Индуктивность контура — теоретические основы
Индуктивностью называется идеализированный элемент, приближающийся по своим свойствам к индуктивной катушке, в котором накапливается энергия магнитного поля.
Условное обозначение индуктивности и положительные направления тока, ЭДС самоиндукции и напряжения:
Если по проводнику пропустить ток, то вокруг него создается магнитный поток Φ. Суммарный магнитный поток (поток сцепления) катушки индуктивности равен Ψ= w×Φ, где Φ — магнитный поток, создаваемый одним витком; w — число витков.
По определению собственная индуктивность (или просто индуктивность) равна коэффициенту пропорциональности между потокосцеплением и током
катушки L=Ψ/i.
Индуктивность измеряется в генри 1 Гн = 1 Вб / 1 А. Символ L, используемый для обозначения индуктивности, был принят в честь Эмилия Христиановича Ленца (Heinrich Friedrich Emil Lenz). Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри(Joseph Henry). Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом (Oliver Heaviside) в феврале 1886 года.
Поток сцепления катушки индуктивности равен Ψ=L×i.
В соответствии с законом электромагнитной индукции при изменении магнитного потока в катушке наводится ЭДС самоиндукции eL=-dΨ/dt. Знак «-» ставится потому, что ЭДС имеет такое направление, что образуемый ею ток своим магнитным полем препятствует изменению магнитного потока, вызывающего данную ЭДС.
Напряжение на индуктивности уравновешивает ЭДС и может быть записано в
виде uL=-eL=dΨ/dt=L×di/dt.
Мгновенная мощность, поступающая в катушку индуктивности равна p=uL×i=L×i×di/dt.
Энергия, запасаемая в катушке индуктивности равна wM=∫(0^t)ptd=∫(0^t)L×i×dt×di/dt=(L×i²)/2.
Взаимная индуктивность характеризует свойство одного элемента с током i1 создавать магнитное поле, частично сцепляющиеся с витками w2 другого элемента.
Коэффициент взаимной индуктивности определяется по формуле M=Ψ12/i2=Ψ21/i1, где Ψ12 — поток сцепления первого контура, вызванный током второго контура (аналогично Ψ21). Измеряется в Гн.
Электрическая цепь и индуктивность контура
Индуктивность характеризует электромагнитные свойства электроцепей. В более узком понятии, это элемент или участок цепи, обладающий большой величиной самоиндукции.
Таким элементом может считаться один, несколько или даже часть витка проводника, на высоких частотах также прямой отрезок провода любой длины.
Электромагнитная индукция
Электромагнитная индукция — явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.
Явление электромагнитной индукции открыл Майкл Фарадей в ходе серии опытов.
Опыт раз. На одну непроводящую основу намотали две катушки таким образом, что витки одной катушки были расположены между витками второй. Витки первой катушки были замкнуты на гальванометр, а второй — подключены к источнику тока.
При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.
Опыт два. Первую катушку подключили к источнику тока, а вторую — к гальванометру. При этом вторая катушка перемещалась относительно первой. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.
Опыт три. Катушку замкнули на гальванометр, а магнит передвигали относительно катушки.
Вот что показали эти опыты:
-
- Индукционный ток возникает только при изменении линий магнитной индукции.
-
- Направление тока различается при увеличении числа линий и при их уменьшении.
- Сила индукционного тока зависит от скорости изменения магнитного потока. При этом как само поле может изменяться, так и контур может перемещаться в неоднородном магнитном поле.
Почему возникает индукционный ток?
Ток в цепи может существовать, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура равна электродвижущей силе (ЭДС).
Значит, при изменении числа магнитных линий через поверхность, ограниченную контуром, в нем появляется ЭДС, которую называют ЭДС индукции.
Самоиндукция и измерение индуктивности
Индуктивность проводника
При изменении тока, который протекает в замкнутом электрическом контуре, меняется создаваемый им магнитный поток. Вследствие этого наводится ЭДС, которая называется ЭДС самоиндукции.
Напряжение ЭДС определяется формулой расчета индукции:
Ꜫ=-L∙di/dt.
То есть ЭДС прямо пропорциональна величине скорости изменения тока с некоторым коэффициентом L, который и называется «индуктивность».
Как найти индуктивность контура
Формула, которая является простейшей для нахождения величины, следующая:
- L = F : I,
где F – магнитный поток, I – ток в контуре.
Через индуктивность можно выразить ЭДС самоиндукции:
- Ei = -L х dI : dt.
Из формулы напрашивается вывод о численном равенстве индукции с ЭДС, которое возникает в контуре при изменении силы тока на один амперметр за одну секунду.
Переменная индуктивность дает возможность найти и энергию магнитного поля:
- W = L I2 : 2.
Необходимые формулы для расчетов
Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется следующая:
- L= µ0n2V,
где µ0 показывает магнитную проницаемость вакуума, n – это число витков, V – объем соленоида.
Также провести расчет индуктивности соленоида можно и с помощью еще одной формулы:
- L = µ0N2S : l,
где S – это площадь поперечного сечения, а l – длина соленоида.
Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется любая, которая подходит по решению к данной задаче.
Обозначение и единицы измерения
Сопротивление тока: формула
В честь Ленца, единица измерения индуктивности получила обозначение символом «L». Выражается в Генри, сокращенно Гн (в англоязычной литературе Н), в честь известного американского физика.
Джозеф Генри
Если при изменении тока в один ампер за каждую секунду ЭДС самоиндукции составляет 1 вольт, то индуктивность цепи будет измеряться в 1 генри.
Как может обозначаться индуктивность в других системах:
- В системе СГС, СГСМ – в сантиметрах. Для отличия от единицы длины обозначается абгенри;
- В системе СГСЭ – в статгенри.
Свойства
Имеет следующие свойства:
- Зависит от количества витков контура, его геометрических размеров и магнитных свойств сердечника;
- Не может быть отрицательной;
- Исходя из определения, скорость изменения тока в контуре, ограничена значением его индуктивности;
- При увеличении частоты тока реактивное сопротивление катушки увеличивается;
- Обладает свойством запасать энергию – при отключении тока запасенная энергия стремится компенсировать падение тока.
Индуктивность и конденсатор
Токоведущие элементы устройства способны создавать его собственную индуктивность. Это такие конструктивные части, как кладки, соединительные шины, токоотводы, выводы и предохранители. Можно создать дополнительную индуктивность конденсатора путем присоединения шин. Режим работы электрической цепи зависит от индуктивности, емкости и активного сопротивления. Формула расчета индуктивности, которая возникает при приближении к резонансной частоте, следующая:
- Ce = C : (1 – 4Π2f2LC),
где Ce определяет эффективную емкость конденсатора, C показывает действительную емкость, f – это частота, L – индуктивность.
Значение индуктивности всегда должно учитываться при работе с силовыми конденсаторами. Для импульсных конденсаторов наиболее важна величина собственной индуктивности. Их разряд приходится на индуктивный контур и имеет два вида – апериодический и колебательный.
Индуктивность в конденсаторе находится в зависимости от схемы соединения элементов в нем. Например, при параллельном соединении секций и шин эта величина равна сумме индуктивностей пакета главных шин и выводов. Чтобы найти такого рода индуктивность, формула следующая:
- Lk = Lp + Lm + Lb,
где Lk показывает индуктивность устройства, Lp –пакета, Lm – главных шин, а Lb – индуктивность выводов.
Если при параллельном соединении ток шины меняется по ее длине, то тогда эквивалентная индуктивность определяется так:
- Lk = Lc : n + µ0 l х d : (3b) + Lb,
где l – длина шин, b – ее ширина, а d – расстояние между шинами.
Чтобы снизить индуктивность устройства, необходимо токоведущие части конденсатора расположить так, чтобы взаимно компенсировались их магнитные поля. Иными словами, токоведущие части с одинаковым движением тока нужно удалять друг от друга как можно дальше, а с противоположным направлением сближать. При совмещении токоотводов с уменьшением толщины диэлектрика можно снизить индуктивность секции. Этого можно достигнуть еще путем деления одной секции с большим объемом на несколько с более мелкой емкостью.
“Катушка ниток”
Катушка индуктивности представляет собой намотанную изолированную медную проволоку на твердое основание. Что касается изоляции, то выбор материала широк – это и лак, и проводная изоляция, и ткань. Величина магнитного потока зависит от площади цилиндра. Если увеличить ток в катушке, то магнитное поле будет становиться все больше и наоборот.
Если подать электрический ток на катушку, то в ней возникнет напряжение, противоположное напряжению тока, но оно внезапно исчезает. Такого рода напряжение называется электродвижущей силой самоиндукции. В момент включения напряжения на катушку сила тока меняет свое значение от 0 до некоего числа. Напряжение в этот момент тоже меняет значение, согласно закону Ома:
- I = U : R,
где I характеризует силу тока, U – показывает напряжение, R – сопротивление катушки.
Еще одной особенной чертой катушки является следующий факт: если разомкнуть цепь “катушка – источник тока”, то ЭДС добавится к напряжению. Ток тоже вначале вырастет, а потом пойдет на спад. Отсюда вытекает первый закон коммутации, в котором говорится, что сила тока в катушке индуктивности мгновенно не меняется.
Катушку можно разделить на два вида:
- С магнитным наконечником. В роли материала сердца выступают ферриты и железо. Сердечники служат для повышения индуктивности.
- С немагнитным. Используются в случаях, когда индуктивность не больше пяти миллиГенри.
Устройства различаются и по внешнему виду, и внутреннему строению. В зависимости от таких параметров находится индуктивность катушки. Формула в каждом случае разная. Например, для однослойной катушки индуктивность будет равна:
- L = 10µ0ΠN2R2 : 9R + 10l.
А вот уже для многослойной другая формула:
- L= µ0N2R2 :2Π(6R + 9l + 10w).
Основные выводы, связанные с работой катушек:
- На цилиндрическом феррите самая большая индуктивность возникает в середине.
- Для получения максимальной индуктивности необходимо близко наматывать витки на катушку.
- Индуктивность тем меньше, чем меньше количество витков.
- В тороидальном сердечнике расстояние между витками не играет роли катушки.
- Значение индуктивности зависит от “витков в квадрате”.
- Если последовательно соединить индуктивности, то их общее значение равно сумме индуктивностей.
- При параллельном соединении нужно следить, чтобы индуктивности были разнесены на плате. В противном случае их показания будут неправильными за счет взаимного влияния магнитных полей.
Применение катушек индуктивности
Индуктивности широко используются в аналоговых схемах и схемах обработки сигналов. Они в сочетании с конденсаторами и другими радиокомпонентами образуют специальные схемы, которые могут усилить или отфильтровать сигналы определенной частоты.
Катушки индуктивности получили широкое применение начиная от больших катушек индуктивности, таких как дроссели в источниках питания, которые в сочетании с конденсаторами фильтра устраняют остаточные помехи и другие колебания на выходе источника питания, и до столь малых индуктивностей, которые располагаются внутри интегральных микросхем.
Две (или более) катушки индуктивности, которые соединены единым магнитным потоком, образуют трансформатор, являющимся основным компонентом схем работающих с электрической сетью электроснабжения. Эффективность трансформатора возрастает с увеличением частоты напряжения.
По этой причине, в самолетах используется переменное напряжение с частотой 400 герц вместо обычных 50 или 60 герц, что в свою очередь позволяет значительно сэкономить на массе используемых трансформаторов в электроснабжении самолета.
Так же индуктивности используются в качестве устройства для хранения энергии в импульсных стабилизаторах напряжения, в высоковольтных электрических системах передачи электроэнергии для преднамеренного снижения системного напряжения или ограничения ток короткого замыкания.
Общие сведения
Для того чтобы понять, от чего зависит индуктивность катушки, необходимо подробно изучить всю информацию об этой физической величине. Первым делом следует рассмотреть принятое международное обозначение параметра, его назначение, характеристики и единицы измерения.
Само понятие индуктивности было предложено известным английским физиком Оливером Хевисайдом, который занимался её изучением. Этот учёный подарил миру и другие известные термины — электропроводимость, магнитная проницаемость и сопротивление, а также ЭДС (электродвижущая сила).
Первая буква фамилии другого знаменитого физика — Эмилия Ленца — была взята в качестве обозначения индуктивности в формулах и при проведении расчётов. В наше время символ L продолжает использоваться при упоминании этого параметра.
Выдающийся американский физик Джозеф Генри первым обнаружил явление индуктивности. В его честь физики назвали единицу измерения в международной СИ, которая чаще всего используется в расчётах. В других системах (гауссова и СГС) индуктивность измеряют в сантиметрах. Для упрощения вычислений было принято соотношение, в котором 1 см равняется 1 наногенри. Очень редко используемая система СГСЭ оставляет коэффициент самоиндукции без каких-либо единиц измерения или использует величину статгенри. Она зависит от нескольких параметров и приблизительно равняется 89875520000 генри.
Среди основных свойств индуктивности выделяются:
- Величина параметра никогда не может быть меньше нуля.
- Показатель зависит только от магнитных свойств сердечника катушки, а также от геометрических размеров контура.
Способы расчёта
Существует несколько основных способов определить индуктивность катушки. Все формулы, которые будут использоваться в расчётах, легко можно найти в справочной литературе или интернете. Весь процесс вычисления довольно простой и не составит труда для людей, имеющих элементарные математические и физические знания.
Через силу тока
Этот расчёт считается самым простым способом определения индуктивности катушки. Формула через силу тока вытекает из самого термина. Какова индуктивность катушки — можно определить по формуле: L=Ф/I, где:
- L — индуктивность контура (в генри);
- Ф — величина магнитного потока, измеряемого в веберах;
- I — сила тока в катушке (в амперах).
Такая формула подходит только для одновиткового контура. Если катушка состоит из нескольких витков, то вместо величины магнитного потока используется полный поток (суммарное значение). Когда же через все витки проходит одинаковый магнитный поток, то для определения суммарного значения достаточно умножить величину одного из них на общее количество.
Соленоид конечной длины
Соленоид представляет собой тонкую длинную катушку, где толщина обмотки значительно меньше диаметра. В этом случае расчёты ведутся по той же формуле, что и через силу тока, только величина магнитного потока будет определяться следующим образом: Ф=µ0NS/l, где:
-
µ0 — магнитная проницаемость среды, определяющаяся по справочным таблицам (для воздуха, который принимается по умолчанию в большинстве расчётов, она равна 0,00000126 генри/метр); - N — количество витков в катушке;
- S — площадь поперечного сечения витка, измеряемая в квадратных метрах;
- l — длина соленоида в метрах.
Коэффициент самоиндукции соленоида можно рассчитать и исходя из способа определения энергии магнитного потока поля. Это более простой вариант, но он требует наличия некоторых величин. Формула для нахождения индуктивности — L=2W/I 2 , где:
- W — энергия магнитного потока, измеряемая в джоулях;
- I — сила тока в амперах.
Катушка с тороидальным сердечником
большинстве случаев тороидальная катушка наматывается на сердечник, изготовленный из материала, обладающего большой магнитной проницаемостью. В этом случае для расчётов индуктивности можно использовать формулу для прямого соленоида бесконечной длины. Она имеет такой вид: L=N µ0 µS/2 πr, где:
- N — число витков катушки;
- µ — относительная магнитная проницаемость;
- µ0 — магнитная постоянная;
- S — площадь сечения сердечника;
- π — математическая постоянная, равная 3,14;
- r — средний радиус тора.
Длинный проводник
Большинство таких квазилинейных проводников имеет круглое сечение. В этом случае величина коэффициента самоиндукции будет определяться по стандартной формуле для приближённых расчётов: L= µ0l (µelnl/r+ µi/4)/2 π. Здесь используются следующие обозначения:
-
l — длина проводника в метрах; - r — радиус сечения провода, измеряемый в метрах;
- µ0 — магнитная постоянная;
- µi — относительная магнитная проницаемость, характерная для материала, из которого изготовлен проводник;
- µe — относительная магнитная проницаемость внешней среды (чаще всего принимается значение для вакуума, которое равняется 1);
- π — число Пи;
- ln — обозначение логарифма.
Графический вывод формулы
Существует возможность получить записанную формулу, используя графический метод. Для этого отобразим на графике зависимость магнитного потока Φ(I) от тока I (рис. 1.21.2). Полное количество выделившейся теплоты, которое равно изначальному запасу энергии магнитного поля, определится как площадь получившегося на рис. 1.21.2 треугольника:
Рисунок 1.21.2. Вычисление энергии магнитного поля.
В итоге формула энергии Wм магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, будет записана в виде формулы:
Wм=ΦI2=LI22=Φ22L
Используем выражение, которое мы получили, для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Применяя указанные выше формулы для коэффициента самоиндукции Lμ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I, получим запись:
Wм=μ0·μ·n2·I22V=B22μ0·μV
В этой формуле V является объемом соленоида. Полученное выражение демонстрирует нам, что магнитная энергия имеет локализацию не в витках катушки, по которым проходит ток, а распределена по всему объему, в котором возникло магнитное поле.
Определение 4
Объёмная плотность магнитной энергии – это физическая величина, которая равна энергии магнитного поля в единице объема: Wм=B22μ·μ.
В свое время Максвелл продемонстрировал, что указанная формула (в нашем случае выведенная для длинного соленоида) верна для любых магнитных полей.
Об индуктивности простыми словами
Индуктивностью является физическая величина, которая была введена с целью оценки способности электрического проводника противодействовать току. Т.е. индуктивность, или как ее еще называют – коэффициент самоиндукции, показывает зависимость Ɛ от свойств проводника и от магнитной проницаемости среды, в которой он находится. Единицей измерения величины является генри (Гн).
Если рассмотреть величину на примере катушки индуктивности, то можно понять, что ее показатели будут изменяться в зависимости от числа витков катушки, а также ее размеров и формы. Чем больше количество витков, тем больше индуктивность. Данная величина также будет увеличена, если внутрь катушки будет помещен сердечник, так как изменится относительная магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник. Данную зависимость можно увидеть на схеме.
Если посмотреть на формулу зависимости ЭДС от индуктивности, то можно понять, что чем больше будет величина, тем заметнее будет электродвижущая сила, что говорит о их прямой пропорциональности. Следуя из этого, можно сделать вывод, что индуктивность выступает неким «хранилищем» энергии, которое открывается в момент изменения тока.
Ɛ=- L(dI/dt), где:
- Ɛ – ЭДС самоиндукции;
- L-индуктивность;
- I – сила тока;
- t – время.
При этом L равно магнитному полю (Ф) деленному на силу тока (I).
Польза и вред
Такое явление, как самоиндукция, большинство людей наблюдают ежедневно, даже не осознавая этого. Так, например, принцип работы люминесцентных трубчатых ламп основан именно на явлении самоиндукции. Также данное явление можно наблюдать в цепи зажигания транспортных средств, работающих на бензине. Это возможно благодаря наличию катушки индуктивности и прерывателя. Так, в момент, когда через катушку проходит ток, прерыватель разрывает цепь питания катушки, в результате чего и образуется ЭДС, которая далее приводит к тому, что импульс более 10 кВ поступает на свечи зажигания.
Явление самоиндукции также приносит пользу, убирая лишнюю пульсацию, частоты или различные шумы в музыкальных колонках или другой аудиотехнике. Именно на ней основано работа различных «шумовых» фильтров.
Однако самоиндукция способна приносить не только пользу, но и заметный вред. Особенно часто она вредит различным выключателям, рубильникам, розеткам и другим устройствам, размыкающим электрическую цепь. Ее негативное воздействие на электроприборы можно заметить невооруженным глазом: искра в розетке в момент вытаскивания вилки, работающего фена и есть проявление сопротивления изменению силы тока.
Именно поэтому лампочки чаще всего перегорают именно в момент выключения света, а не наоборот. Это связано с тем, что сопротивление приводит к выгоранию контактов и накоплению цепей с токами в различных электроприборах, что в свою очередь представляет собой довольно серьезную техническую проблему.
Индуктивность и самоиндукция – незнакомые многим термины, с которыми люди встречаются ежедневно. И если первый термин является физической величиной, обозначающей способность проводника препятствовать изменению напряжения, то второй объясняет появление ЭДС индукции в том же проводнике.
Предыдущая
РазноеЧто такое фазное и линейное напряжение?
Следующая
РазноеБлуждающие токи и способы борьбы с ними
Индуктивность контура — это коэффициент пропорциональности между постоянным током, текущим в заданном замкнутом контуре, и потоком вектора магнитной индукции, создаваемым этим током через поверхность, окружённой этим контуром. Обозначение — , размерность — Гн (генри). Формульно:
Ф (1)
- где
Рис. 1. Соленоид
В большинстве задач данный параметр задан в условии, однако есть одна система, в которой данный параметр является расчётным. Это соленоид (рис. 1). Соленоидом называется провод, согнутый в виде спирали (он же, в принципе, катушка индуктивности). Формульно:
(1)
- где
Немного о 
— относительной магнитной проницаемости среды. Чаще всего в школьных задачах соленоид пустотелый, т.е. внутри него (витков) воздух, тогда 
. Иногда в него помещают сердечник, т.е. болванку формой повторяющую внутреннюю геометрию соленоида, тогда и по веществу, из которого состоит сердечник, можно в таблицах найти значение магнитной проницаемости.
Для ряда задач существует всё тот же вопрос о параллельном и последовательном соединении индуктивностей. Будем считать, что взаимной индукции нет (т.е. один контур экранирован от второго). Тогда:
- при параллельном подключении:
(2)
В случае двух элементов, соединённых параллельно:
(3)
- при последовательном подключении:
(4)
| Индуктивность | |
|---|---|
 |
|
| Размерность | L2MT−2I−2 |
| Единицы измерения | |
| СИ | Гн |
| СГС | см−1·с2 |
| Классическая электродинамика |
|---|
 |
| Электричество · Магнетизм |
|
Электростатика Закон Кулона |
|
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа |
|
Электродинамика Векторный потенциал |
|
Электрическая цепь Закон Ома |
|
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля |
| См. также: Портал:Физика |
Индуктивность микрополосковой линии является распределённой и характеризуется значением индуктивности на единицу длины.
Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током 
, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и полным магнитным потоком 
, называемым также потокосцеплением, создаваемым этим током через поверхность[1], краем которой является данный контур[2][3][4]:
.
Зависит от формы проводников с током и магнитной проницаемости среды. Обозначается буквой , в СИ измеряется в генри.
Словом «индуктивность» также называют сосредоточенный элемент электрической цепи, в котором накапливается магнитная энергия.
Определение. Некоторые формулы[править | править код]
Индуктивность определяется как отношение 
магнитного потока , пронизывающего контур, к току в контуре . Обычно 
const(), кроме тех случаев, когда магнитная проницаемость среды зависит от поля.
Величина используется при характеризации свойства проводника противодействовать появлению, прекращению и всякому изменению в нём тока. Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении [4]:
- .
Как следует из этой формулы, индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции (в вольтах), возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с. Вышеуказанное свойство, по сути, является электрической инерцией (её мерой служит ЭДС), подобной инерции тел в механике.
При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого током[4]:
- .
Это соотношение может быть удобным для вычисления в ситуациях, когда адекватно указать замкнутый контур непросто (особенно если неприменимо квазистационарное приближение), скажем, при рассмотрении индуктивности прямого длинного провода.
Создание индуктивности[править | править код]
Практически участки цепи со значительной индуктивностью выполняют в виде катушек индуктивности[4]. Элементами малой индуктивности (применяемыми для больших рабочих частот) могут быть одиночные (в том числе и неполные) витки или даже прямые проводники; при высоких рабочих частотах необходимо учитывать индуктивность всех проводников[5].
Для имитации индуктивности, то есть ЭДС на элементе, пропорциональной и противоположной по знаку скорости изменения тока через этот элемент, в электронике используются[6] и устройства, не основанные на электромагнитной индукции (см. Гиратор); такому элементу можно приписать определённую эффективную индуктивность, используемую в расчётах полностью (хотя вообще говоря с определёнными ограничивающими условиями) аналогично тому, как используется обычная индуктивность.
Обозначение и единицы измерения[править | править код]
В системе единиц СИ индуктивность выражается в генри[7][8], сокращённо «Гн». Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать напряжение в один вольт.
В вариантах системы СГС — системе СГСМ и в гауссовой системе индуктивность измеряется в сантиметрах (1 Гн = 109 см; 1 см = 1 нГн)[4]; для сантиметров в качестве единиц индуктивности применяется также название абгенри. В системе СГСЭ единицу измерения индуктивности либо оставляют безымянной, либо иногда называют статгенри (1 статгенри ≈ 8,987552⋅1011 генри: коэффициент перевода численно равен 10−9 от квадрата скорости света, выраженной в см/с).
Символ L, используемый для обозначения индуктивности, был принят в честь Эмилия Христиановича Ленца[9][10]. Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри[11]. Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом в феврале 1886 года[12].
Теоретическое обоснование[править | править код]
Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле[4].
Будем вести рассмотрение в квазистатическом приближении, подразумевая, что переменные электрические поля достаточно слабы либо меняются достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь порождаемыми ими магнитными полями.
Ток считаем одинаковым по всей длине контура (пренебрегая ёмкостью проводника, которая позволяет накапливать заряды в разных его участках, что вызвало бы неодинаковость тока вдоль проводника и заметно усложнило бы картину).
По закону Био — Савара — Лапласа, величина вектора магнитной индукции, создаваемой некоторым элементарным (в смысле геометрической малости участка проводника, рассматриваемого как элементарный источник магнитного поля) током в каждой точке пространства, пропорциональна этому току. Суммируя поля, создаваемые каждым элементарным участком, приходим к тому, что и магнитное поле (вектор магнитной индукции), создаваемое всем проводником, также пропорционально порождающему току.
Рассуждение выше верно для вакуума. В случае присутствия магнитной среды[13] (магнетика) с заметной (или даже большой) магнитной восприимчивостью, вектор магнитной индукции (который и входит в выражение для магнитного потока) будет заметно (или даже во много раз) отличаться от того, каким бы он был в отсутствие магнетика (в вакууме). Мы ограничимся здесь линейным приближением, тогда вектор магнитной индукции, хотя, возможно, возросший (или уменьшившийся) в заметное количество раз по сравнению с отсутствием магнетика при том же контуре с током, тем не менее остаётся пропорциональным порождающему его току.
Тогда магнитный поток, то есть поток поля вектора магнитной индукции:
через любую конкретную фиксированную поверхность S (в частности и через интересующую нас поверхность, краем которой является наш контур с током) будет пропорционален току, так как пропорционально току B всюду под интегралом.
Заметим, что поверхность, краем которой является контур, может быть достаточно сложна, если сложен сам контур. Уже для контура в виде просто многовитковой катушки такая поверхность оказывается достаточно сложной. На практике это приводит к использованию некоторых упрощающих представлений, позволяющих легче представить такую поверхность и приближённо рассчитать поток через неё (а также в связи с этим вводятся некоторые дополнительные специальные понятия, подробно описанные в отдельном параграфе ниже). Однако здесь, при чисто теоретическом рассмотрении нет необходимости во введении каких-то дополнительных упрощающих представлений, достаточно просто заметить, что как бы ни был сложен контур, в данном параграфе мы имеем в виду «полный поток» — то есть поток через всю сложную (как бы многолистковую) поверхность, натянутую на все витки катушки (если речь идет о катушке), то есть о том, что называется потокосцеплением. Но поскольку нам здесь не надо конкретно рассчитывать его, а нужно только знать, что он пропорционален току, нам не слишком интересен конкретный вид поверхности, поток через которую нас интересует (ведь свойство пропорциональности току сохраняется для любой).
Итак, мы обосновали:
- ~
этого достаточно, чтобы утверждать, введя обозначение L для коэффициента пропорциональности, что
В заключение теоретического обоснования покажем, что рассуждение корректно в том смысле, что магнитный поток не зависит от конкретной формы поверхности, натянутой на контур. (Действительно, даже на самый простой контур может быть натянута — в том смысле, что контур должен быть её краем — не единственная поверхность, а разные, например, начав с двух совпадающих поверхностей, затем одну поверхность можно немного прогнуть, и она перестанет совпадать со второй). Поэтому надо показать, что магнитный поток одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур.
Но это действительно так: возьмём две такие поверхности. Вместе они будут составлять одну замкнутую поверхность. А мы знаем (из закона Гаусса для магнитного поля), что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это (с учетом знаков) означает, что поток через одну поверхность и другую поверхность — равны. Что доказывает корректность определения.
Свойства индуктивности[править | править код]
Индуктивность в ряде важных случаев[править | править код]
Виток, цилиндрическая катушка[править | править код]
Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с величиной тока в нём следующим образом[4]:
где 
— индуктивность витка.
В случае катушки, состоящей из 
витков, предыдущее выражение модифицируется к виду:
где 
— сумма магнитных потоков через все витки (это полный поток, называемый в электротехнике потокосцеплением, именно он фигурирует в качестве магнитного потока в общем определении индуктивности и в теоретическом обосновании выше), а — индуктивность многовитковой катушки. называют потокосцеплением или полным магнитным потоком[17]. Коэффициент пропорциональности иначе называется коэффициентом самоиндукции катушки[4].
Если принять, что потоки, пронизывающие каждый из витков, одинаковы (что часто соответствует реальности, в хорошем приближении), то 
. При этом, что существенно, поток 
через конкретный виток отличается от того, каким он был бы в «одновитковой» ситуации, ибо присутствие витков приводит к -кратному росту магнитного поля 
, а значит, и потока через конкретный виток (как если бы в раз возрос ток в самом витке). В результате 
, откуда
- .
Чуть иными словами, магнитный поток через каждый виток увеличивается в раз — так как его создают теперь единичных витков, и потокосцепление ещё в раз, поскольку это поток через единичных витков.
На практике магнитные поля в центре и на краях катушки всё-таки не совсем одинаковы, поэтому используются более сложные формулы.
Соленоид[править | править код]
Катушка в форме соленоида (конечной длины).
Соленоид — катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного сердечника плотность магнитного потока (или магнитная индукция) , которая выражается в системе СИ в тесла [Тл], внутри катушки вдали от её концов (приближённо) равна
или
где 
— магнитная постоянная, — число витков, 
— ток в амперах [А], 
— длина катушки в метрах [м] и 
— плотность намотки витков в [м-1]. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим[18], что потокосцепление через катушку равно плотности потока [Тл], умноженному на площадь поперечного сечения 
[м2] и число витков :
где 
— объём катушки. Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):
Если катушка внутри полностью заполнена магнитным сердечником, то индуктивность отличается на множитель 
— относительную магнитную проницаемость[19] сердечника:
В случае, когда 
, под S можно понимать площадь сечения сердечника [м2] и пользоваться данной формулой даже при толстой намотке, если только полная площадь сечения катушки не превосходит площади сечения сердечника во много раз.
Тороидальная катушка[править | править код]
Для тороидальной катушки, намотанной на сердечнике из материала с большой магнитной проницаемостью, можно приближённо пользоваться формулой для бесконечного прямого соленоида (см. выше):
где 
— оценка длины соленоида (
— средний радиус тора).
Лучшее приближение дает формула
где предполагается сердечник прямоугольного сечения с наружным радиусом R и внутренним радиусом r, высотой h.
Длинный прямой проводник[править | править код]
Для длинного прямого (или квазилинейного) провода кругового сечения индуктивность выражается приближённой формулой[20]:
где — магнитная постоянная, 
— относительная магнитная проницаемость внешней среды (которой заполнено пространство (для вакуума 
), 
— относительная магнитная проницаемость материала проводника, — длина провода, 
— радиус его сечения.
Таблица индуктивностей[править | править код]
Символ обозначает магнитную постоянную (4π⋅10−7 Гн/м). В высокочастотном случае ток течёт в поверхности проводников (скин-эффект) и в зависимости от вида проводников иногда нужно различать индуктивность высокой и низкой частоты. Для этого служит постоянная Y: Y = 0, когда ток равномерно распределён по поверхности провода (скин-эффект), Y = 1⁄4, когда ток равномерно распределён по поперечному сечению провода. В случае скин-эффекта нужно учитывать, что при маленьких расстояниях между проводниками в поверхностях текут дополнительные вихревые токи (эффект экранирования), и выражения, содержащие Y, становятся неточными.
| Вид | Индуктивность | Комментарий |
|---|---|---|
| соленоид с тонкой обмоткой[21] |
![{displaystyle {frac {mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}left[-8w+3{frac {sqrt {1+m}}{m}}left(Kleft({sqrt {frac {m}{1+m}}}right)-left(1-mright)Eleft({sqrt {frac {m}{1+m}}}right)right)right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2c08609fe197ce35fa0ac23ae6ae5efd971030)
|
N: Число витков r: Радиус l: Длина w = r/l m = 4w2 E,K: Эллиптический интеграл |
| Коаксиальный кабель, высокая частота |
|
a1: Радиус a: Радиус l: Длина |
| единичный круглый виток[20][22] |
|
r: Радиус витка a: Радиус проволоки |
| прямоугольник[20][23][24] | 
|
b, d: Длины краёв d >> a, b >> a a: Радиус проволоки |
| Две параллельные проволоки |
|
a: Радиус проволоки d: Расстояние, d ≥ 2a l: Длина пары |
| Две параллельные проволоки, высокая частота |
|
a: Радиус проволоки d: Расстояние, d ≥ 2a l: Длина пары |
| Проволока параллельна идеально проводящей стене |
|
a: Радиус проволоки d: Расстояние, d ≥ a l: Длина |
| Проволока параллельна стене, высокая частота |
|
a: Радиус проволоки d: Расстояние, d ≥ a l: Длина |
![{displaystyle =mu _{0}rN^{2}left[left(1+{frac {1}{32w^{2}}}+Oleft({frac {1}{w^{4}}}right)right)log(8w)-1/2+{frac {1}{128w^{2}}}+Oleft({frac {1}{w^{4}}}right)right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd42389c9fcc6a74c87fc63eb09080e2c3810ef3)
См. также[править | править код]
- Взаимоиндукция
- Соленоид
- Катушка индуктивности
- Индуктивный датчик
Примечания[править | править код]
- ↑ Если контур многовитковый (катушка) или вообще сложной формы, поверхность, краем которой он будет являться, может иметь достаточно сложную форму. Это никак не сказывается на большей части общих утверждений, однако для упрощения конкретного понимания ситуации и количественных оценок в случае катушки обычно приближенно рассматривают эту поверхность как совокупность («стопку») отдельных листков, каждый из которых привязан к отдельному единичному витку, а общий поток через такую поверхность рассматривается приближенно как сумма потоков через все такие листки.
- ↑ Касаткин А. С. Основы электротехники. М.:Высшая школа, 1986.
- ↑ Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.:Высшая школа, 1978.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Индуктивность — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Правда, этот случай в принципе выходит за рамки квазистационарного приближения, позволяющего рассматривать элементы схемы как независимые, то есть понятие индуктивности отдельного элемента цепи начинает терять четкий смысл; однако оно во всяком случае может быть использовано хотя бы для оценочного расчета.
- ↑ Прежде всего использование таких устройств, не основанных на электромагнитной индукции, обусловлено такими причинами, как необходимость или желательность иметь меньший размер элемента, чем это возможно для катушки индуктивности; например — в микросхемах, а также для элементов очень большой индуктивности.
- ↑ Генри (единица индуктивности) — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Индуктивность // Казахстан. Национальная энциклопедия. — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2. (CC BY-SA 3.0)
- ↑ Glenn Elert. The Physics Hypertextbook: Inductance (1998–2008). Архивировано 19 ноября 2012 года.
- ↑ Michael W. Davidson. Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance (1995–2008). Архивировано 19 ноября 2012 года.
- ↑ Генри Джозеф — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. См. репринт Архивная копия от 16 февраля 2022 на Wayback Machine.
- ↑ Присутствие магнетика особенно важно для катушек с ферромагнитным сердечником и т. п.
- ↑ Здесь имеется в виду настоящая индуктивность; в электронике можно создать искусственно элементы (не основанные на явлении самоиндукции), зависимость ЭДС в которых от производной тока будет такой же, как в катушке индуктивности, но с коэффициентом противоположного знака — такие элементы можно условно назвать (по их поведению в электрической цепи) элементами с отрицательной индуктивностью, однако они не имеют отношения к предмету данной статьи.
- ↑ Если считать структуру токов (точно или приближенно) фиксированной, то есть если токи не перераспределяются по объёму проводника в процессе их возбуждения.
- ↑ См., напр. в книге: О. И. Клюшников, А. В. Степанов. Теоретические основы электротехники Архивная копия от 10 марта 2022 на Wayback Machine, РГППУ, Екатеринбург, 2010 — стр. 9.
- ↑ Потокосцепление — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ * Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество.
- ↑ Как и в других случаях, присутствие магнетика, особенно если это ферромагнетик, для какового всегда имеет место гистерезис, приводит к более или менее существенной нелинейности (особенно большой для магнитожестких материалов сердечника); поэтому формулу для индуктивности, подразумевающей именно линейное приближение, следует считать приближенной, а в общем случае в качестве магнитной проницаемости в формулу входит некоторая эффективная величина, зависящая от величины тока в катушке.
- ↑ 1 2 3 Физическая энциклопедия, Главный редактор А. М. Прохоров. Индуктивность // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия. — М., 1983.
- ↑ Lorenz, L. Über die Fortpflanzung der Elektrizität // Annalen der Physik. — 1876. — Т. VII. — С. 161—193. (The expression given is the inductance of a cylinder with a current around its surface)..
- ↑ Elliott, R. S. Electromagnetics. — New York: Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1993. Замечание: Постоянная −3/2 неправильна.
- ↑ Rosa, E.B. The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors (англ.) // Bulletin of the Bureau of Standards : journal. — 1908. — Vol. 4, no. 2. — P. 301—344.
- ↑ Moscow Power Engineering Institute: Mathcad Calculation Server. Дата обращения: 16 апреля 2012. Архивировано 17 февраля 2020 года.
Содержание:
Индуктивность и ее расчет:
Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока: 
На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.
Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:
пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:
устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля 
и полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:
где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.
Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψL созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции
Индуктивность тороида и соленоида
Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ0, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.
Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.
Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г1 и г2, магнитная проницаемость материала µ.
По закону полного тока для окружности с радиусом 
откуда
т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции
Поток в сердечнике тороида
а потокосцепление
Отсюда индуктивность тороида
Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность
где w0 — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,
Обычно в реальных тороидах отношение
что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ0
где k < 1 — коэффициент, учитывающий, что в таком соленоиде не весь поток пронизывает все витки.
Как показывает точный расчет, этот коэффициент зависит от отношения диаметра D катушки к ее длине I (рис. 1.15). При 
= 0,1 коэффициент k — 0,96, поэтому при 
< 0 ,1 приближенно принимают k = 1.
Индуктивность двухпроводной линии
Двухпроводная линия (рис. 1.16, а) состоит из двух параллельных проводов одинакового радиуса г0, имеющих большую длину I по сравнению с расстоянием d между ними. Магнитная проницаемость материала проводов (г, окружающей среды — µ0. Токи I в прямом и обратном проводах отличаются лишь направлением; начало координат взято в центре сечения левого провода.
Для отдельного провода ввиду его осевой симметрии, при пренебрежении искажением поля у его концов, применение закона полного тока к окружности радиуса 
дает:
При интегрировании по окружности, лежащей внутри отдельного провода 
охватывается лишь часть LХ всего тока, протекающая внутри круга радиуса х, равная при равномерном распределении тока по сечению
В воздухе между проводами на линии, соединяющей центры их сечений 
направления полей, создаваемых обоими токами согласно правилу правого винта, совпадают и напряженности поля и индукции складываются:
Эти же формулы справедливы и для 
т. е. снаружи линии, но здесь они дают разность полей.
Внутри левого провода линии напряженность поля и индукция от обоих проводов будут:
Внутри правого провода 
соответственно,
На рис. 1.16, б представлено распределение напряженности поля и индукции вдоль оси х для магнитной проницаемости материала проводов µ > µ0. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.
На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,
Весь поток между проводами – внешний поток
одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому
а соответствующая ему внешняя индуктивность
Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r0 проводов. В этом случае
Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r0 поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода
Так как поток dФi охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление
Весь поток между проводами — внешний поток
Соответственно, внутренняя индуктивность
Суммарная индуктивность линии
При медных или алюминиевых проводах (
) в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда
Для стальных проводов (
) основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность
практически не будет зависеть от расстояния между проводами.
Взаимоиндуктивность и ее расчет
Для двух контуров, имеющих w1 и w2 витков с токами I1 и I2 (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф1m, пронизывающий также и второй контур:
Потокосцепление, соответствующее потоку Ф11 (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно
а потокосцепление рассеяния
Аналогично для второго контура
Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,
а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,
Можно показать, что
Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,
Суммарное потокосцепление первого контура
и соответственно для второго контура
В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф1м и Ф2м (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что
Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству
а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров
Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:
где Lq — индуктивность q-то контура, Мqp = Мрq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.
Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий
Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г0 внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I2 второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,
расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .
Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением 
первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому
а взаимоиндуктивность
Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление будет равно нулю.
Линейные и нелинейные катушки индуктивности
У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика 
для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:
где k — масштабный коэффициент.
К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика 
и зависит от напряженности поля.
Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость
и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость
На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную
магнитной проницаемости вакуума.
В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.
Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.
Для расчета индуктивности основной является зависимость потокосцепления ψ от тока I, называемая веберамперной характеристикой.
В зависимости от материала сердечника тороиды по виду своей веберамперной характеристики будут также линейными или нелинейными. В качестве примера рассматривается нелинейный тороид.
Для тороида 
и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.
Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности
и дифференциальной, а также динамической индуктивности
являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.
Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность
и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая
Индуктивность нелинейного тороида
Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.
Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет
где а и b — постоянные.
Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой
то индукция будет равна
а потокосцепление
откуда статическая индуктивность
а дифференциальная индуктивность
Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.
- Энергия в электрических цепях
- Линейные электрические цепи
- Нелинейные электрические цепи
- Магнитные цепи и их расчёт
- Электрическая ёмкость и ее расчет
- Линейные н нелинейные диэлектрики и конденсаторы
- Сопротивление и его расчет
- Линейные и нелинейные резисторы
Всем доброго времени суток! В прошлой статье я рассказывал о таком явлении как электромагнитная индукция и ЭДС возникающая при самоиндукции и взаимной индукции. Устройства, в основе которых лежат данные явления и процессы, называются индуктивными элементами (катушки колебательных контуров, трансформаторы, дроссели, реакторы). В качестве одного из основных параметров данных элементов выступает индуктивность L(также имеет название коэффициента самоиндукции). О том, как рассчитать данный параметр пойдёт речь в данной статье.
Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.
Методы расчёта индуктивностей
Индуктивностью (обозначается L) или коэффициентом самоиндукции называется коэффициент пропорциональности между потокосцеплением (обозначается ΨL) и электрическим током, который возбуждает данное потокосцепление.
В простых случаях индуктивность можно рассчитать, применяя формулы для вычисления магнитной индукции B0 (закон Био-Савара-Лапласа), магнитного потока Φ и потокосцепления ΨL
где S – площадь поверхности ограниченная контуром, который создает магнитную индукцию;
n – количество контуров с током, которые пронизывает магнитный поток.
Однако это в идеальном случае, в реальности говоря о токе I, который протекает по проводнику, необходимо отметить, что его распределение по сечению проводника не всегда равномерно, вследствие возникновения скин-эффекта при переменном токе. В результате этого эффекта плотность электрического тока распределяется неравномерно, происходит её уменьшение от внешнего слоя проводника к его центру. Уменьшение плотности тока также происходит неравномерно и зависит от частоты переменного тока. Для оценки скин-эффекта ввели понятие толщины скин-слоя ∆, которая показывает, на каком расстоянии от поверхности проводника плотность тока падает в е = 2,718 раз. Толщину скин-слоя можно вычислить по выражению
где δ – глубина проникновения переменного тока или толщина скин-слоя;
μ – магнитная проницаемость вещества;
γ – удельная электрическая проводимость материала проводника;
ω – круговая частота переменного тока, ω = 2πf.
Поэтому непосредственный способ вычисления индуктивности практически не применяется.
На практике применяется выражения для индуктивности, выведенные с некоторыми допущениями, погрешности вычисления индуктивности по этим выражениями составляет порядка нескольких процентов.
Так как индуктивные элементы довольно разнообразны, их можно разделить на три группы:
индуктивные элементы без сердечников;
индуктивные элементы с замкнутыми сердечниками;
индуктивные элементы с сердечниками, имеющие воздушный зазор.
Самые простые по конструкции являются индуктивные элементы без сердечников, поэтому рассмотрим их в первую очередь. Простейшим из таких элементов является прямой провод.
Индуктивность прямолинейного провода круглого сечения
При расчёте индуктивности необходимо разделять индуктивность на постоянном токе и индуктивность на высокой частоте. Под высокой частотой следует понимать такую частоту, на которой толщина скин-слоя меньше размеров поперечного сечения провода. В случае если толщина скин-слоя больше поперечных размеров провода, то можно вести расчёт для постоянного тока.
Определение индуктивности прямого провода. l – это длина проводника, d = 2r – диаметр проводника.
В случае постоянного тока или тока низкой частоты индуктивность составит
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
l – длина провода, м;
d – диаметр провода, м.
Как я уже говорил, на величину индуктивности влияет частота переменного тока, поэтому в случае необходимости рассчитать индуктивность на любой частоте применяется следующее выражение
где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Данный коэффициент зависит от величины k*r, где
d = 2r – диаметр поперечного сечения провода, м.
где ω – угловая частота переменного тока, ω = 2πf;
μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;
γ – удельная проводимость вещества проводника.
Тогда если k*r < 3, то
если k*r > 3, то
где
Пример. Необходимо рассчитать индуктивность прямолинейного провода круглого сечения из меди (γ = 5,81*107 См/м) диаметром d = 2 мм и длиной l = 4 м, при постоянном токе и токе частотой f = 50 кГц.
На постоянном токе
На частоте 50 кГц
Online калькулятор индуктивности прямолинейного проводника
Индуктивность кругового кольца круглого сечения
Теперь рассмотрим, какова будет индуктивность если провод свернуть в кольцо. Такой индуктивный элемент будет иметь вид
Определение индуктивности кругового витка. D – диаметр кольца (витка), d – диаметр провода, из которого сделано кольцо (виток).
При этом его индуктивность можно вычислить по следующему выражению
для постоянного тока
где R – радиус витка, м, R = D/2;
r – радиус провода, м, r = d/2;
μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м.
Так же как и для проводника существует выражение для индуктивности кругового витка на любой частоте
где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Определяется также как и для прямого проводника.
Пример. В качестве примера рассчитаем индуктивность такого же провода, как и в первом примере, только свёрнутом в кольцо. В этом случае диаметр провода d = 2 мм, а диаметр кольца D = l/π = 4/3,142 ≈ 1,273 м, провод выполнен из меди (γ = 5,81*107 См/м).
Для постоянного тока индуктивность составит
На частоте 50 кГц
Online калькулятор индуктивности кольца кругового сечения
В следующей части я продолжу рассмотрение расчётов индуктивности для различных индуктивных элементов.
