Как найти икс в геометрической прогрессии - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , ldots (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число (знаменатель прогрессии). При этом ${displaystyle b_{1}neq 0,qneq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2}$ ^[1].

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей^[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых членов геометрической прогрессии ${displaystyle left{b_{n}right}}$ называется произведение от $b_{1}$ до b_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}cdot b_{2}cdot b_{3}cdot ldots cdot b_{n-2}cdot b_{n-1}cdot b_{n}.}$
Обозначение: $P_{n}$ .

Описание[править | править код]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если ${displaystyle b_{1}>0}$ и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся^[3], при q=1 — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

${displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов^[4].

Примеры[править | править код]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[5]^:8—9.
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
, , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

${displaystyle q={dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

${displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${displaystyle b_{n}=b_{n-1}cdot q}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Формула общего (-го) члена:

${displaystyle b_{n}=b_{1}cdot q^{n-1}.}$

Обобщённая формула общего члена:

${displaystyle b_{n}=b_{k}cdot q^{n-k},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

${displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)}$
Формула общего члена арифметической прогрессии:
${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d}$ .
В нашем случае
$a_{1}=log(b_{1})$ ,
.

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

${displaystyle P_{k,n}={dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Доказательство

${displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Сумма всех членов убывающей прогрессии:

, то ${displaystyle b_{n}to 0}$

при

, и

${displaystyle S_{n}to {frac {b_{1}}{1-q}}}$

при

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

${displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
${displaystyle S_{n}=sigma _{n}cdot b_{1}b_{n}}$

где ${displaystyle sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, т. е. ${displaystyle sigma _{n}={dfrac {1}{b_{1}}}+{dfrac {1}{b_{2}}}+cdots +{dfrac {1}{b_{n-1}}}+{dfrac {1}{b_{n}}}}$ .

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Арифметическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия
Числа Фибоначчи
Показательная функция
Сумма ряда

Примечания[править | править код]

↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine

Источник

Определение

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего в определенное количество раз. Частное двух соседних элементов геометрической прогрессии постоянно.

Формула -ого члена геометрической прогрессии

$[b_n=b_1cdot q^{n-1}]$

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если третий элемент геометрической прогрессии равен , а -ый — .

Решение.

Третий элемент прогрессии равен , а шестой элемент прогрессии — $b_{6}=b_1 cdot q^5$ . Сложим данные равенства.

Получим:

$[frac{b_{6}}{b_3}=frac{q^5}{q^2};]$

$[q=sqrt[3]{frac{224}{28}};]$

Ответ: .

Сумма геометрической прогрессии

Запишем сумму элементов геометрической прогрессии:

$[S_n=b_1+b_2+b_3+ldots+b_n=b_1+b_1q+b_1q^2+ldots+b_1q^{n-1}.]$

Прибавим к левой и правой части равенства .

Получим:

$[S_n+b_1q^n=b_1+b_1q+b_1q^2+ldots+b_1q^{n-1}+b_1q^n=b_1+q cdot S_n]$

$S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q}$ , если

Если , то

Пример 2. Найдите сумму чисел $frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}.$

Решение.

$frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}=frac{1}{2}cdot frac{1-{left ( frac{1}{2}right )}^5}{1-frac{1}{2}}=1-frac{1}{32}=frac{31}{32}.$

Ответ: $frac{31}{32}$ .

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию .

При неограниченном возрастании сумма $S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q}$ , первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу $S=frac{b_1}{1-q}$ , которое называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 3. Переведите бесконечную периодическую дробь в обыкновенную дробь.

Решение.

$0,(8)=frac{8}{10}+frac{8}{100}+frac{8}{1000}+frac{8}{10000}+ldots=frac{0,8}{1-frac{1}{10}}=frac{0,8}{0,9}=frac{8}{9}$

Ответ: $frac{8}{9}$ .

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

$[b_n^2=b_{n-1} cdot b_{n+1}]$

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите .

Решение.

, так как в данной геометрической прогрессии .

Ответ: .

Источник

Геометрическая прогрессия

Кусочек теории.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.

Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.

Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:

Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:

Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:

И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!

Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:

Практика.

Задание 1.

Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)

Откинем пока минусы…

Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.

Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.

И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.

Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое – положительным.

Ответ: 51,2.

Задание 2.

Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.

Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):

96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).

Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.

Ответ: -6.

Задание 3.

По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 – знаменатель прогрессии. Если это не понятно – вот доказательство:

Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b₆.

Ответ: -192.

Задание 4.

Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.

Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).

Ответ: 682,5.

Задание 5.

Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.

Находим сумму:

Ответ: -847.

Вот и всё!

С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)

Источник

Задача нахождения n-го члена геометрической прогрессии встречается довольно часто. Для вас мы создали онлайн сервис, позволяющий сделать это мгновенно в режиме онлайн. Просто введите данные и получите результат.

Формула n члена геометрической прогрессии

{b_n=b_1 cdot q^{n-1}}

b₁ – первый член прогрессии,

b_n – член прогрессии под номером n,

q – знаменатель прогрессии

Пример нахождения члена геометрической прогрессии

Задача 1

Найдите 7-й член геометрической прогрессии 2; 4; 8; …

Решение

Первый член прогрессии b₁ = 2.

Разность прогрессии можно найти, если разделить второй ее член на первый. В нашем случае q = b₂ / b₁ = 4 / 2 = 2.

Искомый член прогрессии имеет номер 7, т. е. n = 7. Подставим значения в формулу и получим результат:

b_n=b_1 cdot q^{n-1} = 2 cdot 2^{7-1} = 2 cdot 2^{6} = 2 cdot 64 = 128

Ответ: 128

Ответ легко проверить с помощью калькулятора – проверить .

На нашем сайте вы так же можете рассчитать сумму и произведение членов геометрической прогрессии.

Источник

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии – постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности.
b_n=b₁ q^(n-1)

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель – положительный, но находится между 0 и 1 (0 < k < 1), тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k < 0), тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.

Источник

Описание[править | править код]

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Определение

Сумма геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Формула n члена геометрической прогрессии

Пример нахождения члена геометрической прогрессии

Вам также может понравиться

Жена как только нашла работу

Как составить описание погоды за месяц

Как найти сумму 2003

Добавить комментарий Отменить ответ