Как найти индуктивность линии

Содержание:

Индуктивность и ее расчет:

Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока:

На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.

Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:

пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:

устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля и полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:

где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψ_L созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции

Индуктивность тороида и соленоида

Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ₀, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.

Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.

Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г₁ и г₂, магнитная проницаемость материала µ.

По закону полного тока для окружности с радиусом

откуда

т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции

Поток в сердечнике тороида

а потокосцепление

Отсюда индуктивность тороида

Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность

где w₀ — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,

Обычно в реальных тороидах отношение что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ₀

где k < 1 — коэффициент, учитывающий, что в таком соленоиде не весь поток пронизывает все витки.

Как показывает точный расчет, этот коэффициент зависит от отношения диаметра D катушки к ее длине I (рис. 1.15). При = 0,1 коэффициент k — 0,96, поэтому при < 0 ,1 приближенно принимают k = 1.

Индуктивность двухпроводной линии

Двухпроводная линия (рис. 1.16, а) состоит из двух параллельных проводов одинакового радиуса г₀, имеющих большую длину I по сравнению с расстоянием d между ними. Магнитная проницаемость материала проводов (г, окружающей среды — µ₀. Токи I в прямом и обратном проводах отличаются лишь направлением; начало координат взято в центре сечения левого провода.

Для отдельного провода ввиду его осевой симметрии, при пренебрежении искажением поля у его концов, применение закона полного тока к окружности радиуса дает:

При интегрировании по окружности, лежащей внутри отдельного провода охватывается лишь часть L_Х всего тока, протекающая внутри круга радиуса х, равная при равномерном распределении тока по сечению

В воздухе между проводами на линии, соединяющей центры их сечений направления полей, создаваемых обоими токами согласно правилу правого винта, совпадают и напряженности поля и индукции складываются:

Эти же формулы справедливы и для т. е. снаружи линии, но здесь они дают разность полей.

Внутри левого провода линии напряженность поля и индукция от обоих проводов будут:

Внутри правого провода соответственно,

На рис. 1.16, б представлено распределение напряженности поля и индукции вдоль оси х для магнитной проницаемости материала проводов µ > µ₀. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.

На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,

Весь поток между проводами – внешний поток

одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому

а соответствующая ему внешняя индуктивность

Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r₀ проводов. В этом случае

Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r₀ поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода

Так как поток dФ_i охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление

Весь поток между проводами — внешний поток

Соответственно, внутренняя индуктивность

Суммарная индуктивность линии

При медных или алюминиевых проводах () в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда

Для стальных проводов () основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность

практически не будет зависеть от расстояния между проводами.

Взаимоиндуктивность и ее расчет

Для двух контуров, имеющих w₁ и w₂ витков с токами I₁ и I₂ (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф_1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф_1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф_1m, пронизывающий также и второй контур:

Потокосцепление, соответствующее потоку Ф₁₁ (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно

а потокосцепление рассеяния

Аналогично для второго контура

Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,

а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,

Можно показать, что

Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,

Суммарное потокосцепление первого контура

и соответственно для второго контура

В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф_1м и Ф_2м (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что

Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству

а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров

Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:

где L_q — индуктивность q-то контура, М_qp = М_рq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.

Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий

Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г₀ внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I₂ второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,

расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .

Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому

а взаимоиндуктивность

Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление будет равно нулю.

Линейные и нелинейные катушки индуктивности

У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:

где k — масштабный коэффициент.

К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика и зависит от напряженности поля.

Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость

и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость

На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную

магнитной проницаемости вакуума.

В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.

Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.

Для тороида и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.

Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности

и дифференциальной, а также динамической индуктивности

являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.

Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность

и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой 

то индукция будет равна

а потокосцепление

откуда статическая индуктивность

а дифференциальная индуктивность

Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.

Поле двухпроводной линии

Рассмотрим сначала
поле двух линейных противоположно
направленных токов

и

,
т.е. токов, протекающих по бесконечно
тонким прямолинейным нитям, расположенным
на расстоянии

друг от друга (рис. 3).

Рис. 3

Векторный потенциал
имеет только составляющую, параллельную
оси

,
и в силу принципа суперпозиции равен
сумме потенциалов каждого из токов:

, (7.6.13)

где

.

Поверхности, на
которых векторный потенциал (7.6.13) имеет
постоянное значение, определяются из
условия

. (7.6.15)

Такому же условию
удовлетворяют эквипотенциальные
поверхности системы двух параллельных
противоположно заряженных нитей.
Следовательно, поверхности равного
векторного потенциала являются
поверхностями круговых цилиндров,
параллельных оси

,
местоположение осей и радиусы которых
определяются ф-лами

и

,

а магнитные силовые
линии образуют семейство окружностей,
возникающих при пересечении этих
цилиндрических поверхностей с плоскостями,
перпендикулярными оси

(рис. 4).

Рис. 4

Вычислим индуктивность
на единицу длины двухпроводной линии.
Для простоты ограничимся случаем тонких
проводов, когда расстояние между осями
проводов

велико по сравнению с их радиусом

.
Воспользуемся ф-лой

.

В рассматриваемом
случае

.
Поэтому магнитный поток, сцепленный с
двухпроводной линией, приходящийся на
единицу ее длины, практически равен
магнитному потоку, пронизывающему
прямоугольный контур

(рис. 5), расположенный в плоскости

,
проходящей через оси проводов. Стороны

и

,
параллельные оси

,
имеют единичную длину и лежат на
поверхности проводов (

на

и

на

соответственно).

Рис. 5

Используя соотношение
для

и учитывая

,
находим значение вектора

в плоскости

. (7.6.16)

Учитывая

,
вычислим магнитный поток, пронизывающий
контур

:

. (7.6.17)

Следовательно,
индуктивность на единицу длины
двухпроводной линии в случае

определяется выражением

. (7.6.18)

Поле кругового контура с током

Вычислим поле
линейного тока

,
образующего круговой виток радиуса

(рис.6).

Рис. 6

Введем сферическую
систему координат

,
полярная ось которой совпадает с осью
симметрии, а начало координат — с центром
витка. Благодаря симметрии задачи начало
отсчета угла

можно выбрать произвольно. Будем
отсчитывать его от плоскости, проходящей
через полярную ось и точку наблюдения

,
в которой вычисляется поле.

Для определения
векторного потенциала воспользуемся
выражением

.
Проектируя вектор

на направления

,
соответствующие точке наблюдения

,
получаем

.

Следовательно,

, (7.6.19)

где

.

Переходя в интеграле
(7.6.19) к новой переменной интегрирования

и вводя обозначение

;

,

получаем

, (7.6.20)

где

— полные эллиптические
интегралы первого и второго рода
соответственно.

Эллиптические
интегралы не выражаются через элементарные
функции, однако они подробно изучены,
и имеются таблицы их значений в зависимости
от величины

,
называемой модулем
этих интегралов.

Для вычисления
вектора

воспользуемся соотношением

.
В сферической системе координат выражение
для

имеет вид:

.(7.6.21)

Так как векторный
потенциал

имеет только одну составляющую

,
не зависящую от угла

,
из ф-лы (7.6.21) следует, что напряженность
магнитного поля имеет две составляющие

и

,
связанные соотношениями:

; (7.6.22)

. (7.6.23)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2018-05-14   

Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в $eta$ раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единице и $eta gg 1$.

Решение:

Для одного проводника, проводящего ток $B_{ phi} = frac{ mu_{0}I }{2 pi r} (r > a)$. Для двухпроводного кабеля с током, протекающим в противоположных направлениях,

$B_{ phi} approx frac{ mu_{0}I }{ pi r}$, между кабелями, по суперпозиции. Связанный поток,

$Phi = int_{a}^{d – a} frac{ mu_{0}I }{ pi} frac{dr cdot 1}{r} approx frac{ mu_{0}I }{ pi} ln frac{d}{a} = frac{ mu_{0} }{ pi} ln eta cdot I$, на единицу длины

Следовательно, $L_{1} = frac{ mu_{0} }{ pi} ln eta$ – индуктивность на единицу длины.

Индуктивность и ее расчет

Содержание:

Индуктивность и ее расчет:

Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока:

На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.

Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:

пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:

устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля и полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:

где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψ_L созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции

Индуктивность тороида и соленоида

Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ₀, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.

Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.

Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г₁ и г₂, магнитная проницаемость материала µ.

По закону полного тока для окружности с радиусом

т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции

Поток в сердечнике тороида

Отсюда индуктивность тороида

Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность

где w₀ — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,

Обычно в реальных тороидах отношение что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ₀

где k µ₀. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.

На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,

Весь поток между проводами – внешний поток

одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому

а соответствующая ему внешняя индуктивность

Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r₀ проводов. В этом случае

Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r₀ поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода

Так как поток dФ_i охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление

Весь поток между проводами — внешний поток

Соответственно, внутренняя индуктивность

Суммарная индуктивность линии

При медных или алюминиевых проводах () в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда

Для стальных проводов () основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность

практически не будет зависеть от расстояния между проводами.

Взаимоиндуктивность и ее расчет

Для двух контуров, имеющих w₁ и w₂ витков с токами I₁ и I₂ (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф_1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф_1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф_1m, пронизывающий также и второй контур:

Потокосцепление, соответствующее потоку Ф₁₁ (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно

а потокосцепление рассеяния

Аналогично для второго контура

Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,

а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,

Можно показать, что

Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,

Суммарное потокосцепление первого контура

и соответственно для второго контура

В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф_1м и Ф_2м (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что

Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству

а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров

Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:

где L_q — индуктивность q-то контура, М_qp = М_рq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.

Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий

Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г₀ внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I₂ второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,

расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .

Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому

Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление будет равно нулю.

Линейные и нелинейные катушки индуктивности

У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:

где k — масштабный коэффициент.

К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика и зависит от напряженности поля.

Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость

и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость

На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную

магнитной проницаемости вакуума.

В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.

Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.

Для расчета индуктивности основной является зависимость потокосцепления ψ от тока I, называемая веберамперной характеристикой.

В зависимости от материала сердечника тороиды по виду своей веберамперной характеристики будут также линейными или нелинейными. В качестве примера рассматривается нелинейный тороид.

Для тороида и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.

Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности

и дифференциальной, а также динамической индуктивности

являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.

Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность

и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой

то индукция будет равна

откуда статическая индуктивность

а дифференциальная индуктивность

Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Электротехника Основы теории цепей

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Энергия в электрических цепях
• Линейные электрические цепи
• Нелинейные электрические цепи
• Магнитные цепи и их расчёт
• Электрическая ёмкость и ее расчет
• Линейные н нелинейные диэлектрики и конденсаторы
• Сопротивление и его расчет
• Линейные и нелинейные резисторы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового витка с током

Вначале решим более общую задачу нахождения магнитной индукции на оси витка с током. Для этого сделаем рисунок 3.8, на котором изобразим элемент тока и вектор магнитной индукции , который он создает на оси кругового контура в некоторой точке .

Рис. 3.8 Определение магнитной индукции

на оси кругового витка с током

Вектор магнитной индукции , создаваемый бесконечно малым элементом контура может быть определен с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.10).

Как следует из правил векторного произведения, магнитная индукция будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора и , поэтому модуль вектора будет равен

.

Для нахождения полной магнитной индукции от всего контура необходимо векторно сложить от всех элементов контура, т. е. фактически сосчитать интеграл по длине кольца

.

Данный интеграл можно упростить, если представить в виде суммы двух составляющих и

При этом в силу симметрии , поэтому результирующий вектор магнитной индукции будет лежать на оси . Следовательно, для нахождения модуля вектора нужно сложить проекции всех векторов , каждая из которых равна

.

Учитывая, что и , получим для интеграла следующее выражение

. (3.18)

Нетрудно заметить, что вычисление получившегося интеграла даст длину контура, т. е. . В итоге суммарная магнитная индукция, создаваемая круговым контуром на оси в точке , равна

. (3.19)

Используя магнитный момент контура, формулу (3.19) можно переписать следующим образом

.

Теперь отметим, что полученное в общем виде решение (3.19) позволяет проанализировать предельный случай, когда точка помещена в центре витка. В этом случае и решение для магнитной индукции поля в центре кольца с током примет вид

. (3.20)

Результирующий вектор магнитной индукции (3.19) направлен вдоль оси тока, а его направление связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.9).

Рис. 3.9 Определение магнитной индукции

в центре кругового витка с током

Индукция магнитного поля в центре дуги окружности

Данная задача может быть решена как частный случай рассмотренной в предыдущем пункте задачи. В этом случае интеграл в формуле (3.18) следует брать не по всей длине окружности, а только по ее дуге l. А также учесть то, что индукция ищется в центре дуги, поэтому . В результате получим

, (3.21)

где – длина дуги; – радиус дуги.

5 Вектор индукции магнитного поля движущегося в вакууме точечного заряда (без вывода формулы)

,

где – электрический заряд; – постоянная нерелятивистская скорость; – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

Силы Ампера и Лоренца

Опыты по отклонению рамки с током в магнитном поле показывают, что на всякий проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует механическая сила, называемая силой Ампера.

Закон Ампера определяет силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле:

; , (3.22)

где – сила тока; – элемент длины провода (вектор совпадает по направлению с током ); – длина проводника. Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению вектора магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением (рис. 3.10):

. (3.23)

Сила Ампера всегда направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и , а ее направление как результат векторного произведения определяется правилом правого винта: если смотреть вдоль вектора , то поворот от к по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке.

Рис. 3.10 Правило левой руки и правило буравчика для силы Ампера

С другой стороны, для определения направления силы Ампера можно также применить мнемоническоеправило левой руки (рис. 3.10): нужно поместить ладонь так, чтобы силовые линии магнитной индукции входили в нее, вытянутые пальцы показывали направление тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера.

Исходя из формулы (3.22), найдем выражение для силы взаимодействия двух бесконечно длинных, прямых, параллельных друг другу проводников, по которым текут токи I₁ и I₂ (рис. 3.11) (опыт Ампера). Расстояние между проводами равно a.

Определим силу Ампера dF₂₁, действующую со стороны магнитного поля первого тока I₁ на элемент l₂dl второго тока.

Величина магнитной индукции этого поля B₁ в точке расположения элемента второго проводника с током равна

.

Рис. 3.11 Опыт Ампера по определению силы взаимодействия

двух прямолинейных токов

Тогда с учетом (3.22) получим

. (3.24)

Рассуждая точно так же, можно показать, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, создаваемого вторым проводником с током, на элемент первого проводника I₁dl , равна

,

т. e. dF₁₂ = dF₂₁. Таким образом, мы вывели формулу (3.1), которая была получена Ампером экспериментальным путем.

На рис. 3.11 показано направление сил Ампера. В случае, когда токи направлены в одну и ту же сторону, то это ‑ силы притяжения, а в случае токов разного направления ‑ силы отталкивания.

Из формулы (3.24), можно получить силу Ампера, действующую на единицу длины проводника

. (3.25)

Таким образом, сила взаимодействия двух параллельных прямых проводников с токами прямо пропорциональна произведению величин токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Закон Ампера утверждает, что на элемент с током, помещенный в магнитное поле, действует сила. Но всякий ток есть перемещение заряженных частиц. Естественно предположить, что силы, действующие на проводник с током в магнитном поле, обусловлены силами, действующими на отдельные движущиеся заряды. Этот вывод подтверждается рядом опытов (например, электронный пучок в магнитном поле отклоняется).

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле, исходя из закона Ампера. Для этого в формулу, определяющую элементарную силу Ампера

,

подставим выражение для силы электрического тока

,

где I – сила тока, протекающего через проводник; Q – величина полного заряда протекшего за время t; q – величина заряда одной частицы; N – общее число заряженных частиц, прошедших через проводник объемом V, длиной l и сечением S; n – число частиц в единице объема (концентрация); v – скорость частицы.

В результате получим:

. (3.26)

Направление вектора совпадаёт с направлением скорости v, поэтому их можно поменять местами.

. (3.27)

Эта сила действует на все движущиеся заряды в проводнике длиной и сечением S, число таких зарядов:

.

Следовательно, сила, действующая на один заряд, будет равна:

. (3.28)

Формула (3.28) определяет силу Лоренца, величина которой

, (3.29)

где a – угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции.

В экспериментальной физике часто встречается ситуация, когда заряженная частица движется одновременно и в магнитном и электрическом поле. В этом случае рассматривают полную силу Лоренца в виде

,

где – электрический заряд; – напряженность электрического поля; – скорость частицы; – индукция магнитного поля.

Только в магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца (рис. 3.12)

. (3.30)

Рис. 3.12 Сила Лоренца

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Взаимная ориентация трех векторов ‑ , и , входящих в (3.30), показана на рис. 313 для положительно заряженной частицы.

Рис. 3.13 Сила Лоренца, действующая на положительный заряд

Как видно из рис. 3.13, если частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям , то она равномерно движется в магнитном поле по окружности радиусом и периодом обращения:

; ,

где – масса частицы.

Отношение магнитного момента к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите,

,

где ‑ заряд частицы; т ‑ масса частицы.

Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в однородном магнитном поле, когда ее скорость направлена под произвольным углом a к вектору магнитной индукции (рис. 3.14). Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом , то она движется по винтовой линии.

Разложим вектор скорости на составляющие v_|| (параллельную вектору ) и v_^(перпендикулярную вектору ):

.

Наличие v_^ приводит к тому, что на частицу будет действовать сила Лоренца и она будет двигаться по окружности радиусом R в плоскости перпендикулярной вектору :

.

Период такого движения (время одного витка частицы по окружности) равен

.

Рис. 3.14 Движение по винтовой линии заряженной частицы

в магнитном поле

За счет наличия v_|| частица будет двигаться равномерно вдоль , так как на v_|| магнитное поле не действует.

Таким образом, частица участвует одновременно в двух движениях. Результирующая траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением индукции магнитного поля. Расстояние h между соседними витками называется шагом винтовой линии и равно:

.

Действие магнитного поля на движущийся заряд находит большое практическое применение, в частности, в работе электронно-лучевой трубки, где используется явление отклонения заряженных частиц электрическим и магнитным полями, а также в работе масс-спектрографов, позволяющих определить удельный заряд частиц (q/m) и ускорителей заряженных частиц (циклотронов).

Рассмотрим один такой пример, назыаемый «магнитной бутылкой» (рис. 3.15). Пусть неоднородное магнитное поле создано двумя витками с токами, протекающими в одном направлении. Сгущение линий индукции в какой-либо пространнственной области означает большее значение величины магнитной индукции в этой области. Индукция магнитного поля вблизи витков с током больше, чем в пространстве между ними. По этой причине радиус винтовой линии траектории частицы, обратно пропорциональный модулю индукции, меньше вблизи витков, чем в пространстве между ними. После того, как частица, двигаясь вправо по винтовой линии, пройдет среднюю точку, сила Лоренца, действующая на чатицу, приобретает компоненту , тормозящую ее движение вправо. В определенный момент эта компонента силы останавливает движение частицы в этом направлении и отталкивает ее влево к витку 1. При приближении заряженной частицы к витку 1 она также тормозится и начинает циркулировать между витками, оказавшись в магнитной ловушке, или между «магнитными зеркалами». Магнитные ловушки используются для удержания в определенной области пространства высокотемпературной плазмы ( К) при управляемом термоядерном синтезе.

Рис. 3.15 Магнитная «бутылка»

Закономерностями движения заряженных частиц в магнитном поле можно объяснить особенности движения космических лучей вблизи Земли. Космические лучи – это потоки заряженных частиц большой энергии. При приближении к поверхности Земли эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. Те из них, которые направляются к магнитным полюсам, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на них. Заряженные частицы, подлетающие к Земле вблизи экватора, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля, их траектория будет искривляться. и лишь самые быстрые из них достигнут поверхности Земли (рис. 3.16).

Рис. 3.16 Образование Полярного сияния

Поэтому интенсивность космических лучей доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем вблизи полюсов. С этим связан тот факт что, Полярное сияние наблюдается главным образом в приполярных областях Земли.

Эффект Холла

В 1880г. американский физик Холл провел следующий опыт: он пропускал постоянный электрический ток I через пластинку из золота и измерял разность потенциалов между противолежащими точками A и C на верхней и нижней гранях (рис. 3.17).

Рис. 3.17 Эффект Холла

В отсутствии магнитного поля , т. к. для однородной пластины поперечное сечение является эквипотенциальной поверхностью. Когда пластины помещаются в однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное к ее боковым граням ‑ между точками A и C возникала разность потенциалов. Это явление было позднее названо эффектом Холла.

Экспериментально было обнаружено, что

, (3.31)

где I ‑ сила тока; B ‑ индукция магнитного поля; b ‑ ширина пластины; ‑ постоянная Холла.

Дальнейшее исследование показало, что эффект Холла наблюдается во всех проводниках и полупроводниках. Величина константы Холла зависит от материала пластины, причем этот коэффициент для одних веществ положителен, а для других ‑ отрицателен.

Явление Холла можно объяснить, исходя из силы Лоренца. На заряд, движущийся в магнитном поле с индукцией B, действует сила Лоренца

.

Рис. 3.18 Знак эффекта Холла

Если носителями тока в веществе являются положительные заряды то под действием силы Лоренца эти заряды q отклоняются к верхней грани (при выбранных направлениях и ). Следовательно, вблизи верхней грани возникнет избыток зарядов, а вблизи нижней грани – недостаток зарядов, т. е. возникает разность потенциалов. В случае отрицательных зарядов, как видно из рисунка 3.18, знак разности потенциалов будет противоположым.

Найдем теперь выражение для . При возникновении разности потенциалов в пластине возникает электрическое поле в вертикальном направлении. Со стороны этого электрического поля на заряд q будет действовать сила , направленная против силы Лоренца. При некотором значении эти силы уравновесят друг друга, и установится равновесный процесс прохождения тока

,

.(3.32)

Если пластина достаточно длинная и широкая, то поперечное электрическое поле можно считать однородным. Для однородного поля можно написать связь между E и в виде:

. (3.33)

Силу тока I можно выразить следующим образом:

, (3.34)

где v ‑ скорость упорядоченного движения зарядов; n ‑ число зарядов в единице объема; – площадь поперечного сечения пластины.

, (3.35)

подставляя (3.35) в (3.33) получим

. (3.36)

Сравнивая эту формулу с экспериментальной (3.31), имеем

. (3.37)

Отсюда видно, что, знак константы Холла совпадает со знаком заряда q носителей тока. В полупроводниках носителями тока могут быть электроны ( ) и положительные дырки ( ). На основании измерения константы Холла для полупроводников можно судить о природе его проводимости. При электронной проводимости , при дырочной проводимости .

С помощью константы Холла можно также определить концентрацию носителей тока, если характер проводимости и заряд носителей тока известны (например, для металлов):

.

На принципе, похожем на эффект Холла, основана работа МГД- генераторов (магнитогидродинамических генераторов). В эффекте Холла используется ток проводимости, а можно использовать конвекционный ток. Например, по трубе продувается поток раскаленных газов (следовательно, ионизированных) в магнитном поле. В трубу вводятся электроды, на них возникает разность потенциалов. Величина оказывается пропорциональной скорости движения газа. Для увеличения электропроводимости должна быть велика концентрация ионов n, что можно достигнуть повышением температуры газа. Кроме того, в поток газа вводятся специальные присадки ‑ элементы с малой энергией ионизации.

К.П.Д. МГД-генераторов может достигать 50…60%, в то время, как у тепловых электростанций . Также преимуществом МГД-генераторов является то, что в них нет никаких механических движущихся частей и, следовательно, потерь на преодоление трения.

Расчет индукции магнитного поля кругового тока

Рассмотрим магнитное поле постоянного тока /, текущего по проводу в форме окружности С радиуса а. Применим закон Био – Савара – Лапласа (6.1)

и принцип суперпозиции (6.4)

для определения магнитной индукции на оси симметрии этого кругового тока (рис. 6.9).

Рис. 6.9. К расчету магнитного поля кругового тока

Для расчета магнитной индукции В выделим на контуре С векторный элемент dl , начало которого находится в некоторой точке А этого контура. Построим вектор R , который соединяет точку А с произвольной точкой Р на оси симметрии контура:

Для определения положения точки Р проведем координатную ось х вдоль оси симметрии, а начало отсчета поместим в центр контура. При этом расстояние R от точки А до точки Р будет связано с координатой х последней соотношением

Найдем вектор dB магнитной индукции ноля, создаваемого выделенным элементом тока dl в точке Р. По определению векторного произведения из закона Био – Савара – Лапласа следует, что вектор dB перпендикулярен и вектору dl , и вектору R . При этом с учетом того,

что векторы dl и R образуют прямой угол, модуль вектора dB будет равен

Так как рассматриваемая система обладает осевой симметрией, вектор В магнитной индукции поля, создаваемого всем контуром, на оси симметрии будет направлен вдоль этой оси. Следовательно, только проекция на ось х этого вектора будет отлична от нуля во всех точках этой оси:

где В – модуль вектора магнитной индукции.

В силу принципа суперпозиции проекция на ось х вектора В будет

где dB_x – проекция на ось х вектора dB . Используя подобие прямоугольных треугольников на рис. 6.9, находим, что

Подставив выражение (6.23) в формулу (6.22), с учетом (6.21) получим

Все величины под знаком интеграла не зависят от того, где на контуре С расположен векторный элемент dl , и могут быть вынесены за интеграл.

Так как интеграл от dl равен длине 2тга окружности, придем к формуле

Подставив в эту формулу выражение (6.20), получим следующую зависимость магнитной индукции от координаты х точки Р:

[spoiler title=”источники:”]

http://lektsii.org/8-84219.html

http://studme.org/312101/matematika_himiya_fizik/raschet_induktsii_magnitnogo_polya_krugovogo_toka

[/spoiler]