Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 20k
Как найти импульс тела
Понятие импульса было введено в физику французским ученым Рене Декартом. Сам Декарт называл эту величину не импульсом, а «количеством движения». Термин «импульс» появился позднее. Физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом тела: р=m*v. Импульсом обладают только движущиеся тела. Единицей импульса в интернациональной системе единиц является килограмм*метр в секунду (1кг*м/с). Для импульса справедлив фундаментальный закон природы, называемый законом сохранения импульса.
Инструкция
Для расчета искомой величины, необходимо привести в соответствие единицы измерения двух величин, входящих в формулу. Одна из этих величин, определяющая импульс тела – масса. Масса – мера инертности тела. Чем больше масса тела, тем труднее изменить скорость этого тела. Например, шкаф, имеющий массу 500 кг труднее сдвинуть с места, чем шкаф массой 100 кг. И это очевидно, сопротивление первого шкафа силе, пытающейся изменить его скорость больше, чем у второго. Измеряется масса в килограммах (в Международной системе единиц). Если масса дана не в килограммах, то следует ее перевести. Встречаются следующие измерения данной величины: тонны, граммы, миллиграммы, центнеры и т.п. Пример: 6т=6000кг, 350г=0,35кг.
Другая величина, от которой импульс зависит напрямую – скорость. Если тело покоится (скорость равна нулю), то импульс равен нулю. При увеличении скорости импульс тела возрастает. Импульс – величина векторная, имеющая направление, которое совпадает с направлением вектора скорости тела. Измеряют скорость в метрах в секунду (1м/с). При нахождения импульса скорость следует перевести в м/с, в случае, когда ее измерение дано в км/ч. Чтобы перевести в м/с нужно численное значение скорости умножить на тысячу и разделить на три тысячи шестьсот. Пример: 54км/ч=54*1000/3600=15м/с.
Итак, чтобы определить импульс тела умножаются две величины: масса и скорость. р=m*v. Пример 1. Нужно найти импульс бегущего человека, массой 60 кг. Бежит он со скоростью 6 км/ч. Решение: сначала скорость переводится в м/с. 6 км/ч=6*1000/3600=1,7 м/с. Далее согласно формуле, р=60кг*1,7м/с=100 кг*м/с. Пример 2. Найти импульс покоящегося автомобиля массой 6т. Такую задачу можно не решать. Импульс недвижущегося тела равен нулю.
Источники:
- Опыт работы учителем физики.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Сегодня в рубрике «Физика для чайников» занимаемся решением и разбором задач на закон сохранения импульса. И не говорите, что вы этого не ждали.
Полезные лайфхаки и новости для студентов – ежедневно на нашем телеграм-канале. Подписывайтесь!
Задачи на закон сохранения импульса с решением
Задача №1 на нахождение импульса
Условие
Небольшой автомобиль движется со скоростью 60 км/ч, его импульс равен 1,5*10^4 кг*м/с. Какова масса автомобиля?
Решение
По формуле для импульса найдем:
Ответ: 903 кг.
Задача №2 на закон сохранения импульса
Условие
Дрезина массой 400 кг движется со скоростью 4 м/с, а навстречу ей со скоростью 2 м/с едет дрезина массой 60 кг. После неупругого соударения дрезины движутся вместе. В каком направлении и с какой скоростью будут двигаться дрезины?
Решение
Общий импульс системы до и после соударения должен остаться неизменным:
Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
Движение будет происходить в сторону первой дрезины. Именно она изначальна имела больший импульс.
Ответ: 0,4 м/с.
Задача №3 на нахождение импульса
Условие
Тело массой m=1 кг упало с высоты H=19,6 м. Определить изменение импульса тела за последнюю секунду движения и импульс тела на высоте h=4,9 м.
Решение
Изменение импульса тела за последнюю секунду движения равно:
Импульс тела на заданной высоте найдем по закону сохранения энергии, который имеет вид для двух состояний:
Отсюда получим:
Ответ: Изменение импульса равно 9,8 кг*мс2; р=17 кг*мс2.
Задача №4 на применение закона сохранения импульса и второго закона Ньютона
Условие
Хоккеист массой М = 70 кг стоит на льду и бросает в горизонтальном направлении шайбу массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с относительно льда. На какое расстояние S откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения равен 0,02.
Решение
По закону сохранения импульса найдем скорость u, с которой хоккеист откатиться назад:
По второму закону Ньютона для хоккеиста:
С другой стороны:
Ответ: 0,3 м.
Задача №5 на реактивное движение
Условие
Реактивный двигатель каждую секунду выбрасывает 10 кг продуктов сгорания топлива со скоростью 3 км/с относительно ракеты. Какую силу тяги он развивает?
Решение
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме и найдем силу, которая действует на выбрасываемые продукты сгорания топлива:
По третьему закону Ньютона сила тяги будет равна найденной силе.
Ответ: 30 кН.
Вопросы на закон сохранения импульса
Вопрос 1. Что такое замкнутая система?
Ответ. Замкнутая система – такая система, на которую не действуют внешние силы со стороны других тел.
Вопрос 2. Что такое импульс силы?
Ответ. Импульс силы – физическая величина, равная произведению силы на время ее действия.
Вопрос 3. Как направлен импульс тела?
Ответ. Направление импульса совпадает с направлением вектора скорости тела.
Вопрос 4. Что такое реактивное движение?
Ответ. Реактивное движение – движение, основанное на принципе отдачи. По аналогии с системой «пушка-ядро», систему «ракета-выхлопные газы» также можно считать замкнутой.
Вопрос 5. Два тела разной массы движутся с одинаковой скоростью. Импульс какого тела больше?
Ответ. Тело с большей массой обладает большим импульсом.
Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.
Импульс и закон сохранения импульса
Что такое импульс в механике
Импульс, или количество движения – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
Обозначается латинской буквой p и измеряется в килограммах на метр в секунду.
Второй закон Ньютона с применением импульса можно записать следующим образом:
Здесь дельта p – изменение импульса тела за время дельта t под действием равнодействующей силы F.
Закон сохранения импульса
Этот фундаментальный закон природы и гласит:
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.
Более подробную теорию по этой и другим темам вы найдете в нашем справочнике.
Пример действия закона сохранения импульса
Представим себе пушку, которая стреляет ядрами. Систему «пушка-ядро» можно считать замкнутой. При стрельбе из пушки действует закон сохранения импульса. Ядро летит в одну сторону, а пушка под действием отдачи откатывается назад. При этом скорость, приобретенная пушкой, зависит от соотношения масс орудие/ядро и скорости ядра.
Знак минус указывает на то, что пушка и ядро движутся в разные стороны.
Нужна помощь в решении задач? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис.
Импульс тела — это физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость
Каждое тело, которое имеет массу и скорость, так же имеет и импульс.
Пусть на тело массой 
в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила F. Под действием этой силы скорость тела изменилась на 
. Следовательно, тело на промежутке Δt двигалось с ускорением
На основе Второго закон Ньютона
А если немного преобразовать, то у нас получится:
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела 
. А физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы 
.
Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)
В Формуле мы использовали :
— Импульс тела
— Масса тела
— Скорость тела
Импульс тела, теория и онлайн калькуляторы
Импульс тела
Импульс материальной точки
Определение
Импульсом ($overline{p}$) материальной точки называют векторную физическую величину, которая равна произведению массы ($m$) этой точки на скорость ($overline{v}$) ее движения:
[overline{p}=moverline{v}left(1right).]
Импульс еще называют количеством движения. Из выражения (1), учитывая, что $m>0$ можно сказать: вектор $overline{p}$ имеет такое же направление, как и вектор $overline{v}$.
Понятие «импульс» ввел Р. Декарт в XVII веке. В те времена понятия массы еще не существовало, импульс определяли как величину тела, умноженную на скорость. Определение импульса уточнил И. Ньютон. Он использовал понятие массы, определяя импульс.
В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряют в килограмм – метр в секунду ($frac{кгcdot м}{с}$):
[left[pright]=left[mright]left[vright]=кгcdot frac{м}{с}.]
Импульс тела
Определение
Импульс тела (или системы материальных точек) равен:
[overline{p}=sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{v}}_ileft(2right),}]
где $m_i$ – масса элемента тела (материальной тоски системы); ${overline{v}}_i$ – скорость данного элемента тела; $N$ – число материальных точек, на которое разбито тело (материальных точек в системе).
Формула (2) свидетельствует о том, что импульс тела, как системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех элементов тела (материальных точек). Для того чтобы найти импульс тела его разбивают (мысленно) на части, которые можно считать материальными точками, вычисляют импульс каждой частички тела, проводят векторное суммирование всех полученных импульсов.
Второй закон Ньютона
Чаще всего второй закон Ньютона мы записываем как:
[overline{F}=moverline{a}left(3right),]
где $overline{F}$ – равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке; $overline{a}$ – ускорение тела. Этот же закон можно представить иначе. Предположим, что на точку действует постоянная сила. В таком случае ускорение этой точки, также будет неизменным и его можно найти как:
[overline{a}=frac{{overline{v}}_2-{overline{v}}_1}{Delta t}left(4right),]
где ${overline{v}}_2;{overline{v}}_1$ – конечная и начальная скорости точки; $Delta t$ – промежуток времени действия силы. Подставляя правую часть формулы (4) в закон Ньютона, получим:
[overline{F}=mfrac{{overline{v}}_2-{overline{v}}_1}{Delta t}=frac{m{overline{v}}_2-m{overline{v}}_1}{Delta t}=frac{{overline{p}}_2-{overline{p}}_1}{Delta t}left(5right).]
И так, одной из форм записи второго закона Ньютона является выражение:
[overline{F}Delta t=Delta overline{p}left(6right).]
Выражение (6) означает, что изменение импульса материальной точки прямо пропорционально силе, которая на нее воздействует и сонаправлено с этой силой. Величину $overline{F}Delta t$ называют импульсом силы. Из уравнения (6) следует, что равные изменения импульса точки могут быть получены в результате действия большой по модулю силы за маленький промежуток времени или воздействуя на точку небольшой силой длительное время.
Если сила является переменной величиной, то второй закон Ньютона, используя понятие «импульс» записывают, переходя к дифференциальной форме, то есть, рассматривая бесконечно малый промежуток времени действия этой силы:
[overline{F}=frac{dp}{dt}left(7right).]
В таком случае импульс равен:
[Delta overline{p}=intlimits^{t_2}_{t_1}{overline{F}dt}left(8right),]
где $Delta overline{p}$ – изменение импульса.
Импульс в теории относительности
Определение импульса материальной точки в теории относительности по форме не изменяется и аналогично выражению (1), однако в отличие от механики Ньютона масса, которая входит в формулу (1) – это не масса покоя, а релятивистская масса, то есть:
[overline{p}=moverline{v}=frac{m_{0 }}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}overline{v}left(9right),]
где $m_{0 }$ – масса покоя материальной точки.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Металлический шарик массой $m=$0,5 кг перемещается со скоростью $v=$10$frac{м}{с}$ перпендикулярно стенке. Сталкивается с ней и останавливается. Какая сила действует при этом ударе на стенку, если время столкновения $t=$0,01 с
Решение. В качестве основы для решения задачи используем второй закон Ньютона, который запишем для движущегося шарика как:
[overline{F}=frac{Delta overline{p}}{Delta t}left(1.1right).]
Изменения импульса шарика в результате удара равно:
[Delta overline{p}=0-moverline{v}left(1.2right).]
В проекции на ось X получим:
[Delta p=mvleft(1.3right).]
Тогда, сила, действующая на шарик при ударе равна:
[F=frac{Delta p}{Delta t}=frac{mv}{Delta t} left(1.4right).]
В соответствии с третьим законом Ньютона шарик действует на стенку с той же по модулю силой, что и стенка на шарик, следовательно, сила ($F’$), действующая на стенку равна:
[F’=F=frac{mv}{Delta t}.]
Ответ. $F’=frac{mv}{Delta t}$
Пример 2
Задание. Металлический шарик массой $m$ катится по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость шара равна $v$. Шарик ударяется о стенку, перпендикулярную поверхности по которой двигался шарик. После соударения шарик упруго отскакивает от стенки и катится в направлении противоположном своему первоначальному движению с той же по величине скоростью. Какова сила ($F’$), действующая на стенку при ударе, если время соударения равно $Delta t$. При решении задачи силу трения не учитывать, силу, действующую при ударе на стенку считать постоянной.
Решение. План решения задачи аналогичен примеру 1.
Применяем второй закон Ньютона в виде:
[overline{F}=frac{Delta overline{p}}{Delta t}left(2.1right).]
Изменения импульса шарика в результате удара равно:
[Delta overline{p}=m{overline{v}}_2-m{overline{v}}_1left(2.2right).]
Проектируем выражение (2.2) на ось X, учитываем, что модуль скорости не изменился, получаем:
[Delta p=mv-left(-mvright)=2mvleft(2.3right).]
Тогда, сила, действующая на шарик при ударе равна:
[F=frac{Delta p}{Delta t}=frac{2mv}{Delta t} left(2.4right).]
По третьему закону Ньютона шарик действует на стенку с той же по модулю силой, что и стенка на шарик, следовательно, сила ($F’$), действующая на стенку равна:
[F’=F=frac{2mv}{Delta t}.]
Ответ. $F’=frac{2mv}{Delta t}$
Читать дальше: импульс.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
