Как найти индуктивность рамки

Всем доброго времени суток. В прошлых статьях я рассмотрел индуктивные элементы без сердечников, в частности, индуктивность прямого провода, индуктивность кольца и индуктивности различных типов круговых катушек. После этого можно было бы переходить к рассмотрению индуктивных элементов с сердечниками различной формы, однако существует ещё несколько типов катушек особой формы. Это, прежде всего, прямоугольные катушки и тороидальные катушки. Данная статья посвящена расчётам индуктивностей именно таких катушек.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Прямоугольные катушки индуктивности

Прямоугольные катушки индуктивности, как видно из их названия, в поперечном разрезе имеют сечение прямоугольника (в отличии от круговых, где поперечный разрез имеет вид круга)

Поперечный (слева) и продольный (справа) разрез прямоугольной катушки индуктивности.

Данная катушка индуктивности имеет следующие конструктивные параметры:

c₁b₁ – размеры сердечника катушки (внутренние размеры обмотки);

c₂b₂ –внешние размеры катушки;

cb – средние размеры катушки;

l – длина катушки (аксиальный размер);

t – толщина намотки катушки (радиальный размер).

Для упрощение расчётов индуктивности, основными конструктивными параметрами прямоугольных катушек являются: средние размеры катушки c и b, толщина намотки t, длина катушки l. Средние размеры катушки вычисляются по следующим выражениям

При расчётах предполагается, что толщина намотки t одинакова по всем сторонам катушки.

Прямоугольные катушки в зависимости от их длины и толщины намотки подразделяются также как и любые другие типы катушек (по аналогии с круговыми катушками):

длинная катушки, если длина катушки больше средних размеров (l > c, l > b);

короткая катушка, если длина катушки меньше средних размеров (l < c или l < b);

очень короткая катушка, если длина катушки намного меньше средних размеров (l << c или l << b);

плоская катушка, если принять длину намотки равной нулю (l = 0);

толстая катушка, если толщина намотки немного меньше или приблизительно равна средним размерам катушки (t ≈ c, t ≈ b);

тонкая катушка, если толщина намотки меньше средних размеров катушки (t < c, t < b);

соленоид, если толщина намотки принята равной нулю (t = 0).

Особенности расчёта прямоугольных катушек индуктивности

На индуктивность квадратных катушек, также как и на любой другой индуктивный элемент влияют конструктивные размеры катушки (длина, ширина, высота, толщина намотки) и размеры и форма проводников, из которых намотана катушка. Поэтому для квадратных катушек вводятся поправки на собственную индуктивность витков катушки ∆₁L и взаимную индуктивность между витками катушки ∆₂L, которые вычисляются по аналогии с круговыми катушками

где

μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков соленоида;

D_СР – средний диаметр катушки, м;

I и J – коэффициенты, зависящие от расположения и от числа витков катушки.

А полная индуктивность катушки составит

где L_Р – расчётная индуктивность;

∆L – поправка на «изоляцию», ∆L = ∆₁L + ∆₂L;

∆₁L – поправка учитывающая влияние индуктивности витков;

∆₂L – поправка учитывающая влияние взаимной индуктивности витков.

Длина намотки l и толщина намотки t принимается равными шагу обмотки (p – шаг по длине катушки, q – шаг по толщине намотки) умноженному на количество слоёв в том или ином направлении ω

Если у катушки в каком-либо направлении (по длине намотки l или по толщине намотки t) имеется только один ряд (или слой), то в этом направлении размер l или t можно принять равным нулю, то есть расчёт ведётся как для соленоида или плоской катушки.

В некоторых случаях, при большом диаметре провода или шаге намотки у однослойных катушках размер l или t принимается равным диаметру голого провода d.

Так как величина поправки на взаимную индуктивность ∆₂L в несколько раз меньше, чем поправка на индуктивность витков ∆₁L, то при расчётах можно учитывать только ∆₁L.

Индуктивность квадратного соленоида

В начале, рассмотрим простейший вариант прямоугольной катушки – квадратный соленоид, в которой средние размеры катушки равны между собой c = b

Расчёт квадратного соленоида.

Как известно соленоид представляет собой катушку, толщина которой бесконечно мала или равна нулю (t = 0) выражение для расчёта индуктивности такой катушки будет иметь вид

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10-7 Гн/м;

ω – число витков соленоида;

с – сторона квадрата, являющегося основанием соленоида;

γ – величина зависящая от отношения стороны основания и длины намотки;

l – длина намотки соленоида.

Пример. В качестве примера рассчитаем квадратный соленоид длиной l = 5 см = 0,05 м, стороной основания с = 0,5 см = 0,005 м и числом витков ω = 100.

Вышеописанное выражение для индуктивности квадратного соленоида возможно использовать и для вычисления большинства однослойных катушек прямоугольного сечения с учётом поправок на изоляцию из в предыдущей статьи.

Индуктивность прямоугольного соленоида

Следующим типом катушки будет прямоугольный соленоид представленный ниже

Расчёт прямоугольного соленоида.

В отличие от квадратного соленоида, в котором стороны основания равны (c = b), в прямоугольном соленоиде стороны основания не равны (c ≠ b). В данном случае выражение для индуктивности такого соленоида несколько сложнее и зависит от соотношения сторон основания между собой и к длине соленоида

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10-7 Гн/м;

ω – число витков соленоида;

с, b – сторона квадрата, являющегося основанием соленоида;

φ_b, φ_с, ψ_b, ψ_c – величины зависящие от соотношения сторон между собой и к длине соленоида.

Коэффициенты φ_b, φ_с зависят от γ_b и γ_с соответственно

где c и b – размеры основания соленоида;

l – длина катушки (аксиальный размер);

Коэффициенты ψ_b, ψ_с зависят от δ_b, δ_с

где c и b – размеры основания соленоида;

Пример. В качестве примера рассчитаем индуктивность прямоугольного соленоида длиной l = 7 см = 0,07 м, размерами основания с = 2 см = 0,02 м, b = 4 см = 0,04 м и числом витков ω = 400.

Индуктивность квадратной плоской катушки

Теперь рассмотрим квадратную плоскую катушку средними размерами основания с и толщиной намотки t

Расчёт индуктивности квадратной плоской катушки.

В данном случае длину катушки можно принять равной нулю (l = 0), а стороны основания равны между собой (c = b). Тогда индуктивность такой катушки можно найти по следующему выражению

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков плоской катушки;

с – сторона квадрата, являющегося основанием плоской квадратной катушки;

Φ – коэффициент зависящий от размеров катушки и толщины намотки.

Величину Φ зависящую от соотношения средней длины основания c и толщины намотки катушки t можно оценить по следующему выражению

где t – толщина намотки катушки,

с – размер основания катушки.

Пример. Рассчитаем плоскую прямоугольную катушку со средней длиной стороны с = 50 см = 0,5 м, толщиной намотки t = 5 см = 0,05 м и имеющая ω = 100 витков.

Индуктивность прямоугольной катушки прямоугольного сечения

Отдельно необходимо рассмотреть прямоугольную катушку прямоугольного сечения, в которой длина l и толщина t намотки значительно меньше, чем средние размеры её сторон b и c.

Расчёт индуктивности прямоугольной катушки прямоугольного сечения.

Индуктивность такой катушки можно вычислить достаточно точно по следующему выражению

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков катушки;

с,b – средние длины сторон основания прямоугольной катушки;

d – диагональ основания катушки;

t – толщина намотки катушки;

l – длина катушки.

В случае равенства сторон основания (c = b), то есть квадратной катушки, то выражение приобретает вид

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков катушки;

с – средняя длинна стороны основания катушки;

d – диагональ основания катушки;

t – толщина намотки катушки;

l – длина катушки.

Индуктивность тороидальных катушек

Заканчивая рассмотрение расчётов индуктивностей катушек без сердечников, остановлюсь на таких распространённых индуктивных элементах, как тороидальные катушки. Они имеют ряд преимуществ перед предыдущими индуктивными элементами, в частности, лучшие массогабаритные показатели.

Рассмотрим два типа катушек: прямоугольным сечением и с круговым сечением каркаса

Тороидальные катушки: с прямоугольным сечением каркаса (слева) и круговым сечением каркаса (справа).

Индуктивность тороидальной катушки с прямоугольным сечением каркаса определяется по следующей формуле

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков катушки;

t – толщина катушки;

l – высота катушки;

D – средний диаметр катушки.

Индуктивность тороидальной катушки с круговым сечением каркаса можно вычислить по следующему выражению

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

ω – число витков катушки;

D – средний диаметр катушки;

d – средний диаметр обмотки.

На этом закончу рассмотрение выражений для расчёта индуктивностей элементов без сердечников. В следующей статье я буду рассматривать влияние различных типов сердечников на индуктивность элементов.

Индуктивность – рамка

Cтраница 1

Индуктивность рамки рассчитывается по тем же формулам, что и катушки индуктивности ( гл. Если витки рамки квадратные, то вместо диаметров в расчетные формулы нужно подставлять значения эквивалентных диаметров, определяемых как полусуммы диаметров кругов, вписанных и описанных около соответствующих витков. Необходимое значение индуктивности рамки получают из расчета входного контура приемника ( гл.
 [2]

Индуктивность рамки равна L. В начальный момент времени центр рамки совпадает с началом координат О, а стороны параллельны осям х и у. Ток в рамке в этот момент равен нулю.
 [3]

Емкость конденсатора и индуктивность рамки определяют частотный диапазон прибора.
 [5]

При решении задачи влиянием индуктивности рамки можно пренебречь, поскольку мы рассматриваем довольно большой промежуток времени Т 10 – 4 с; кроме того, магнитное поле рамки пренебрежимо мало по сравнению с внешним полем.
 [6]

Гц, на цепь, в которой производится измерение, сильно влияют паразитные параметры: индуктивность рамки и соединительных проводов, а также емкость прибора на землю.
 [7]

Частотная погрешность обусловлена, с одной стороны, статической емкостью р – n – переходов выпрямительных элементов, работающих в обратном режиме, а с другой – индуктивностью рамки измерительного механизма.
 [9]

Для выяснения характера дополнительных частотных погрешностей, возникающих при повышении частоты измеряемых напряжений и токов, целесообразно воспользоваться эквивалентной схемой ( рис. 4.13) ( аналогичной схеме рис. 4.11), где Св – емкость, присущая выпрямителям, a LM – индуктивность рамки микроамперметра. Емкости выпрямителей, работающих в прямом направлении, на схеме не показаны вследствие их незначительного шунтирующего влияния.
 [10]

Универсальный фазометр, предназначенный для измерения коэффициента мощности в однофазной и трехфазной симметричной цепи. Емкость С служит для компенсации индуктивности рамок.
 [11]

При созф 0 5, однако, не получается уменьшения вращающего момента, наоборот, он увеличивается из-за того, что ток /, , усиливаясь, изменяет свою фазу. Это изменение фазы тока / к вызывается уменьшением индуктивности рамки / при одновременном увеличении ее активного сопротивления.
 [12]

Выпрямительным приборам свойственна частотная погрешность. Причипа ее появления заключается в наличии собственной емкости выпрямителей и индуктивности рамки магнитоэлектрического прибора. Емкость выпрямителей, оказывающая основное влияние На погрешность, нелинейно меняется с частотой, а также может изменяться со временем и в зависимости от приложенного напряжения.
 [14]

Измерителем в мостовых цепях переменного тока являются либо выпрямительные, либо ферродинамические приборы; в последнем случае в измерительную диагональ моста включается лишь подвижная рамка прибора, неподвижные же катушки питаются обычно непосредственно от источника тока. Поэтому сопротивление измерителя можно рассматривать как активное сопротивление, ибо индуктивность рамки ферродинамического прибора невелика.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

Содержание:

Индуктивность и ее расчет:

Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока:

На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.

Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:

пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:

устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля и полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:

где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψ_L созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции

Индуктивность тороида и соленоида

Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ₀, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.

Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.

Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г₁ и г₂, магнитная проницаемость материала µ.

По закону полного тока для окружности с радиусом

откуда

т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции

Поток в сердечнике тороида

а потокосцепление

Отсюда индуктивность тороида

Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность

где w₀ — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,

Обычно в реальных тороидах отношение что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ₀

где k < 1 — коэффициент, учитывающий, что в таком соленоиде не весь поток пронизывает все витки.

Как показывает точный расчет, этот коэффициент зависит от отношения диаметра D катушки к ее длине I (рис. 1.15). При = 0,1 коэффициент k — 0,96, поэтому при < 0 ,1 приближенно принимают k = 1.

Индуктивность двухпроводной линии

Двухпроводная линия (рис. 1.16, а) состоит из двух параллельных проводов одинакового радиуса г₀, имеющих большую длину I по сравнению с расстоянием d между ними. Магнитная проницаемость материала проводов (г, окружающей среды — µ₀. Токи I в прямом и обратном проводах отличаются лишь направлением; начало координат взято в центре сечения левого провода.

Для отдельного провода ввиду его осевой симметрии, при пренебрежении искажением поля у его концов, применение закона полного тока к окружности радиуса дает:

При интегрировании по окружности, лежащей внутри отдельного провода охватывается лишь часть L_Х всего тока, протекающая внутри круга радиуса х, равная при равномерном распределении тока по сечению

В воздухе между проводами на линии, соединяющей центры их сечений направления полей, создаваемых обоими токами согласно правилу правого винта, совпадают и напряженности поля и индукции складываются:

Эти же формулы справедливы и для т. е. снаружи линии, но здесь они дают разность полей.

Внутри левого провода линии напряженность поля и индукция от обоих проводов будут:

Внутри правого провода соответственно,

На рис. 1.16, б представлено распределение напряженности поля и индукции вдоль оси х для магнитной проницаемости материала проводов µ > µ₀. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.

На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,

Весь поток между проводами – внешний поток

одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому

а соответствующая ему внешняя индуктивность

Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r₀ проводов. В этом случае

Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r₀ поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода

Так как поток dФ_i охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление

Весь поток между проводами — внешний поток

Соответственно, внутренняя индуктивность

Суммарная индуктивность линии

При медных или алюминиевых проводах () в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда

Для стальных проводов () основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность

практически не будет зависеть от расстояния между проводами.

Взаимоиндуктивность и ее расчет

Для двух контуров, имеющих w₁ и w₂ витков с токами I₁ и I₂ (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф_1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф_1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф_1m, пронизывающий также и второй контур:

Потокосцепление, соответствующее потоку Ф₁₁ (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно

а потокосцепление рассеяния

Аналогично для второго контура

Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,

а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,

Можно показать, что

Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,

Суммарное потокосцепление первого контура

и соответственно для второго контура

В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф_1м и Ф_2м (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что

Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству

а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров

Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:

где L_q — индуктивность q-то контура, М_qp = М_рq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.

Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий

Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г₀ внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I₂ второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,

расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .

Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому

а взаимоиндуктивность

Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление будет равно нулю.

Линейные и нелинейные катушки индуктивности

У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:

где k — масштабный коэффициент.

К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика и зависит от напряженности поля.

Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость

и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость

На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную

магнитной проницаемости вакуума.

В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.

Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.

Для тороида и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.

Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности

и дифференциальной, а также динамической индуктивности

являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.

Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность

и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой 

то индукция будет равна

а потокосцепление

откуда статическая индуктивность

а дифференциальная индуктивность

Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.