Как найти индекс группы

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or .
Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula

(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite).
Thus the index measures the “relative sizes” of G and H.

For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.

When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange’s theorem that divides .

When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite.
For example, , but is infinite.

If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.

Properties[edit]

• If H is a subgroup of G and K is a subgroup of H, then

• If H and K are subgroups of G, then

with equality if . (If is finite, then equality holds if and only if .)

• Equivalently, if H and K are subgroups of G, then

with equality if . (If is finite, then equality holds if and only if .)

• Let G be a group acting on a set X, and let x ∈ X. Then the cardinality of the orbit of x under G is equal to the index of the stabilizer of x:

This is known as the orbit-stabilizer theorem.

where ! denotes the factorial function; this is discussed further below.

• As a corollary, if the index of H in G is 2, or for a finite group the lowest prime p that divides the order of G, then H is normal, as the index of its core must also be p, and thus H equals its core, i.e., it is normal.
• Note that a subgroup of lowest prime index may not exist, such as in any simple group of non-prime order, or more generally any perfect group.

Examples[edit]

.

Infinite index[edit]

If H has an infinite number of cosets in G, then the index of H in G is said to be infinite. In this case, the index is actually a cardinal number. For example, the index of H in G may be countable or uncountable, depending on whether H has a countable number of cosets in G. Note that the index of H is at most the order of G, which is realized for the trivial subgroup, or in fact any subgroup H of infinite cardinality less than that of G.

Finite index[edit]

A subgroup H of finite index in a group G (finite or infinite) always contains a normal subgroup N (of G), also of finite index. In fact, if H has index n, then the index of N will be some divisor of n! and a multiple of n; indeed, N can be taken to be the kernel of the natural homomorphism from G to the permutation group of the left (or right) cosets of H.
Let us explain this in more detail, using right cosets:

The elements of G that leave all cosets the same form a group.

Let us call this group A. Let B be the set of elements of G which perform a given permutation on the cosets of H. Then B is a right coset of A.

What we have said so far applies whether the index of H is finite or infinte. Now assume that it is the finite number n. Since the number of possible permutations of cosets is finite, namely n!, then there can only be a finite number of sets like B. (If G is infinite, then all such sets are therefore infinite.) The set of these sets forms a group isomorphic to a subset of the group of permutations, so the number of these sets must divide n!. Furthermore, it must be a multiple of n because each coset of H contains the same number of cosets of A. Finally, if for some c ∈ G and a ∈ A we have ca = xc, then for any d ∈ G dca = dxc, but also dca = hdc for some h ∈ H (by the definition of A), so hd = dx. Since this is true for any d, x must be a member of A, so ca = xc implies that cac⁻¹ ∈ A and therefore A is a normal subgroup.

The index of the normal subgroup not only has to be a divisor of n!, but must satisfy other criteria as well. Since the normal subgroup is a subgroup of H, its index in G must be n times its index inside H. Its index in G must also correspond to a subgroup of the symmetric group S_n, the group of permutations of n objects. So for example if n is 5, the index cannot be 15 even though this divides 5!, because there is no subgroup of order 15 in S₅.

In the case of n = 2 this gives the rather obvious result that a subgroup H of index 2 is a normal subgroup, because the normal subgroup of H must have index 2 in G and therefore be identical to H. (We can arrive at this fact also by noting that all the elements of G that are not in H constitute the right coset of H and also the left coset, so the two are identical.) More generally, a subgroup of index p where p is the smallest prime factor of the order of G (if G is finite) is necessarily normal, as the index of N divides p! and thus must equal p, having no other prime factors. For example, the subgroup Z₇ of the non-abelian group of order 21 is normal (see List of small non-abelian groups and Frobenius group#Examples).

An alternative proof of the result that a subgroup of index lowest prime p is normal, and other properties of subgroups of prime index are given in (Lam 2004).

Examples[edit]

The group O of chiral octahedral symmetry has 24 elements. It has a dihedral D₄ subgroup (in fact it has three such) of order 8, and thus of index 3 in O, which we shall call H. This dihedral group has a 4-member D₂ subgroup, which we may call A. Multiplying on the right any element of a right coset of H by an element of A gives a member of the same coset of H (Hca = Hc). A is normal in O. There are six cosets of A, corresponding to the six elements of the symmetric group S₃. All elements from any particular coset of A perform the same permutation of the cosets of H.

On the other hand, the group T_h of pyritohedral symmetry also has 24 members and a subgroup of index 3 (this time it is a D_2h prismatic symmetry group, see point groups in three dimensions), but in this case the whole subgroup is a normal subgroup. All members of a particular coset carry out the same permutation of these cosets, but in this case they represent only the 3-element alternating group in the 6-member S₃ symmetric group.

Normal subgroups of prime power index[edit]

Normal subgroups of prime power index are kernels of surjective maps to p-groups and have interesting structure, as described at Focal subgroup theorem: Subgroups and elaborated at focal subgroup theorem.

There are three important normal subgroups of prime power index, each being the smallest normal subgroup in a certain class:

As these are weaker conditions on the groups K, one obtains the containments

These groups have important connections to the Sylow subgroups and the transfer homomorphism, as discussed there.

Geometric structure[edit]

An elementary observation is that one cannot have exactly 2 subgroups of index 2, as the complement of their symmetric difference yields a third. This is a simple corollary of the above discussion (namely the projectivization of the vector space structure of the elementary abelian group

,

and further, G does not act on this geometry, nor does it reflect any of the non-abelian structure (in both cases because the quotient is abelian).

However, it is an elementary result, which can be seen concretely as follows: the set of normal subgroups of a given index p form a projective space, namely the projective space

In detail, the space of homomorphisms from G to the (cyclic) group of order p, is a vector space over the finite field A non-trivial such map has as kernel a normal subgroup of index p, and multiplying the map by an element of (a non-zero number mod p) does not change the kernel; thus one obtains a map from

to normal index p subgroups. Conversely, a normal subgroup of index p determines a non-trivial map to up to a choice of “which coset maps to which shows that this map is a bijection.

As a consequence, the number of normal subgroups of index p is

for some k; corresponds to no normal subgroups of index p. Further, given two distinct normal subgroups of index p, one obtains a projective line consisting of such subgroups.

For the symmetric difference of two distinct index 2 subgroups (which are necessarily normal) gives the third point on the projective line containing these subgroups, and a group must contain index 2 subgroups – it cannot contain exactly 2 or 4 index 2 subgroups, for instance.

See also[edit]

• Virtually
• Codimension

References[edit]

External links[edit]

• Normality of subgroups of prime index at PlanetMath.
• “Subgroup of least prime index is normal” at Groupprops, The Group Properties Wiki

Множество
всех левых смежных классов группы G по
подгруппе H называется фактормножеством
группы G по подгруппе H и обозначается
(иногдаи– соответственно для левых и правых
смежных классов).

Таким
образом

. (3)

Мощность
множества
-называетсяиндексом
подгруппы
H в группе G.

Индекс
подгруппы
H в группе G обозначается

. (4)

В
этих обозначениях
– означает число левых смежных классов
группыпо единичной подгруппе,
т.е.

. (5)

Учитывая,
что
,
получаем

. (6)

В
других обозначениях.

Пусть
– порядок конечной группы;

–порядок
подгруппы
;

–индекс
подгруппы
в группе.

Тогда

. (7)

Для
конечных групп из (7) можно выразить
индекс

. (8)

Из
выражений (7), (8) следует классическая

Теорема Лагранжа. Порядок
конечной группыделится на порядоккаждой своей подгруппы.

Следствие. 

1. Порядок
любого элемента делит порядок группы.

2. Группа
простого порядка p всегда циклическая
и, с точностью до изоморфизма, единственная.

Доказательство. 

Так
как порядок любого элемента
совпадает с порядком ее циклической
подгруппы, образованной этим элементом,

,

то,
как и ранее, обозначая

–порядок
конечной группы,

–порядок
подгруппы
,

–индекс
подгруппы
в группе,
приходим к (6), т.е.

.

Пусть
– простое число, а– неединичная подгруппа. Тогда делимостьна |H| означает, что

,

т.е.
совпадает с циклической подгруппой,
порожденной элементом,
а все циклические группы конечного
(данного) порядка изоморфны. Это позволяет
говорить о единственности.

Замечание. Теорема
Лагранжа утверждает, что если
,
a,
то

,

т.е.
порядок
любой подгруппы H группы G делит N –
порядок группы G.

Естественно,
возникает вопрос об обратной теореме:
если m является делителем
,
то существует ли в группе G подгруппа H
порядка m?

Другими
словами: существует ли для каждого
делителя m порядка группы N подгруппы H
группы G порядка m?

В
общем случае ответ отрицательный, однако
в некоторых частных случаях такое
обращение
теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. (обращение
теоремы Лагранжа)

1. Всякая подгруппа
циклической группы есть снова циклическая
группа.

2. Подгруппы
бесконечной циклической группы
исчерпываются бесконечными группами.

3. Подгруппы
циклической группы порядка
находятся во взаимно однозначном
соответствии с положительными делителямичисла.

Доказательство. 

Докажем
1. Пусть
– произвольная циклическая группа
порядка.
Для определенности будем предполагать,
что– аддитивная группа.

В
этом случае общий элемент группы
имеет вид

.

Пусть
– произвольная неединичная подгруппа
группы,
т.е..

Так
как
,
то элементами подгруппыявляются элементы вида,
но если.

Среди
всех элементов вида
,
выберем элемент

,
где
– наименьшее положительное число.

Тогда
любое
можно представить в виде:

.

Из
того, что

,

но
m – наименьшее число, удовлетворяющее
условию

mgH

r = 0 
H =<mg>,

т.е.
Н – циклическая группа с образующим
элементом
mg.

Докажем
2.  Подгруппы
бесконечной циклической группы
исчерпываются бесконечными группами.

Действительно,так
как
– циклическая группа с образующим
элементом 1 или,
т.е.

,

то,
в соответствии с пунктом 1 данной теоремы,
любая подгруппа H циклической группы
определяется натуральным числоми имеет вид

,

причем
все эти подгруппы бесконечны.

Докажем
3. Подгруппы
циклической группы порядка
находятся во взаимно однозначном
соответствии с положительными делителямичисла.

Пусть,
как и ранее,
– аддитивная циклическая группа порядка,
т.е.

.

Если
,
причем, если элемент

.

Нам
надо доказать, что
делит.

Действительно,
представим

.

Тогда
из того, что

,

а
минимальность
влечет,
следовательно.

Таким
образом, из того, что
,
следует, что подгруппаимеет порядок,
т.е.

.

Когда
пробегает по всем положительным делителям
числа,
то же самое делает и,
и мы получаем ровно по одной подгруппе
порядка,
делящего.

Следствие. В
циклической группе
порядкаподгруппапорядкасовпадает с множеством элементов,
таких, что.

Доказательство. Элементы
циклической группе
порядкаимеют
вид

Если
,
тои.

Обратно,
пусть
и.

Из
условия
следует, что,
откудаи.

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ АиГ

• #
• #
• #
• #
• #
• #

У этого термина существуют и другие значения, см. Индекс.

Индекс подгруппы в группе ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы по этой подгруппе (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы в группе обычно обозначается .

Связанные определения[править | править код]

• Если число смежных классов конечно, то называется подгруппой конечного индекса в .

Свойства[править | править код]

• Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
• Произведение порядка подгруппы на её индекс равно порядку группы (теорема Лагранжа).
  • Это соотношение имеет место как для конечной группы , так и в случае бесконечной ― для соответствующих мощностей.
• Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа подгрупп данного индекса данной группы через число гомоморфизмов из в симметрическую группу .

  

Литература[править | править код]

• Wilfried Imrich  (англ.) (рус., On the number of subgroups of given index in , Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Оформить статью по правилам. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

В математике, в частности теории групп, индекс подгруппы H в группе G – это количество левых смежных классов группы H в G, или, что эквивалентно, количество правых смежных классов группы H в G. Индекс обозначается | G: H | { displaystyle | G: H |}или [G: H] { displaystyle [G: H]}или (G: H) { displaystyle (G: H)}. Поскольку G является непересекающимся объединением левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер , что и H, индекс связан с порядками двух групп по формуле

| G | = | G: H | | H | { displaystyle | G | = | G: H || H |}

(интерпретируйте величины как кардинальные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс | G: H | { displaystyle | G: H |}измеряет «относительные размеры» G и H.

Например, пусть G = Z { displaystyle G = mathbb { Z}}будет группой целых чисел под сложением, и пусть H = 2 Z { displaystyle H = 2 mathbb {Z}}– подгруппа, состоящая из четных целых чисел. Тогда 2 Z { displaystyle 2 mathbb {Z}}имеет два смежных класса в Z { displaystyle mathbb {Z}}, а именно набор четные целые числа и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс | Z: 2 Z | { displaystyle | mathbb {Z}: 2 mathbb {Z} |}равно 2. В общем, | Z: n Z | = n { displaystyle | mathbb {Z}: n mathbb {Z} | = n}для любого положительного целого числа n.

Когда G равно конечному, формула может быть записана как | G: H | = | G | / | H | { displaystyle | G: H | = | G | / | H |}, и из этого следует теорема Лагранжа, что | H | { displaystyle | H |}делит | G | { displaystyle | G |}.

Когда G бесконечно, | G: H | { displaystyle | G: H |}– ненулевое кардинальное число, которое может быть конечным или бесконечным. Например, | Z: 2 Z | = 2 { displaystyle | mathbb {Z}: 2 mathbb {Z} | = 2}, но | R: Z | { displaystyle | mathbb {R}: mathbb {Z} |}бесконечно.

Если N является нормальной подгруппой группы G, то | G: N | { displaystyle | G: N |}равен порядку факторгруппы G / N { displaystyle G / N}, поскольку базовый набор G / N { displaystyle G / N}является набором смежных классов N в G.

Содержание

• 1 Свойства
• 2 Примеры
• 3 Бесконечный индекс
• 4 Конечный индекс
  • 4.1 Примеры
• 5 Нормальные подгруппы индекса степени простого числа
  • 5.1 Геометрическая структура
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Свойства

• Если H – подгруппа в G, а K – подгруппа в H, то

| G: K | = | G: H | | H: K |. { displaystyle | G: K | = | G: H | , | H: K |.}

• Если H и K являются подгруппами G, то

| G: H ∩ K | ≤ | G: H | | G: K |, { displaystyle | G: H cap K | leq | G: H | , | G: K |,}

с равенством, если HK = G { displaystyle HK = G}. (Если | G: H ∩ K | { displaystyle | G: H cap K |}конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда HK = G { displaystyle HK = G}.)

• Эквивалентно, если H и K являются подгруппами G, то

| H: H ∩ K | ≤ | G: K |, { displaystyle | H: H cap K | leq | G : K |,}

с равенством, если HK = G { displaystyle HK = G}. (Если | H: H ∩ K | { displaystyle | H: H cap K |}конечно, тогда равенство выполняется тогда и только тогда, когда HK = G { displaystyle HK = G}.)

| G: ker φ | = | im φ |. { displaystyle | G: operatorname {ker} ; varphi | = | operatorname {im} ; varphi |.}

• Пусть G – группа , действующая на множестве X, и пусть x ∈ X. Тогда мощность на орбите x под G равна индексу стабилизатор of x:

| G x | = | G: G x |. { displaystyle | Gx | = | G: G_ {x} |. !}

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты.

| G: Core ⁡ (H) | ≤ | G: H | ! { displaystyle | G: operatorname {Core} (H) | leq | G: H |!}

где! обозначает функцию факториала ; это обсуждается далее ниже.

• Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы наименьшее простое число p, которое делит порядок группы G, то H является нормальным, как индекс его ядро ​​также должно быть p, и, следовательно, H равно его ядру, то есть это нормально.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим индексом простого числа может не существовать, например, в любой простой группе непростого порядка или, в более общем смысле, любая совершенная группа.

Примеры

{(x, y) ∣ x четно}, {(x, y) ∣ y четно} и {(x, y) ∣ x + y четно} { displaystyle {(x, y) mid x { text {четно}} }, quad {(x, y) mid y { text {четно}} }, quad { text {and}} quad {(x, y) mid x + y { text {четно}} }}.

Бесконечный индекс

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G, то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс | G: H | { displaystyle | G: H |}на самом деле кардинальное число. Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным, в зависимости от того, имеет ли H счетное количество смежных классов в G. Обратите внимание, что индекс H не превышает порядок группы G, который реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы H бесконечной мощности меньше, чем у G.

Конечный индекс

Бесконечная группа G может иметь подгруппы H конечный индекс (например, четные числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальную подгруппу N (группы G), также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n, то индекс N можно принять как некоторый множитель n !; действительно, N можно рассматривать как ядро ​​естественного гомоморфизма из G в группу перестановок левых (или правых) смежных классов H.

Частный случай, n = 2, дает общий результат, что подгруппа с индексом 2 является нормальной подгруппой, потому что нормальная подгруппа (N выше) должна иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентична исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса p, где p – наименьший простой фактор порядка группы G (если G конечна), обязательно нормальна, поскольку индекс группы N делит p! и, следовательно, должен быть равен p, не имея других простых множителей.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа с наименьшим простым индексом p является нормальной, а другие свойства подгрупп с простым индексом приведены в (Lam 2004).

Примеры

Приведенные выше соображения справедливы также для конечных групп. Например, группа O хиральной октаэдрической симметрии имеет 24 элемента. В ней есть подгруппа диэдра D4(на самом деле она имеет три таких) порядка 8 и, следовательно, индекса 3 в O, которую мы назовем H. Эта группа диэдра имеет 4- член D 2 подгруппа, которую мы можем назвать A. Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же самого смежного класса H (Hca = Hc). A – это нормально в O . Есть шесть смежных классов A, соответствующих шести элементам симметрической группы S3. Все элементы из любого конкретного смежного класса A выполняют одну и ту же перестановку смежных классов H.

С другой стороны, группа T h с пиритоэдрической симметрией также имеет 24 члена и подгруппа индекса 3 (на этот раз это группа призматической симметрии D 2h, см. точечные группы в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все члены конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную переменную группу в 6-членной симметричной группе S 3.

Нормальные подгруппы индекса простой степени

Нормальные подгруппы индекса простой степени являются ядрами сюръективных отображений в p-группы и имеют интересную структуру, как описано в теореме о фокальной подгруппе: подгруппы и подробно изложены в теореме о фокальной подгруппе.

Существует три важных нормальных подгруппы с индексом простой степени, каждая из которых является самой маленькой нормальной подгруппой в определенном классе:

• E(G) – пересечение всех нормальных подгрупп индекса p; G / E (G) – это элементарная абелева группа, и это самая большая элементарная абелева p-группа, на которую G сюрпризирует.
• A(G) – это пересечение всех нормальных подгруппы K такие, что G / K является абелевой p-группой (т. е. K является индексом pk { displaystyle p ^ {k}}нормальная подгруппа, содержащая производную группу [ G, G] { displaystyle [G, G]}): G / A (G) – наибольшая абелева p-группа (не обязательно элементарная), на которую G сюрпризирует.
• O(G) – это пересечение всех нормальных подгрупп K группы G, таких что G / K является (возможно, неабелевой) p-группой (т. Е. K является индексом pk { displaystyle p ^ {k }}нормальная подгруппа): G / O (G) – самая большая p-группа (не обязательно абелева), на которую G сюрпризирует. O (G) также известна как p-остаточная подгруппа .

Поскольку это более слабые условия на группы K, мы получаем включения

E p (G) ⊇ A p (G) ⊇ O p (G). { displaystyle mathbf {E} ^ {p} (G) supseteq mathbf {A} ^ {p} (G) supseteq mathbf {O} ^ {p} (G).}

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и гомоморфизмом переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы с индексом 2, поскольку дополнение их симметричной разности дает третий. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

G / E p (G) ≅ (Z / p) k { displaystyle G / mathbf {E} ^ {p} (G) cong ( mathbf {Z} / p) ^ {k}},

и далее, G не влияет на эту геометрию и не отражает какую-либо неабелеву структуру (в в обоих случаях, потому что фактор абелев).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп с заданным индексом p образуют проективное пространство, а именно проективное пространство

P (Hom ⁡ (G, Z / p)). { displaystyle mathbf {P} ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)).

Подробно, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p, Hom ⁡ (G, Z / p), { displaystyle operatorname {Hom} (G, mathbf {Z } / p),}– векторное пространство над конечным полем F p = Z / p. { displaystyle mathbf {F} _ {p} = mathbf {Z} / p.}Не- тривиальная такая карта имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p и умножение карты на элемент (Z / p) × { displaystyle ( mathbf {Z} / p) ^ { times}}(ненулевое число по модулю p) не изменяет ядро; таким образом, можно получить карту из

P (Hom ⁡ (G, Z / p)): = (Hom ⁡ (G, Z / p)) ∖ {0}) / (Z / p) × { displaystyle mathbf {P} ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)): = ( operatorname {Hom} (G, mathbf {Z} / p)) setminus {0 }) / ( mathbf {Z} / p) ^ { times}}

в нормальные подгруппы индекса p. И наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение в Z / p { displaystyle mathbf {Z} / p}с точностью до выбора “, который сопоставляется с 1 ∈ Z / p, { displaystyle 1 in mathbf {Z} / p,}, что показывает, что эта карта является биекцией.

Как следствие, количество нормальные подгруппы индекса p равны

(pk + 1-1) / (p – 1) = 1 + p + ⋯ + pk { displaystyle (p ^ {k + 1} -1) / (p-1) = 1 + p + cdots + p ^ {k}}

для некоторого k; k = – 1 { displaystyle k = -1}не соответствует нормальным подгруппам индекса p. Далее, учитывая две различные нормальные подгруппы индекса p, получается проективная линия, состоящая из p + 1 { displaystyle p + 1}таких подгрупп.

Для p = 2, { displaystyle p = 2,}симметричная разность двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно нормальны) дает третий балл проективная линия, содержащая эти подгруппы, а группа должна содержать 0, 1, 3, 7, 15,… { displaystyle 0,1,3,7,15, ldots}подгруппы индекса 2 – например, он не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2.

См. Также

• Практически
• Кодисперсия

Ссылки

Внешние ссылки

• Нормальность подгрупп простого индекса на PlanetMath.org.
• “Подгруппа наименьшего простого индекса является нормальной “в Groupprops, The Group Properties Wiki

В математике , в частности теории групп , то индекс из подгруппы H в группе G является число левых смежных классов из H в G , или , что эквивалентно, число правых смежных классов H в G . Индекс обозначается или или . Поскольку G является непересекающимся объединением левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер, что и H , индекс связан с порядками двух групп по формуле

(интерпретируйте величины как количественные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс измеряет «относительные размеры» из G и H .

Например, пусть будет группа целых чисел при сложении , и пусть будет подгруппа, состоящая из четных целых чисел . Тогда имеет два смежных класса, а именно набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс равен 2. В более общем смысле, для любого положительного целого числа n .

Когда G является конечным , то формула может быть записана в виде , и это означает
, теорему Лагранжа , что водоразделы .

Когда G бесконечна, – ненулевое кардинальное число, которое может быть конечным или бесконечным. Например,, но бесконечно.

Если N является нормальной подгруппой в G , то равно порядку группы фактор , так как базовый набор является множеством смежных классов N в G .

Свойства

• Если H – подгруппа группы G, а K – подгруппа H , то

• Если H и K – подгруппы группы G , то

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .)

• Эквивалентно, если H и K – подгруппы группы G , то

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .)

• Пусть G является группой действующих на множестве X , и пусть х  ∈  X . Тогда мощность на орбите по й при G равна индексу стабилизатора от й :

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты .

где ! обозначает факториальную функцию; это обсуждается ниже .

• Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы наименьшее простое число p, которое делит порядок G, то H является нормальным, поскольку индекс его ядра также должен быть p, и, таким образом, H равно его ядро, т.е. это нормально.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим простым индексом может не существовать, например, в любой простой группе непростого порядка или, в более общем смысле, в любой совершенной группе .

Примеры

.

Бесконечный индекс

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G , то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс фактически является количественным числом . Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным , в зависимости от того , Н имеет счетное число смежных классов G . Отметим, что индекс группы H не превосходит порядка G, который реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы H бесконечной мощности, меньшей, чем у G.

Конечный индекс

Бесконечная группа G может иметь подгруппы H конечного индекса (например, четные целые числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальную подгруппу N (группы G ) также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n , то индекс N можно принять как некоторый множитель n !; на самом деле, N может быть выбран ядром естественного гомоморфизма от G до группы перестановок левого (или правого) смежных классов H .

Частный случай, n = 2, дает общий результат, что подгруппа с индексом 2 является нормальной подгруппой, потому что нормальная подгруппа ( N выше) должна иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентична исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса p, где p – наименьший простой фактор порядка группы G (если G конечна), обязательно нормальна, так как индекс группы N делит p ! и, следовательно, должен быть равен p, не имея других простых множителей.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа младшего простого индекса индекса p нормальна, а также другие свойства подгрупп простого индекса приведены в ( Lam 2004 ).

Примеры

Приведенные выше соображения верны и для конечных групп. Например, группа O хиральной октаэдрической симметрии состоит из 24 элементов. Она имеет двугранный D ₄ подгруппы (на самом деле она имеет три такие) порядка 8, и , таким образом индекс 3 в O , которую мы будем называть H . Эта группа диэдра имеет 4 члена D A ₂ подгруппу, которую можно назвать A . Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же смежного класса H ( Hca = Hc ). Нормальна в O . Есть шесть смежных классов A , соответствующих шести элементам симметрической группы S ₃ . Все элементы из любых конкретных смежного класса А выполняют ту же перестановку смежных классов H .

С другой стороны, группа Т _ч из pyritohedral симметрии также имеет 24 членов и подгруппу индекса 3 ( на этот раз он является D _2h призматических симметрии группы см групп точек в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа нормальная подгруппа. Все члены конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную альтернированную группу в 6-членной симметричной группе S ₃ .

Нормальные подгруппы индекса простой степени

Нормальные подгруппы с простым степенным индексом являются ядрами сюръективных отображений в p -группы и имеют интересную структуру, как описано в Теореме о фокальной подгруппе: Подгруппы и разработано в теореме о фокальной подгруппе .

Есть три важных нормальных подгруппы с простым индексом мощности, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

Поскольку это более слабые условия на группы K, получаем включения

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и гомоморфизмом переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы индекса 2, так как дополнение их симметричной разности дает третью. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

,

и, кроме того, G не действует на эту геометрию и не отражает никакой неабелевой структуры (в обоих случаях, потому что фактор абелевой).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп данного индекса p образуют проективное пространство , а именно проективное пространство

В деталях, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p, является векторным пространством над конечным полем . Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p и умножение карты на элемент of (ненулевое число по модулю p ) не изменяет ядро; таким образом, можно получить карту из

к нормальным подгруппам индекса p . Наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение с точностью до выбора того, «какой класс сопоставляется с каким» показывает, что это отображение является биекцией.

Как следствие, количество нормальных подгрупп индекса p равно

для некоторого k; не соответствует нормальным подгруппам индекса p . Далее, если заданы две различные нормальные подгруппы индекса p, получается проективная линия, состоящая из таких подгрупп.

Для получения в симметричной разности два различных индекс 2 подгруппы (которые являются обязательно нормальными) дает третью точку на проективном прямом , содержащие эти подгруппы, и группа должна содержать индекс 2 подгруппы – он не может содержать ровно 2 или 4 индекса 2 подгруппы, например , .

Смотрите также

• Практически
• Коразмерность

Ссылки

внешние ссылки

• Нормальность подгрупп простого индекса на PlanetMath.org .
• « Подгруппа наименьшего простого индекса является нормальной » в Groupprops, The Group Properties Wiki