Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.
Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.
Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.
При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.
Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.
Абсолютно неупругий удар. Скорость
Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.
Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.
Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1.21.1, m – горизонтально летящая пуля с v→ скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.
Если скорость ящика с пулей обозначить как u→, тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:
mv=(M+m)u; u=mM+mv.
Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:
∆E=mv22-(M+m)u22=MM+m·mv22.
M (M + m) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда
∆EE0=MM+m=11+mM.
Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.
Когда m << М ∆EE0→12, тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆EE0→0, только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим (m>>М), отношение принимает вид ∆EE0→0.
Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем
(M+m)u22=(M+m)gh; u2=2gh.
В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что
v=M+mm2gh.
При известной высоте h возможно определение скорости пули v.
Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник.
Абсолютно упругий удар
Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.
Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1.21.2.
Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.
Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров.
Встречаются случаи, когда массы m1 и m2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем
m1v122=m1v122+m2v222.
За v1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v2=0 скорость второго шара, u1 и u2 – скорости после столкновения.
Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:
m1v1=m1u1+m2u2.
Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения.
u1=m1-m2v1m1+m2; u2=2m1v1m1+m2.
Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара (u1=0), а второй продолжает движение u2=v1. происходит обмен скоростями и импульсами.
При наличии нулевой скорости второго шара (v2≠0), задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v1’=v1–v2. После определения скорости шаров v1 и v2 производится переход к «неподвижной» системе.
С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.
Рисунок 1.21.3. Модель упругие и неупругие соударения.
При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.
Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1.21.4.
Рисунок 1.21.4. Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.
Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v1 и v2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d, изображенное на рисунке 1.21.4.
Предельное расстояние
Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v1→ летящего шара.
При одинаковых массах шаров векторы v1→ и v2→ имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m1=m2=m, тогда определение примет вид
v1→=u1→+u2→; v12=u12+u22.
Первое равенство значит, что векторы v1→, u1→, u2→ образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u1→ и u2→, равняется 90 градусов.
Рисунок 1.21.5. Модель соударения упругих шаров
Механическое взаимодействие в природе можно условно разделить на ударное и безударное.
Безударное взаимодействие – это притяжение и отталкивание.
Для ударного взаимодействия в задачах механики применяют закон сохранения импульса.
Виды ударов
В школьном курсе физики рассматривают два вида ударного взаимодействия: абсолютно упругий удар или абсолютно неупругий удар.
Если деформации тел при ударе нет, считают, что удар абсолютно упругий.
Если же деформация присутствует и после удара образуется новое тело – удар абсолютно неупругий.
Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары – это два крайних случая на шкале ударного взаимодействия
Рис. 1. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары – крайние случаи взаимного действия тел
При ударах большинства реальных тел часть энергии всегда тратится на деформацию этих тел. Поэтому, удары большинства реальных тел лежат на шкале между двумя крайними видами ударов.
Рассмотрим движение тел вдоль одной прямой. Тела либо двигаются навстречу, либо одно тело догоняет другое.
Абсолютно неупругий удар
Суть абсолютно неупругого удара кратко можно описать так: Две капли ртути катились, ударились, слились в общую каплю ртути.
Нарисуем капли ртути до удара. Отметим на рисунке массу каждой капли. Скорости капель укажем с помощью векторов, направленных по движению каждой капли.
Вычислим импульсы тел
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} = vec{p_{1text{до}}} )
( m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{2text{до}}} )
Рис. 2. Одно тело двигается навстречу другому вдоль одной прямой
Нарисуем ось, для того, чтобы определить знак для импульса каждой капли.
Импульс, сонаправленный с осью, будет иметь положительный знак, направленный против оси – отрицательный.
Сложим векторы импульсов, чтобы найти общий импульс системы – вектор (vec{p_{text{общ.до}}} ).
Каждый импульс запишем со своим знаком
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
Сделаем второй рисунок, описывающий ситуацию после абсолютно неупругого удара.
На этом рисунке укажем массу образовавшейся капли и ее скорость. Укажем стрелкой и символом (vec{v_{text{общ.после}}} ), куда движется капля после удара .
Ось поможет выбрать знак для импульса капли.
Рис. 3. После абсолютно неупругого удара образовалось новое тело, оно движется сонаправленно с телом, имевшим наибольший до удара импульс
На рисунке скорость сонаправлена с осью, поэтому, импульс капли после удара имеет положительный знак.
( left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Примечание: Иногда в условии задачи не уточняется, в какую сторону будет двигаться тело после удара. В таком случае, направление движения выбираем сами (влево или вправо на рисунке). Если в ходе решения получим импульс тела, или его скорость со знаком минус, значит, тело движется в противоположную сторону от указанного нами направления. Такой выбор направления ошибкой считаться не будет. А знак минус подскажет, что импульс (и скорость) нужно развернуть в противоположную сторону.
По закону сохранения импульса, векторы (vec{p_{text{общ.до}}}) и (vec{p_{text{общ.после}}}) равны.
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
( left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
(vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Значит, закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара запишем в таком виде:
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} )
При абсолютно неупругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Не выполняется закон сохранения энергии, так как часть энергии тратится на деформацию тел.
Примечание: Встречаются задачи вида: человек на льду бросил гирю в горизонтальном направлении, гиря полетела в одну сторону, а человек – в противоположную. Такие задачи решаем, применяя принципы для абсолютно неупругого удара. С той лишь разницей, что меняем местами рисунки до и после удара. Вначале тела находились вместе, после броска – разлетелись в противоположные стороны.
Абсолютно упругий удар
Кратко суть абсолютно упругого удара опишем так: Два бильярдных шара катились, без деформации ударились, и разбежались в разные стороны.
Составим рисунок для ситуации до удара. Отметим на рисунке массу каждого шара. Скорости шаров укажем с помощью векторов, направленных по движению каждого шара.
Запишем импульсы шаров до удара
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} = vec{p_{1text{до}}} )
( m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{2text{до}}} )
Рис. 4. До удара два тела двигаются навстречу вдоль одной прямой
Нарисуем ось, чтобы определить знаки импульсов каждого шара. Сонаправленный с осью импульс имеет знак «+», направленный против оси – знак «-».
Сложим импульсы и найдем общий импульс системы – вектор (vec{p_{text{общ.до}}} ).
Каждый импульс записываем со своим знаком
( m_{1} cdot vec{v_{text{1до}}} — m_{2} cdot vec{v_{text{2до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
На втором рисунке опишем задачу после абсолютно упругого удара.
Укажем массы шаров, их скорости нарисуем стрелками в направлении движения каждого шара. Обозначим скорости символами (vec{v_{text{1после}}} ) и (vec{v_{text{2после}}} ).
С помощью проведенной оси выбираем знаки импульсов шаров.
Составим выражение для общего импульса после удара.
( — m_{1} cdot vec{v_{text{1после}}} + m_{2} cdot vec{v_{text{2после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Рис. 5. После удара тела двигаются в противоположных направлениях
Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса
(vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Запишем его в развернутом виде для абсолютно упругого удара:
( m_{1} cdot vec{v_{text{1до}}} — m_{2} cdot vec{v_{text{2до}}} = — m_{1} cdot vec{v_{text{1после}}} + m_{2} cdot vec{v_{text{2после}}} )
При абсолютно упругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Выполняется закон сохранения энергии.
Алгоритм решения задач на тему закон сохранения импульса
Решение большинства задач на закон сохранения импульса можно проводить по такому алгоритму:
- Убеждаемся, что систем замкнутая. О видах систем написано тут.
- На рисунке описываем ситуацию до удара.
- Складываем импульсы всех тел системы до удара. Полученный вектор – это ( vec{p_{text{общ.до}}})
- Составляем второй рисунок, на котором представляем ситуацию после удара.
- Складываем импульсы всех тел системы после удара. Полученный вектор – это ( vec{p_{text{общ.после}}})
- Приравниваем импульсы ( vec{p_{text{общ.до}}}) до удара и ( vec{p_{text{общ.после}}}) после удара
Если тела двигаются под углом друг к другу (вдоль непараллельных прямых)
При решении таких задач, нужно помнить, что, векторы ( vec{p_{text{общ}}}) равны. Значит, когда нам известен один из векторов, автоматически становится известен и второй вектор.
Поэтому, когда нужно определить импульс тела в задачах, в которых тела не двигаются вдоль одной прямой, мы ищем тот импульс ( vec{p_{text{общ}}}) , который нам удобнее найти. А после этого применяем тот факт, что векторы равны ( vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}}).
Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 19.9k
Закон сохранения импульса
Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.
Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.
Мера инертности – масса.
Таким образом можно сделать следующие выводы:
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.
Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.
Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.
Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями 
и 
соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через 
и 
приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками 
. Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением 
. Мы знаем, что коэффициенты 
и 
не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.
Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.
Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как 
и 
соответственно, а после взаимодействия — 
и 
. В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — 
и 
. Следовательно, соотношение можно записать так — 
.
Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —
Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит —
.
.Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — 
, где 
и 
. Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.
Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.
Закон сохранения энергии
Необходимое определение:
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.
Формулировка закона сохранения энергии:
В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы 
, действующие на точку, можно определить так: можно определить так: 
. 
– потенциальная энергия материальной точки. 
Помножим обе части на 
и получим 
. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии. 
Упругие и неупругие столкновения
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.Два шара 
, 
с 
и 
испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса 
. Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — 
. Кинетические энергии до и после удара: 
и 
. Найдем разность
,
где 
– приведенная масса шаров. Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.
Два шара ![clip_image002[2]](https://i1.wp.com/optoelectrosys.ru/wp-content/uploads/2012/05/clip_image0022_thumb1.png?w=586 "clip_image002[2]")
, ![clip_image004[2]](https://i0.wp.com/optoelectrosys.ru/wp-content/uploads/2012/05/clip_image0042_thumb1.png?w=586 "clip_image004[2]")
с ![clip_image006[3]](https://i1.wp.com/optoelectrosys.ru/wp-content/uploads/2012/05/clip_image0063_thumb2.png?w=586 "clip_image006[3]")
и ![clip_image008[3]](https://i0.wp.com/optoelectrosys.ru/wp-content/uploads/2012/05/clip_image0083_thumb2.png?w=586 "clip_image008[3]")
до соударения и 
и 
после. По закону сохранения импульса и энергии: 
, 
. Решением системы может стать 
и 
. Это значит, что шары не встретились. Потребуем 
и 
и перепишем уравнения в виде: 
, 
. Второе уравнение делим почленно на первое и получаем 
. Решаем систему из двух линейных уравнений и имеем: 
, 
.
Post Views:
67 537
|
Импульс. Закон сохранения импульса. |
|
|
При решении динамических задач необходимо знать какие силы действуют на тело, закон, позволяющий рассчитать конкретную силу. Цель: получить решение задачи механики исходя из начальных условий, не зная конкретного вида взаимодействия. |
|
|
Законы Ньютона в полученной ранее форме не позволяют решать задачи на движение тела с переменной массой и при скоростях, сравнимых со скоростью света. Цель: получить записи законов Ньютона в форме, справедливой для этих условий. |
|
|
Импульс силы Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы за некоторый промежуток времени. – импульс силы за малый промежуток времени t.
Вектор импульса силы сонаправлен с вектором силы. |
[ I ]= Нс |
|
Импульс тела. (Количество движения) Векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения и равная произведению массы тела на его скорость. Вектор импульса тела сонаправлен с вектором скорости тела. |
[ p ]= кг м/с |
|
Основное уравнение динамики. |
|
|
Из второго закона Ньютона: |
|
|
Тогда получим: – второй закон Ньютона в импульсной форме |
|
|
( Dt = t – t0 = t при t = 0). |
|
|
Импульс силы равен изменению импульса тела Вектора импульса силы и изменения импульса тела сонаправлены. |
|
|
Неупругий удар (шарик “прилипает” к стенке): |
|
|
Абсолютно упругий удар (шарик отскакивает с прежней по величине скоростью): |
|
| Закон сохранения импульса. | |
|
До взаимодействия |
|
|
После взаимодействия |
|
|
Согласно 3 з-ну Ньютона: , следовательно: |
|
|
Геометрическая (векторная) сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной. |
|
|
Замкнутой называется система тел, взаимодействующих только друг с другом и не взаимодействующих с другими телами. Можно пользоваться и для незамкнутых систем, если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, или процесс происходит очень быстро, когда внешними воздействиями можно пренебречь (взрыв, атомные процессы). |
|
|
В общем виде: т.к. система замкнутая, то , следовательно |
|
|
Примеры применения закона сохранения импульса:
|
Основные теоретические сведения
[custom_ads_shortcode1]
Импульс тела
К оглавлению…
Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:
Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.
Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:
Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):
где: pн – импульс тела в начальный момент времени, pк – в конечный. Главное не путать два последних понятия.
Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.
Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.
[custom_ads_shortcode2]
Закон сохранения импульса
К оглавлению. . .
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:
Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:
Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:
Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.
[custom_ads_shortcode3]
Сохранение проекции импульса
К оглавлению…
Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю.
Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.
[custom_ads_shortcode1]
Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод
К оглавлению…
В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:
Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов.
[custom_ads_shortcode2]
Математика
В этом разделе представлены теория и задачи по математике, необходимые для успешной подготовки к ЦТ или ЕГЭ. Список основных тем из школьной математики:
Смотрите также:
- Все учебные материалы
- Справочники
- Задачники и учебники
[custom_ads_shortcode3]
Физика
В этом разделе представлены теория и задачи по физике, необходимые для успешной подготовки к ЦТ или ЕГЭ. Список основных тем из школьной физики:
Смотрите также:
- Все учебные материалы
- Справочники
- Задачники и учебники
[custom_ads_shortcode1]
Формулы, методы и другая справочная информация
В этом разделе сайта представлены различные списки формул по физике и математике, а также приведена другая необходимая справочная информация. Знание физических и математических формул и методов является одним из ключевых элементов успешной подготовки к ЦТ или ЕГЭ. В этом разделе смотрите:
[custom_ads_shortcode2]
Итоговые тесты по физике и математике
В этом разделе сайта представлены итоговые тесты по физике и математике, которые позволят абитуриентам успешно повторить изученный материал и систематизировать свои знания по физике и математике. Решение этих тестов поможет поступающим успешно сдать ЦТ или ЕГЭ.
Подробнее…
[custom_ads_shortcode3]
Другая полезная информация для абитуриентов
В этом разделе сайта представлены различные советы и рекомендации по подготовке и сдаче ЦТ и ЕГЭ. А также советы о том, как правильно организовать процесс изучения физики и математики дома для абитуриентов. В этом разделе смотрите:
[custom_ads_shortcode1]
Высшая математика
В этом разделе сайта приведена теория, задачи, тесты и формулы по высшей математике. Эта информация поможет поступившим в ВУЗы ученикам разобраться в этом сложном предмете и получить отличные оценки на экзаменах в ВУЗе. Представлена информация в следующих категориях:
- Основы высшей математики
- Теоретические сведения
- Теория вероятностей
[custom_ads_shortcode2]
Материалы для поступающих в Польшу
В этом разделе собраны материалы, которые помогут ученикам подготовится и поступить в польский университет. В основном материалы представляют из себя польские тесты по многим предметам, в том числе по физике и математике, но имеется также и другая полезная информация.
Подробнее…
[custom_ads_shortcode3]
Научно-популярные статьи
В этом разделе собраны различные интересные факты в виде научно-популярных статей, в которых сложные вещи излагаются простым языком без лишних формул. Эти статьи помогут убедиться в особенной занимательности науки, полюбить физику и математику, а также отвлечься и развеяться во время трудоемкой и скучной подготовки к экзаменам.
Подробнее…
Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.
Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.
Импульс это векторная величина, которая определяется по формуле
Импульс служит мерой того, насколько велика должна быть сила, действующая в течение определенного времени, чтобы остановить или разогнать его с места до данной скорости. Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости.
Если тело покоится, импульс равен нулю. Ненулевым импульсом обладает любое, движущееся тело. Например, когда мяч покоится, его импульс равен нулю.
После удара он приобретает импульс. Импульс тела изменяется, так как изменяется скорость.
[custom_ads_shortcode1]
Импульс силы
Это векторная величина, которая определяется по формуле.
Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона
Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела. Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара – 30 м/с.
Сила, с которой нога действовала на мяч – 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.
[custom_ads_shortcode2]
Изменение импульса тела
Как определить изменение импульса тела? Необходимо найти численное значение импульса в один момент времени, затем импульс через промежуток времени. От второй найденной величины отнять первую. Внимание! Вычитать надо вектора, а не числа. То есть из второго вектора импульса отнять первый вектор. Смотрите вычитание векторов. Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара. 1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры, сила тяжести.
Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола. 2) Изменение импульса тела изображено на рисунке
3) Из второго закона Ньютона.
[custom_ads_shortcode3]
Главное запомнить
1) Формулы импульса тела, импульса силы; 2) Направление вектора импульса; 3) Находить изменение импульса тела
[custom_ads_shortcode1]
Вывод второго закона Ньютона в общем виде
[custom_ads_shortcode2]
График F(t). Переменная сила
Импульс силы численно равен площади фигуры под графиком F(t).
Если же сила непостоянная во времени, например линейно увеличивается F=kt, то импульс этой силы равен площади треугольника. Можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину за тот же промежуток времени
Средняя равнодействующая сила.
Источники:
- www.eduspb.com
- educon.by
- educon.by
- fizmat.by
