Помощь студентам по всем предметам здесь от 10 минут
Наибольшее и наименьшее значение функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $
План решения
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $
- Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
- Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
- Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
- Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
- Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $
Примеры решений
Пример 1 |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 – 3x^2 – 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
Решение |
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 – 3x^2 – 4)’ = 6x^2 – 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 – 6x = 0 $$ $$ 6x(x – 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 – 3 cdot 0^2 – 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 – 3 cdot 1^2 – 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 – 3 cdot 2^2 – 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ M = 0, m = -5 $$ |
Пример 2 |
Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
Решение |
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
Ответ |
$$ m = 0, M = 1 $$ |
Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.
Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6×2+9y=x^3-6x^2+9 на отрезке [−1;2][-1;2].
Решение
Сначала вычисляем производную исходной функции:
y′=3×2−12xy’=3x^2-12x
Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:
3×2−12x=03x^2-12x=0
x(3x−12)=0x(3x-12)=0
x1=0x_1=0
x2=4x_2=4
Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.
Находим значение функции в точке x1x_1:
f(0)=9f(0)=9
Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1x=-1 и x=2x=2:
f(−1)=−1−6+9=2f(-1)=-1-6+9=2
f(2)=8−24+9=−7f(2)=8-24+9=-7
Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7-7, достигается в точке x=2x=2 , а наибольшее значение, равное 99, достигается в точке x=0x=0.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2y=3x^2 на всей области её определения.
Решение
Функция y=3x2y=3x^2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:
y′=6xy’=6x
Приравниваем производную к нулю:
6x=06x=0
x=0x=0
Точка x=0x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.
Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>03>0), то точка x=0x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2y=3x^2 достигает своего минимального значения в точке x=0x=0 равного 00. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.
Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.
-
1
Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция – это функция, уравнение которой включает переменную . Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.[1]
-
2
-
3
-
4
Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
-
5
Реклама
-
1
Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:[3]
-
2
-
3
Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента . В приведенных выше примерах:
-
4
Реклама
-
1
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.[5]
- Например: .
-
2
Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна .[6]
-
3
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:[7]
-
4
-
5
-
6
Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна .[10]
Реклама
Советы
- Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 96 023 раза.
Была ли эта статья полезной?
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Онлайн калькулятор поможет найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Наибольшее значение функции y=f(x) – это значение maxx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).
Наименьшее значение функции y=f(x) – это значение minx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции f(x) на промежутке a,b достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю f′(x)=0, бесконечности f′(x)=±∞, не существует, либо на концах отрезка a,b.
Синтаксис
основных функций:
xa: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
n√x: x^(1/n)
ax: a^x
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]
sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]
arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]
areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция “И” ∧: &&
дизъюнкция “ИЛИ” ∨: ||
отрицание “НЕ” ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
Функция | Производная |
$c$ | $0$ |
$x$ | $1$ |
$x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
$√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
$sinx$ | $cosx$ |
$cosx$ | $-sinx$ |
$tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
$ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
$cos^2x$ | $-sin2x$ |
$sin^2x$ | $sin2x$ |
$e^x$ | $e^x$ |
$a^x$ | $a^xlna$ |
$lnx$ | ${1}/{x}$ |
$log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Пример:
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Пример:
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$
Пример:
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
Пример:
$f(x)= cos(5x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= – sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Пример:
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
Решение:
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
$2х=-21$
$х=-10,5$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ – это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Пример:
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
Решение:
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$
$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$
$y(0)= -5$
$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$