Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие «интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
«Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a, b и с:
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов
Почему вы не знаете, как решать интегралы
А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.
Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:
- вычисление площади фигуры.
- вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
- определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
- и др.
Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.
Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.
Нужна помощь в написании работы?
Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Интеграл – что это?
Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.
Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.
Метод исчерпывания для определения площади круга
В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.
Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.
Объясняем понятие «Интеграл»
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.
Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».
Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.
Интеграл записывается так:
Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).
Неопределённый интеграл
Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
Пример решения неопределенного интеграла.
Определённый интеграл
В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.
Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла
Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:
Пример решения определенного интеграла
Таблица интегралов для студентов (основные формулы)
Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся
Как вычислять интеграл правильно
Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:
Вынесение константы из-под знака интеграла
Разложение интеграла суммы на сумму интегралов
Если поменять местами a и b, знак изменится
Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом
Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.
Примеры вычисления интегралов
Решение неопределенного интеграла
Решение определенного интеграла
Базовые понятия для понимания темы
Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.
Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.
Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.
Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.
Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.
Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.
Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.
Заключение
Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.
Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Изучаем понятие «интеграл»
Интегрирование было популярно ещё в давние времена. Хотя это не использовалась в текущем варианте, но всё же. В ту эпоху математики написали книги на эту тему. Ньютон и Лейбниц отличались своими особенностями, но смысл вообще не поменялся.
Прежде чем выяснить такое определение, вам всё еще необходимо базовое понимание принципов математического изучения.
Неопределённый интеграл
Предположим, мы используем данную функцию наподобие символов f (x).
Непонятный интеграл f (x) – это формула с двумя буквами F (x), производная которой равна формула с двумя буквами f (x).
Так или иначе, называется обратной производной или обратным интегралом. Кстати, рекомендуем прочесть статью про то, как их рассчитать.
Он имеется для всех постоянных функций. Кроме того, нередко добавляется символ константы, поскольку производные различных функций константы подобны. Действие интегрального поиска – вот потому и является интеграцией.
Чтобы регулярно не пересчитывать примитивные простых функций, их пригодно объединить в таблицу и использовать готовую значительность.
Определенный интеграл
Это определение называется постоянной малой степенью, способная определить площадь фигуры, массу неоднородного тела, путь, по которому находится переменное движение и прочее. Стоит знать, что это сумма постоянно множества безмерно небольших слагаемых.
Для поиска площади фигуры по узкому графику функции необходимо использовать интеграл! Неровную трапецию, узкую по координатным осям и графику функции разделим на безмерно небольшие части. Это разделит фигуру на тонкие столбцы. Сумма величины столбцов является величиной трапеции. Однако не стоит забывать, что подобный расчёт придаст приблизительный итог. Но чем менее и уже сегменты, тем вернее станет расчётом. При их сокращении величина приблизится к нулевой отметки. Тогда сумма площадей сегментов устремится к площади фигуры.
Расстояние a и b являются пределами интегрирования. Для примера можно составить подобный график.
Правила вычисления для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Перед тем как решать, проанализируем самые подходящие особенности, пригодные для решения элементарных примеров.
Прежде всего, мы подчеркнём, что данное равенство относительное. Его следует понимать как равенство правой и левой частей с определённостью до любого постоянного слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до любого постоянного слагаемого.
Собственно, пусть F (x) – это будет интеграл для функции f (x), то бишь F’ (x) = f (x) Значит AF (x) – это для функции, Af (x), поскольку [AF (x)]’ = AF’ (x) = Af (x).
Данное равенство (также и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правого и левого элементов с определённостью до свободного одинакового слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до свободного одинакового слагаемого.
Собственно, пусть F(x) и G(x) – используются для таких математических символов: f (x) и g (x), то бишь F’(x) = f(x), G’(x) = g(x). Значит F(x) + G(x) – это интеграл для математических символов, f (x) = g (x), поскольку [F(x) = G(x)’] = F’(x) + G’(x) = f(x) = g(x).
Подчеркнём, что это свойство объективно для любого конечного числа слагаемых функции.
Свойства определенного интеграла
Как его рассчитать? Для этого нужна формула Ньютона-Лейбница.
Мы уже узнали, что предельная сумма – это конкретный интеграл.
Допустим, формула y = f(x) обусловлена в интервале [a, b], a <b. Выполним следующие операции:
1) сперва мы разделим [a, b] точками a = x0<x1 <… <xi-1 <xi-1 <… <xn = b на n сегментов выборки [x0, x1], [x1, x2], [xi-1, xi], …, [xn-1, xn];
2) в каждом из фрагментарных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2, … n, мы выбираем случайную точку и вычисляем в ней значимость функции: f (zi);
3) находим действия f (zi) · Δxi, где – длина неполного разреза [xi-1, xi], i = 1, 2, … n;
4) создадим совокупную сумму y = f(x) на отрезке [a, b]
С учётом геометрии такая совокупность составляет необходимую сумму площадей прямоугольников, подтверждениями которых являются выборочные отрезки [x0, x1], [x1, x2], …, [xi-1, x1], …, [xn-1, xn], но высоты одинаковы f (z1), f (z2), …, f (zn) сообразно.
Когда имеется последний предел объединенной суммы, и он не связан с особенностью деления на выборочные отрезки или выбора точек zi внутри них, то – это конкретный интеграл функции y = f (x) на отрезке [a, b].
Примеры решения интегралов
Далее разберём неточный интеграл и примеры с решениями. Рекомендуем самопроизвольно справиться в деталях решения, и, не разобравшись в них, спрашивайте в комментариях. Чтобы закрепить материал, найдите и смотрите любой видеоролик в интернете про то, как они решаются во время сессии или уроков в школе. Не стоит расстраиваться, если он не дан моментально. Обращайтесь в профессиональный сервис для студентов, и вы сможете обработать любой тройной или неровный интеграл с замкнутой поверхностью.
Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.
Лурк
Мы остались с ним в пустом классе и он медленно начал объяснять мне, как правильно брать разные интегралы разными способами. И вот уже в конце нашего первого занятия он предложил мне взять мой первый в жизни интеграл. Но как только я его увидела, я жутко испугалась и убежала.
Сайт МИФИ
Два математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Один (пессимист) утверждал, что большинство ее вообще не знает, а другой (оптимист) — что хоть и не много, но знают. Когда пессимист отошел в туалет, оптимист подозвал симпатичную официантку-блондинку и говорит:
— Когда мой коллега вернется, я задам вам вопрос. Суть не важна.
Все, что вы должны сделать — это сказать “Треть икс куб”.
— Как-как? Третий скуп? — переспрашивает официантка?
— Да нет, Треть Икс Куб, Понятно?
— А-а! Третик скуп? — повторяет официантка.
— Да, да. Это все о чем я вас прошу.
Официантка уходит твердя про себя как заклинание фразу “Третик скуп”.
Тут возвращается пессимист. Оптимист говорит — давай спросим у нашей официантки чему равен какой-нибудь простенький интеграл. Пессимист со смехом соглашается. Оптимист вызывает официантку и спрашивает:
— Извините, вы не помните чему равен интеграл от x^2 по dх?
— Треть икс куб… – отвечает официантка.
Пессимист сильно удивляется, на что официантка добавляет:
— А хули ты удивляешься, блять? Училась по гайдам с ДТФ.
Все очень просто. Глядим на эту картинку:
Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 – это функция, зависящая от х. Функция2 – это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку “С” и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.
Теперь смотрим на эту картинку:
Тебе всего лишь нужно привести функцию1 к какому-нибудь пункту из этой таблицы. А дальше просто смотришь в нее и пишешь ответ. И “С” не забудь.
Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:
Запоминаем:
- Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
- Если перед подынтегральной функцией стоит константа, то ее можно вынести за знак интеграла.
Применяя оба правила на практике получаем:
Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго). Для третьего интеграла – пункт 2 из таблицы. И получается вот что:
Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:
Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл – табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.
Дай ответ
Не дам
0
1
Иди нахуй + С
Показать результаты
Переголосовать
Проголосовать
Молодец, что не забыл С. Идем дальше.
Вообще-то интеграла от sin2x в таблице нет. Придется делать замену переменной. А для этого придется все-таки узнать, что такое dx.
Обзовем 2x как u. А теперь магия: du=2dx, значит dx =1/2du. Кто не понял, я просто взял производную по х от u и приписал в конце dx. Подставляем всю эту хрень в исходный интеграл и получаем:
А это, дамы и господа, база под номером 7 в списке баз. Получив косинус и вернув х вместо u, получаем базированный ответ:
Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).
Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:
U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:
Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:
Готов к полному пиздецу?
Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение – метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:
Ловко, да? Все, что нам нужно – это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.
Мысль понятна?
Я смотрю аниме
Да
Показать результаты
Переголосовать
Проголосовать
Теперь можно и сократить знаменатели.
Надо раскрыть скобки.
Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:
Ну а теперь:
Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):
Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.
