Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 20.1k
Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.
Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.
Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.
Результирующая векторная величина импульса системы тел равна векторной сумме импульсов тел, её составляющих:
Закон сохранения импульса
Суммарный импульс системы тел до взаимодействия равен суммарному импульсу этой системы тел после взаимодействия.
В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:
«Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает».
Для примера возьмем систему из двух тел: шары массами
m1
и
m2
равномерно и прямолинейно движутся со скоростями
v1
и
v2
, причем их скорости противоположно направлены, то есть шары движутся навстречу друг другу. Импульсы шаров записываются
p1→=m1v1→
и
p2→=m2v2→
соответственно.
Рис. (1). Направление движения шаров до соударения
Когда шары приблизятся друг к другу, произойдет столкновение. Удар не будет мгновенным, он займёт пусть малое, но вполне измеримое время (t), при этом появятся силы взаимодействия
F1→
и
F2→
, которые будут приложены к первому и второму шарам соответственно. Как известно, под действием силы скорость тела меняется, поэтому изменятся и скорости шаров. После столкновения модули и направления скоростей могут быть совершенно иными, поэтому обозначим скорости
v1′
и
v2′
соответственно. Изменятся и импульсы шаров, они станут равны
p1→′=m1v1→′
и
p2→′=m2v2→′
соответственно.
Рис. (2). Направление движения шаров после соударения
Тогда, согласно закону сохранения импульса, имеют место равенства:
или
.
Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.
Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:
векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы — величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Пример:
при стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?
Рис. (3). После выстрела пушка откатывается назад
Снаряд и пушка — замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.
Обрати внимание!
В природе замкнутых систем не существует. Но если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т. п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Великий учёный Исаак Ньютон изобрёл наглядную демонстрацию закона сохранения импульса — маятник, или её ещё называют «колыбель». Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь — к прочному основанию П-образной формы.
Рис. (4). Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона
Маятник Ньютона устроен так, что начальный шар передаёт импульс второму шарику, а затем замирает. Нашему глазу на первый взгляд не заметно, как следующий шарик принимает импульс от предыдущего, мы не можем проследить его скорость. Но, если взглянуть пристальнее, можно заметить, как шарик немножко «вздрагивает». Это объясняется тем, что он совершает движения с посланной ему скоростью, но поскольку расстояние очень маленькое, ему некуда разогнаться, то он может на своём коротком пути передать импульс третьему шарику и в итоге остановиться.
Такое же действие совершает и следующий шарик и т. д. Последнему шарику некуда передавать свой импульс, поэтому он свободно колеблется, поднимаясь на определённую высоту, а затем возвращается, и весь процесс передачи импульсов повторяется в обратном порядке.
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса — реактивное движение.
Рис. (4). Шаттл
Источники:
Рис. 1. Направление движения шаров до соударения. © ЯКласс.
Рис. 2. Направление движения шаров после соударения. © ЯКласс.
Рис. 3. После выстрела пушка откатывается назад. © ЯКласс. Пушка. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License, https://pixabay.com/images/id-159503/
Рис. 4. Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона.Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-6076266/.
Рис. 5. Шаттл. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-992/
Импульс. Закон сохранения импульса
Импульс — произведение массы на скорость.
Само по себе это произведение ничего не дает для понимания взаимодействий описываемых импульсом. Немного более понятно о чем речь, когда примерно представляешь себе массу и скорость, и, можно сказать, что эти величины будут на него влиять и это верно. Однако давайте поробуем сделать наше понимание более адекватным тому, что происходит.
Чем импульс отличается от силы?
Сила, воздействуя на тело, пытается изменить его скорость.
Импульс присущ телу просто по факту наличия скорости, поэтому его иногда называют количеством движения.
И когда мы пытаемся остановить или разогнать какое то тело, обладающее импульсом, мы вынуждены, воздействуя на тело, приложить к нему силу.
Закон сохранения импульса
Если некое множество тел изолировано от действия внешних, по отношению к ним, сил, то суммарный импульс тел сохраняется.
- закон также выполняется при условии, если действие внешних сил скомпенсировано
- могут быть внутренние силы, действующие между телами
- если есть внешнии силы, то их сумма будет равна изменению суммарного импульса тел:
Закон сохранения импульса может выполнятся в векторной форме, но также возможно выполнение закона для одной из осей (например Х). Только вдоль нее обязательно либо не должны действовать внешние силы, либо действие их должно быть скомпенсировано.
Векторный вид:
В проекциях на ось Х:
Упругий и неупругий удар
В качестве примера рассмотрим абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновения:
Абсолютно упругое столкновение — столкновение, при котором сохраняется механическая энергия сталкивающихся тел (тела разлетаются в стороны).
Абсолютно неупругое столкновение — столкновение, при котором сталкивающиеся тела слипаются в одно целое.
Абсолютно упругое столкновение
Тело движущееся с одной скоростью врезается в тело движущееся с другой. Тела двигаются в одном направлении. Удар — абсолютно упругий. Внешнии силы отсутствуют или скомпенсированы.
Поскольку считается, что внешнии силы отсутствуют, то выполняется закон сохранения импульса в векторной форме:
В векторной форме не учитываются направления векторов (в уравнении везде плюсы). Для того, чтобы отыскать любую из скоростей можно записать его в виде:
Для получения модулей векторов скоростей (числовое значение скоростей), нужно спроектировать все вектора на горизонтальную ось ОХ. Так как все скорости целиком находятся на горизонтальной оси ОХ, то длина проекций всех векторов полностью равна длинам этих векторов.
Поэтому можно убрать значки векторов и записать в следующем виде:
Поскольку скорость V1| направлена против оси ОХ в ее проекции появляется знак минус.
С помощью последней формулы мы можем найти все величины и скоростей, и масс, в зависимости от того, что дано в условии.
Абсолютно неупругое столкновение
Тело движущееся с одной скоростью врезается в тело движущееся с другой. Тела двигались в одном направлении. Удар — абсолютно неупругий. Внешнии силы отсутствуют или скомпенсированы.
Все тоже самое. Поскольку считается, что внешнии силы отсутствуют, то выполняется закон сохранения импульса в векторной форме.
Масса после удара двух тел — общая потому, что тела слиплись в результате неупругого соударения (по условию):
Скорости также направлены вдоль оси ОХ, поэтому:
Откуда также можем найти все величины и скоростей, и масс, в зависимости от того, что дано в условии.
Выполнение закона сохранения импульса для оси
Рассмотрим пример, когда закон сохранения импульса не выполняется в векторной форме, но выполняется для оси.
Шар массой m1 врезается под углом в вагон массой m2. Соударение — неупругое. Внешнии силы отсутствуют.
Вертикальная составляющая скорости V1 идет на нагрев, в результате силы трения внутри вагона (если бы его не было, то вагон должен был либо провалиться вниз, либо его должно было бы отпружинить вверх), а горизонтальная составляющая учавствует в законе сохранения импульса вдоль оси ОХ.
Поэтому закон сохранения импульса не выполняется в векторной форме, но выполняется для оси ОХ, т.к. вдоль нее не действуют никакие силы:
Столкновение шаров под углом
Шар, массой m1 налетает на шар массой m2, под углом. Удар — абсолютно упругий. Внешнии силы отсутствуют.
Сложим вектора импульсов до столкновения P и вектора импульсов после столкновения P|, путем параллельного переноса (зеленая пунктирная линия).
Закон сохранения импульса выполнятеся в векторной форме. Для получения скалярных величин (численных значений), существует способ сложения двух векторов называемый теоремой косинусов.
Скалярнае (численное) значение вектора общего импульса:
Общий импульс — неизменен, вследствие закона сохранения импульса. Поэтому и после удара будет тот же самый импульс, но с другими скоростями и углом:
В зависимости от условия задачи, можно рассчитать те или иные скорости или углы, правомерно приравняв эти два уравнения.
§5. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии
В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы – тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы не известны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.
Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль – с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.
Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.
Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.
Переходя к характерным примерам, отметим, что исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСО), т. е. в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, с которой Вы познакомитесь в следующих Заданиях. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб), называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.
Неупругие столкновения
Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).
Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения импульса
`mv = (m + M) u`.
По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.
Из приведённых соотношений находим
`Q = M/(m + M) K`.
Отметим, что в предельных случаях
`Q = K`,
`m < < M`,
`Q = M/m K < < K`,
`m > > M`.
Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.
При равенстве масс `(m = M)` `Q = K/2`.
Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.
Упругие столкновения
На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар того же радиуса массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса
`m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.
Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем
`mv = mv_(1x) + Mv_2`,
здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.
Полученные соотношения перепишем в виде
`m(v – v_(1x)) = Mv_2`,
`m(v^2 – v_(1x)^2) = Mv_2^2`.
Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`, `m(v – v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид
`v_(1x) = (m – M)/(m + M) v`,
`v_2 = (2m)/(m + M) v`.
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`, т. е. если масса налетающего шара больше массы покоящегося шара.
Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности. Скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб непосредственно перед соударением известны и показаны на рис. 11. Найдите скорости `vecv_(1)^’` и `vecv_(2)^’` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.
Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось `Ox` направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис. 11).
В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется:
`vecp_1 + vecp_2 = vecp_(1)^’ + vecp_(2)^’`,
здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_(1)^’= m_1 vecv_(1)^’`, `vecp_(2)^’ = m_2 vecv_(2)^’` – импульсы шайб до и после соударения.
Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы -силы упругого взаимодействия – направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^’`, `p_(2y) = p_(2y)^’` находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения:
`v_(1y)^’ = v_(1y)`, `v_(2y)^’ = v_(2y)`,
т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.
Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^’)^2 + (v_(1y)^’)^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^’)^2 + (v_(2y)^’)^2))/2`.
С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид:
`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^’)^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^’)^2)/2`.
Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось `Ox`:
`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^’ + m_2 v_(2x)^’`.
Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую – ко второй, и разделить `(v_(1x) != v_(1x)^’)` полученные соотношения. Это приводит к линейному уравнению
`v_(1x) + v_(1x)^’ = v_(2x) + v_(2x)^’`.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
`v_(1x)^’ = ((m_1 – m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^’ = (2m_1 v_(1x) + (m_2 – m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.
Полученные соотношения для `v_(1x)^’`, `v_(1y)^’` и `v_(2x)^’`, `v_(2y)^’` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения
`v_1^’ = sqrt((v_(1x)^’)^2 + (v_(1y)^’)^2)`, `v_2^’ = sqrt((v_(2x)^’)^2 + (v_(2y)^’)^2)`,
а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_(1)^’` и `vecv_(2)^’` образуют с положительным направлением оси `Ox`,
`bbb”tg” alpha_1 = (v_(1y)^’)/(v_(1x)^’)`, `bbb”tg” alpha_2 = (v_(2y)^’)/(v_(2x)^’)`.
Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём пример.
Гладкая круглая шайба массой `m_1` движется со скоростью `vec v` вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно `R//2` (рис. 12). Обруч массой `m_2` и радиусом `R` лежит на гладком горизонтальном столе. Через какое время `tau` после первого удара шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.
Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем примере. В ЛСО, ось `Ox` которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скоростей шайбы и центра обруча на ось `Ox` после соударения равны соответственно
`v_(1x)^’ = ((m_1 – m_2)v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2) = ((m_1 – m_2)v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^’ = (2m_1 v_(1x) + (m_2 – m_1)v_(2x))/(m_1 + m_2) = (2m_1 v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
здесь `v_(1x) = vcos pi/6` – проекция скорости шайбы на ось `Ox` до соударения, `v_(2x) = 0` – обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с обручем, проекция скорости шайбы на линию центров после соударения
`v_(1xsf”отн”) = v_(1x)^’ – v_(2x)^’ =- v_(1x) =- vcos pi/6`
просто изменила знак, а перпендикулярная линии центров составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, в системе, связанной с обручем, шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения», и минимальное расстояние от шайбы до центра обруча снова будет равно `R//2`. Искомое время
`tau = (R cos^(2) pi/6)/|v_(1xsf”отн”)| = cos pi/6 R/v = sqrt3/2 R/v`.
В статье обсуждаются различные формулы и задачи о том, как найти импульс после столкновения.
Скорость объекта изменяется во время столкновения из-за внешней силы от другого объекта. Изменение скорости вызывает изменение количества движения после столкновения. Итак, мы можем найти импульс после столкновения, используя формулу импульса, законы сохранения количества движения и сохранения энергии.
Импульс перед столкновением Pi = му. Импульс после столкновения также определяется путем оценки изменения скорости v объекта после столкновения. пf = мв
Узнать больше о Momentum.
Предположим, что неподвижный шар массой 8 кг сталкивается с другим шаром. После столкновения мяч движется со скоростью 5 м / с. Определите импульс мяча для пула после столкновения.
Данный:
m = 8 кг
v = 5 м / с
Найти: ∆P =?
Формула:
∆Р = Рf – Пi
Решения:
Импульс шара после столкновения рассчитывается как,
∆Р = Рf – Пi
∆P = mv – mu
Поскольку бильярдный шар в состоянии покоя, т. Е. U = 0
∆P = мв
Подставляя все значения,
∆P = 8 х 5
∆P = 40
Импульс бильярдного шара после столкновения составляет 40 кгм / с.
Узнайте больше о том, как найти чистую силу от Momentum.
Как найти импульс после формулы столкновения?
Импульс после столкновения определяется по формуле импульса.
Когда мы говорим о нахождении импульса после столкновения только одного объекта, мы можем вычислить его, используя формулу импульса. Импульс – это изменение импульса после столкновения из-за внешней силы. Поскольку столкновения происходят быстро, сложно отдельно рассчитать приложенную внешнюю силу и время.
Как только мы вычислили импульс до Pi и после столкновения Pf, мы можем найти импульс с точки зрения внешней силы со стороны другого объекта как,
Импульс (ΔP) – произведение внешней силы F и разницы во времени (∆t) в котором происходит изменение импульса ».
Математически,
∆P = F ∆t
Pf – Пi = F∆t
Подробнее о Типах сил.
Футбольный мяч ударил мячом массой 5 кг по поверхности земли без трения с силой 30 Н в течение 5 секунд. Какова скорость и импульс футбола после удара ногой?
Данный:
m = 5 кг
Ф = 30 Н
∆t = 5 с
Найти:
- v2=?
- Pf=?
Формула:
- Р = мв
- ∆P = F ∆t
Решения:
Импульс футбола до удара ногой:
Pi = м1v1
Поскольку футбол отдыхает. т.е. v1=0
Следовательно, Pi = 0
Импульс футбола до удара ногой равен нулю.
Импульс футбольного мяча после удара ногой рассчитывается с использованием Формула импульса.
∆P = F ∆t
Pf-Pi = F∆t
Поскольку Pi = 0
Pf = F∆t
Подставляя все значения,
Pf = 30 x 5
Pf = 150
Импульс футбола после удара ногой – 150 кг.⋅м/с
Скорость футбола после удара ногой равна,
m2v2 = 150
v2 = 150 / 5
v2 = 30
Скорость футбольного мяча после удара ногой составляет 30 м / с.
Узнайте больше о том, как найти Net Force?
Как определить суммарный импульс двух объектов после столкновения?
Полный импульс двух объектов после столкновения оценивается с помощью закона сохранения количества движения.
Когда два объекта сталкиваются, их соответствующий импульс изменяется из-за их скорости, но их общий импульс после столкновения остается неизменным. Полный импульс после столкновения суммируется путем сложения всех соответствующих импульсов сталкивающихся объектов.
В закрытой или изолированной системе, когда два объекта, обладающие разными массами и скоростями, сталкиваются, они могут перемещаться друг с другом или далеко, в зависимости от типов столкновения – например, неупругое столкновение or упругое столкновение.
(Кредит: Shutterstock)
После столкновения их импульс, который является произведение их масс и скоростей, тоже разнообразно. Но если говорить об общем импульс изолированной системы, остается без изменений. Во время при столкновении любой импульс, который теряет один объект, приобретается другим объектом. Так сохраняется общий импульс сталкивающихся объектов.
Предположим, что импульс объекта 1 равен P1 = м1u1
Импульс объекта 2 равен P2 = м2u2
Импульс обоих объектов до столкновения Pi = P1 + Р2 = м1u1 + м2+u2
Если во время столкновения нет действующей силы, то импульс Pf обоих объектов после столкновения остается таким же, как и до столкновения.
Следовательно, согласно закон сохранения импульса,
Pi = Pf
m1u1 + м2+u2 = м1v1 + м2+v2 ……………………. (*)
Обратите внимание, что скорости обоих объектов изменились после столкновения с u на v. Это показывает, что их соответствующий импульс после столкновения также изменился.
Для изолированная система,
«Полный импульс после столкновения точно такой же, как до столкновения, в соответствии с законом сохранения количества движения».
(Кредит: Shutterstock)
Предположим, что две мраморные гальки массой 10 кг и 5 кг движутся со скоростью 8 м / сек и 12 м / сек соответственно; сталкиваются друг с другом. После столкновения оба камешка удаляются друг от друга с одинаковой массой. Если один камешек удаляется со скоростью 10 м / сек, какова скорость второго?
Данный:
m1 = 10 кг
m2 = 5 кг
u1= 8 м / сек
u2= 12 м / сек
v1= 10 м / сек
Найти: v2 =?
Формула:
m1u1 + м2+u2 = м1v1 + м2+v2
Решения:
Закон закон сохранения импульса вычисляет скорость второй камешек,
Для изолированных систем, когда нет равнодействующая сила действует,
m1u1 + м2+u2 = м1v1 + м2+v2
Обратите внимание, что вторые объекты перемещаются напротив первого объекта. Следовательно, импульс второго объекта должен быть отрицательным.
Подставляя все значения,
10 x 8 + (- (5 x12) = 10 x 10 + (- (5xv2)
80 – 60 = 100 -5v2
5v2 = 100-20
v2 = 80 / 5
v2 = 16
Скорость второго камешка после столкновения составляет 16 м / сек.
Узнайте больше об относительной скорости.
Как найти импульс после упругого столкновения?
Импульс после упругого столкновения оценивается с помощью закона сохранения энергии.
Общая импульс сохраняется при столкновении. Кинетическая энергия соответствующего объекта может измениться после столкновения, но полная кинетическая энергия после упругого столкновения остается неизменной. Итак, мы можем найти импульс после упругого удара, используя закон сохранения энергии.
(Кредит: Shutterstock)
Когда столкновение между объектами является упругим, полная кинетическая энергия сохраняется.
Согласно закон сохранения энергии,
Переставляем уравнение (*) с помощью членов с m1 с одной стороны и членов с m2 с другой.
Теперь переставим уравнение (#), используя члены с m1 на одной стороне и члены с m2 на другой, и сократим ½ общего множителя,
Узнаем, что первый член слева равен «1» в приведенном выше уравнении, мы получаем.
………………. (1)
Подставьте приведенное выше уравнение в уравнение (*), чтобы исключить v2, мы получаем
Наконец измените приведенное выше уравнение и решите для скорость v1 объекта 1 после столкновения,
Подставьте приведенное выше уравнение в уравнение (1) скорость v2 объекта 2 после столкновения,
Узнайте больше о кинетической энергии.
Когда мяч массой 10 кг, движущийся со скоростью 2 м / с, упруго сталкивается с другим мячом массой 2 кг, движущимся в противоположном направлении со скоростью 4 м / с. Рассчитайте конечные скорости обоих шариков после упругого столкновения.
Данный:
m1 = 10 кг
m2 = 2 кг
u1 = 2 м / с
u2 = -4 м / с
Найти:
- v1 =?
- v2 =?
Формула:
Решения:
Скорость шара 1 после упругого столкновения рассчитывается как
Подставляя все значения,
v1 = 0
Это означает, что упругий удар остановил мяч 1.
Скорость шара 2 после упругого столкновения рассчитывается как
Подставляя все значения,
v2= 6 м / с
Это означает, что упругое столкновение изменяет скорость второго мяча до 6 м / с.
Как найти импульс после неупругого столкновения?
Импульс после столкновения определяется с помощью закона сохранения количества движения.
Полный импульс сохраняется во время столкновения. Но полная кинетическая энергия системы также изменяется, как и кинетическая энергия соответствующего объекта, и столкновение называется неупругим. Итак, мы можем найти импульс после неупругого столкновения, используя закон сохранения количества движения.
Если столкновение упругое, оба объекта удаляются друг от друга с разной скоростью v1, v2 в противоположных направлениях.
Но если столкновение неупругое, оба объекта движутся с одной конечной скоростью V в одном и том же направлении.
Следовательно, импульс Pf после неупругое столкновение становится м1В + м2V или V (м1+m2)
Итак, уравнение сохранение импульса при неупругом столкновении является,
m1u1 + м2+u2 = V (м1+m2)
Формула для окончательный скорость после неэластичный столкновение является,
V=(м1u1 + м2+u2) / (м1+m2)
Узнайте больше о скорости.
Два мальчика играют на детской площадке в парке. Первый мальчик массой 20 кг скользил по горке со скоростью 10 м / с. Поскольку первый мальчик на определенных участках становится медленнее, в последнее время он сталкивается с другим мальчиком массой 30 кг, который скользит вниз со скоростью 12 м / с. С какой скоростью оба мальчика соскользнут вместе после столкновения?
Данный:
m1 = 20 кг
m2 = 30 кг
u1 = 10 м / с
u2 = 12 м / с
Найти: В =?
Формула:
V=(м1u1 + м2+u2) / (м1+m2)
Решения:
Конечная скорость скольжения обоих мальчиков после столкновения рассчитывается как
V=(м1u1 + м2+u2) / (м1+m2)
Подставляя все значения,
V = 11.2
Конечная скорость скольжения обоих мальчиков после неупругого столкновения составляет 11.2 м / с.
