Как найти интеграл функции по формуле

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл представляет собой аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

Математическая запись интеграла:

(int_{a}^{b}{f(x)dx})

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

(P=lim_{Delta x_{i}rightarrow 0}sum{y_{i}Delta x_{i}})

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел (alpha) и (beta (alpha in R, beta in R)) функция (varphi(x) = alpha f(x) + beta g(x)) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: (intlimits_a^b (alpha f(x) + beta g(x)) dx = alpha intlimits_a^b f(x) dx + beta intlimits_a^b g(x) dx.label{ref1})
2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция (varphi(x) = f(x)g(x)) также интегрируема на этом отрезке.
3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке (Delta = [a, b]) она интегрируема на любом отрезке (Delta_{1} subset Delta.)
4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c  < b, будет работать формула: (intlimits_a^b f(x) dx = intlimits_a^c f(x) dx + intlimits_c^b f(x) dx)
5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если (c_{1}, c_{2}, c_{3}) являются любыми точками данного интервала, то (intlimits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = intlimits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + intlimits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: (int kf(x) dx = kint f(x) dx)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: (int ( f(x) pm g(x) ) dx = int f(x) dx pm int g(x) dx)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: (bigg (int f(x) dx bigg )’ = f(x))
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: (int F'(x) dx = F(x) + C)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: (int df(x) dx = f(x) + C)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

(int 0dx=C)

(int dx=int 1dx=x+C)

(int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1}+C)

(int frac{dx}{x}=ln |x|+C)

(int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C)

(int e^x dx = e^x + C)

(int sin x dx = -cos x + C)

(int cos x dx = sin x+C)

(int frac{dx}{sin^2 x}=-ctgx + C)

(int frac{dx}{cos^2 x}=tgx+C)

(int frac{dx}{sqrt{a^2-x^2}}=arcsin frac{x}{a}+C)

(int frac{dx}{a^2+x^2}=frac{1}{a}arctgfrac{x}{a}+C)

(int frac{dx}{a^2-x^2}=frac{1}{2a} ln|frac{a+x}{a-x}|+C)

(int frac{dx}{sqrt{x^2pm a^2}}=ln|x+sqrt{x^2pm a^2}|)

Методы решения интегралов

Данные методики позволяют преобразовать сложные уравнения в простые формы, решения которых можно найти в таблице. Также к преобразованным выражениям можно применять свойства интегралов.

Непосредственное интегрирование

Данный метод целесообразно применять, когда в интеграле имеются табличные простейшие функции, либо функции, которые можно представит в таком виде по результатам элементарных действий. К примеру, когда требуется вынести константу за знак интеграла, разбить интеграл на слагаемые в виде интегралов, чтобы в подынтегральном выражении присутствовала готовая функция для интегрирования. Можно привести простой пример:

Необходимо определить интеграл непосредственным интегрированием:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx)

Исходя из свойства суммы интегралов, получим:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = int x^3 dx + int frac{3 dx}{2sqrt{x}} + int frac{2 dx}{x})

Первый интеграл записан в табличном виде. В таком случае можно воспользоваться непосредственным интегрированием:

(int x^3 dx = frac{x^{3+1}}{3+1} = frac{x^4}{4} + C)

Второй интеграл обладает константой, которую допустимо вынести за знак. Затем интеграл будет преобразован в табличную форму:

(int frac{3dx}{2sqrt{x}} = 3 int frac{dx}{2sqrt{x}} = 3 sqrt{x} + C)

В третьем интеграле можно вынести константу. Далее необходимо воспользоваться методом непосредственного интегрирования:

(int frac{2dx}{x} = 2int frac{dx}{x} = 2 ln x + C)

Полученные выражения необходимо представить в виде одной записи:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x + C)

Ответ: (int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x+ C)

Метод подведения под знак дифференциала

Решить некоторые типы интегралов можно с помощью этого способа. Он заключается в вынесении под знак интеграла. Таким образом получается интеграл табличной формы. Формула имеет следующий вид:

(f'(x) dx = d( f(x) ))

В том случае, когда подынтегральная функция содержит произведение пары функций, одна из которых представляет собой дифференциал другой, нужно внести под знак дифференциала нужную функцию. Данное действие можно записать таким образом:

(int f(varphi(x)) varphi'(x) dx = int f(varphi(x)) d(varphi(x))=int f(u) du)

(u=varphi(x))

Воспользоваться способом подведения основных функций можно при знании таблицы производных и интегрирования. Из них следуют следующие уравнения:

(dx = d(x+c) )

(c=const)

(-sin x dx=d(cos x))

(dx=frac{1}{a} d(ax))

(cos x dx = d(sin x))

(xdx=frac{1}{2} d(x^2+a) )

(frac{dx}{x} = d(ln x))

(-frac{dx}{x^2}= d(frac{1}{x}))

(frac{dx}{cos^2 x} = d(tg x))

(int f(kx+b)dx = frac{1}{k} int f(kx+b)d(kx+b) = frac{1}{k} F(kx+b) + C)

В качестве примера можно решить задачу на нахождение интеграла, обладающего таким видом:

(int sin x cos x dx)

В этом случае допустимо заносить под знак дифференциала любую из указанных функций. Целесообразно занести (cos x) из-за удобства смены знаков. Применяя формулы, получим:

(int sin x cos xdx = int sin x d(sin x) = frac{1}{2} sin^2 x + C)

Ответ: (int sin x cos x dx = frac{1}{2} sin^2 x + C)

Метод интегрирования по частям

Данная методика применима, когда требуется решить интегралы от произведения двух простейших функций. Одна из них достаточно просто дифференцируется, а вторая — интегрируется. В данном случае справедлива методика для неопределенных и определенных интегралов. Неопределенный интеграл характеризуется уравнением:

(int udv = uv – int vdu)

Определенный интеграл соответствует формуле:

(int limits_{a}^{b} udv = uv bigg |_{a}^{b} – int limits_{a}^{b} vdu)

В качестве примера можно определить интеграл:

(int xe^xdx)

Заметим, что в состав подынтегральной функции входит пара функций. Одна из них путем дифференцирования преобразуется в единицу, а вторая достаточно просто интегрируется. Поэтому в данном случае справедлив метод интегрирования по частям. Можно предположить, что:

(u = x rightarrow du=dx)

(dv = e^x dx rightarrow v=e^x)

Далее необходимо подставить полученные значения в первую формулу интегрирования:

(int xe^x dx = xe^x – int e^x dx = xe^x – e^x + C)

Ответ: (int xe^x dx = xe^x – e^x + C)

Метод замены переменной или метод подстановки

Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:

(int f(x) dx)

Можно заменить (x=phi(t)). При этом функция (phi(t)) является дифференцируемой, поэтому можно найти (dx = phi'(t) dt.)

Далее следует подставить (begin{vmatrix} x = phi(t) \ dx = phi'(t) dt end{vmatrix}) в интеграл. Таким образом:

(int f(x) dx = int f(phi(t)) cdot phi'(t) dt)

Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

При условиях задачи, которая содержит интеграл (int f(phi(x)) cdot phi'(x) dx), целесообразно заменить переменную на новую:

(t = phi(x))

(dt = phi'(t) dt)

Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:

(int f(phi(x)) cdot phi'(x) dx = int f(t)dt)

Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.

Например, можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо вычислить неопределенный интеграл с помощью замены переменной:

(int e^{3x} dx)

Замена переменной будет выполнена следующим образом:

(t = 3x)

(dt = 3dx)

Таким образом:

(int e^{3x} dx = int e^t frac{dt}{3} = frac{1}{3} int e^t dt =frac{1}{3} e^t + C = frac{1}{3} e^{3x} + C)

Ответ: (int e^{3x} dx = frac{1}{3} e^{3x} + C)

Примеры решения

Задача 1

Требуется рассчитать определенный интеграл:

(int_0^1 frac{x}{x^4+1} dx)

Решение

Требуется заменить (t = x^2)

Таким образом, (dt = 2xdx)

Далее необходимо пересчитать пределы интегрирования для переменной t. Для этого нужно подставить 0 и 1 в замену (t = x^2)

В данной задаче они остались прежними. После манипуляций с подстановками получим:

(int_0^1 frac{x}{x^4+1}dx = int_0^1 frac{1}{2} frac{dt}{t^2+1})

Можно найти интеграл по таблице:

(int_0^1 frac{1}{2} frac{dt}{t^2+1}=frac{1}{2} arctg t bigg |_0^1)

Используя формулу Ньютона-Лейбница, запишем решение:

(frac{1}{2} arctg t bigg |_0^1 =frac{1}{2} arctg 1 – frac{1}{2} arctg 0 = frac{1}{2} cdot frac{pi}{4} = frac{pi}{8})

Ответ: (int_0^1 frac{x}{x^4+1} dx = frac{pi}{8})

Задача 2

Необходимо решить определенный интеграл:

(int_0^pi (x+5)sin x dx)

Решение

Можно заметить произведение двух функций, которое находится под интегралом. В этом случае целесообразно воспользоваться методом интегрирования по частям:

(int udv = uv – int vdu)

(int_0^pi (x+5) sin x dx = begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \ dv = sin x dx & v = -cos x end{vmatrix})

Нужно подставить в уравнение интегрирования по частям рассчитанные данные из вертикальных скобок:

(-(x+5)cos x bigg |_0^pi&nbsp;+ int_0^pi&nbsp;cos x dx)

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла запишем ответ:

(-(x+5)cos x bigg |_0^pi + int_0^pi cos x dx = -(pi+5) cdot (-1) + 5 + sin x bigg |_0^pi = pi + 10 + sin pi – sin 0 = pi + 10)

Ответ:  (int_0^pi (x+5)sin x dx = pi + 10)

Задача 3

Требуется найти определенны интеграл, записанный в виде:

(int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx)

Решение

Используя способ разложения интеграла на простейшие, после получения промежуточного результата необходимо интегрировать каждый интеграл индивидуально:

(int_0^2 (x^3+2x+2) dx = int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx)

В случае первых двух интегралов целесообразно воспользоваться правилом:

(x^p = frac{x^{p+1}}{p+1})

Третий интеграл содержит константу. Таким образом:

(int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + 2 frac{x^2}{2} bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + x^2 bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 )

Далее следует подставить пределы интегрирования в каждую функцию и записать ответ:

(int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + 2 frac{x^2}{2} bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + x^2 bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 )

Ответ: (int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12)

Задача 4

Необходимо найти решение интеграла:

(int 3cos x dx)

Решение

Требуется вынести константу по первому свойству за знак интеграла и записать ответ:

(int 3cos x dx = 3 int cos x dx = 3 sin x + C)

Ответ: (int 3cos x dx = 3 sin x + C)

Задача 5

Необходимо определить интеграл:

(int (e^x + sin x) dx)

Решение

Исходя из первого свойства неопределенного интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов:

(int (e^x + sin x) dx = int e^x dx + int sin x dx = e^x – cos x)

Ответ: (int (e^x + sin x) dx = e^x – cos x)

Задача 6

Требуется определить производную от интеграла:

( int ln x dx)

Решение

Согласно третьему свойству неопределенного интеграла, производная неопределенного интеграла определяется, как подынтегральная функция:

(bigg (int ln x dx bigg )’ = ln x)

Ответ: (bigg (int ln x dx bigg )’ = ln x)

Задача 7

Требуется доказать следующее выражение:

( int (x^2+x)’ = x^2+x+C)

Решение

В первую очередь необходимо определить производную подынтегральной функции:

( (x^2+x)’ = (x^2)’ + (x)’ = 2x + 1)

Исходя из первого и второго свойства неопределенного интеграла, получим ответ:

(int (2x+1) dx = int 2x dx + int 1 dx = 2 int x dx + int 1 dx =2 cdot frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C)

Ответ: выражение доказано.

Благодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп. 

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость а также закон движения

Дифференцирование – это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию что на этом интервале выполнялось или

Определение. Функция удовлетворяющая равенству для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции заданной на том же промежутке.

Например, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех справедливо

С другой стороны, вообще для любой постоянной имеем поэтому каждая из функций является первообразной для функции

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции и первообразные функции на определенном промежутке, то для функции на этом же промежутке выполняется тождество Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке (здесь произвольная постоянная). Отсюда Таким образом получаем, что если функция на заданном промежутке является первообразной для функции то для любой постоянной

называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как “интеграл эф от икс де икс”.

Если функция является одной из первообразных для то но определению

Здесь – знак интеграла, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования, – постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) b) с)

Решение:

Так как:

Пример 2. Найдите интеграл

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Например, известно, что производной функции является функция Значит, множителем искомой функции является дробь которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится

Такой функцией является функция Значит,

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной

функции

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции

Решение: Так как функция одна из первообразных функции то одна из первообразных функции будет

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Значит,

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции

Решение: запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a) b)

Решение: a)

b)

Интегралы тригонометрических функций

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции

Решение: Так как то

Пример 3. Вычислите интеграл

Решение: Воспользуемся тождеством Тогда,

Пример 4. Найдите интеграл

Решение: Воспользуемся формулой

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку:

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке

a) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид

b) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид:

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как то для функции неопределенным интегралом является функция

Как можно найти постоянную

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент мяч находился на высоте 1 м и Тогда отсюда Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле При получим

Т. е. в момент секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лег после 1960 года, – численность населения в данный год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции показывающую численность населения, соответствующую функции

Теперь найдем постоянную

Например, по условию при численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Тогда и

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции непрерывной на отрезке и ограниченной осью абсцисс слева прямой справа прямой

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и прямыми и

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой и

Площадь:

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами и

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами и Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми и (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как “площадь, ограниченная кривой”. Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон изменения ее скорости, а именно:

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и и то закон движения задается формулой

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции на промежутке если для всех выполняется равенство

Например, функция является первообразной функции на промежутке поскольку на выполняется равенство

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток опускают. В таких случаях считают, что Так, функция является первообразной функции поскольку выполняется равенство

Рассмотрим еще один пример. Функция является первообразной функции на промежутке поскольку на этом промежутке выполняется равенство

Однако на промежутке функция не является первообразной функции так как в точке не выполняется равенство

Рассмотрим функции и Каждая из них имеет одну и ту же производную Поэтому обе функции и являются первообразными функции Понятно, что каждая из функций вида где любое число, является первообразной функции Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция является первообразной функции на промежутке и любое число, то функция также является первообразной функции на промежутке . Любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция первообразная функции на промежутке то для всех выполняется равенство Тогда

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке

Пусть функция одна из первообразных функции на промежутке Тогда для всех Имеем:

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция является константой на промежутке то есть где некоторое число. Отсюда

Если функция является первообразной функции на промежутке то запись где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Совокупность всех первообразных функции на промежутке называют ее неопределенным интегралом и обозначают (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция является первообразной функции на промежутке Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторое число. Это можно записать так:

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции

Решение:

Поскольку то одной из первообразных функции является функция

Тогда согласно теореме 24.1 запись где любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на каждом из промежутков и

Решение:

На промежутке имеет место равенствона промежутке имеют место равенства

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке а функция является первообразной функции на промежутке .

Поскольку то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись где любое число, является общим видом первообразных функции

Пример:

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Решение:

Поскольку то функция является одной из первообразных функции Следовательно, искомая первообразная имеет вид где некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Тогда Отсюда

Таким образом, искомая первообразная имеет вид

Замечание.

Можно доказать, что функция является первообразной функции на промежутке Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции на промежутке Поскольку то функция является первообразной функции на промежутке Учитывая равенства можно записать:

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке то на этом промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Из условия следует, что для любого выполняются равенства и Тогда для любого из промежутка имеем:

Из теоремы 25.1 следует, что

где произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: где произвольное число.

Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем:

Коротко записывают: где произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на промежутке

Решение:

Напомним, что функция является первообразной функции на промежутке Поскольку на данном промежутке выполняется равенство то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Поскольку то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Тогда по теореме 25.2 функция является первообразной функции

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияявляется первообразной заданной в условии функции Тогда запись является общим видом первообразных функции

Решение примера 1 можно записать и так:

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

на промежутке

Решение:

1) Поскольку функция является первообразной функции то по теореме 25.3 функция то есть функция является первообразной функции 2) Поскольку то первообразной функции является функция то есть

Тогда первообразная функции имеет вид то есть

Пример:

Для функции найдите первообразную на промежутке график которой проходит через точку

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись где любое число, является общим видом первообразных функции на данном промежутке.

На промежутке искомая первообразная имеет вид

где некоторое число. Из условия следует, что Тогда отсюда Следовательно,

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Найдите закон движения если (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция является первообразной функции на промежутке Тогда можно записать

то есть

где некоторое число. Найдем из условия

Имеем: отсюда

Тогда искомый закон движения задается формулой

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций или если известны первообразные функций и К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию которая непрерывна на отрезке и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми и называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и можно вычислить по формуле

где любая первообразная функции на отрезке

Доказательство. Рассмотрим функцию где которая определена таким правилом.

Если то если то это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что для всех

Пусть произвольная точка отрезка и приращение аргумента в точке Ограничимся рассмотрением случая, когда (случай, когда рассматривают аналогично).

Имеем:

Получаем, что это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

На отрезке как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны и где некоторая точка промежутка Тогда Отсюда

Если то Поскольку функция непрерывна в точке то Отсюда, если то

Имеем

Поскольку произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке

Пусть некоторая первообразная функции на отрезке Тогда по основному свойству первообразной можно записать где некоторое число.

Имеем:

По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна Следовательно,

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции на отрезке я

является функция Тогда

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

Решение:

График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми

Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Определение. Пусть первообразная функции на промежутке , числа и где принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке

Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

где произвольная первообразная функции на промежутке

Например, функция является первообразной функции на промежутке Тогда для произвольных чисел и где можно записать:

Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.

Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторая постоянная. Тогда

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:

1. найти любую первообразную функции на отрезке
2. вычислить значение первообразной в точках и
3. найти разность

При вычислении определенных интегралов разность обозначают

Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:

Пример:

Вычислите

Решение:

Имеем:

Если функция имеет первообразную на отрезке и то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Действительно,

Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и

Используя теорему 26.1, можно записать:

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство

Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).

Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми

Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, а);

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, б)

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и

Тогда искомая площадь

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций и и прямыми и (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Рассмотрим функцию Величина равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело , объем которого равен Пусть плоскость пересекает тело по фигуре с площадью а проекцией тела на ось абсцисс является отрезок (рис. 27.3). Если непрерывная на отрезке функция, то объем тела можно вычислить по формуле

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой , равной и основанием, площадь которого равна (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота пирамиды принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок

Пусть плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать:

Отсюда Теперь можно записать:

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции и прямыми (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема (рис. 27.7). Найдите .

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью где получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Тогда площадь этого круга равна

Поэтому

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми вокруг оси абсцисс образуется тело объема то

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если , то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено.

Пример:

Пусть а – заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

является первообразной для функции v(t), так как

Пример:

Пусть . Тогда функция является первообразной для функции , так как

Пример:

Пусть , при

Тогда функция является первообразной для функции ,

так как

Пример:

Пусть ,*>0, Тогда функция

является первообразной для функции , так как

Пример:

Докажите, что функции ,

являются первообразными для функции

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Из этой задачи можно сделать вывод:

где С -постоянная является первообразной функцией для функции .

Действительно,

Для заданной функции её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где F(x) – одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: . Таким образом,

В этом обозначении – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, а выражение – подынтегральное выражение.

Пример:

, так как согласно таблице производных, .

Пример:

Так как .

Пусть

Согласно примеру 4.

График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид ,

так как .

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда , С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид .

Ответ:

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид

, так как Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось .

Значит отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид

Ответ:

Пример:

Докажите, что

Решение:

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, при , то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна —

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций и соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция является первообразной для функции , то есть

Правило 2: Функция является первообразной для функции, то есть:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов:

Так как согласно таблице интегралов

Ответ:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х² + 8 = u тогда, Отсюда

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функцию. Действительно,

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда и заданный интеграл

получит вид . Согласно пункту 3 таблицы интегралов ,

Проверка.

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно тождеству и пункту 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства:

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

и . Тогда

Проверка:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

Ответ:

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции и имеют непрерывные производные и , то справедлива формула

(1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций и

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения и ; 2) выражения и подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Подберём . Поэтому

. Согласно (1),

Поэтому

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл .

Решение:

Представим подынтегральную функцию в виде произведения функций. Поэтому:.

Тогда

Согласно формуле (1),

Значит,

Проверка:

Ответ:

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить .

Решение:

В этом случае (здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Ответ:

Определенный интеграл, формула ньютона – лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х – произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть .

Рассмотрим разность , где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна то есть Значит,

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при стремится к S'(х). Поэтому при получим равенство . Поэтому S(x) является первообразной для функции

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть

Положим в этом равенстве х=а получим Отсюда следует, что . Тогда равенство (1) можно записать в виде: . Положим в этом равенстве х=b, получим .

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: , (2)

где F(x) – любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) – F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом,

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

. В этом случае:

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х₀, х₁.., х_1-n , х_n= b на равные отрезки , и на каждом из этих отрезков , отметим произвольную точку . Умножим длину отрезка на значение заданной функции f(х) в точке и составим сумму

(6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием и высотой S_n. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции (рисунок 5).

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности стремится к нулю. Тогда интегральная сумма S_n стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) . Вычислим это значение по

формуле Ньютона – Лейбиица (3). Очевидно, что функция

одна из первообразных для функции. Значит, Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц).

Пример:

Вычислить определённый интеграл .

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 0.

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 13,5.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл:

Значит

Ответ:

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Значит Ответ:

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. Действительно

2.

Значит,

3.Пусть а, b, с – действительные числа. Тогда

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть – четная функция, тогда

5.Если , тогда .

6.Если ,тогда .

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл 
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
 (2)
Теорема 1. При интеграл (1) сходится.
Доказательство.

Если  то функция − ограничена, при  сходится, поэтому  – сходится .
Если  то функция − ограничена, при сходится, поэтому  – сходится.
Таким образом  сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.

Если x∈[0,1], то функция  − ограничена, при сходится, поэтому
∫-сходится.
Если − ограничена, 
сходится, поэтому  -сходится.
Следовательно  сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти 
Решение. По формуле (11): 
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:   (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:

Пример 2.

Найти 
Решение.

Пример 3.

Вычислить интеграл 
Решение.

 

n.5. Рассмотрим

Поэтому  значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

• Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция яляется первообразной для функции на интервале (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции можно записать следующим образом: где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

• Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

поскольку для функции на интервале все первообразные можно записать следующим образом: .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция

• 1.
• 2.
• 3.
• 4.

Общий вид первообразных где С — произвольная постоянная

1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.

Запись с помощью неопределенного интеграла

• 1.
• 2.
• 3.
• 4.

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования:

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию (латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка

Например, для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

Отметим, что функция имеет ту же производную Следовательно, функция также является первообразной для функции на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции при этом любая первообразная для функции на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка Тогдато есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функция — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть для всехТогда По условию постоянства функции, если производная функции равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех функция Отсюда Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале одной из первообразных является функция (действительно, F’ (х) = то общий вид всех первообразных функции можно записать так: где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

• Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции записывается так: следовательно,

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем следовательно, cF — первообразная для cf.

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f, — постоянные (причем то— первообразная для функции

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

а это и означает, что — первообразная для функции

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Для всех

Следовательно, функция является первообразной для функции Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции будет

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

У функции область определения Рассмотрим функцию

Следовательно, на каждом из промежутков функция

является первообразной для функции Тогда

общий вид всех первообразных для функции С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке

Решение:

а это и означает, что F (х) является первообразной для функции

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функции

2) Найдите все первообразные для функции

3*) Найдите

Решение:

1) Одной из первообразных для функции на множестве R

будет функция поскольку

Комментарий:

1) Первообразную для функции можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить необходимо брать производную от Но Чтобы производная равняласьдостаточно поставить перед функцией коэффициент

2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде 1 где С — произвольная.

где С — произвольная постоянная. Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции является функция

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определению то есть неопределенный интеграл – это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная:

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииучтем, что область определения этой функции Тогда эту функцию можно записать так: и использовать формулу нахождения первообразной для функции а именно:

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Решение:

Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции

первообразной является функция Второе слагаемое запишем так: Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Первообразной для функции будет функция будет функция

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для является (-ctg х), для второго первообразной для являетсятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 – х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Пример:

Так как для функции одной из первообразных является

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и называют криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда

4. Свойства определенных интегралов

Если функция f (х) интегрируема на и тои

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Пусть функция непрерывна на отрезке . Выполним следующие операции.

1. Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
2. Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
4. Составим сумму

Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости (напомним, что

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Графиком скорости в системе координат является прямая , параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле . Величина равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени . Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени приближенно выражается произведением. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции отрезком оси и прямыми , называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Покажем, что S (х) является первообразной для функции , то есть что

По определению производной нам необходимо доказать, что

при Для упрощения рассуждений рассмотрим случай (случай рассматривается аналогично).

Поскольку , то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади ). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем . Тогда(Эта формула будет верной и при

Поскольку точка с лежит между то с стремится к х, если Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) – F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

где — произвольная первообразная для функции

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают так:

Запись читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Например, поскольку для функции одной из первообразных является

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке существует определенный интеграл функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Для случая а = b также по определению будем считать, что

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции первообразной будет функция Тогда

Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Если F (x) является первообразной для функции то

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке и то

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на отрезков (не обязательно равных) точками (для удобства будем считать, что Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через длину первого отрезка через

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке и обозначают Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка на частей (то есть фиксируя другие точки и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек если и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыстремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите

Решение:

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница

Пример №297

Вычислите

Решение:

I способ

Для функции одной из первообразных является

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции

Решение:

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Тогда ее площадь ровна

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции осью Ох и прямыми х = а иравна

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и

Формула

Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют такое свойство, что для всех то Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

3. Объемы тел

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ох.

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х) и прямыми х = а и то

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции снизу графиком функции а также вертикальными прямыми функции непрерывны и неотрицательны на отрезке

Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций ( — площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции Но

Следовательно, Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке для этого достаточно выполнения условий, что функции непрерывны на отрезке и (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции мы заменили соответственно на функции Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции.

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Разделим отрезок на отрезков одинаковой длины точками

Через каждую точку проведем плоскость перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади сечения, умноженной на «толщину слоя» и поэтому

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше

Поэтому По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно,

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью (рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле

(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при ).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Решение

Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Комментарий:

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле:

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 – то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 –

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем где С — произвольная постоянная.

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3.

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скорость размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой бактерий в момент времени t уравнением

где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса бактерий известна. Тогда и, следовательно,

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Если в момент времени t масса вещества равна и тогда

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

В этом случае формула (3) записывается

так:

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где — заданное положительное число,

Решением уравнения (4) является функция

где — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

где А — амплитуда колебания, — угловая частота, — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

где — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).

Найдем приближенно отношение считая, что за время скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время , то есть объем равен Следовательно, Учитывая формулу (6), получаем

Тогда при получаем равенство

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время

Используя данные задачи, получаем

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. По условию задачи находим . Поскольку при х = 0,01 м

сила.

Следовательно,

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Тогда работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкубудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому

Тогда при Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку равна

Используя данные задачи, получаем

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида  Такие суммы принято обозначать  Подграфик функции  — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции  вокруг оси  Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами  (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от  и равен  Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной  равен  Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Следовательно, его объём

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции  (рис. 128). Для неотрицательных значений  график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции  Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции  на  вокруг оси  (рис. 129). Итак, искомый объём

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы  тело перемещается в направлении её действия на расстояние  то при этом выполняется работа  А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила  которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Коэффициент  различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то  Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние 

Поделим отрезок  на который растягивается пружина, точками  на  равных частей (рис. 130). Пусть  — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

расстояние  т. е. переместить её конец из точки  надо приложить силу  При этом выполненная работа приближённо равна  Чтобы растянуть пружину на расстояние  надо приложить силу  и выполнить работу, которая приближённо равна  и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние  надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Значение  с увеличением  (и соответствующим уменьшением  всё меньше отличается от точного значения искомой работы  т. е. если   Следовательно,

Если 

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина  (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой  — глубина в метрах,  — давление воды в килопаскалях. Пусть  — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками  на  равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на  равных полос. Если , то площадь каждой полосы равна   Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно  Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Полученное произведение ширины ворот  на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция  описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции  произведённой за промежуток времени 

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени  — постоянная функция), то объём продукции  произведённой за некоторый промежуток времени  задаётся формулой  В общем случае справедливо приближённое равенство  Оно тем точнее, чем меньше 

Разобьём отрезок  равных частей точками  Для объёма продукции  произведённой за промежуток времени  имеем  

Следовательно,

Если  то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно 

Если  — производительность труда в момент времени  то объём произведённой продукции за промежуток  можно вычислить по формуле 

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна 

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра  равных частей точками  Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен  а масса —  где  — плотность жидкости в резервуаре, — радиус основания цилиндра, а 

Чтобы тело массой  поднять на высоту  нужно выполнить работу  В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в  цилиндре, выражается формулой  а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

По условию задачи  поэтому

Ответ. 

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой   — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Ответ.  единиц.

Содержание:

1. Неопределённый интеграл
2. Свойства неопределённого интеграла
3. Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
4. Таблица основных интегралов
5. Непосредственное интегрирование
6. Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
7. Интегрирование по частям
8. Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
9. Интегрирование рациональных функций
10. Неопределенный интеграл и его определение
11. Интеграл постоинной и степенной функции
12. Свойства неопределенного интеграла
13. Интегралы тригонометрических функций
14. Задания на нахождение постоянной интегрирования
15. Задания на реальную жизненную ситуацию
16. Пример задачи на прирост населения

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределённого интеграла:

Дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находят производную или дифференциал данной функции.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по известному закону движения тела  мы дифференцированием находим скорость , а позже и ускорение ; если задано равенство прямой , то легко вычислить угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой: .

Важными являются обратные задачи, например:

а) известна скорость движения тела, установить закон его движения.

б) дан угловой коэффициент касательной к кривой, найти уравнение этой кривой.

Иначе говоря, по данной производной надо найти функцию, от которой найдена эта производная, то есть выполнить действие обратное дифференцированию. Это действие называют интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалом функции находят саму функцию, которую называют первоначальной.

Дифференцированная функция  называется первоначальной для функции  на промежутке , если  для каждого .

Так, для функции  первоначальной является функция , поскольку  Отметим, что данная функция имеет не единственную первоначальную. Например, функция  которые отличаются только на постоянную, тоже удовлетворяют условие  

Докажем теорему: если  — первоначальна для  на некотором промежутке, то и функция , где  любая постоянная, также является первоначальной для функции   на этом промежутке.

Доказательство:

Следовательно, достаточно найти для функции  только одну первоначальную функцию , чтобы найти все её первоначальные, так как она отличаются одна от другой только на постоянную величину С.

Совокупность  всех первоначальных функций  на интервале  называют неопределённым интегралом от функции  на этом интервале и обозначают .

Тут  подынтегральное выражение,   — подынтегральная функция, х— переменная интегрирования, С— произвольная постоянная.

Например:

Геометрически выражение  можно изобразить как семейство кривых, полученных параллельным переносом любой из них вдоль оси OY (рис. 1).

Если функция f(х) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первоначальную, то её называют интегрированной на этом промежутке.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению:

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интервала:

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

5. Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа (), то

Для доказательства свойств 1 – 5 достаточно найти производные обоих частей равенства.

Например, докажем свойство 4:

и производная левой части

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)

Из каждой формулы дифференцирования выходит соответствующая её формула интегрирования. Например, с того, что , следует равенство

Таблица основных интегралов

Справедливость этих формул легко проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ нахождения интеграла, когда путём тождественных преобразований подынтегральных функций и использованием свойств неопределённого интеграла приходим к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с отрицательным показателем  и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ: 

Пример 2. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем  и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и правилом умножения степени с одинаковыми основами 

Найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл 

Решение: Используем свойства степени с дробным показателем, правила действий над степенями с одинаковыми основами и найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл 

Решение: Откроем скобки по формуле  и неопределённый интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределённых интегралов от каждой функции:

Ответ:

Пример 6. Найти интеграл:  

Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределённого интеграла:

Ответ:

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать формулы, которые вытекают из свойства 5:

Так, при нахождении  можно использовать формулу:

Интегрирование методом подстановки (замена переменной)

Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является метод подстановки (замены переменной).

Суть метода подстановки заключается в следующем: заменяют новую переменную на такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, что осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно перемножить или разделить соответствующее выражение). В результате введения замены подынтегральное выражение должно принять вид:

что позволяет привести интеграл к табличному виду.

Пример 7. Найти интеграл: 

Решение: Сделаем подстановку 

Ответ:

Припер 8. Найти интеграл: 

Решение:

Ответ:

Припер 9. Найти интеграл: 

Решение: Пусть  тогда  Далее получим:

Ответ:

Пример 10. Найти интеграл: 

Решение: Пусть , тогда  отсюда  Получаем:

Ответ: 

Интегрирование по частям

Выведем формулу интегрирования по частям. Известно, что:

Как видим, нахождение сводится к нахождению , который должен выявиться больше простым или табличным интегралом.

При использовании метода интегрирования по частям подынтегральную функцию представляют в виде произведения двух множителей u и dv, и находят du и v. Если полученный интеграл окажется сложным, то можно попробовать поменять значения u и dv. Для удобства выражения u, dv, du, v оформляют в виде таблицы. 

Метод интегрирования по частям часто используют при интегрировании функций, которые содержат произведение, логарифмы и обратные тригонометрические функции.

Пример 11. Найти интеграл:

Решение:

Пример 12. Найти интеграл: 

Решение:

Пример 13. Найти интеграл: 

Решение:

Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен

Для нахождения указанных интегралов квадратный трёхчлен преобразуют в квадратный двучлен, выделяя полный квадрат  

Такие представления подынтегрального выражения позволяет свести искомые интегралы к табличным или к интегралам вида 

Приведём примеры.

Пример 14. Найти интеграл: 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

тогда интеграл приобретёт вид

Выведем замену: , получим

Ответ:

Пример 15. Найти интеграл: 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену  Тогда

Первый из полученных интегралов, , табличный

а второй, , находим замену 

Вернёмся к переменной х и запишем результат

Ответ: 

Пример 16. Найти интеграл 

Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена

и введём замену ; получим

Ответ:

Пример 17. Найти интеграл 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену . Тогда

Первый интеграл, , находим введя замену

Второй интеграл является табличным

Подставим найденные интегралы и вернёмся к переменной х, получим

Ответ:

Пример 18. Найти интеграл: 

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив  вычисляем

Ответ: 

Пример 19. Найти интеграл: 

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив  вычисляем

Ответ: 

Интегрирование рациональных функций

Целая рациональная функция — это многочлен, который интегрируется непосредственно:

Интеграл от дробной рациональной функции  многочлены, можно выразить через элементарные функции путём разложения на слагаемые, если степень числителя меньше степени знаменателя. Такую рациональную дробь называют правильной, в других случаях — неправильной дробью. Неправильная рациональная дробь всегда можно преобразовать в правильную, разделив числитель на знаменатель.

Правильную рациональную дробь можно разложить на слагаемые следующих двух видов:

где m, n — целые положительные числа.

Для разложения правильной рациональной дроби  на слагаемые необходимо:

1. Разложить знаменатель  на простейшие действительные множители, то есть записать в виде

2. Записать схему разложения дроби на элементарные слагаемые

где  неизвестные постоянные. Слагаемых с соответствующими знаменателями столько, какая степень каждого множителя в разложении 

3. Освободиться от знаменателей, умножив обе части на 

4. Составить систему уравнений относительно неизвестных

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих частях.

6. Полученные в разложении дроби приводятся к интегралам типа

Интеграл I₃ находят по правилам рассмотренным в параграфе.

Пример 20. Найти интеграл 

Решение: Выполним действия согласно приведённой схеме:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на 

4) составим систему равенств для определения неизвестных А, В, В₁, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему:

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Ответ: 

Пример 21. Найти интеграл 

Решение:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на 

4) составим систему равенств для определения неизвестных , приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему: 

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Интеграл I запишем в виде

Неопределенный интеграл и его определение

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как “интеграл эф от икс де икс”.

Если функция является одной из первообразных для , то по определению .

Здесь – знак интеграла, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования, – постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Задача пример №124

По определению найдите неопределенные интегралы.

Решение:

Так как:

Задача пример №125

Найдите интеграл .

Решение:

подумаем, производной какой функции является функция . Например, известно, что производной функции является функция . Значит, множителем искомой функции является дробь , которая потом сократиться с коэффициентом 4 и получится . Такой функцией является функция . Значит,

Интеграл постоинной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной функции

Задача пример №126

Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Задача пример №127

Найдите общий вид первообразных функции .

Решение:

Так как функция одна из первообразных функции , то одна из первообразных функции будет . Тогда общий вид первообразных имеет вид: . Значит, .

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

5.

Задача пример №128

Найдите интеграл .

Решение:

В отличии от произвордной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Задача пример №129

Найдите первообразную функции

Решение:

запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции :

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Задача пример №130

Найдите неопределенные интегралы: a) ; b)

Решение: a) b)

Интегралы тригонометрических функций

Задача пример №131

Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Задача пример №132

Найдите первообразную функции .

Решение:

Так как , то

Задача пример №133

Вычислите интеграл .

Решение:

Воспользуемся тождеством . Тогда,

Задача пример №134

Найдите интеграл .

Решение:

Воспользуемся формулой :

Задания на нахождение постоянной интегрирования

Задача пример №135

Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку: а) М(2;2); Ь) Р(-1;3).

Решение:

Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке .

a) По условию . Тогда , отсюда = -2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку М(2;2), имеет вид .

b) По условию . Тогда 1 + = 3, отсюда = 2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку Р(-1;3), имеет вид: .

Задания на реальную жизненную ситуацию

Задача пример №136

Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как . Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение:

так как , то для функции неопределенным интегралом является функция :

Как можно найти постоянную ?

Мяч брошен с высоты 1 м. Т.е. в момент мяч находился на высоте 1 м и = 1. Тогда 1 = -4,9 • 0 +12 • 0 + , отсюда = 1. Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти по формуле . При = 2 получим

. Т.е. в момент = 2 секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример задачи на прирост населения

Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лет после 1960 года, – численность населения в данный (-ый) год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение:

найдем первообразную для функции , показывающую численность населения, соответствующую функции :

Теперь найдем постоянную .

Например, по условию при = 30 (1960 – 1990) численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. . Тогда .

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в = 60:

Т.е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Первообразная функция

Площадь, ограниченная кривой

Определенный интеграл

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было популярно ещё в давние времена. Хотя это не использовалась в текущем варианте, но всё же. В ту эпоху математики написали книги на эту тему. Ньютон и Лейбниц отличались своими особенностями, но смысл вообще не поменялся.

Прежде чем выяснить такое определение, вам всё еще необходимо базовое понимание принципов математического изучения.

Неопределённый интеграл

Предположим, мы используем данную функцию наподобие символов f (x).

Непонятный интеграл f (x) – это формула с двумя буквами F (x), производная которой равна формула с двумя буквами f (x).

Так или иначе, называется обратной производной или обратным интегралом. Кстати, рекомендуем прочесть статью про то, как их рассчитать.

Он имеется для всех постоянных функций. Кроме того, нередко добавляется символ константы, поскольку производные различных функций константы подобны. Действие интегрального поиска – вот потому и является интеграцией.

Чтобы регулярно не пересчитывать примитивные простых функций, их пригодно объединить в таблицу и использовать готовую значительность.

Определенный интеграл

Это определение называется постоянной малой степенью, способная определить площадь фигуры, массу неоднородного тела, путь, по которому находится переменное движение и прочее. Стоит знать, что это сумма постоянно множества безмерно небольших слагаемых.

Для поиска площади фигуры по узкому графику функции необходимо использовать интеграл! Неровную трапецию, узкую по координатным осям и графику функции разделим на безмерно небольшие части. Это разделит фигуру на тонкие столбцы. Сумма величины столбцов является величиной трапеции. Однако не стоит забывать, что подобный расчёт придаст приблизительный итог. Но чем менее и уже сегменты, тем вернее станет расчётом. При их сокращении величина приблизится к нулевой отметки. Тогда сумма площадей сегментов устремится к площади фигуры.

Расстояние a и b являются пределами интегрирования. Для примера можно составить подобный график.

Правила вычисления для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Перед тем как решать, проанализируем самые подходящие особенности, пригодные для решения элементарных примеров.

Прежде всего, мы подчеркнём, что данное равенство относительное. Его следует понимать как равенство правой и левой частей с определённостью до любого постоянного слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до любого постоянного слагаемого.

Собственно, пусть F (x) – это будет интеграл для функции f (x), то бишь F’ (x) = f (x) Значит AF (x) – это для функции, Af (x), поскольку [AF (x)]’ = AF’ (x) = Af (x).

Данное равенство (также и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правого и левого элементов с определённостью до свободного одинакового слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до свободного одинакового слагаемого.

Собственно, пусть F(x) и G(x) – используются для таких математических символов: f (x) и g (x), то бишь F’(x) = f(x), G’(x) = g(x). Значит F(x) + G(x) – это интеграл для математических символов, f (x) = g (x), поскольку [F(x) = G(x)’] = F’(x) + G’(x) = f(x) = g(x).

Подчеркнём, что это свойство объективно для любого конечного числа слагаемых функции.

Свойства определенного интеграла

Как его рассчитать? Для этого нужна формула Ньютона-Лейбница.

Мы уже узнали, что предельная сумма – это конкретный интеграл.

Допустим, формула y = f(x) обусловлена в интервале [a, b], a <b. Выполним следующие операции:

1) сперва мы разделим [a, b] точками a = x0<x1 <… <xi-1 <xi-1 <… <xn = b на n сегментов выборки [x0, x1], [x1, x2], [xi-1, xi], …, [xn-1, xn];

2) в каждом из фрагментарных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2, … n, мы выбираем случайную точку и вычисляем в ней значимость функции: f (zi);

3) находим действия f (zi) · Δxi, где – длина неполного разреза [xi-1, xi], i = 1, 2, … n;

4) создадим совокупную сумму y = f(x) на отрезке [a, b]

С учётом геометрии такая совокупность составляет необходимую сумму площадей прямоугольников, подтверждениями которых являются выборочные отрезки [x0, x1], [x1, x2], …, [xi-1, x1], …, [xn-1, xn], но высоты одинаковы f (z1), f (z2), …, f (zn) сообразно.

Когда имеется последний предел объединенной суммы, и он не связан с особенностью деления на выборочные отрезки или выбора точек zi внутри них, то – это конкретный интеграл функции y = f (x) на отрезке [a, b].

Примеры решения интегралов

Далее разберём неточный интеграл и примеры с решениями. Рекомендуем самопроизвольно справиться в деталях решения, и, не разобравшись в них, спрашивайте в комментариях. Чтобы закрепить материал, найдите и смотрите любой видеоролик в интернете про то, как они решаются во время сессии или уроков в школе. Не стоит расстраиваться, если он не дан моментально. Обращайтесь в профессиональный сервис для студентов, и вы сможете обработать любой тройной или неровный интеграл с замкнутой поверхностью.