп нулей (считая в том числе и нуль целых), то

или

— n < lg a < — (n —  1).

Следовательно,

[lg a ] = — n.

Свойство 5. При умножении числа на 10n десятичный логарифм его увеличивается на п.

Действительно, по теореме о логарифме произведения

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

Например,

lg (579,13  • 100) = lg 579,13 + 2;

lg (16 • 1000) = lg 16 + 3.

Перенос запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равносилен умножению этой дроби на 10n. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на п.

Свойство 6. При делении числа на 10n десятичный логарифм уменьшается на п.

Например,

lg 1,57/1000 = lg 1,57—3;

lg 0,63/100 = lg 0,63 — 2.

При переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п.

Например, lg 0,3567 = lg 35,67 — 2;

                    lg 0,00054 = lg 0,54 — 3.

Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утверждения.

Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов.

Свойство 7. Мантисса десятинного логарифма положительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10n с любым целым показателем п.

Действительно, при любом целом п (как положительном, так и отрицательном)

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа.

Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равносилен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым показателем п (положительным или отрицательным). Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется.

Например, {lg 0,0067} = {lg 0,67} = {lg 0,0000067}.

Упражнения

1.   (У с т н о.)   Найти десятичные логарифмы чисел:

1; 10; 100; 1000; 10 000;

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001.

2.  (У с т н о.)   Найти характеристики десятичных логарифмов чисел:

2,00; 57,38; 632,70; 3402,99;

0,17; 0,99; 0,023; 0,0100; 0,0003.

3. Известно, что lg 2 ≈ 0,3010, lg 3 ≈ 0,4771.

Найдите характеристики и мантиссы следующих логарифмов:

a) lg 6;     б) lg 15;      в) lg 32;      г) lg 30;     д) 1/12.

Источник

График десятичного логарифма

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b есть решение уравнения {displaystyle 10^{x}=b.}

Вещественный десятичный логарифм числа b существует, если b>0 (комплексный десятичный логарифм существует для всех bneq 0). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его lg ,b. Примеры:

lg ,1=0;,lg ,10=1;,lg ,100=2
lg ,1000000=6;,lg ,0{,}1=-1;,lg ,0{,}001=-3

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: {displaystyle operatorname {log} ,operatorname {Log} ,operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[править | править код]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

Формула Пример
Произведение {displaystyle lg(xy)=lg(x)+lg(y)} {displaystyle lg(10000)=lg(100cdot 100)=lg(100)+lg(100)=2+2=4}
Частное от деления {displaystyle lg !left({frac {x}{y}}right)=lg(x)-lg(y)} lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3
Степень {displaystyle lg(x^{p})=plg(x)} {displaystyle lg(10000000)=lg(10^{7})=7lg(10)=7}
Корень {displaystyle lg {sqrt[{p}]{x}}={frac {lg(x)}{p}}} lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1{,}5

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg |xy|=lg(|x|)+lg(|y|),
lg !left|{frac xy}right|=lg(|x|)-lg(|y|),

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg(x_{1}x_{2}dots x_{n})=lg(x_{1})+lg(x_{2})+dots +lg(x_{n})

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y с помощью логарифмических таблиц[⇨] производилось по следующему алгоритму:

  1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y.
  2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения xcdot y.
  3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов[2]:

ln xapprox 2{,}30259 lg x;quad lg xapprox 0{,}43429 ln x

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg ,0{,}012=lg ,(10^{{-2}}times 1{,}2)=-2+lg ,1{,}2approx -2+0{,}079181=-1{,}920819

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg ,0{,}012approx -2+0{,}079181={bar {2}}{,}079181

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма[править | править код]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: {displaystyle y=lg ,x.} Она определена при всех {displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(-infty ;+infty ). График этой кривой часто называется логарифмикой[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

{frac {d}{dx}}lg ,x={frac {lg ,e}{x}}

Ось ординат (x=0) является вертикальной асимптотой, поскольку:

lim _{{xto 0+0}}lg ,x=-infty

Применение[править | править код]

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x (характеристику логарифма) {displaystyle [lg x]} легко определить.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например:

lg 8314{,}63=lg 8{,}31463+3

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10C

Число Логарифм Характеристика Мантисса Запись
n lg(n) C M = lg(n) − C
5 000 000 6.698 970… 6 0.698 970… 6.698 970…
50 1.698 970… 1 0.698 970… 1.698 970…
5 0.698 970… 0 0.698 970… 0.698 970…
0.5 −0.301 029… −1 0.698 970… 1.698 970…
0.000 005 −5.301 029… −6 0.698 970… 6.698 970…

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел n одна и та же мантисса M, поскольку:

{displaystyle lg(n)=lg left(xtimes 10^{C}right)=lg(x)+lg left(10^{C}right)=lg(x)+C},

где {displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n.

История[править | править код]

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[8]:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература[править | править код]

Теория логарифмов
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
История логарифмов
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки[править | править код]

  • Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
  2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
  3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
  5. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
  6. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
  7. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
  8. ↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Источник

Десятичные и натуральные логарифмы

  1. Десятичный логарифм и его свойства
  2. Натуральный логарифм и его свойства
  3. Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: begin{gather*} log_{10}xoverset{def}{=}lg x end{gather*}

Основание десятичных логарифмов (10gt 1), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма ([lg x]) называется характеристикой, а дробная часть (left{lg xright}) – мантиссой.
Для числа (b), записанного в стандартном виде (b=acdot 10^n)
характеристика равна порядку числа ([lg b]=n), мантисса (left{lg bright}=lg a)

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

Число
b		 Стандартный
вид		 Характеристика Мантисса
b		 Унифицированная
запись		 Логарифм
числа (lg b)
420 4,2·102 2 0,623 2,623 2,623
42 4,2·101 1 0,623 1,623 1,623
4,2 4,2 2 0 0,623 0,623
0,42 4,2·10–1 –1 0,623 (overline{1},623) –0,377
0,042 4,2·10–2 –2 0,623 (overline{2},623) –1,377

(lg 4,2approx 0.623)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке (0lt lg alt 1). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

(lg 1)

(lg 2)

(lg 3)

(lg 4)

(lg 5)

(lg 8)

Относительная погрешность этих приближений (кроме (lg 3)) (deltasim 0,5text{%})

Например:
Сравним (log_23) и (log_5⁡8)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: begin{gather*} log_23=frac{lg 3}{lg 2}approxfrac{0,5}{0,3}=frac53, log_58=frac{lg 8}{lg 5}approxfrac{0,9}{0,7}=frac97\ frac{35}{21}gt frac{27}{21}Rightarrow frac53gt frac97Rightarrowlog_23gtlog_58 end{gather*}

п.2. Натуральный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию e называют натуральными.
Для натуральных логарифмов принято специальное обозначение: begin{gather*} log_{e}xoverset{def}{=}ln x end{gather*}

Число e≈2,71828… – это математическая константа, число иррациональное и трансцендентное, которое появляется при описании моделей нашего мира ничуть не реже числа (pi). Мы познакомимся с ним подробней, изучая пределы и производные.

Основание натуральных логарифмов e>1, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Для приближенного вычисления значения натурального логарифма используется «ряд Меркатора»:

$$ ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}+…, -1lt xleq 1 $$

Например:
С точностью до первого слагаемого: (ln 1,3=ln(1+0,3)approx 0,3)
До второго слагаемого: (ln 0,3approx 0,3-frac{0,3^2}{2}=0,255)
До третьего слагаемого: (ln 0,3approx 0,3-frac{0,3^2}{2}+frac{0,3^3}{3}=0,264) и т.д.

Натуральные логарифмы настолько распространены в различных областях научных исследований, что когда вообще речь заходит «логарифмах», по умолчанию подразумевают именно их. Если же у вас в работе какие-то другие «логарифмы» (по основанию 2 или 10, например), это нужно уточнять.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите (x):
a) ( lg x=2lg a+lg 7 )
(lg x=lg a^2+lg 7=lg(7a^2))
(x=7a^2)

б) ( lg x=2lg(a+c)-3lg(a-c) )
(lg x =lg(a+c)^2-lg(a-c)^3=lgfrac{(a+c)^2}{(a-c)^3})
(x=frac{(a+c)^2}{(a-c)^3})

в) ( lg x=frac13lg 54+lg 5-frac13lg 16 ) ( lg x=lg 54^{frac13}+lg 5-lg 16^{frac13}=lgfrac{54^{frac13}cdot 5}{16^3}= lgfrac{(27cdot 2)^{frac13}cdot 5}{(2^4)^{frac13}} = lgfrac{3cdot 2^{frac13}cdot 5}{2^{frac43}} = lgfrac{15}{2} =lg 7,5 )
(x=7,5)

г) ( lg x=lgsqrt[{3}]{2-sqrt{3}}+lgsqrt[6]{7+4sqrt{3}} )
(lgleft(sqrt[{3}]{2-sqrt{3}}cdot sqrt[6]{7+4sqrt{3}}right))
Преобразуем выражение в скобках: begin{gather*} sqrt[{3}]{2-sqrt{3}}cdot sqrt[6]{7+4sqrt{3}} = sqrt[6]{(2-sqrt{3})^2(7+4sqrt{3})} = sqrt[6]{(4-4sqrt{3}+3)(7+4sqrt{3})} = \ =sqrt[6]{(7-4sqrt{3})(7+4sqrt{3})} = sqrt[6]{7^2-(4sqrt{3})^2}=sqrt[6]{49-48}=1 end{gather*} (lg x=lg 1)
(x=1)

Пример 2. Прологарифмируйте по основанию 10:
a) (x=frac{3a^2sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}) begin{gather*} lg x=lgfrac{3a^2sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}=lg 3+lg a^2+lgsqrt[3]{b^7}-lg c^5-lg(a-b)=\ =lg 3+2lg a+frac73lg b-5lg c-lg(a-b) end{gather*}

б*) (x=frac{sqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}}}{10sqrt{0,1a}}) begin{gather*} lg x=lgfrac{sqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}}}{10sqrt{0,1a}} = lgsqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}} – lg 10sqrt{0,1a}=\ =frac13lgleft(100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}right)-(lg 10+lgsqrt{0,1a})=frac13left(lg 100+lgsqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}right)-\ -left(1+frac12lg(0,1a)right)=frac13left(2+frac12lg(10asqrt[4]{0,1a^2})right)-left(1+frac12(lg 0,1+lg a)right)=\ =frac23+frac32left(lg 10+lg a+lgsqrt[4]{0,1a^2}right)-1-frac12cdot(-1)-frac12lg a=\ =left(frac23+frac32-1+frac12right)+left(frac32-frac12right)lg a+frac32cdot frac14(lg 0,1+lg a^2)=\ =frac53+lg a+frac38cdot(-1)+frac38cdot 2lg a=left(frac53-frac38right) + left(1+frac34right)lg a=frac{31}{24}+frac74lg a end{gather*} Заметим, что попутно мы получили упрощенное выражение для (x=10^{frac{31}{24}}cdot a^{frac74}.)
Логарифмирование удобно для ‘сборки» запутанных степеней.

Пример 3. Найдите значение выражения:
a) (log_{sqrt{sqrt{3}+2}}(4sqrt{3}+7)^{frac13})
Заметим, что ((sqrt{3}+2)^2=3+4sqrt{3}+4=4sqrt{3}+7)
Тогда (sqrt{sqrt{3}+2}=(sqrt{3}+2)^{frac12}=left(sqrt{4sqrt{3}+7}right)^{frac12}=(4sqrt{3}+7)^{frac14})
Перейдем к десятичному основанию: begin{gather*} log_{sqrt{sqrt{3}+2}}(4sqrt{3}+7)^{frac13} = frac{lg(4sqrt{3}+7)^{frac13}}{lgsqrt{sqrt{3}+2}} = frac{frac13lg(4sqrt{3}+7)}{lg(4sqrt{3}+7)^{frac14}} = frac{frac13lg(4sqrt{3}+7)}{frac14lg(4sqrt{3}+7)}=frac43 end{gather*} Ответ: (frac43)

б) (log_{sqrt{2}+1}(5sqrt{2}-7))
Заметим, что: ((sqrt{2}-1)^3=2sqrt{2}-3cdot 2+3sqrt{2}-1=5sqrt{2}-7) $$ (sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)=2-1=1Rightarrow sqrt{2}+1=frac{1}{sqrt{2}-1}=(sqrt{2}-1)^{-1} $$ Перейдем к десятичному основанию: $$ log_{sqrt{2}+1}(5sqrt{2}-7)=lgfrac{(5sqrt{2}-7)}{lg(sqrt{2}+1)}=frac{lg(sqrt{2}-1)^3}{lg(sqrt{2}-1)^{-1}}= frac{3lg(sqrt{2}-1)-1}{-lg(sqrt{2}-1)}=-3 $$ Ответ: -3
Заметим, что переход к десятичному основанию в этих примерах не обязателен.
Но он значительно упрощает запись и облегчает решение.

Пример 4*. Постройте (с помощью какого-либо математического приложения или собственной программы) в одной системе координат для (-1lt xleq 1) график (y=ln⁡(1+x)) и его приближения по ряду Меркатора: $$ y=x, y=x-frac{x^2}{2}, y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3} $$ Сделайте выводы.
Пример 4
Чем больше слагаемых в ряду, тем ближе соответствующая кривая к графику логарифма, тем точнее результат. В данном случае ближе всего к кривой (y=ln⁡(1+x)) расположена кубическая парабола (y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}).
Чем меньше модуль (|x|), тем точнее приближение. Визуально, уже в окрестности (|x|lt 0,2) квадратичная и кубическая парабола дают хорошую точность приближения.
Приближение 1-го порядка ((ln(1+x)approx x)) довольно грубое, но может использоваться для предварительной оценки.

Расчет относительной погрешности приближения на границах окрестностей (|x|lt 0,1) и (|x|lt 0,2) представлен в таблице:

x=0,1 x=0,2
y(x) δ, % y(x) δ, %
(y=x) 0,1 4,92% 0,2 9,70%
(y=x-frac{x^2}{2}) 0,095 0,33% 0,18 1,27%
(y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}) 0,095333 0,02% 0,182667 0,19%
(y=ln(1+x)) 0,095310 0,182322
Источник

Добавить комментарий