Как найти икс итое

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

8.3. Средние величины в статистике

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

• Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая.

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

• Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
• Средняя арифметическая (взвешенная)–вариантыповторяютсяразличное число раз , при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

• Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

• гдех_i – вариант,аn – количество единиц совокупности.
• Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
• Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.

Дискретный вариационный ряд и его характеристики

Например:
Качественными признаками, которые не поддаются измерению, являются: профессия, пол, национальность и т.п.
Количественными признаками, которые можно подсчитать или измерить, являются: количество людей в группе, число повторений в опыте, возраст, вес, рост, скорость, температура и т.п.

Например:
Дискретными признаками, которые принимают отдельные значения, являются: количество людей в группе, число детей в семье, количество домов, число опытов и т.п.
Непрерывными признаками, которые могут принимать любые значения в интервале, являются: возраст, вес, рост, скорость, температура и т.п.

Распределение учеников по оценкам за контрольную работу

Оценка, (x_i)	2	3	4	5	Всего
К-во учеников, (f_i)	3	15	10	5	33

В данном ряду признак – это оценка, варианты признака (x_i) – это множество , частоты (f_i) – это количество учеников, получивших каждую из оценок.

п.2. Дискретный вариационный ряд, полигон частот и кумулята

Варианты, (x_i)	(x_1)	(x_2)	.	(x_k)
Частоты, (f_i)	(f_1)	(f_2)	.	(f_k)

Здесь k — число вариант исследуемого признака.
Тогда общее количество исходов (число единиц в совокупности): (N=sum_^k f_i)

Для распределения учеников по оценкам из нашего примера получаем такой полигон:

Например:
Проведем необходимые расчеты и построим полигон относительных частот, кумуляту и эмпирическую функцию распределения учеников по оценкам.

Оценка, (x_i)	2	3	4	5	Всего
К-во учеников, (f_i)	3	15	10	5	33
(w_i)	0,0909	0,4545	0,3030	0,1515	1
(S_i)	0,0909	0,4545	0,8485	1	—

Полигон относительных частот (эмпирический закон распределения)

Кумулята (красная ломаная) и эмпирическая функция распределения (ступенчатая синяя кривая).

Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin 0, xleq 2\ 0,0909, 2lt xleq 3\ 0,5455, 3lt xleq 4\ 0,8485, 4lt xleq 5\ 1, xgt 5 end $$

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана

На полигоне частот мода – это абсцисса самой высокой точки.

Медиана дискретного вариационного ряда – это значение варианты посредине упорядоченного ряда.

Алгоритм:
1. Отсортировать ряд по возрастанию.
2а. Если общее количество измерений N нечётное, найти (m=lceilfrac N2rceil) и округлить в сторону увеличения. (M_e=x_m) — искомая медиана.
2б. Если общее количество измерений N чётное, найти (m=frac N2) и вычислить медиану как среднее (M_e=frac>).

На графике кумуляты медиана – это абсцисса первой точки слева, ордината которой превысила 0,5.
Например:
1) Найдем выборочную среднюю для распределения учеников по оценкам:

Оценка, (x_i)	2	3	4	5	Всего
К-во учеников, (f_i)	3	15	10	5	33
(x_if_i)	6	45	40	25	116

$$ X_=frac=fracapprox 3,5 $$ Средняя оценка за контрольную – 3,5.
2) Найдем моду. Максимальная частота – 15 человек – у троечников. Значит: (M_o=3).
3) Найдем медиану. Общее количество измерений N=33 — нечетное.
Находим: (m=lceilfrac N2rceil=17)
Смотрим на ряд слева направо. Сначала у нас идет 3 двоечника, затем 15 троечников.
Вместе их 18, и 17-й человек в ряду — троечник. Группа троечников является медианной: (M_e=3).
Также, медиану можно найти по графику кумуляты. (3;0,5455) – это первая слева точка, в которой ордината больше 0,5. Значит, медиана равна абсциссе этой точки, т.е. (M_e=3).

п.4. Степень асимметрии вариационного ряда

В рядах с асимметрией или выбросами выборочная средняя не отражает в полной мере особенности исследуемого признака. Типичный случай – значение среднего уровня доходов в странах с высоким индексом Джини, где 5% населения получает 95% доходов. Или анекдотичный случай со «средней температурой по больнице».
Поэтому, кроме средней, в статистическом исследовании всегда следует определять моду и медиану.

Например:
Для распределения учеников по оценкам мы получили (X_=3,5; M_o=3; M_e=3).
Т.к. средняя оказалась больше моды и медианы, наше распределение имеет правостороннюю асимметрию (что видно на полигоне частот – правый хвост длиннее).
При этом (frac|>|>=frac=1lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.5. Выборочная дисперсия и СКО

Например:
1) Найдем выборочную дисперсию для распределения учеников по оценкам:

Оценка, (x_i)	2	3	4	5	Всего
К-во учеников, (f_i)	3	15	10	5	33
(x_i^2)	4	9	16	25	—
(x_i^2 f_i)	12	135	160	125	432

$$ D=frac-3,5^2=frac-3,5^2approx 0,73 $$ 2) Значение СКО: (sigma=sqrtapprox 0,86)

п.6. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

В теоретической статистике доказывается, что выборочная дисперсия D является смещенной оценкой дисперсии при распространении на генеральную совокупность.
А именно, выборочная дисперсия D всегда меньше математического ожидания для дисперсии генеральной совокупности.
Исправленная выборочная дисперсия S 2 является несмещенной оценкой.

Если показатель вариации V<33%, то выборка считается однородной, т.е. большинство полученных в ней вариант находятся недалеко от средней, и выборочная средняя хорошо характеризует среднюю генеральной совокупности.
В противном случае, выборка неоднородна. Варианты в выборке находятся далеко от средней, есть выбросы. А значит, и в генеральной совокупности они возможны. Т.е., распространять результаты выборки на генеральную совокупность нельзя.

Например:
Для распределения учеников по оценкам получаем:
1) Исправленная выборочная дисперсия $$ S^2=fracD=fraccdot 0,73approx 0,76 $$ 2) Стандартное отклонение $$ x=sqrtapprox 0,87 $$ 3) Коэффициент вариации: $$ V=fraccdot 100textapprox 24,8textlt 33text $$ Выборка является однородной.
Это означает, что согласно коэффициенту вариации полученные результаты контрольной работы можно рассматривать в качестве «типичных» и распространить их на генеральную совокупность, т.е. на всех школьников, которые будут писать эту работу.

п.7. Алгоритм исследования дискретного вариационного ряда

На входе: таблица с вариантами (x_i) и частотами (f_i, i=overline)
Шаг 1. Составить расчетную таблицу. Найти (w_i,S_i,x_if_i,x_i^2,x_i^2f_i)
Шаг 2. Построить полигон относительных частот (эмпирический закон распределения) и график кумуляты с эмпирической функцией распределения. Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 3. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 5. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.8. Примеры

Пример 1. На площадке фриланса была проведена выборка из 100 фрилансеров и подсчитано количество постоянных заказчиков, с которыми они работают.
В результате было получено следующее распределение:

Число постоянных заказчиков	0	1	2	3	4	5
Число фрилансеров	22	35	27	11	3	1

Исследуйте полученный вариационный ряд.

1) Вариационный ряд является дискретным.
Исследуемый признак – «число постоянных заказчиков».
Варианты признака (x_iinleft\). Количество вариант k=6.
Составим расчетную таблицу:

(x_i)	0	1	2	3	4	5	∑
(f_i)	23	35	27	11	3	1	100
(w_i)	0,23	0,35	0,27	0,11	0,03	0,01	—
(S_i)	0,23	0,58	0,85	0,96	0,99	1	—
(x_if_i)	0	35	54	33	12	5	139
(x_i^2)	0	1	4	9	16	25	—
(x_i^2f_i)	0	35	108	99	48	25	315

2) Полигон относительных частот (эмпирический закон распределения):

Кумулята и эмпирическая функция распределения:

$$ F(x)= begin 0, xleq 0\ 0,23, 0lt xleq 1\ 0,58, 1lt xleq 2\ 0,85, 2lt xleq 3\ 0,96, 3lt xleq 4\ 0,99, 4lt xleq 5\ 1, xgt 5 end $$ 3) Выборочная средняя: $$ X_=frac1Nsum_^k x_if_i= fraccdot 139=1,39 $$ Мода (абсцисса самой высокой точки на полигоне частот): (M_0=1).
Медиана (абсцисса первой слева точки на кумуляте, где значение превысило 0,5): точка (1;0,58), (M_e=1).

(X_gt M_e=M_0) – распределение асимметрично, с правосторонней асимметрией.
При этом (frac|>|>=frac=1lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

4) Выборочная дисперсия: $$ D=frac1Nsum_^k x_i^2f_i-X_^2=fraccdot 315-1,39^2=1,2179approx 1,218 $$ CKO: $$ sigma=sqrtapprox 1,104 $$
5) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=fracD=fraccdot 1,218approx 1,230 $$ Стандартное отклонение выборки: $$ s=sqrtapprox 1,109 $$ Коэффициент вариации: $$ V=frac>cdot 100text=fraccdot 100textapprox 79,8textgt 33text $$ Представленная выборка неоднородна. Полученное значение средней (X_=1,39) не может быть распространено на генеральную совокупность всех фрилансеров.