Как найти хорду в окружности решение

Как посчитать хорду окружности

Онлайн калькулятор

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

Хорда окружности – определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Как найти хорду в окружности решение

Учебный курс Решаем задачи по геометрии

Определение хорды


Хорда – это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой – с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности – самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное – если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное – если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l – длина хорды
α – величина центрального угла
R – радиус окружности
d – длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson318/

[/spoiler]

Как посчитать хорду окружности

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как посчитать хорду окружности

Чтобы посчитать хорду круга (окружности) просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

хорда

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

угол α °

Ответ:

0

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

угол α рад

Ответ:

0

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

l = 2r⋅sinα/2

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

См. также

Как найти хорду окружности

Как найти хорду окружности

Нахождение решений задач с хордами окружности – неотъемлемая часть геометрии. Многие задачи такого типа встречаются на экзаменах. Эта статья научит вас методам нахождения длины хорды окружности.

Как найти хорду окружности – формула

Если дана задача, где нам известен R и a, найти хорду можно одним простым вычислением. Формула нахождения выглядит следующим образом: L = 2R × sin(/2), где L – длина хорды, R – длина радиуса, a – угол между ними.

Пример:

Найти L, если радиус = 5 см., а угол между ними = 90.

Решение:

Подставим значения в формулу: L = 2×5 × sin(90/2) = 2×5 × sin45 ≈ 7.1

Ответ: Хорда окружности равна 7.1

Анализ задачи: Треугольник, проведенный при помощи хорды и двух радиусов – равнобедренный. Равнобедренный он потому, что все радиусы окружности равны друг другу.

Если бы нам не было известно значение угла между радиусами, но было известно значение угла при бедре, можно было легко вычислить угол между радиусами.

Пример:

Найти длину хорды окружности, если радиус окружности = 6см, а угол при основании = 75.

Решение:

Вспомним формулу: L = 2R × sin(/2). Что нам известно? Радиус равен 5. Для решения задачи необходимо найти угол между радиусами. Мыслим следующим образом: Угол при основании треугольника (основание – хорда) равен 75. Это означает, что угол со второй стороны тоже будет равен 75. Так как сумма внутренних углов треугольника = 180, зная два угла, можно с легкостью найти третий. Угол = 180 – (75+75) = 180 – 150 = 30. Таким образом, a = 30.
Остается подставить значения в формулу: L = 2×6 × sin(30/2) = 12×sin15 ≈ 3.1 см.

Ответ: L = 3.1 см.

Как найти длину хорды окружности онлайн

Когда мы имеем дело с градусами, которых нет в тригонометрической таблице, крайне неудобно вычислять длину хорды окружности самостоятельно. Для этого можно воспользоваться онлайн ресурсом. Просто вставляете известные значения в соответствующие поля и мини-программа выдает вам правильный ответ.

Чтобы воспользоваться этим сервисом, кликните по ссылке.

Помните, несмотря на то, что сегодня можно решить практически любую задачу в Интернете, старайтесь вычислять все самостоятельно. На экзамене интернета не будет. Формула достаточно проста для запоминания, а градусное значение на экзамене или контрольной скорее всего будет таким, чтобы значение sin(a/2) было табличным. Это намного упростит решение.

Содержание:

Окружность:

Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Если коэффициенты Окружность - определение и вычисление с примерами решения

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.

Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 27. Вывод уравнения окружности.

Из рисунка видно, что по теореме Пифагора Окружность - определение и вычисление с примерами решения которое определяет уравнение окружности (Рис. 28): Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 28. Окружность. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения то уравнение принимает вид Окружность - определение и вычисление с примерами решения который называется каноническим уравнением окружности.

Пример:

Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия Окружность - определение и вычисление с примерами решения является касательной к окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

В уравнении окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения таким образом оно имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения причем одной из них в т. А (1; 2).

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Прежде всего определим, на какой из прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения или Окружность - определение и вычисление с примерами решениялежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии Окружность - определение и вычисление с примерами решения(в сокращенной форме это предложение пишут так: Окружность - определение и вычисление с примерами решения где значок Окружность - определение и вычисление с примерами решения означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

а радиус окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения Найдём координаты центра окружности точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения перейдем от общего уравнения прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения к уравнению прямой с угловым коэффициентом Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как прямаяОкружность - определение и вычисление с примерами решениято её угловой коэффициент Окружность - определение и вычисление с примерами решения Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,уравнение прямой (АВ):Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых Окружность - определение и вычисление с примерами решения и (АВ): (В): Окружность - определение и вычисление с примерами решения Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем Окружность - определение и вычисление с примерами решения т.е. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): Окружность - определение и вычисление с примерами решения в этой формуле Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки О), Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки А), Окружность - определение и вычисление с примерами решения (координаты точки В), следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения т.е. координаты точки О Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность в высшей математике

Рассмотрим уравнение

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

которое получается из уравнения (I), если положить Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения (1) находим, что Окружность - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Это значит, что все точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии Окружность - определение и вычисление с примерами решения от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения определяет окружность радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найдем уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом, равным 10.

Решение:

ПолагаяОкружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения получим Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Разрешим это уравнение относительно Окружность - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

и

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.

Центральный угол. Градусная мера дуги

Дуга окружности. Если отметить на окружности точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения является какой-либо точкой дуги Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Если точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Дуги окружности и их величины

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример: Окружность - определение и вычисление с примерами решения минорная дуга: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения мажорная дуга: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Конгруэнтные дуги

В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги

Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.

Длина дуги в Окружность - определение и вычисление с примерами решения равна Окружность - определение и вычисление с примерами решения части длины окружности.

Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой Окружность - определение и вычисление с примерами решения, составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения части длины окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Так как центральный угол Окружность - определение и вычисление с примерами решения составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения часть полного угла, то длина искомой дуги: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения в окружности радиусом 15 см.

Решение: подставляя значения Окружность - определение и вычисление с примерами решения в формулу длины дуги находим: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность и хорда

Теорема о конгруэнтных хордах

Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.

Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.

1)Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

2)Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 1:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема о серединном перпендикуляре хорд

Теорема 2.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 2.

Дано: Окружность - определение и вычисление с примерами решения– центральный угол, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Докажите: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Начертите радиусы Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.

Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.

Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Из Окружность - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора имеем: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности

Теорема 3.

Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 3

Дано: Окружность с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Докажите: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения – серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Окружность - определение и вычисление с примерами решения, так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения: Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Прямоугольные треугольники, Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Теорема доказана.

Задача. Хорды Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Окружность - определение и вычисление с примерами решения. Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Решение: Так как хорды Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения Соединим точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения с точкой Окружность - определение и вычисление с примерами решения В прямоугольном треугольнике Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения; Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Угол, вписанный в окружность

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения является углом вписанным в окружность с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения, а Окружность - определение и вычисление с примерами решения дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Угол, вписанный в окружность:

Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство (текстовое): Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения радиусы окружности и Окружность - определение и вычисление с примерами решения равнобедренный треугольник. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения является внешним углом Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Если примем, что Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Конгруэнтные углы, вписанные в окружность

Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Касательная к окружности

Касательная. Признак касательной

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения является касательной к окружности. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.

Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы 1. Если прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения – касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения не перпендикулярна радиусу Окружность - определение и вычисление с примерами решения Проведем Окружность - определение и вычисление с примерами решения и на прямой Окружность - определение и вычисление с примерами решения выделим отрезок Окружность - определение и вычисление с примерами решения Тогда Окружность - определение и вычисление с примерами решения так как Окружность - определение и вычисление с примерами решения Значит, точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения также находится на окружности. То есть прямая Окружность - определение и вычисление с примерами решения имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения касательные, проведенные из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения к окружности с центром Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы, образованные секущими и касательными

Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.

Углы между двумя секущими

Вершина угла находится внутри окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному. Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы между касательной и секущей

Вершина угла находится на окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Углы, образованные касательной и секущей

Вершина угла находится вне окружности

Теорема 1.

Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Отрезки секущих и касательных

Длина отрезков, секущих окружность

Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 2. Если из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения, Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 3. Если из точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения проведены прямая, которая пересекает окружность в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения и Окружность - определение и вычисление с примерами решения и касательная к окружности в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности

Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и ее любой точкой Окружность - определение и вычисление с примерами решения равно радиусу Окружность - определение и вычисление с примерами решения окружности.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Расстояние между двумя точками

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Упрощение

Окружность - определение и вычисление с примерами решения Возведение обеих частей в квадрат

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение окружности с центром в начале координат Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом 2 имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

По формуле расстояния между центром окружности Окружность - определение и вычисление с примерами решения и точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения на окружности радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения имеем Окружность - определение и вычисление с примерами решенияВозведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение окружности с центром в точке Окружность - определение и вычисление с примерами решения и радиусом 4 имеет вид: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Напишем уравнение в виде Окружность - определение и вычисление с примерами решения Как видно, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения Проведем окружность через эти точки.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.

Решение: Записав координаты точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения в уравнении Окружность - определение и вычисление с примерами решения, получим: Окружность - определение и вычисление с примерами решения Уравнение этой окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Центр окружности точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения Радиус Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках Окружность - определение и вычисление с примерами решения На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.

Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности, Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение окружности: Окружность - определение и вычисление с примерами решенияОкружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.

Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения

Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения при повороте радиуса Окружность - определение и вычисление с примерами решения вокруг точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения против движения часовой стрелки на угол Окружность - определение и вычисление с примерами решения преобразуется в точку Окружность - определение и вычисление с примерами решения то Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Для координат точки Окружность - определение и вычисление с примерами решения соответствующей углу поворота Окружность - определение и вычисление с примерами решения на окружности, верны формулы Окружность - определение и вычисление с примерами решения В этих формулах Окружность - определение и вычисление с примерами решения – угол, отсчитываемый от положительной оси Окружность - определение и вычисление с примерами решенияпротив движения часовой стрелки. Если точка Окружность - определение и вычисление с примерами решения не находится на оси ординат, то Окружность - определение и вычисление с примерами решения.

Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Из этих формул при Окружность - определение и вычисление с примерами решения почленным делением получаем:

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.

Сектор и сегмент

Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Например, часть круга, соответствующая центральному углу Окружность - определение и вычисление с примерами решения, составляет Окружность - определение и вычисление с примерами решения часть всего круга. Так как площадь круга Окружность - определение и вычисление с примерами решения, то площадь этого сектора будет Окружность - определение и вычисление с примерами решения Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сектора

Площадь сектора: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сегмента: Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь Окружность - определение и вычисление с примерами решения

Окружность - определение и вычисление с примерами решения

  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Сфера в геометрии
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники

Окружность – это фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от центра окружности. Окружность
– самая простая фигура, которую можно провести на местности, для этого достаточно колышка для
обозначения центра окружности и веревки с чертилкой. Чтобы вычертить окружность на листе бумаги,
достаточно циркуля.

Хорда – это отрезок, соединяющий 2 любые точки окружности. Самой длинной хордой является диаметр, или
согласно другому определению, диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Нередко
появляется практическая необходимость рассчитать длину хорды по известному радиусу окружности и
одному из 2 углов, определяющих положение хорды (центральному или вписанному). В окружности
центральный угол – это угол, вершина которого располагается в центре окружности, а вписанный угол –
это угол, вершина которого лежит на окружности. Или же, вписанный угол — это угол,
образованный двумя пересекающимися на окружности хордами.

  • Длина хорды через радиус и угол между радиусами
  • Длина хорды через вписанный угол и радиус

Через радиус и угол между радиусами

Если известен радиус и угол между радиусами, то формула будет следующая:

L = 2R * sin α/2

где R – радиус окружности, α – центральный угол между радиусами, опирающийся на хорду.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Решим практическую задачу: на местности строится из кирпича сооружение, в
плане имеющее форму неполной окружности с радиусом 3 м, со стороны входа стянутой хордой, на которую
опирается центральный угол в 36°. Найти длину хорды, что требуется для построения на местности без
откладывания угла, а также проверки, достаточно ли в прямой стенке места для входа и устройства
двери. L = 2R * sin α/2 = 2 * 3 * sin 36°/2 = 6 * 0,309 = 1,854 (м).

Через вписанный угол и радиус

Если известен вписанный угол и радиус, то формула по нахождению длины хорды следующая:

L = 2R * sin α

где R — радиус, sin α — вписанный угол

Цифр после
запятой:

Результат в:

Удивительно простой вид этой формулы основан на теореме о вписанном угле, согласно которой вписанный
угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу (а соответственно на ту же хорду),
тем самым данная формула выводится из предыдущей.

Пример. В качестве примера, рассчитаем длину хорды в окружности радиусом 10 м, на
которую опирается вписанный угол 30°. L = 2R * sin α = 2 * 10 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10 (м).
Длина хорды оказалась равной радиусу, т.е. представляет собой одну сторону вписанного в окружность
шестиугольника.

Таким образом, расчет длины хорды позволяет построить на местности или бумаге любой правильный
многоугольник без необходимости откладывания углов, центральных или вписанных. Уже в эпоху
первобытного строя люди знали о свойствах окружности, и пользовались ими для своих целей. Одно из
самых известных сооружений той поры – Стоунхендж в Англии, предположительно являвшийся
астрономической обсерваторией. Следовательно, уже тогда появилась необходимость выдерживать строго
центральные и вписанные углы.

Добавить комментарий