Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 20k
Определение и свойства импульса тела в физике
Импульс тела (количество движения) — это векторная (имеющая направление) физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость. Векторы скорости и импульса всегда сонаправлены.
Обозначается буквой p.
Единица измерения в СИ — кг*м/с. Это означает, что импульс тела равен 1 кг*м/с при скорости 1 м/с и массе 1 кг.
Импульс тела — это характеристика движения тела, которая напрямую зависит от его массы и скорости. Чем больше масса тела или скорость, тем больше импульс, а значит, тело может оказать большее воздействие на другие тела при взаимодействии с ними.
Необходимо знать, что при взаимодействии тел их импульсы могут изменяться.
Видео
Как найти импульс тела
Формулы нахождения:
p=mV, где р, V — векторные величины.
Изменение импульса одного тела:
Δp=pк-pн, где Δp, pк (конечный импульс), pн (начальный импульс) — векторные величины.
Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:
p=p1+p2+p3…, где p, p1, p2, p3 — векторные величины.
Второй закон Ньютона в импульсной форме
Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.
Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:
Применим выражение для ускорения
В этих уравнениях слева находится величина a. Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части
Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:
В правой части находится — это разница между конечной и начальной скоростью.
Преобразуем правую часть
Раскрыв скобки, получим
Заменим произведение массы и скорости на импульс:
Подставляем:
Или, сокращенно:
То есть, вектор – это вектор изменения импульса .
Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так
Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.
Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме
Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?
Решение:
Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).
Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.
Импульс силы
Это векторная величина, которая определяется по формуле
Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона
Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.
Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара — 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч — 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.
Импульс системы тел
Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами 
и 
соответственно. Импульс 
системы данных тел — это векторная сумма импульсов каждого тела:
.
Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1). Давайте выведем эту формулу.
Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть 
— результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично 
— результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6).
 |
| Рис. 6. Система двух тел |
Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой 
. Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой 
. По третьему закону Ньютона силы 
и 
равны по модулю и противоположны по направлению: 
. Силы 
и 
— это внутренние силы, действующие в системе.
Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1):
, ( 4)
. ( 5)
Сложим равенства ( 4) и ( 5):
.
В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов 
и 
. В правой части имеем 
в силу третьего закона Ньютона:
.
Но 
— это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также 
— это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:
. ( 6)
Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.
Формула ( 6) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.
Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из 
тел, то импульс этой системы равен:
.
Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4) и ( 5), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6) останется справедливым и в общем случае.
Закон сохранения проекции импульса
Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось 
, сумма проекций внешних сил на ось 
равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось 
сохраняется.
Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6) на ось 
:
.
Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, 
, то
.
Следовательно, проекция 
есть константа:
.
Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось 
суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция 
импульса системы не меняется с течением времени.
Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.
Задача. Мальчик массы 
, стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы 
со скоростью 
под углом 
к горизонту. Найти скорость 
, с которой мальчик откатывается назад после броска.
Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8. Мальчик изображён прямогольником.
 |
| Рис. 8. К задаче |
Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.
Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил 
не равна нулю во время броска. Величина 
больше, чем сумма 
, и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.
Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось 
. До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось 
в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим:
,
откуда
.
Теги
Сегодня в рубрике «Физика для чайников» занимаемся решением и разбором задач на закон сохранения импульса. И не говорите, что вы этого не ждали.
Полезные лайфхаки и новости для студентов – ежедневно на нашем телеграм-канале. Подписывайтесь!
Задачи на закон сохранения импульса с решением
Задача №1 на нахождение импульса
Условие
Небольшой автомобиль движется со скоростью 60 км/ч, его импульс равен 1,5*10^4 кг*м/с. Какова масса автомобиля?
Решение
По формуле для импульса найдем:
Ответ: 903 кг.
Задача №2 на закон сохранения импульса
Условие
Дрезина массой 400 кг движется со скоростью 4 м/с, а навстречу ей со скоростью 2 м/с едет дрезина массой 60 кг. После неупругого соударения дрезины движутся вместе. В каком направлении и с какой скоростью будут двигаться дрезины?
Решение
Общий импульс системы до и после соударения должен остаться неизменным:
Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
Движение будет происходить в сторону первой дрезины. Именно она изначальна имела больший импульс.
Ответ: 0,4 м/с.
Задача №3 на нахождение импульса
Условие
Тело массой m=1 кг упало с высоты H=19,6 м. Определить изменение импульса тела за последнюю секунду движения и импульс тела на высоте h=4,9 м.
Решение
Изменение импульса тела за последнюю секунду движения равно:
Импульс тела на заданной высоте найдем по закону сохранения энергии, который имеет вид для двух состояний:
Отсюда получим:
Ответ: Изменение импульса равно 9,8 кг*мс2; р=17 кг*мс2.
Задача №4 на применение закона сохранения импульса и второго закона Ньютона
Условие
Хоккеист массой М = 70 кг стоит на льду и бросает в горизонтальном направлении шайбу массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с относительно льда. На какое расстояние S откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения равен 0,02.
Решение
По закону сохранения импульса найдем скорость u, с которой хоккеист откатиться назад:
По второму закону Ньютона для хоккеиста:
С другой стороны:
Ответ: 0,3 м.
Задача №5 на реактивное движение
Условие
Реактивный двигатель каждую секунду выбрасывает 10 кг продуктов сгорания топлива со скоростью 3 км/с относительно ракеты. Какую силу тяги он развивает?
Решение
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме и найдем силу, которая действует на выбрасываемые продукты сгорания топлива:
По третьему закону Ньютона сила тяги будет равна найденной силе.
Ответ: 30 кН.
Вопросы на закон сохранения импульса
Вопрос 1. Что такое замкнутая система?
Ответ. Замкнутая система – такая система, на которую не действуют внешние силы со стороны других тел.
Вопрос 2. Что такое импульс силы?
Ответ. Импульс силы – физическая величина, равная произведению силы на время ее действия.
Вопрос 3. Как направлен импульс тела?
Ответ. Направление импульса совпадает с направлением вектора скорости тела.
Вопрос 4. Что такое реактивное движение?
Ответ. Реактивное движение – движение, основанное на принципе отдачи. По аналогии с системой «пушка-ядро», систему «ракета-выхлопные газы» также можно считать замкнутой.
Вопрос 5. Два тела разной массы движутся с одинаковой скоростью. Импульс какого тела больше?
Ответ. Тело с большей массой обладает большим импульсом.
Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.
Импульс и закон сохранения импульса
Что такое импульс в механике
Импульс, или количество движения – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
Обозначается латинской буквой p и измеряется в килограммах на метр в секунду.
Второй закон Ньютона с применением импульса можно записать следующим образом:
Здесь дельта p – изменение импульса тела за время дельта t под действием равнодействующей силы F.
Закон сохранения импульса
Этот фундаментальный закон природы и гласит:
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.
Более подробную теорию по этой и другим темам вы найдете в нашем справочнике.
Пример действия закона сохранения импульса
Представим себе пушку, которая стреляет ядрами. Систему «пушка-ядро» можно считать замкнутой. При стрельбе из пушки действует закон сохранения импульса. Ядро летит в одну сторону, а пушка под действием отдачи откатывается назад. При этом скорость, приобретенная пушкой, зависит от соотношения масс орудие/ядро и скорости ядра.
Знак минус указывает на то, что пушка и ядро движутся в разные стороны.
Нужна помощь в решении задач? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис.
Содержание:
Импульс:
Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)
Что такое импульс стела
Импульс тела — физическая векторная величина, совпадающая по направлению со скоростью тела в данный момент времени и равная произведению массы тела на его скорость. Как следует из определения, импульс тела измеряется в СИ в килограмм-метрах в секунду (
).
Впервые понятие импульса тела было введено в физику как произведение массы тела на модуль его скорости французским мыслителем и математиком P Декартом. Импульс тела как вектор был введен И. Ньютоном.
Хотя скорость и импульс тела связаны между собой простой зависимостью, они коренным образом отличаются друг от друга. Скорость тела — чисто кинематическая характеристика движения. Импульс тела является динамической характеристикой движения, связанной с причинами (силами), вызывающими движение.
C помощью важнейшего понятия импульса основное уравнение динамики запишется в виде:
(4)
и может быть сформулировано следующим образом.
Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех сил, действующих на данное тело.
Это более общая формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал Ньютон свой основной закон в знаменитой книге «Математические начала натуральной философии».
На первый взгляд уравнение (4) идентично уравнению (I). Это верно в том случае, если масса тела при движении не меняется. Если же масса тела изменяется, например при движении ракет, осьминогов, катеров с водометными движителями и т. д., то для описания движения тел необходимо применять более общее уравнение (4), а не уравнение (1).
Уравнение (4) может быть записано еще и в виде:
(5)
Данное выражение позволяет сделать важнейший вывод: для изменения импульса тела сила должна действовать определенный промежуток времени. Импульс, а следовательно, и скорость тела мгновенно изменить нельзя.
Величина 
называется импульсом силы. Импульс силы в СИ измеряется в ньютон-секундах (Н.с). Необходимо отметить, что выражение (5) для импульса силы справедливо для случая, когда сила не изменяется в течение промежутка времени △t. Если она изменяется, то вычислить таким образом импульс силы нельзя. Однако можно ввести понятие средней силы, действующей на тело в течение того же промежутка времени.
Действительно, предположим, что на тело действует постоянная сила F0 в течение некоторого промежутка времени ∆t = t2-t1. На рисунке 114 представлен график зависимости модуля силы от времени. Из формулы (5) следует, что величина модуля импульса этой силы численно равна площади прямоугольника.
Рис. 114
Если же сила непостоянна во времени, например линейно увеличивается: F = kt (рис. 115) от t1 = 0 до t2, то импульс этой силы тоже равен площади под прямой, т. е. площади треугольника. Очевидно, что импульс этой силы равен –
. Естественно, можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину:
Рис. 115
Вычисленная таким образом сила называется средней силой и обозначается (F).
Поэтому выражение (4) часто записывается в виде:
(6)
и используется для оценки средней силы при кратковременных взаимодействиях тел (ударах, толчках и т. п.).
Для примера оценим среднюю силу, действующую со стороны пола на теннисный мяч массой m при его падении с высоты h1. Как показывает опыт, после удара о пол мяч поднимается на меньшую высоту h2. По этим данным мы можем вычислить скорость мяча по известной формуле 
в момент касания пола и в момент отскока от пола. Соответственно, изменение импульса мяча за время удара показано на рисунке 116. Модуль этого вектора:
Рис. 116
Это выражение получено в предположении отсутствия сопротивления воздуха. Уменьшение высоты подъема мяча обусловлено тем, что удар неупругий.
Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции пола 
и сила тяжести 
. Поскольку сила реакции изменяется в течение времени удара, то необходимо использовать уравнение (6). В проекции на вертикальное направление оно примет вид:
Следовательно,
(7)
Опыт проводился с мячом массой m = 55 г. Его бросали без начальной скорости с высоты h1 = 1,0 м. После отскока от пола мяч поднимался на среднюю высоту h2 = 63 см. Считая, что удар происходил за время Δt = 0,15 с, после подстановки численных значений в формулу (7) и вычисления, получим, что (N) = 3,4 H = 6,3 mg.
Если мяч просто лежит на полу (рис. 117), то сила реакции N, действующая на него, равна mg. Значит, средняя сила реакции, действующая на мяч, при ударе в данном опыте в 6,3 раза превосходила силу тяжести.
Рис. 117
Главные выводы:
- Импульсом тела (количеством движения) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
- Импульсом силы называется векторная физическая величина, равная произведению постоянной или средней силы на промежуток времени действия силы.
- Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех действующих на тело сил.
Определение импульса
Существует несколько путей решения основной задачи механики. Одним из них является использование законов механики Ньютона. Однако это не всегда возможно. Если массу тела измерить сравнительно легко, то измерение силы связано со значительными трудностями. Для примера рассмотрим два стальных шарика, которые движутся навстречу друг другу и сталкиваются. По законам Ньютона каждый из них при столкновении приобретает некоторое ускорение, которое определяет скорость шариков после взаимодействия. Чтобы найти ускорение, необходимо знать силу, действующую на каждый из шариков во время взаимодействия.
Время, на протяжении которого взаимодействуют шарики, очень незначительное, а потому измерить силу или вызванное ей ускорение сложно.
Пусть два упругих шарика имеют массы 
и движутся навстречу друг другу со скоростью соответственно 
(рис. 2.53).
Будем считать, что действие других сил несущественно или скомпенсировано, т. е. шарики образуют замкнутую (изолированную) систему.
Во время столкновения шарики деформируются, вследствие чего возникают силы упругости, которые в соответствии с третьим законом Ньютона равны по модулям, но противоположны по направлению:
где 
– сила действия первого шарика на второй; 
– сила действия второго шарика на первый.
Отсюда 
– ускорение соответственно второго и первого шариков.
Если считать, что 
то получим
где 
– начальная скорость соответственно первого и второго шариков; 
– скорость соответственно первого и второго шариков после взаимодействия (рис. 2.54); 
– время взаимодействия каждого шарика.
Поскольку время взаимодействия обоих шариков одинаково 
то
В левой и правой части уравнения суммируются произведения массы тела на его скорость. Как известно, данная физическая величина называется импульсом тела, или количеством движения.
Таким образом, чтобы определить результат взаимодействия, необязательно знать силы, которые возникают во время взаимодействия. Достаточно знать массу и скорость каждого тела: если два тела взаимодействуют только друг с другом, то сумма их импульсов до и после взаимодействия не изменяется.
Для более общего случая: в замкнутой (изолированной) системе сумма импульсов тел после любого взаимодействия между ними остается постоянной: 
Закон сохранения импульса – один из основных законов природы. Согласно этому закону в замкнутой (изолированной) системе векторная сумма импульсов всех тел остается постоянной. Тела такой системы могут обмениваться импульсами, но суммарный импульс остается постоянным. Это положение справедливо для всех явлений природы.
Закон сохранения импульса
До сих пор мы рассматривали изменение скорости отдельного тела под действием некоторых сил. Теперь давайте рассмотрим вопрос об изменении импульсов нескольких тел под действием сил взаимодействия между ними.
В механике всякая группа тел, выделенная нами, называется механической системой.
Рассмотрим систему, состоящую из двух тележек с пружинными бамперами, находящихся на горизонтальных рельсах. На тележки действуют силы тяжести и силы реакции рельсов. Эти силы действуют со стороны тел, не входящих в систему, и поэтому называются внешними силами.
Итак, внешние силы — это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в выделенную систему.
При столкновении тележек между ними возникают силы взаимодействия. Эти силы принято называть внутренними.
Внутренние силы в любой механической системе — это силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему.
Если на тела системы действуют только внутренние силы, то такая система называется замкнутой. В том случае, когда на тела системы действуют еще внешние силы, система тел называется незамкнутой. Хорошим примером замкнутой системы является Солнечная система. Движение любой из планет относительно Солнца происходит вследствие, во-первых, силы притяжения к Солнцу и, во-вторых, сил притяжения к остальным планетам Солнечной системы. Очевидно, что система, состоящая из, например. Солнца, Земли и Луны, не является замкнутой.
Теперь давайте рассмотрим опыт по столкновению двух одинаковых тележек.
Толкнув одну из тележек, мы увидим, что она после столкновения остановится, а покоящаяся ранее тележка придет в движение (рис. 118, а, б) с той же скоростью, т. е. тележки обменяются скоростями.
Рис. 118
Видоизменим опыт. Повернем тележки так, чтобы они не были обращены друг к другу пружинными бамперами. На одну из тележек прикрепим пластилиновый шарик. Если толкнуть одну из тележек, то после столкновения с другой они будут двигаться вместе (рис. 119, а, б). При этом скорость тележек будет в 2 раза меньше скорости первой тележки до столкновения. Из этого опыта следует, что скорость изменяется в зависимости от типа столкновения. Однако можно заметить, импульс системы не изменяется. Действительно, до столкновения двигалась одна тележка, и ее импульс был равен 
, после столкновения движутся обе тележки, и их суммарный импульс равен 
. Таким образом, при столкновении тележек их суммарный импульс сохраняется. Можно ли считать систему, состоящую из двух сталкивающихся тележек, замкнутой? Очевидно, нет, поскольку на тележки действуют Земля и рельсы, т. е. внешние силы. Однако эти внешние силы направлены перпендикулярно движению тележек, и они в любой момент времени столкновения взаимно уравновешиваются. Таким образом, они не изменяют скорости движения тележек. Тогда в горизонтальной плоскости систему из двух тележек можно считать замкнутой.
Рис. 119
Изменение скорости тележек происходит только под действием внутренних сил — сил взаимодействия между тележками. Импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия. Суммарный импульс системы не изменяется под действием внутренних сил.
Действительно, рассмотрим изменение состояния движения двух тел под действием только сил взаимодействия между ними. Внешние силы отсутствуют, т. е. наша система является замкнутой (рис. 120). По третьему закону Ньютона: 
.
Рис. 120
Запишем уравнение (5) из § 22 для каждого из тел.
Для тела 1:
Для тела 2:
где 
и 
— скорости тел до взаимодействия, и — после взаимодействия. Будем также считать промежуток времени ∆t достаточно малым, чтобы силы взаимодействия существенно не изменялись.
Сложим почленно эти равенства:
или
В левой части равенства (3) стоит сумма импульсов обоих тел до взаимодействия, а в правой — сумма их импульсов после взаимодействия. Импульс каждого тела изменился, но сумма осталась неизменной.
Очевидно, что если взаимодействуют не два, а несколько тел, то для каждой пары тел можно написать соотношения (I) и (2) и доказать, что векторная сумма импульсов тел замкнутой системы нс изменяется. В этом и состоит закон сохранения импульса системы.
Если в замкнутой системе п тел и их импульсы до взаимодействия — 
, 
,…. 
, после взаимодействия — 
, 
, …, 
, то
Векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной при любых движениях и взаимодействиях тел системы. Это и есть закон сохранения импульса. Всякий раз, когда под действием сил взаимодействия изменяется импульс одного из тел, непременно изменяются и импульсы других тел замкнутой системы так, что суммарный импульс всех тел остается неизменным.
Закон сохранения импульса для замкнутых систем является одним из фундаментальных законов природы, хотя мы его получили, опираясь на второй и третий законы Ньютона.
Поскольку импульс тела является физической векторной величиной, то, следовательно, закон должен выполняться и для проекций импульса на оси выбранной системы координат. Например, для проекций на ось Ox выбранной системы координат равенство (4) примет вид:
Поскольку при решении практических задач о движении тел в земных условиях в систему обычно Земля не включается, то такая система тел не будет замкнутой. Однако если в каждый момент взаимодействия тел сумма внешних сил в каком-то направлении равна нулю, то в этом направлении импульс системы не изменяется. В плоскости, перпендикулярной этому направлению, систему можно считать замкнутой и применять закон сохранения импульса для определения скоростей движения тел. Этот закон можно применять и для незамкнутых систем, когда внешние силы, действующие на тела, значительно меньше сил взаимодействия между телами системы.
Главные выводы:
- Закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы. Он всегда выполняется для замкнутых систем.
- Если тела выделенной системы движутся только под действием сил взаимодействия между ними, то векторная сумма импульсов тел системы не изменяется с течением времени.
- Закон сохранения импульса можно использовать в земных условиях для систем тел. на которые действуют внешние силы, если они взаимно компенсируются или импульсом этих сил можно пренебречь по сравнению с импульсом сил взаимодействия.
Импульс тела и реактивное движение
Многие из вас видели игрушку «колыбель Ньютона» — несколько стальных шаров, подвешенных вплотную друг к другу. Если первый шар отвести в сторону и отпустить, после его удара о систему отклонится последний шар, причем примерно на такой же угол, на который был отведен первый. Вернувшись, последний шар ударит систему из оставшихся шаров, после чего снова отклонится первый шар, а затем все повторится. При этом шары посредине остаются практически неподвижными. Как объяснить действие этой игрушки?
Закон сохранения импульса:
Изучая, вы вспомнили закон сохранения механической энергии, а сейчас вспомните еще одну физическую величину, которая имеет свойство сохраняться, — импульс тела.
Импульс тела 
— векторная физическая величина, равная произведению массы m тела на скорость 
его движения:
Единица импульса тела в СИ — килограммметр в секунду:
Запишем второй закон Ньютона в импульсном виде: 
Величину 
называют импульсом силы. Таким образом, импульс силы равен изменению импульса тела: 
(см. рис. 17.1).
Рис. 17.1. Чем большая сила действует на тело и чем дольше ее действие, тем сильнее изменяется импульс тела
Рис. 17.2. При разрыве снаряда фейерверка суммарный импульс системы сохраняется, поскольку в момент разрыва внешние силы (сила тяжести и сила сопротивления) незначительны по сравнению с силами давления пороховых газов
В замкнутой системе тел — системе, в которой тела взаимодействуют только друг с другом, а внешние силы отсутствуют, уравновешены или пренебрежимо малы (см., например, рис. 17.2), суммарный импульс тел остается неизменным (сохраняется), то есть выполняется закон сохранения импульса:
В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме импульсов тел после взаимодействия:
где n — количество тел системы.
Учитывая, что импульс тела равен произведению массы m и скорости 
движения тела, закон сохранения импульса можно записать так:
С проявлениями закона сохранения импульса мы имеем дело в природе, технике и т. д. Рассмотрим два примера применения данного закона: реактивное движение и столкновение тел.
- Заказать решение задач по физике
От чего отталкиваются ракеты
Вспомните опыт с шариком, который движется благодаря воздуху, вырывающемуся из его отверстия (рис. 17.3). Это движение — пример реактивного движения. Реактивное движение — это движение, возникающее при отделении с некоторой скоростью от тела его части.
Реактивное движение — это движение, возникающее при отделении с некоторой скоростью от тела его части.
Реактивное движение можно наблюдать в природе (рис. 17.4); его широко используют в технике: простейшие поливные системы, автомобили на реактивной тяге, катера с водометными двигателями, реактивные самолеты и, конечно, ракеты, ведь реактивное движение — это единственный способ передвижения в безвоздушном пространстве.
Рис. 17.4. Благодаря реактивному движению передвигаются многие обитатели морей и океанов (а); «бешеный огурец» может преодолеть расстояние до 12 м, рассеивая по пути семена (б)
Ракета — летательный аппарат, который движется в пространстве благодаря реактивной тяге, возникающей при отбросе ракетой части собственной массы.
Отделяющейся частью ракеты является струя горячего газа, образующегося при сгорании топлива. Когда газовая струя с огромной скоростью выбрасывается из сопла ракеты, оболочка ракеты получает мощный импульс, направленный в сторону, противоположную движению струи.
Если бы топливо сгорало мгновенно, а раскаленный газ сразу весь выбрасывался бы из ракеты, то закон сохранения импульса для системы «оболочка ракеты — раскаленный газ» выглядел бы так: 
(поскольку до старта импульс системы равен нулю), а следовательно, оболочка ракеты приобретала бы скорость: 
К сожалению, топливо сгорает постепенно, поэтому часть газа приходится «разгонять» вместе с оболочкой; к тому же систему «оболочка ракеты — раскаленный газ» нельзя считать замкнутой (с увеличением скорости ракеты значительно возрастает сопротивление воздуха). Вычисления показывают, что для достижения первой космической скорости (8 км/с) масса топлива должна в 200 раз превышать массу оболочки. А ведь на орбиту нужно поднять не только оболочку, но и оборудование, космонавтов, запасы воды, кислорода и т. п. Поэтому возникла идея многоступенчатых ракет: каждая ее ступень содержит запас топлива и собственный реактивный двигатель, который разгоняет ракету, пока не израсходует топливо. После этого ступень отбрасывается, облегчая ракету и сообщая ей дополнительный импульс.
Именно на многоступенчатых ракетах были сделаны первые шаги человечества в космос: 4 октября 1957 г. советские ученые вывели на околоземную орбиту первый искусственный спутник Земли, а 12 апреля 1961 г. — космический корабль «Восток», на борту которого был первый в мире космонавт Юрий Алексеевич Гагарин; 21 июля 1969 г. американские астронавты Нил Армстронг и Базз Олдрин впервые высадились на Луне.
Прошло всего 60 лет, а мы уже не можем представить свою жизнь без космоса. Вспомните: спутниковое телевидение и спутниковая связь, система GPS и спутниковый Интернет, надежный прогноз погоды и спутниковые карты. Сейчас созданы космические корабли многоразового использования, космические аппараты высадились на Венеру, Марс и другие планеты Солнечной системы.
13 апреля 2018 г. исполнилось 25 лет со дня первого запуска ракеты-носителя «Зенит», созданной в конструкторском бюро «Южное» и на заводе «Южмаш» (Днепр). Сейчас усовершенствованная трехступенчатая ракета-носитель «Зенит-3SL» является самым большим и самым мощным летательным аппаратом своего класса в мире. Экологически чистый (работает на кислороде и керосине), недорогой, надежный «Зенит» может быть запущен при любых метеорологических условиях, способен вывести на околоземную орбиту спутники массой до 13 т. Изобретатель и предприниматель Илон Маск, основатель компании SpaceX, работающей в области строительства космического транспорта, на вопрос журналистки о любимой ракете ответил: «Лучшая ракета (после моей) — это “Зенит”».
Упругий и неупругий удары
Кратковременное взаимодействие тел, при котором тела непосредственно касаются друг друга, называют ударом. В системе сталкивающихся тел при ударе обычно возникают большие (по сравнению с внешними) внутренние силы, поэтому при ударе систему тел можно считать замкнутой и, рассматривая удары, использовать закон сохранения импульса. А вот полная механическая энергия сохраняется не всегда. Потенциальная энергия тел непосредственно до столкновения и сразу после него в большинстве случаев одинакова, поэтому далее речь пойдет только о кинетической энергии.
Рис. 17.5. Удар при столкновении бильярдных шаров (а), удары мяча по бетонной стене (б) можно считать упругими
Если после удара суммарная кинетическая энергия тел сохраняется, такой удар называют упругим (рис. 17.5).
Если после удара часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию (тратится на деформацию и нагревание тел), такой удар называют неупругим.
Неупругий удар, после которого тела движутся как единое целое, называют абсолютно неупругим ударом (рис. 17.6).
Если скорости движения тел до и после удара (упругого или неупругого) направлены вдоль прямой, проходящей через центры масс этих тел, такой удар называют центральным.
Абсолютно неупругий центральный удар и упругий центральный удар рассмотрим на примерах решения задач.
Пример №1
Два шара массами 300 и 200 г, движущиеся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, испытывают центральный абсолютно неупругий удар. Определите, какое количество кинетической энергии шаров превратится во внутреннюю энергию, если: 1) шары двигались навстречу друг другу; 2) шары двигались друг за другом.
Анализ физической проблемы. Удар абсолютно неупругий, поэтому: 1) после столкновения шары движутся как одно целое; 2) суммарный импульс системы сохраняется; 3) кинетическая энергия системы уменьшается (часть энергии превращается во внутреннюю).
Решение:
Найдем суммарную кинетическую энергию системы шаров до столкновения:
Выполним пояснительные рисунки; ось ОХ направим вдоль движения шаров.
Запишем закон сохранения импульса в векторном виде и в проекциях на ось OX:
Найдем скорость движения шаров после столкновения:
Найдем суммарную кинетическую энергию системы шаров после столкновения:
Выясним, на сколько уменьшилась кинетическая энергия системы шаров:
Ответ: 1) 2,16 Дж; 2) 0,24 Дж.
Анализ результатов. Видим, что в случае лобового удара шаров во внутреннюю энергию превращается значительно большее количество механической энергии.
Пример №2
Два шара одинаковой массы, движущиеся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, испытывают центральный упругий удар. Определите скорость движения шаров после столкновения, если: 1) шары двигались навстречу друг другу; 2) шары двигались друг за другом.
Решение:
Удар упругий, поэтому: 1) после столкновения шары движутся с разными скоростями; 2) суммарный импульс системы сохраняется, поскольку внешние силы, действующие на шары, скомпенсированы; 3) кинетическая энергия системы не изменяется. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения механической энергии. Выполним пояснительные рисунки; ось ОХ направим вдоль движения шаров.
Запишем закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ и закон сохранения кинетической энергии:
Учтем, что 
= m, и после сокращений получим систему уравнений:
После простых преобразований получим:
Разделим второе уравнение системы на первое и получим более простую систему:
Решим полученную систему уравнений методом сложения и найдем скорости движения шаров после столкновения:
Ответ: для обоих случаев 
Видим, что при упругом центральном ударе тела одинаковой массы обмениваются скоростями.
Выводы:
Вычисление импульса
Импульс тела — это векторная физическая величина, характеризующая движение, и определяется произведением массы тела и его скорости.
Обозначают импульс буквой р. Единицей импульса в СИ является один килограмм-метр в секунду (1 кг • м/с). Математически это записывают так:
Импульс силы — это векторная физическая величина, характеризующая действие силы за определенный интервал времени.
Определяется произведением среднего значения силы за определенный интервал времени и длительности этого интервала:
Импульсу присуще очень интересное и важное свойство, которое имеют немного физических величин. Это свойство сохранения. Оно заключается в том, что геометрическая сумма импульсов тел, взаимодействующих только друг с другом, сохраняется неизменной. Сами импульсы тел, конечно, изменяются, поскольку на каждое из тел действуют силы взаимодействия, но сумма импульсов остается неизменной (постоянной).
Это утверждение называют законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса – один из самых важных законов природы. Его очень просто доказать, если взаимодействуют друг с другом два тела. Действительно, если первое тело действует на второе с силой 
, то на первое тело второе действует с силой, которая по третьему закону Ньютона равна –
. Обозначим массы тел через 
, а их скорости движения относительно какой-то системы отсчета
В результате взаимодействия тел их скорости спустя некоторое время t изменятся и будут равны
Тогда, согласно формуле
запишем:
Изменив знаки обеих частей этого равенства на противоположные, перепишем его в виде:
В левой части этого равенства записана сумма начальных импульсов двух тел, а в правой – сумма импульсов этих же тел через время t. Эти суммы равны между собой. Таким образом, хотя импульс каждого из тел при взаимодействии изменяется, их полный импульс, то есть сумма импульсов обоих тел сохраняется неизменной. Что и требовалось доказать.
Можно также доказать, и опыты это подтверждают, если взаимодействуют не два, а много тел, то геометрическая сумма импульсов всех тел или системы тел остается неизменной. Важно только, чтобы эти тела взаимодействовали друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, которые не входят в систему (или, чтобы эти внешние силы уравновешивались). Такую группу тел, которые не взаимодействуют с другими телами, не входящими в эту группу, называют замкнутой системой.
Именно для замкнутых систем и выполняется закон сохранения импульса:
- геометрическая сумма импульсов тел, образующих замкнутую систему, сохраняется постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой:
= const.
= const.Отсюда следует, что взаимодействие тел сводится к тому, что одни тела передают часть своего импульса другим.
Импульс тела – это векторная величина. Следовательно, если сумма импульсов тел сохранится постоянной, то и сумма проекций этих импульсов на координатные оси также остается постоянной. Вследствие этого геометрическую сумму импульсов можно заменить суммой алгебраических их проекций.
Закон сохранения импульса можно проиллюстрировать такими опытами.
Опыт 1. Поставим на рельсы две тележки одинаковой массы m. К торцу одной тележки прикрепим пластилиновый шарик. Пусть тележки движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями 
(рис. 288).
При столкновении обе тележки остановятся. Объяснить результаты опыта легко. До столкновения импульс левой тележки равен 
, а правой тележки 
(тележки двигались с противоположно направленными скоростями). Следовательно, к моменту встречи тележек их общий импульс равнялся нулю: 
После столкновения тележки остановились. Следовательно, и теперь суммарный импульс обеих тележек равен нулю.
Опыт 2. Повернем тележки друг к другу пружинными буферами (рис. 289). Повторив опыт, убедимся в том, что после столкновения обе тележки разъедутся в противоположные стороны. При таком взаимодействии скорости движения тележек изменят свои направления на противоположные, модули скоростей останутся такими же, какими они были до
взаимодействия. Если до встречи импульс левой тележки равен 
, а правой равен –
, то после встречи импульс левой тележки равен –
, а правой – равен 
. Поэтому суммарный импульс обеих тележек равен нулю как до, так и после столкновения, в соответствии с законом сохранения импульса.
- Замкнутая система в физике
- Реактивное движение в физике
- Освоение космоса – история, этапы и достижения с фотографиями
- Закон сохранения механической энергии в физике
- Математика – язык физики
- Законы Ньютона в физике
- Гравитационные силы в физике
- Центр тяжести в физике (центр масс)
Если на тело массой m за определенный промежуток времени Δt действует сила F→, тогда следует изменение скорости тела ∆v→=v2→-v1→. Получаем, что за время Δt тело продолжает движение с ускорением:
a→=∆v→∆t=v2→-v1→∆t.
Основываясь на основном законе динамики, то есть втором законе Ньютона, имеем:
F→=ma→=mv2→-v1→∆t или F→∆t=mv2→-mv1→=m∆v→=∆mv→.
Изменение импульса
Импульс тела, или количество движения – это физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения.
Импульс тела считается векторной величиной, которая измеряется в килограмм-метр в секунду (кг м/с).
Импульс силы – это физическая величина, равняющаяся произведению силы на время ее действия.
Импульс относят к векторным величинам. Существует еще одна формулировка определения.
Изменение импульса тела равняется импульсу силы.
При обозначении импульса p→ второй закон Ньютона записывается как:
F→∆t=∆p→.
Данный вид позволяет формулировать второй закон Ньютона. Сила F→ является равнодействующей всех сил, действующих на тело. Равенство записывается как проекции на координатные оси вида:
FxΔt=Δpx; FyΔt=Δpy; FzΔt=Δpz.
Рисунок 1.16.1. Модель импульса тела.
Изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.
Одномерное движение – это движение тела по одной из координатный осей.
На примере рассмотрим свободное падение тела с начальной скоростью v0 под действием силы тяжести за промежуток времени t. При направлении оси OY вертикально вниз импульс силы тяжести Fт=mg, действующий за время t, равняется mgt. Такой импульс равняется изменению импульса тела:
Fтt=mgt=Δp=m(v–v0), откуда v=v0 + gt.
Запись совпадает с кинематической формулой определения скорости равноускоренного движения. По модулю сила не изменяется из всего интервала t. Когда она изменяема по величине, тогда формула импульса требует подстановки среднего значения силы Fср из временного промежутка t. Рисунок 1.16.2 показывает, каким образом определяется импульс силы, которая зависит от времени.
Рисунок 1.16.2. Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)
Необходимо выбрать на временной оси интервал Δt, видно, что сила F(t) практически неизменна. Импульс силы F(t)Δt за промежуток времени Δt будет равняться площади заштрихованной фигуры. При разделении временной оси на интервалы на Δti на промежутке от от 0 до t, сложить импульсы всех действующих сил из этих промежутков Δti, тогда суммарный импульс силы будет равняться площади образования при помощи ступенчатой и временной осей.
Применив предел (Δti→0), можно найти площадь, которая будет ограничиваться графиком F(t) и осью t. Использование определения импульса силы по графику применимо с любыми законами, где имеются изменяющиеся силы и время. Данное решение ведет к интегрированию функции F(t) из интервала [0; t].
Рисунок 1.16.2 показывает импульс силы, находящийся на интервале от t1=0 с до t2=10.
Из формулы получим, что Fср(t2-t1)=12Fmax(t2-t1)=100 Н·с=100 кг·м/с.
То есть, из примера видно Fср=12Fmax=10 Н.
Определение средней силы
Имеются случаи, когда определение средней силы Fср возможно при известных времени и данных о сообщенном импульсе. При сильной ударе по мячу с массой 0,415 кг можно сообщить скорость, равную v=30 м/с. Приблизительным временем удара является значение 8·10–3 с.
Тогда формула импульса приобретает вид:
p=mv=12,5 кг·м/с.
Чтобы определить среднюю силу Fср во время удара, необходимо Fср=p∆t=1,56·103 Н.
Получили очень большое значение, которое равняется телу массой 160 кг.
Когда движение происходит по криволинейной траектории, то начальное значение p1→ и конечное
p2→ могут быть различны по модулю и по направлению. Для определения импульса ∆p→ применяют диаграмму импульсов, где имеются векторы p1→ и p2→, а ∆p→=p2→-p1→ построен по правилу параллелограмма.
Для примера приводится рисунок 1.16.2, где нарисована схема импульсов мяча, отскакивающего от стены. При подаче мяч с массой m со скоростью v1→ налетает на поверхность под углом α к нормали и отскакивает со скоростью v2→ с углом β. При ударе в стену мяч подвергался действию силы F→, направленной также, как и вектор ∆p→.
Рисунок 1.16.3. Отскакивание мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.
Если происходит нормальное падение мяча с массой m на упругую поверхность со скоростью v1→=v→, тогда при отскоке она изменится на v2→=-v→. Значит, за определенный промежуток времени импульс изменится и будет равен ∆p→=-2mv→. Используя проекции на ОХ, результат запишется как Δpx=–2mvx. Из рисунка 1.16.3 видно, что ось ОХ направлена от стенки, тогда следует vx<0 и Δpx>0. Из формулы получим, что модуль Δp связан с модулем скорости, который принимает вид Δp=2mv.
