Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие «интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
«Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a, b и с:
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Конспект лекций по теме
«Интеграл»
ПЛАН
Введение
1.
Понятие
первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства.
Формулы интегрирования.
2.
Метод
подстановки в неопределенный интеграл.
3.
Определенный
интеграл, его свойства, геометрический смысл.
4.
Метод
подстановки в определенном интеграле.
5.
Применение
определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
6.
Приближенное
вычисление определенного интеграла.
Заключение
Разработка
урока «Нахождение неопределенного интеграла»
Список
литературы
Введение
Математический
анализ как раздел математики возник в результате объединения двух различных и
первоначально не связанных направлений математических исследований –
дифференциального и интегрального исчислений.
Первоначально
интуитивное представление о математическом объекте, который мы сейчас называем
определенным интегралом, встречалось в работах ученых Древней Греции. Так,
Архимед для вычисления объемов и площадей поверхности тел пользовался
разбиением фигур на элементы с последующим суммированием этих элементов,
предвосхищая тем самым понятия интегральных сумм.
Аналогичными
задачами, развивая метод Архимеда, занимались И.Кеплер, Б.Паскаль, П.Ферма и
другие ученые. Ферма также занимался задачами, которые мы сейчас относим к
дифференциальному исчислению, – проведением касательных к кривым, нахождением
наибольшего и наименьшего значений функций и т.д., причем для решения этих
задач он, по существу, пользовался понятием приращения функции. Связь между
этими различными классами задач была осознана учеными после исследований
И.Ньютона и Г.Лейбница. Лейбницем и были введены используемые в настоящее время
обозначения интеграла и дифференциала.
Строгое
обоснование большинства понятий математического анализа было дано Коши в
середине XIX столетия на основе теории
пределов.
Дальнейшее
развитие математического анализа привело к выделению таких самостоятельных
разделов математики, как теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория
дифференциальных уравнений в частных производных, теория интегральных уравнений,
теория функций комплексной переменной, теория функций действительной
переменной, функционального анализа и т.д.
Понятие
первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства.
Формулы интегрирования.
Первообразная
Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной
или дифференциалу, называют первообразной.
Дифференцируемая функция 
называется первообразной для функции
на заданном промежутке, если для всех х
из этого промежутка справедливо равенство 
.
Из этого определения вытекает, что всякая функция по
отношению к своей производной является первообразной.
Так, функция 
есть
первообразная функции 
на интервале 
, поскольку для всех 
имеет место равенство 
.
Дифференцирование функции –
однозначная операция, т.е.
если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно
следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то
только один. Обратная операция – отыскание первообразной – не однозначна.
Так, функции 
, где
С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции 
, поскольку все эти функции имеют одну и
ту же производную 
.
Теорема. Если является первообразной
функции на некотором промежутке, то множество
всех первообразных этой функции имеет вид 
, где
С – любое действительное число.
Доказательство: Пусть . Тогда 
.
Покажем теперь, что все первообразные функции отличаются лишь постоянным слагаемым.
Пусть Ф(х) – другая первообразная функции на рассматриваемом промежутке, т.е. 
.
Тогда 
при всех х из
рассматриваемого промежутка. Следовательно, 
, что
и требовалось установить.
Таким образом, любые две первообразные данной функции
отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение исчерпывает множество всех
первообразных заданной функции. Итак, задача
нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений.
Геометрически выражение представляет
собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль
оси Оу.
Неопределенный интеграл
Как уже было отмечено, первообразную можно находить не
только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы
будем этим пользоваться.
Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется
неопределенным интегралом и обозначается символом 
, где – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, х –
переменная интегрирования.
Таким образом, если –
какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то 
, где С – любое действительное число.
Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции
по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный
интеграл».
Так, пользуясь определением неопределенного
интеграла, можно записать: 
.
Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от
заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить
к ней произвольную постоянную С.
Слово «интеграл» происходит от латинского
слова integer, что означает «восстановленный». Интегрируя какую-либо функцию, например , мы как бы восстанавливаем функцию 
, производная которой равна .
Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный
интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом
получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.
Например, 
. Сделаем проверку: 
или 
.
Следовательно, интеграл найден верно.
Основные свойства неопределенного интеграла
Из рассмотренных ранее примеров видно, что можно
находить интегралы, подбирая первообразные. Однако это не всегда просто. При
интегрировании помогает знание некоторых свойств интеграла, формул
интегрирования, а также специальных приемов.
Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного
интеграла.
1.
Производная
неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
Это свойство непосредственно вытекает из определения
неопределенного интеграла, поскольку , а 
.
Так, 
.
На этом свойстве основано доказательство следующих
свойств.
2.
Постоянный
множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.
,
где m – постоянная величина, не равная нулю.
Это свойство доказывается дифференцированием обеих
частей приведенного равенства. При этом учитывается свойство 1: производная
неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
Действительно,
.
Например, 
, где а –
постоянная, не равная нулю.
3.
Интеграл от
алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих
функций, т.е.
Для доказательства найдем производные обеих частей
равенства и покажем, что они равны между собой. Сначала найдем производную
левой части:
мы воспользовались свойством 1 неопределенного
интеграла.
Теперь найдем производную правой части равенства:
.
Здесь был использован тот факт, что производная
алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме этих функций, а также
свойство 1 неопределенного интеграла.
Итак, производные обеих частей равенства равны между
собой, что и доказывает свойство 3.
4.
Дифференциал
неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
Это свойство следует из определения неопределенного
интеграла. Действительно, , а 
. Свойство 4 означает, что знак
дифференциала аннулирует знак интеграла.
Например, 
и т.д.
5.
Неопределенный интеграл
от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и
произвольной постоянной С, т.е.
или 
.
Действительно, 
.
Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим 
.
Но, по определению, 
, т.е. 
.
Например, 
и т.д.
На основании этого свойства выводятся формулы
интегрирования.
Формулы интегрирования
Из определения интеграла следует, что для того, чтобы
проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это
легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.
Например, мы знаем, что 
;
отсюда следует, что 
.
Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих
формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.
Интегралы, приведенные в этой таблице,
называются табличными интегралами.
Для вывода этих формул, как уже отмечалось,
используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование
правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную
функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.
Формула 1 справедлива при любом n, кроме
n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение
теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:
Мы получили подынтегральную функцию; следовательно,
формула верна.
Случаю n=-1 соответствует формула 2:
Чтобы найти 
, заметим, что функция 
непрерывна в промежутках 
и 
,
причем в каждом из них она имеет первообразную.
В промежутке 
этой
первообразной, очевидно, является функция 
, так
как 
, т.е. 
при 
.
В промежутке 
первообразной
по отношению к является 
, т.е. 
при 
. Действительно, существует
при 
и 
.
Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной
функции объединяются записью 
.
Справедливость всех остальных табличных интегралов
легко проверить, если продифференцировать их правые части.
Отметим, что формула 3 является частным
случаем формулы 4 при 
.
Вычисление интегралов способом приведения их к
табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения
свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным
интегрированием. При этом полезно запомнить, что 
(формула
1 при 
).
1. 
2. 
=
3. 
=
4. 
=
Метод подстановки в неопределенный интеграл
Если заданный интеграл с помощью алгебраических
преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным
интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых
является способ подстановки (замены переменной).
Заметим, что все способы интегрирования имеют целью
свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных
приемов.
Способ подстановки заключается в следующем: заменяют
новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании
которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая
постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить
подынтегральное выражение).
Например, в интеграле 
удобно
произвести замену 
, так как оставшаяся часть
подынтегрального выражения равна 
. Тогда перепишем
данный интеграл в виде 
. Полученный интеграл
является табличным; он находится по формуле 1: 
.
Далее, производя обратную замену , получим ответ: 
.
Решение этого примера можно кратко оформить так:
Напомним, что если при интегрировании одной и той же
функции разными способами получили различные результаты, то необходимо
показать, что они отличаются на постоянную величину.
Так, рассмотренный выше пример можно решить иначе,
если применить формулу 
.
Тогда получим 
Результат по виду отличается от найденного ранее;
однако, преобразуя первый результат, имеем 
.
Отсюда видно, что разность функций равна 
, т.е. постоянному числу.
Естественно, возникает вопрос: как правильно выбрать
подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно
установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев
интегрирования.
Правило интегрирования способом подстановки
состоит в следующем:
1.
Определяют, к какому
табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав
подынтегральное выражение, если нужно).
2.
Определяют, какую часть
подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3.
Находят дифференциалы
обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение,
содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4.
Производят замену под
интегралом.
5.
Находят полученный
интеграл.
6.
В результате производят
обратную замену, то есть переходят к старой переменной. Результат полезно
проверить дифференцированием.
Определенный интеграл, его свойства,
геометрический смысл
Криволинейная трапеция и ее площадь
Пусть на отрезке 
дана
непрерывная неотрицательная функция 
(рис.1). Проведем
вертикальные прямые до пересечения с графиком функции 
.
y
y=f(x)
a
b
0 x
рис.1
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, 
,
прямыми 
и отрезком оси 
.
Как вычислить площадь криволинейной трапеции?
Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а
абсцисса точки D равна
. Пусть
график функции 
пересекает ось ординат в точке А.
Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности
площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC . Так как площадь криволинейной трапеции OAHC
зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD
есть функция от и ее можно обозначить символом S(
). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) и может быть обозначена символом 
.
Построим два прямоугольника CHED
и CMKD. Площадь первого из них равна 
, а площадь второго равна 
.
Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED
и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать
неравенство.
Разделив обе части этого неравенства на 
и найдем пределы всех выражений при 
. Но 
есть
производная функции S(x), а в силу непрерывности функции имеем 
. Следовательно, 
.
Итак, производная площади криволинейной трапеции равна
функции, задающей верхнюю границу трапеции.
Поэтому
площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей
верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования: 
y M
K
H
E
A f(x) f()
x 
O C D x
рис.2
Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция
от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок,
а S(b)=S есть площадь рассматриваемой криволинейной
трапеции.
Замечание. Когда говорят о непрерывности функции на промежутке 
, то
под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе
в точках a и b, т.е., что 
при
стремлении х к а и 
при стремлении х к b.
Используя равенство 
, где 
на промежутке,
выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из
этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для на промежутке . Пусть 
–
другая первообразная для на этом же промежутке.
В силу основного свойства первообразной имеем 
.
y
y=f(x)
S(x)
0 a x b
x
рис.3
Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x) и 
определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим 
. Но 
, поэтому 
,
откуда 
. Таким образом, 
.
Подставив в последнее равенство 
,
найдем искомую площадь:
(1)
Напомним, что приращением аргумента х при его
изменении от 
до называется
разность
, а приращением функции 
при изменении аргумента от 
до называется
разность 
.
Найдем приращение любой первообразной функции при изменении аргумента от до :
Полученный результат означает, что при изменении х от
до все
первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное 
.
Это приращение принято называть определенным
интегралом.
Определение. Если 
– первообразная функция
для , то приращение 
первообразных
функций при изменении аргумента х от до называется определенным интегралом и обозначается
символом 
, т.е.
,
где 
– нижний предел, а 
– верхний предел определенного интеграла.
Символ читается так: «определенный интеграл от до эф
от икс дэ икс».
Функция предполагается
непрерывной в промежутке изменения аргумента х от до .
Для вычисления определенного интеграла 
находят:
1) неопределенный интеграл 
;
2)
значение интеграла 
при , С=0, т.е.
вычисляют 
;
3)
значение интеграла 
при, С=0,
т.е. вычисляют 
;
4)
разность .
Процесс вычисления виден из
формулы:
(2)
Равенство (2) называется формулой
Ньютона-Лейбница.
Замечания.
1. Под в формуле (2) понимают простейшую из
первообразных функций, у которой С=0.
2.
Так как приращение 
равно некоторому числу, то определенный
интеграл есть число (в отличие от неопределенного интеграла, который, как
известно, есть совокупность функций).
Все методы интегрирования, используемые при нахождении
неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных
интегралов. Числовое значение определенного интеграла зависит от вида функции,
стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов и не
зависит от обозначения переменной.
Если формулу Ньютона-Лейбница сравнить с формулой (1),
то, очевидно, что и есть площадь
криволинейной трапеции, определяемой графиком функции на отрезке.
Таким образом, если функция положительна,
то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции. В
этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить
по формуле
(3)
Простейшие свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла.
При этом мы будем предполагать, что функция непрерывна
на отрезке 
.
1.
При перестановке
пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
(1).
Доказательство: Пусть 
и,
значит, . Тогда 
; (2)
. (3)
Правые части равенств (2) и (3) равны;
следовательно, должны быть равны и левые части, т.е. справедливо соотношение
(1).
Это свойство позволяет рассматривать
интегралы, в которых верхний предел меньше нижнего.
2.
Постоянный
множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.
, (4),
где m – постоянная
величина.
Доказательство: Пусть и,
следовательно,
. Тогда 
, (5)
. (6)
Из равенства (6) получим 
, откуда
.
Но из равенства (5) следует 
и значит, справедливо соотношение (4).
3.
Определенный
интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций, т.е.
(7)
Доказательство: Пусть
и 
. Тогда 
или 
.
Аналогично можно доказать справедливость этого
свойства для любого конечного числа слагаемых.
4.
Если a,
b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то
(8).
Доказательство: Пусть – первообразная функция для . Тогда
.
Вычисление определенного интеграла
1. 
2.
3. 
4. 
5. 
6. 
Подстановка в определенном интеграле
Для вычисления определенного интеграла с помощью
подстановки поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла
этим способом. Однако в случае определенного интеграла имеется одна
особенность, на которую следует обратить внимание.
Как мы отмечали, метод подстановки заключается в том,
что для приведения заданного неопределенного интеграла к табличному выражают
аргумент через новую переменную, а затем находят неопределенный интеграл и
полученный результат снова выражают через первоначальную перемену. В случае же
определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной
переменной, однако нужно помнить, что, заменяя переменную под знаком интеграла,
следует изменить и пределы интегрирования.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Применение определенного интеграла
к вычислению площадей плоских фигур
Правило вычисления площадей плоских фигур
Как известно, определенный интеграл от непрерывной
неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции
(геометрический смысл определенного интеграла):
.
С помощью определенного интеграла можно также
вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к
вычислению площадей криволинейных трапеций.
Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе
координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих
к оси 
или к оси 
.
Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно
решать по следующему плану:
1.
По условию задачи делают
схематический чертеж.
2.
Представляют искомую
площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия
задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей
криволинейной трапеции.
3.
Записывают каждую функцию
в виде 
.
4.
Вычисляют площади каждой
криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
1) Площади фигур, расположенных над осью 
Пусть на отрезке 
функция
принимает неотрицательные значения, т.е. 
для любого 
.
Тогда график функции расположен над осью 
.
Если фигура, расположенная над осью , является криволинейной трапецией
(см.рис.3), то ее площадь вычисляется по известной формуле
или 
,
где у находится из уравнения кривой.
Если рассматриваемая фигура не является криволинейной
трапецией, то искомую площадь следует представить как сумму (рис.4) или
разность (рис.5) площадей криволинейный трапеций S1 и S2 и находить по общему правилу.
y
S=S1+S2
S1 S2
0
x
рис.4
y
S1=Sam1b; S2=Sam2b
m1 S=S1-S2
m2
0 a b
x
рис.5
2) Площади фигур, расположенных полностью или
частично над осью
Пусть на отрезке задана
неположительная непрерывная функция 
, т.е. 
для любого 
.
Тогда график функции расположен под осью .
Если фигура, расположенная под осью , является криволинейной трапецией
(см.рис.6), то ее площадь вычисляется по известной формуле
или 
,
где у находится из уравнения кривой.
Пусть функция 
непрерывна
на отрезке и принимает на этом отрезке как
положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок 
на такие части, в каждом из которых
функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить
соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить. Например,
площадь фигуры, изображенной на рис.7, такова:
y
0 a b x
y=f(x)
рис.6
у
S2
0 a c b x
S1
y=f(x)
рис.7
3) Площади фигур, прилегающих к оси
Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и
ограничена непрерывной кривой 
, прямыми 
, 
и осью
(рис.8), то ее площадь вычисляется по
формуле
y
b
x=f(y)
a
0
x
рис.8
4) Симметрично расположенные плоские фигуры
Если кривая расположена симметрично относительно оси
координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив
половину площади и затем удвоив результат.
y
y=f(x)
-a 0
a x
рис.9
Приближенное вычисление определенного
интеграла
Не для всякой непрерывной функции ее первообразная
выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с
необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или
графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых
выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой
вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих
случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница либо
невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам
приближенного интегрирования.
Чтобы найти приближенное значение интеграла 
, нужно:
1)
разделить отрезок
интегрирования на n равных частей точками 
;
2)
вычислить значения
подынтегральной функции y=f(x) в точках
деления, т.е. найти 
;
3)
воспользоваться одной из
следующих приближенных формул:
I. формула прямоугольников:
а) 
б) 
II.
формула трапеций:
III.
формула парабол (или Симпсона):
,
где n – четное число.
Заключение
Дифференцирование и интегрирование –
взаимно обратные действия.
Из школьного
курса математики известно, что каждому математическому действию соответствует
обратное ему действие. Так, вычитание есть действие, обратное сложению, деление
– умножению и т.д.
В предыдущей
главе было рассмотрено новое действие – дифференцирование. Основной задачей
дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала
заданной функции. Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование:
нахождение функции по заданной ее производной или дифференциалу. Мы знаем,
например, как по заданному закону движения найти его скорость. Это задача
дифференцирования. Обратная задача – нахождение закона движения по заданной
скорости – решается интегрированием. Таким образом, если в процессе
дифференцирования решается задача об отыскании скорости изменения функции,
вызываемого изменением аргумента, то задачей интегрирования является нахождение
самой функции по заданной скорости ее изменения.
Определенный
интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических
величин (площадь плоских фигур, длина дуги кривой, площади поверхности
вращения, объем тела вращения), но и при решении ряда физических и технических
задач.
При помощи определенного
интеграла можно решать многие задачи механики: вычисление работы, определение
координат центра тяжести, нахождение моментов инерции и т.д.
К определенному
интегралу приводят также многие задачи электротехники, оптики, сопромата и
других наук.
Список литературы:
1.Алгебра и начала анализа.
Математика для техникумов. Часть 1.
Редактор
Т.А.Панькова. М., издательство «Наука», 1981г.
2.Математика: учебное пособие
для техникумов.
В.Т.Лисичкин,
И.Л.Соловейчик, М., «Высшая школа», 1991г.
3.Практические занятия по
математике: учебное пособие для техникумов.
Н.В.Богомолов, М., «Высшая школа»,
1990г.
4.Справочник по математике для
средних учебных заведений
А.Г.Цыпкин, М., «Наука», 1988г.
6.Математика для техникумов
И.И.Валуцэ, Г.Д.Дилигул, М.,
«Наука», 1990г.
7.Задачник по высшей математике
А.Т.Рогов, М., «Высшая школа»,
1973г.
8.Математический анализ для
школьников
Л.С.Понтрягин, М., «Наука», 1988г.
9.Сборник задач по математике для
техникумов
О.Н.Афанасьева, Я.С.Бродский, М.,
«Наука», 1992г.
10.Математика: справочные материалы
В.А.Гусев, А.Г.Мордкович, М.,
«Просвещение», 1990г.
Рецензия
на методическую разработку
по теме «Методика изучения темы
«Интеграл и его приложение»
преподавателя Байбосыновой
Г.Н.
В данной
методической разработке рассмотрена одна из важнейших тем математического
анализа.
Методическая
разработка включает в себя все основные разделы интегрального исчисления, а
именно понятие неопределенного и определенного интегралов, методы вычисления
интеграла, применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских
фигур, приближенное вычисление определенного интеграла.
В приложении
разработка урока по теме «Нахождение неопределенного интеграла» с проверочной
работой, что поможет продемонстрировать приобретенные учащимися знания и
навыки, а также способствует поддержанию устойчивого интереса к изучению
предмета математики.
Методическая
разработка составлена в соответствии с требованиями к написанию данного вида
работы.
Данная методическая
разработка может быть рекомендована к использованию на уроках другими
преподавателями по данному предмету.
Рецензент
С.Е.Ерханова
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ.
Первообразная
функция. Понятие неопределенного
интеграла.
Основной
задачей дифференциального исчисления
является нахождение производной или
дифференциала данной функции. Интегральное
исчисление решает обратную задачу —
нахождение самой функции по ее производной
или дифференциалу.
Функция
называется первообразной
функцией
для функции
на
промежутке
,
если в каждой точке
этого промежутка
.
Например,
является первообразной для функции
,
так как
.
Следует
отметить, что для заданной функции
ее
первообразная определена неоднозначно.
Дифференцируя, нетрудно убедиться, что
все функции
,
где
— некоторое число, являются первообразными
для функции
.
Аналогично
в общем случае, если
—
некоторая первообразная для
,
то, поскольку
,
функции вида
,
где
– произвольное число, также являются
первообразными для
.
Совокупность
всех первообразных для функции
на
промежутке
называется
неопределенным
интегралом
от функции
и
обозначается
,
где
— знак интеграла,
— подынтегральная
функция,
— подынтегральное
выражение.
Таким образом,
где
— некоторая первообразная для
,
—
произвольная постоянная.
Например,
– первообразная для функции
,
то
.
Операция
нахождения неопределенного интеграла
от некоторой функции называется
интегрированием
этой
функции.
Основные
свойства неопределенного интеграла.
1.
Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции, т.е,
.
2.
Дифференциал неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению, т.е.
.
3.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции
с точностью до постоянного слагаемого,
т.е.
где
— произвольное число.
4.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла, т.е.
где
— произвольное число.
5.
Интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен такой же сумме интегралов
от этих функций, т.е.
Перечислим
интегралы от элементарных функций,
которые в дальнейшем мы будем называть
табличными:
.
Пример
. Найти
.
Решение.
=
.
Интегрирование
заменой переменных (подстановкой).
Одним
из основных методов интегрирования
является метод
замены переменной (или
метод
подстановки),
описываемый следующей формулой:
где
— функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
Пример.
Найти
.
Решение.
.
Следует
отметить, что новую переменную можно
не выписывать явно (в таких случаях
говорят о преобразовании
функции под знаком дифференциала
или о введении
постоянных и переменных под знак
дифференциала).
Например,
Тогда
Пример
.
Найти
.
Решение.
.
Интегрирование
по частям.
Пусть
и
— дифференцируемые функции. По свойству
дифференциала
или
.
Интегрируя
левую и правую части последнего равенства,
получаем формулу
интегрирования по частям
для неопределенного интеграла
.
Пример
.
Найти
.
Решение.
.
Пример
.
Найти
.
Решение.
.
Пример.
Найти
.
Положим
Тогда
и
Применяя формулу интегрирования по
частям, получаем
Повторное
применение формулы интегрирования по
частям приводит к табличному интегралу.
Действительно, положим теперь
Тогда
Следовательно,
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ.
Задача
о площади криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке
задан
неотрицательная функция
.
Требуется найти площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
,
прямыми
,
и осью абсцисс
.
Наметим
общий подход к решению этой задачи.
Введем в рассмотрение некоторую ломаную,
которая расположена достаточно близко
к кривой
на
.
Фигура под ломаной состоит из трапеций
(прямоугольников), и ее площадь
(равная сумме площадей этих трапеций)
может быть вычислена с использованием
известных формул планиметрии. Поскольку
ломаная выбрана достаточно близко к
кривой
,
то справедливо приближенное равенство
.
Это равенство оказывается тем более
точным, чем ближе расположена ломаная
к исходной кривой. Поэтому естественно
за искомую площадь
взять предел площади
под
ломаной в предположении неограниченного
приближения ломаной к заданной кривой.
Понятие
интегральной суммы.
Пусть на
задана функция
.
Разобьем отрезок
на
элементарных отрезков точками
:
.
На
каждом отрезке
разбиения выберем некоторую точку
и положим
,
где
.
Сумму вида
будем
называть интегральной
суммой
для функции
на
.
Очевидно,
что интегральная сумма зависит как от
способа разбиения отрезка
точками
,
так и от выбора точек
на каждом из отрезков разбиения
,
.
Геометрический
смысл интегральной суммы состоит в том,
что она равна площади под ломаной,
образованной на каждом из отрезков
прямой
,
параллельной оси абсцисс.
Для
избранного разбиения отрезка
на части обозначим через
максимальную из длин отрезков
,
где
.
Пусть
предел интегральной суммы
при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит
от способа выбора точек
,…
и точек
.
Тогда этот предел называется определенным
интегралом
от
функции
на
,
обозначается
,
а сама функция
называется интегрируемой на отрезке
,
т.е.
.
При
этом число
называется нижним
пределом,
число
— его верхним
пределом;
функция
— подынтегральной
функцией,
выражение
– подынтегральным
выражением,
а задача о нахождении
— интегрированием
функции
на отрезке
.
Несмотря
на сходство в обозначениях и терминологии,
определенный
и неопределенный интегралы существенно
различные понятия:
в то время как
представляет семейство функций,
есть определенное число.
Во
введенном определении определенного
интеграла
предполагается, что
.
По определению положим
.
Геометрический
смысл определенного интеграла.
Понятие определенного интеграла введено
таким образом, что в случае, когда функция
неотрицательна на отрезке
,
где
,
численно
равен площади под кривой
на
.
Теорема.
(Достаточное условие существования
определенного интеграла)
Если
функция
непрерывна на отрезке
,
то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства
определенного интеграла.
-
Постоянный
множитель можно выносить за знак
интеграла, т.е.
-
Интеграл
от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих
функций, т.е.
-
Если
отрезок интегрирования разбит на части,
то интеграл на всем отрезке равен сумме
интегралов для каждой из возникших
частей, т.е.
-
Если
на отрезке
,
то и
,
,
т.е.
обе части неравенства можно почленно
интегрировать.
Основная
теорема интегрального исчисления –
формула Ньютона-Лейбница.
Теорема.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
и
— любая первообразная для
на
.
Тогда определенный интеграл от функции
на
равен приращению первообразной
на этом отрезке, т.е.
Нахождение
определенных интегралов с использованием
формулы Ньютона—Лейбница осуществляется
в два шага: на первом шаге, используя
технику нахождения неопределенного
интеграла, находят некоторую первообразную
для подынтегральной функции
;
на втором применяется собственно формула
Ньютона—Лейбница — находится приращение
первообразной, равное искомому интегралу.
В связи с этим введем обозначение для
приращения первообразной, которое
удобно использовать при записи решений.
По определению положим
Вычисление
определенного интеграла заменой
переменных и по частям.
Теорема.
Пусть функция
имеет непрерывную производную на отрезке
,
,
и
функция
непрерывна в каждой точке
вида
,
где
.
Тогда
справедливо следующее равенство
Эта
формула носит название формулы
замены переменной в определенном
интеграле.
Теорема.
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
.
Тогда
где
.
Эта
формула называется формулой
интегрирования по частям для определенного
интеграла.
Вычисление
площадей плоских фигур.
Пусть
функция
неотрицательна и непрерывна на отрезке
.
Тогда по геометрическому смыслу
определенного интеграла площадь
под кривой
на
численно
равна определенному интегралу
,
т.е.
.
Теорема.
Пусть на отрезке
заданы непрерывные функции
и
такие, что
.
Тогда площадь
фигуры,
заключенной между кривыми
и
,
на отрезке
вычисляется по формуле
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
План урока:
Понятие первообразной
Бесконечное количество первообразных
Неопределенный интеграл
Таблица первообразных
Правила вычисления интегралов
Физический смысл неопределенного интеграла
Понятие первообразной
Ранее мы познакомились с важнейшим понятием математического анализа – производной. Она имеет большое практическое значение, в частности, с ее помощью можно определить скорость тела, если известен закон его передвижения. Например, если путь, пройденный автомобилем, можно вычислить с помощью функции S = t2, то его скорость в любой момент времени может быть рассчитана по формуле
Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.
Задание. Известна производная функции у(х):
В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).
Приведем несколько примеров первообразной:
Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.
Задание. Докажите, что функция
Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.
Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?
Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на
Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.
Бесконечное количество первообразных
Рассмотрим функцию
Оказывается, что g1 также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х3 есть сразу две первообразных:g = x4и g = x4 + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!
Действительно, рассмотрим сразу все функции
где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:
Мы видим, что у всех функций из этого семейства, независимо от значения параметра С, производная одинакова. Здесь С может принимать любое действительное значение. Так как действительных чисел бесконечно много, то и количество функций, образующих семейство, также бесконечно. И все они являются первообразными для у = 4х3.
Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:
Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график
Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:
Теперь в какой-нибудь точке х0 проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:
Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.
В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для
Однако 2х2 – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:
Неопределенный интеграл
Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):
Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х2 – это семейство функций вида
Рассмотрим элементы записанного нами равенства:
Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.
После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись
читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».
В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.
Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что
Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.
Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:
Задание. Найдите неопределенный интеграл
Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:
Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:
Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.
Задание. Вычислите производную:
Таблица первообразных
Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:
Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:
Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция
определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция
не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.
Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию
отличающуюся от интересующей нас функции лишь множителем перед х5.
Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию
В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:
Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство
Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл:
Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:
Задание. Найдите первообразную функции
Правила вычисления интегралов
Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.
Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:
Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.
Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции
Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными
Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.
Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл
Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):
Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.
Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:
Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.
Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:
Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции
Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.
Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции
Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:
Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:
Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.
Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:
Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как
Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как
Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.
Физический смысл неопределенного интеграла
Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:
Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.
Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону
Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.
Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):
Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид
Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:
Содержание:
Интеграл
Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл
Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время 
экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: 
Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: 
А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость 
а также закон движения 
Дифференцирование – это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции 
заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию 
что на этом интервале выполнялось 
или 
Определение. Функция 
удовлетворяющая равенству 
для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции 
заданной на том же промежутке.
Например, функция 
есть первообразная для функции 
на промежутке 
так как для всех 
справедливо
С другой стороны, 
вообще для любой постоянной 
имеем 
поэтому каждая из функций 
является первообразной для функции 
Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции 
и 
первообразные функции 
на определенном промежутке, то для функции 
на этом же промежутке выполняется тождество 
Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции 
будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке 
(здесь 
произвольная постоянная). Отсюда 
Таким образом получаем, что если функция 
на заданном промежутке является первообразной для функции 
то для любой постоянной 
называется общим выражением для первообразных функций.
Неопределенный интеграл
Определение. Множество всех первообразных для функции 
называется неопределенным интегралом, обозначается 
и читается как “интеграл эф от икс де икс”.
Если функция 
является одной из первообразных для 
то но определению 
Здесь 
– знак интеграла, 
– подынтегральная функция, 
– переменная интегрирования, 
– постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.
Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.
a) 
b) 
с) 
Решение: 
Так как: 
Пример 2. Найдите интеграл 
Решение: подумаем, производной какой функции является функция 
Например, известно, что производной функции 
является функция 
Значит, множителем искомой функции является дробь 
которая
потом сократиться с коэффициентом 4 и получится 
Такой функцией является функция 
Значит, 
Интеграл постоянной и степенной функции
Интеграл постоянной: 
Интеграл степенной 
функции 
Пример 1. Найдите неопределенный интеграл 
Решение: 
Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции 
Решение: Так как функция 
одна из первообразных функции 
то одна из первообразных функции 
будет
Тогда общий вид первообразных имеет вид:
Значит, 
Свойства неопределенного интеграла
При интегрировании используют следующие свойства:
Пример 1. Найдите интеграл 
Решение: 
В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.
Пример. Найдите первообразную функции 
Решение: запишем заданную функцию в виде
Тогда получим, 
Интегралы показательной функции и функции 
Интеграл показательной функции 
Интеграл функции 
При 
При 
При 
в любом промежутке 
В общем случае: 
Пример. Найдите неопределенные интегралы: a)
b) 
Решение: a) 
b) 
Интегралы тригонометрических функций
Пример 1. Найдите интеграл 
Решение: 
При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.
Пример 2. Найдите первообразную функции 
Решение: Так как 
то
Пример 3. Вычислите интеграл 
Решение: Воспользуемся тождеством 
Тогда,
Пример 4. Найдите интеграл 
Решение: Воспользуемся формулой
Прикладные задания
Задании на нахождение постоянной интегрирования
Пример. Найдите первообразную функции 
график которой проходит через точку: 
Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции 
на промежутке 
a) По условию 
Тогда 
отсюда 
Значит, первообразная функции 
график которой проходит через точку 
имеет вид 
b) По условию 
Тогда 
отсюда 
Значит, первообразная функции 
график которой проходит через точку 
имеет вид: 
Задания на реальную жизненную ситуацию
Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как 
Здесь 
показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.
Решение: гак как 
то для функции 
неопределенным интегралом является функция 
Как можно найти постоянную 
Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент 
мяч находился на высоте 1 м и 
Тогда 
отсюда 
Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле 
При 
получим
Т. е. в момент 
секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.
Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения 
можно найти прирост городского населения за год. Здесь 
показывает количество лег после 1960 года, 
– численность населения в данный 
год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?
Решение: найдем первообразную для функции 
показывающую численность населения, соответствующую функции 
Теперь найдем постоянную 
Например, по условию при 
численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. 
Тогда 
и 
Численность населения в 2020 году соответствует значению функции 
в 
Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.
Площадь, ограниченная кривой
Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.
Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции 
непрерывной на отрезке 
и ограниченной осью абсцисс 
слева прямой 
справа прямой 
Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком 
осью абсцисс и прямыми 
и 
Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой 
и 
Площадь: 
Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.
Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.
a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами 
и 
b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами 
и 
Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению 
В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: 
и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.
В 1-ом случае количество интервалов 
и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае 
и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.
Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции 
на отрезке 
понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
осью абсцисс и прямыми 
и 
(эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как “площадь, ограниченная кривой”. Здесь функция/должна удовлетворять условиям.
Интеграл и его применение
Первообразная
Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону 
движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон 
изменения ее скорости, а именно: 
Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.
Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и 
и 
то закон движения задается формулой 
Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.
Определение. Функцию 
называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции 
на промежутке 
если для всех 
выполняется равенство 
Например, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
поскольку на 
выполняется равенство 
Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток 
опускают. В таких случаях считают, что 
Так, функция 
является первообразной функции 
поскольку выполняется равенство 
Рассмотрим еще один пример. Функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
поскольку на этом промежутке выполняется равенство 
Однако на промежутке 
функция 
не является первообразной функции 
так как в точке 
не выполняется равенство 
Рассмотрим функции 
и 
Каждая из них имеет одну и ту же производную 
Поэтому обе функции 
и 
являются первообразными функции 
Понятно, что каждая из функций вида 
где 
любое число, является первообразной функции 
Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.
Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.
Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.
Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
и 
любое число, то функция 
также является первообразной функции 
на промежутке 
. Любую первообразную функции 
на промежутке 
можно представить в виде 
, где 
некоторое число.
Доказательство. Поскольку функция 
первообразная функции 
на промежутке 
то для всех 
выполняется равенство 
Тогда
Следовательно, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Пусть функция 
одна из первообразных функции 
на промежутке 
Тогда 
для всех 
Имеем:
Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция 
является константой на промежутке 
то есть 
где 
некоторое число. Отсюда 
Если функция 
является первообразной функции на промежутке то запись 
где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке 
Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).
Совокупность всех первообразных функции 
на промежутке 
называют ее неопределенным интегралом и обозначают
(читают: «интеграл эф от икс де икс»).
Например, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции 
на промежутке 
можно представить в виде 
где 
некоторое число. Это можно записать так: 
При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.
Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции 
Решение:
Поскольку 
то одной из первообразных функции 
является функция 
Тогда согласно теореме 24.1 запись 
где 
любое число, является общим видом первообразных.
Из решения примера 1 следует, что 
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции 
на каждом из промежутков 
и 
Решение:
На промежутке 
имеет место равенство
на промежутке имеют место равенства 
Следовательно, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
а функция 
является первообразной функции 
на промежутке .
Поскольку 
то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись
где 
любое число, является общим видом первообразных функции 
Пример:
Для функции 
найдите первообразную, график которой проходит через точку 
Решение:
Поскольку 
то функция 
является одной из первообразных функции 
Следовательно, искомая первообразная имеет вид 
где 
некоторое число. Найдем это число.
Из условия следует, что 
Тогда 
Отсюда 
Таким образом, искомая первообразная имеет вид 
Замечание.
Можно доказать, что функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции 
на промежутке Поскольку 
то функция 
является первообразной функции 
на промежутке Учитывая равенства 
можно записать: 
Правила нахождения первообразной
При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.
Теорема 25.1. Если функции 
и 
являются соответственно первообразными функций 
и 
на промежутке 
то на этом промежутке функция 
является первообразной функции 
Доказательство. Из условия следует, что для любого 
выполняются равенства 
и 
Тогда для любого 
из промежутка 
имеем: 
Из теоремы 25.1 следует, что
где 
произвольное число.
Аналогично можно доказать, что
Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке 
и 
некоторое число, то на этом промежутке функция 
является первообразной функции 
Докажите теорему 25.2 самостоятельно.
Теперь можно записать: 
где 
произвольное число.
Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция 
является первообразной функции 
Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем: 
Коротко записывают: 
где 
произвольное число.
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции 
на промежутке 
Решение:
Напомним, что функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Поскольку на данном промежутке выполняется равенство 
то функция 
то есть функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Поскольку 
то функция 
то есть функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Тогда по теореме 25.2 функция 
является первообразной функции 
Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функция
является первообразной заданной в условии функции 
Тогда запись 
является общим видом первообразных функции 
Решение примера 1 можно записать и так:
Пример:
Найдите одну из первообразных функции:
на промежутке 
Решение:
1) Поскольку функция 
является первообразной функции 
то по теореме 25.3 функция 
то есть функция 
является первообразной функции 
2) Поскольку 
то первообразной функции 
является функция 
то есть 
Тогда первообразная функции 
имеет вид 
то есть 
Пример:
Для функции 
найдите первообразную на промежутке 
график которой проходит через точку 
Решение:
Согласно теореме 25.3 запись 
где 
любое число, является общим видом первообразных функции 
на данном промежутке.
На промежутке 
искомая первообразная имеет вид
где некоторое число. Из условия следует, что 
Тогда 
отсюда 
Следовательно, 
Пример:
Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону 
Найдите закон движения 
если 
(перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).
Решение:
Функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Тогда можно записать
то есть 
где 
некоторое число. Найдем 
из условия 
Имеем: 
отсюда 
Тогда искомый закон движения задается формулой 
В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций 
или 
если известны первообразные функций 
и 
К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл
Рассмотрим функцию 
которая непрерывна на отрезке 
и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции 
и прямыми 
и 
называют криволинейной трапецией.
На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций. 
Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.
Теорема 26.1. Площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
и прямыми и 
можно вычислить по формуле
где 
любая первообразная функции 
на отрезке 
Доказательство. Рассмотрим функцию 
где 
которая определена таким правилом.
Если 
то 
если 
то 
это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.
Докажем, что 
для всех 
Пусть 
произвольная точка отрезка 
и 
приращение аргумента в точке 
Ограничимся рассмотрением случая, когда 
(случай, когда 
рассматривают аналогично).
Имеем: 
Получаем, что 
это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.
На отрезке 
как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна 
(рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны 
и 
где 
некоторая точка промежутка 
Тогда 
Отсюда
Если 
то 
Поскольку функция 
непрерывна в точке 
то 
Отсюда, если 
то 
Имеем 
Поскольку 
произвольная точка области определения функции 
то для любого 
выполняется равенство 
Получили, что функция 
является одной из первообразных функции 
на отрезке 
Пусть 
некоторая первообразная функции 
на отрезке 
Тогда по основному свойству первообразной можно записать 
где 
некоторое число.
Имеем:
По определению функции 
искомая площадь 
криволинейной трапеции равна 
Следовательно, 
Пример:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
и 
Решение:
На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.
Одной из первообразных функции 
на отрезке я 
является функция 
Тогда 
Пример:
Найдите площадь 
фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямой 
Решение:
График функции 
пересекает прямую 
в точках 
и 
(рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
Одной из первообразных функции 
на отрезке 
является функция 
Тогда 
Определение. Пусть 
первообразная функции 
на промежутке 
, числа 
и 
где 
принадлежат промежутку 
. Разность 
называют определенным интегралом функции 
на отрезке 
Определенный интеграл функции 
на отрезке 
обозначают 
(читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,
где 
произвольная первообразная функции на промежутке 
Например, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
Тогда для произвольных чисел 
и 
где 
можно записать:
Заметим, что значение разности 
не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.
Действительно, каждую первообразную 
функции 
на промежутке 
можно представить в виде 
где 
некоторая постоянная. Тогда
Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.
Следовательно, для вычисления определенного интеграла 
по формуле Ньютона-Лейбница надо:
- найти любую первообразную
функции на отрезке - вычислить значение первообразной в точках и
- найти разность
в точках 
и 
При вычислении определенных интегралов разность 
обозначают 
Используя такое обозначение, вычислим, например, 
Имеем:
Пример:
Вычислите 
Решение:
Имеем:
Если функция 
имеет первообразную 
на отрезке 
и 
то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:
Действительно,
Если каждая из функций 
и 
имеет первообразную на отрезке 
то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:
Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
и 
Используя теорему 26.1, можно записать: 
Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке 
принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.
Рассмотрим непрерывные на отрезке 
функции и 
такие, что для всех 
выполняется неравенство 
Покажем, как найти площадь 
фигуры 
, ограниченной графиками функций и 
и прямыми 
и 
(рис. 26.7).
Перенесем фигуру 
вверх на 
единиц так, чтобы полученная фигура 
находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура 
ограничена графиками функций 
и 
и прямыми 
Поскольку фигуры 
и 
имеют равные площади, то искомая площадь 
равна разности 
где 
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
и 
(рис. 26.9, а);
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
и 
(рис. 26.9, б)
Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:
Следовательно, если функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и для всех 
выполняется неравенство 
то площадь 
фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми 
и 
можно вычислить по формуле
Пример:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
Решение:
На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.
Решив уравнение 
устанавливаем, что графики функций 
и 
пересекаются в двух точках с абсциссами 
и 
Тогда искомая площадь
Вычисление объемов тел
В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций 
и 
и прямыми 
и 
(рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле
Рассмотрим функцию 
Величина 
равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая 
пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:
Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.
В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело 
, объем которого равен 
Пусть плоскость 
пересекает тело 
по фигуре с площадью 
а проекцией тела 
на ось абсцисс является отрезок 
(рис. 27.3). Если 
непрерывная на отрезке 
функция, то объем тела 
можно вычислить по формуле
Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.
Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.
Пусть дана пирамида с высотой 
, равной 
и основанием, площадь которого равна 
(рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен 
Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды 
совпала с началом координат, а высота пирамиды 
принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости 
Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок 
Пусть плоскость 
пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью 
Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен 
Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать: 
Отсюда 
Теперь можно записать:
Пример:
Фигура, ограниченная графиком функции 
и прямыми 
(рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема 
(рис. 27.7). Найдите 
.
Решение:
При пересечении образовавшегося тела плоскостью 
где 
получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен 
Тогда площадь этого круга равна 
Поэтому
Вообще, имеет место такое утверждение.
Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке 
функции 
и прямыми 
вокруг оси абсцисс образуется тело объема 
то
Интеграл и его применения
Понятия первообразной и неопределённого интеграла
А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции
. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).
Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).
Если 
, то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено
.
Пример:
Пусть а – заданное число, a v(t)=at. Тогда функция
является первообразной для функции v(t), так как 
Пример:
Пусть 
. Тогда функция 
является первообразной для функции 
, так как
Пример:
Пусть 
, при 
Тогда функция 
является первообразной для функции 
,
так как 
Пример:
Пусть 
,*>0, Тогда функция 
является первообразной для функции 
, так как 
Пример:
Докажите, что функции 
,
являются первообразными для функции 
Используя таблицу производных, мы можем написать:
Из этой задачи можно сделать вывод: 
где С -постоянная является первообразной функцией для функции 
.
Действительно, 
Для заданной функции
её первообразная однозначно не определяется.
Именно, любая первообразная для функции 
на некотором промежутке может быть записана в виде 
, где F(x) – одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).
Совокупность всех функций вида 
называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: 
. Таким образом, 
В этом обозначении 
– знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, а выражение 
– подынтегральное выражение.
Пример:
, так как согласно таблице производных, 
.
Пример:
Так как 
.
Пусть 
Согласно примеру 4. 
График функции 
можно получить из графика функции 
с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
Пример:
Найдите первообразную для функции 
, график которой проходит через точку А(3; 10).
Решение:
Любая первообразная функции 
имеет вид 
,
так как 
.
Подберём постоянную С такую, чтобы график функции
проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,
чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда 
, С = 1.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид
.
Ответ:
Пример:
Найдите первообразную для функции 
, график которой проходит через точку А(5; 15).
Решение:
Любая первообразная функции
имеет вид
, так как 
Подберём постоянную С такую, чтобы график функции
проходил через точку (5; 15).
Для этого необходимо, чтобы выполнялось 
.
Значит 
отсюда С= 3.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид 
Ответ: 
Пример:
Докажите, что
Решение:
Таблица интегралов
Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.
Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.
Например, 
при 
, то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна — 
Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.
Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций 
и 
соответственно. Справедливы правила:
Правило 1: Функция 
является первообразной для функции 
, то есть 
Правило 2: Функция 
является первообразной для функции
, то есть:
Пример:
Проинтегрируйте функцию
Решение:
Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов: 
Так как согласно таблице интегралов 
Ответ:
Пример:
Проинтегрируйте функцию 
Решение:
Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.
Именно, обозначим х2 + 8 = u тогда,
Отсюда
Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим
подынтегральную функцию
. Действительно,
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Сделаем замену sinx = t. Тогда 
и заданный интеграл
получит вид 
. Согласно пункту 3 таблицы интегралов 
,
Проверка. 
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
При вычислении этого интеграла помогает тождество 
Тогда
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
Согласно тождеству 
и пункту 10 таблицы интегралов: 
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
Для подынтегральной функции справедлива равенства: 
Тогда 
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
Для вычисления этого интеграла воспользуемся 
и 
. Тогда 
Проверка:
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл 
Решение:
Для вычисления этого интеграла воспользуемся 
Ответ: 
Приведём также правило интегрирования по частям.
Правило 3*.
Если на некотором интервале X функции 
и 
имеют непрерывные производные 
и 
, то справедлива формула
(1)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций 
и 
Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения 
и 
; 2) выражения 
и 
подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Подберём 
. Поэтому
. Согласно (1), 
Поэтому 
Ответ: 
Пример:
Вычислить интеграл
.
Решение:
Представим подынтегральную функцию 
в виде произведения функций
. Поэтому:
.
Тогда 
Согласно формуле (1),
Значит, 
Проверка:
Ответ: 
Пример 3.
Для нахождения интеграла удобно положить 
.
Решение:
В этом случае 
(здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,
Ответ: 
Определенный интеграл, формула ньютона – лейбница
Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху графиком функции 
, снизу – отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.
Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»
Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.
Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х – произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.
Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть 
.
Рассмотрим разность 
, где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна 
то есть 
Значит, 
По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при 
стремится к S'(х). Поэтому при 
получим равенство 
. Поэтому S(x) является первообразной для функции 
Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть
Положим в этом равенстве х=а получим 
Отсюда следует, что 
. Тогда равенство (1) можно записать в виде: 
. Положим в этом равенстве х=b, получим 
.
Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: 
, (2)
где F(x) – любая первообразная для функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).
Разность F(b) – F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: 
(читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).
Таким образом, 
Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:
Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:
. В этом случае: 
Приведём дополнительные сведения.
Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х0, х1.., х1-n , хn= b на равные отрезки 
, и на каждом из этих отрезков 
, отметим произвольную точку 
. Умножим длину 
отрезка 
на значение 
заданной функции f(х) в точке 
и составим сумму
(6)
Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием 
и высотой Sn. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции 
(рисунок 5).
Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности
стремится к нулю. Тогда интегральная сумма Sn стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].
Пример:
Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.
Решение:
Согласно формуле (4) 
. Вычислим это значение по
формуле Ньютона – Лейбиица (3). Очевидно, что функция
одна из первообразных для функции
. Значит, 
Ответ: S = 21 (кв. единиц).
Пример:
Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): 
(кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц). 
Пример:
Вычислить определённый интеграл 
.
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):
Ответ: 0. 
Пример:
Вычислить определённый интеграл 
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):
Ответ: 13,5. 
Пример:
Вычислить определенный интеграл 
Решение:
Сначала найдём неопределенный интеграл: 
Значит 
Ответ: 
Пример:
Вычислить определённый интеграл 
Решение:
Сначала найдем неопределенный интеграл:
Согласно таблице интегралов 
Значит 
Ответ: 
Определённый интеграл обладает следующими свойствами:
1.
Действительно 
2. 
Значит, 
3.Пусть а, b, с – действительные числа. Тогда
(свойство аддитивности определённого интеграла).
4.Пусть 
– четная функция, тогда 
5.Если 
, тогда 
.
6.Если 
,тогда 
.
——
Эйлеровы интегралы
Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл 
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
(2)
Теорема 1. При 
интеграл (1) сходится.
Доказательство.
Если 
то функция 
− ограничена, при 
сходится, поэтому 
– сходится .
Если 
то функция 
− ограничена, при 
сходится, поэтому 
– сходится.
Таким образом 
сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.
Если x∈[0,1], то функция 
− ограничена, при 
сходится, поэтому
∫
-сходится.
Если 
− ограничена, 
сходится, поэтому 
-сходится.
Следовательно 
сходится.
Свойства функций В(а,b), Г(а)
Найти 
Решение. По формуле (11): 
n.4. Перепишем формулу (4) в виде: 
(14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:
Пример 2.
Найти 
Решение.
Пример 3.
Вычислить интеграл 
Решение.
n.5. Рассмотрим
Поэтому 
значение интеграла Пуассона.
—-в математике
Интеграл и его применение
1. Первообразная
Определение:
- Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).
на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).Пример:
Для функции 
на интервале
первообразной является функция 
поскольку 
2. Основное свойство первообразной
Свойство:
Пример:
Поскольку функция 
яляется первообразной для функции 
на интервале 
(см. выше), то общий вид всех первообразных для функции 
можно записать следующим образом: 
где С — произвольная постоянная.
Геометрический смысл:
- Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.
3. Неопределенный интеграл
Определение:
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом 
то есть
где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.
Пример:
поскольку для функции 
на интервале 
все первообразные можно записать следующим образом:
.
4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)
- Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
- Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
- Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции
то 
— первообразная для функции 
Пример:
5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция 
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Общий вид первообразных
где С — произвольная постоянная
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Запись с помощью неопределенного интеграла
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Объяснение и обоснование:
Понятие первообразной. Основное свойство первообразной
В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: 
Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь 
Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования: 
Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной 
Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения 
Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.
Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию 
(латинское слово integratio означает «восстановление»).
Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.
Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка 
Например, для функции 
на интервале
первообразной является функция
поскольку 
Отметим, что функция 
имеет ту же производную 
Следовательно, функция
также является первообразной для функции
на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.
Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции 
при этом любая первообразная для функции 
на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).
1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка
Тогда
то есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).
2) Пусть функция
— другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть 
для всех
Тогда 
По условию постоянства функции, если производная функции 
равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех 
функция
Отсюда 
Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале 
одной из первообразных является функция 
(действительно, F’ (х) =
то общий вид всех первообразных функции 
можно записать так: 
где С — произвольная постоянная.
Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция 
, чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.
Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.
- Заказать решение задач по высшей математике
Неопределенный интеграл
Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом 
то есть 
где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.
В приведенном равенстве знак
называют знаком интеграла, функцию 
— подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.
Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции 
записывается так: 
следовательно, 
Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)
Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.
Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.
Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. 
С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:
то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).
Правило 2. Если F — первообразная для 
— постоянная, то cF — первообразная для функции cf.
Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем 
следовательно, cF — первообразная для cf.
С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:
где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Правило З. Если F — первообразная для f,
— постоянные (причем
то
— первообразная для функции 
Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем
а это и означает, что 
— первообразная для функции 
С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: 
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций 
а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.
Для всех 
Следовательно, функция
является первообразной для функции 
Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции 
будет 
С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:
У функции 
область определения 
Рассмотрим функцию
Следовательно, на каждом из промежутков 
функция
является первообразной для функции 
Тогда
общий вид всех первообразных для функции 
С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:
Примеры решения задач:
Пример №292
Проверьте, что функция 
является первообразной для функции 
на промежутке 
Решение:
а это и означает, что F (х) является первообразной для функции 
Комментарий:
По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если 
Пример №293
1) Найдите одну из первообразных для функции
2) Найдите все первообразные для функции 
3*) Найдите 
Решение:
1) Одной из первообразных для функции 
на множестве R
будет функция 
поскольку 
Комментарий:
1) Первообразную для функции 
можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить 
необходимо брать производную от 
Но 
Чтобы производная равнялась
достаточно поставить перед функцией 
коэффициент 
2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции 
можно записать в виде 1
где С — произвольная. 
где С — произвольная постоянная.
Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции 
является функция 
2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
3) По определению
то есть неопределенный интеграл 
– это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).
Пример №294
Для функции 
найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).
Решение:
Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:
По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем
Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная: 
Комментарий:
Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функции
учтем, что область определения этой функции 
Тогда эту функцию можно записать так: 
и использовать формулу нахождения первообразной для функции
а именно:
Пример №295
Найдите общий вид первообразных для функции
Решение:
Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции 
первообразной является функция 
Второе слагаемое запишем так: 
Тогда первообразной для этой функции будет функция:
Первообразной для функции будет функция
будет функция 
Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:
Комментарий:
Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов вида
Следовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента
), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель 
Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).
Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).
Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для 
является (-ctg х), для второго первообразной для 
является
третьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 – х > 0).
Определенный интеграл и его применение
1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)
Формула:
Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то
Пример:
Так как для функции
одной из первообразных является
2. Криволинейная трапеция
Определение:
Пусть на отрезке 
оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком
оси Ох и прямыми х = а и 
называют криволинейной трапецией.
Иллюстрация:
3. Площадь криволинейной трапеции
Формула:
Пример:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда 
4. Свойства определенных интегралов 
Если функция f (х) интегрируема на 
и 
тои
5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы
Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
. Выполним следующие операции.
- Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
- Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
- На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
- Составим сумму
на 
отрезков точками 
(полагаем, что 
, второго — через
и т. д. (то есть 
Эту сумму называют интегральной суммой функции 
на отрезке 
Если 
и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма 
стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке 
и обозначают
Объяснение и обоснование:
Геометрический смысл и определение определенного интеграла
Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.
Например, в механике часто приходится определять координату 
точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости 
(напомним, что 
Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью 
Графиком скорости в системе координат 
является прямая 
, параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле 
. Величина 
равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.
Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени 
. Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени 
приближенно выражается произведением
. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами 
(рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени 
равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени 
может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).
Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.
Пусть на отрезке 
оси 
задана непрерывная функция 
, которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции 
отрезком оси и прямыми 
, называют криволинейной трапецией (рис. 104).
Отрезок 
называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).
Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка 
При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно
Покажем, что S (х) является первообразной для функции 
, то есть что
По определению производной нам необходимо доказать, что 
при 
Для упрощения рассуждений рассмотрим случай
(случай 
рассматривается аналогично).
Поскольку 
, то геометрически 
— площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.
Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок
(рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой 
(иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади 
). Высота прямоугольника равна f (с).
По формуле площади прямоугольника имеем 
. Тогда
(Эта формула будет верной и при 
Поскольку точка с лежит между
то с стремится к х, если 
Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции 
Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех 
отличается от S (х) на постоянную С, то есть
Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:
Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) – F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле
где 
— произвольная первообразная для функции 
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).
Разность 
называют определенным интегралом функции 
на отрезке
и обозначают так: 
Запись
читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению
Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.
Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: 
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:
Например, поскольку для функции
одной из первообразных является 
Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке
существует определенный интеграл
функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке 
Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке 
функции у = f (х), отрезком
оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле 
Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком 
оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле 
(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция 
Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: 
(кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что 
то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражение
уже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.
Свойства определенных интегралов
При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что 
Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что
Для случая а = b также по определению будем считать, что
Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то
С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.
Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции 
первообразной будет функция 
Тогда
Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда
Если F (x) является первообразной для функции 
то
Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке 
и 
то
Определение определенного интеграла через интегральные суммы
Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на
отрезков (не обязательно равных) точками 
(для удобства будем считать, что
Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка
и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой 
Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точка
и на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой 
и т. д.
Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через 
длину первого отрезка через
Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть 
Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке 
При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке 
и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если 
и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма 
стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке
и обозначают
Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.
Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка
на 
частей (то есть фиксируя другие точки 
и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки
мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке 
функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек 
если
и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммы
стремятся к одному и тому же числу.
Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).
Примеры решения задач:
Пример №296
Вычислите 
Решение:
Ответ: 1.
Комментарий:
Поскольку для функции 
мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница
Пример №297
Вычислите 
Решение:
I способ
Для функции 
одной из первообразных является
Комментарий:
Возможны два способа вычисления заданного интеграла.
1) Сначала найти первообразную для функции 
используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
2) Использовать формулу (8)
и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).
Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции 
является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что 
Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при 
Пример №298
Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции 
Решение:
Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).
Тогда ее площадь ровна
Комментарий:
Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле 
Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать
Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов
1. Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке
функции 
осью Ох и прямыми х = а и
равна 
2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и 
Формула
Если на заданном отрезке 
непрерывные функции
и 
имеют такое свойство, что
для всех 
то
Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:
3. Объемы тел
Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки 
где 
— площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку 
и перпендикулярна к оси Ох.
Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке 
функции у = f (х) и прямыми х = а и
то 
Объяснение и обоснование:
Вычисление площадей фигур
Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.
Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции 
снизу графиком функции 
а также вертикальными прямыми 
функции 
непрерывны и неотрицательны на отрезке 
Площадь S этой фигуры равна разности площадей 
криволинейных трапеций (
— площадь криволинейной трапеции 
— площадь криволинейной трапеции 
Но 
Следовательно,
Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле
Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке 
для этого достаточно выполнения условий, что функции
непрерывны на отрезке 
и 
(рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на 
единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции 
мы заменили соответственно на функции 
Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и 
равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь
Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна 
Вычисление объемов тел
Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции. 
Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка 
(см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число 
— площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива 
Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.
Разделим отрезок на 
отрезков одинаковой длины точками 
Через каждую точку 
проведем плоскость
перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями
(рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади 
сечения, умноженной на «толщину слоя»
и поэтому
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше 
Поэтому 
По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что
Следовательно, 
Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.
Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок
оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле
Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью 
(рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).
Примеры решения задач:
Пример №299
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и
Решение:
Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:
Комментарий:
Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции 
а снизу — графиком функции 
Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле 
(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна
Комментарий:
Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение
Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при 
).
Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение 
Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями 
Решение
Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.
Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен
Комментарий:
Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле: 
Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.
Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: 
куб. ед. (то есть кубических единиц).
Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси
и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].
Простейшие дифференциальные уравнения
Понятия дифференциального уравнения и его решения
До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости 
сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.
Например, если v (t) = 3 – 
то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 – 
Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).
Пример №300
Решите дифференциальное уравнение 
Решение:
Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть
найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем 
где С — произвольная постоянная.
При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.
Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.
Пример №301
Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.
Решение:
Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3. 
Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения
где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции
где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.
Например, в опытах установлено, что скорость
размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой
бактерий в момент времени t уравнением
где
— положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции
Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса 
бактерий известна. Тогда 
и, следовательно,
Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если
— скорость радиоактивного распада в момент времени t, то 
— постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции
Если в момент времени t масса вещества равна 
и тогда
Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем
В этом случае формула (3) записывается
так: 
Гармонические колебания
На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения
где 
— заданное положительное число, 
Решением уравнения (4) является функция
где 
— постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то
где А — амплитуда колебания, — угловая частота,
— начальная фаза колебания.
Графиком гармонического колебания является синусоида.
Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач
Пример №302
Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?
Решение:
Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия
(длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли
где 
— коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды 
Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).
Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).
Найдем приближенно отношение
считая, что за время 
скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).
За время 
объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты 
с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен 
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время 
, то есть объем равен 
Следовательно,
Учитывая формулу (6), получаем
Тогда при 
получаем равенство
Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время
Используя данные задачи, получаем
Пример №303
Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.
Решение:
По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть 
где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), 
— постоянная. По условию задачи находим 
. Поскольку при х = 0,01 м
сила
.
Следовательно, 
Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку
Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение
Тогда 
работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точку
будем считать постоянной и равной F (х). Поэтому 
Тогда при 
Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).
Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем
Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку 
равна 
Используя данные задачи, получаем
Сведения из истории:
Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.
Символ 
ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция 
— начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла
ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).
Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).
—11клас
Применение интеграла
С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида 
Такие суммы принято обозначать 
Подграфик функции 
— математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.
Объём тела вращения
Пусть тело образовано вращением подграфика функции 
вокруг оси 
Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами 
(рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от 
и равен 
Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной 
равен 
Всему телу вращения соответствует интегральная сумма
Следовательно, его объём
Пример №594
Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции 
(рис. 128). Для неотрицательных значений 
график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции 
Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции 
на 
вокруг оси 
(рис. 129). Итак, искомый объём
С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.
Работа переменной силы
Если в результате действия постоянной силы 
тело перемещается в направлении её действия на расстояние 
то при этом выполняется работа 
А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?
Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила 
которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние 
пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений 
Коэффициент 
различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то 
Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние 
Поделим отрезок 
на который растягивается пружина, точками 
на 
равных частей (рис. 130). Пусть 
— длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на
расстояние 
т. е. переместить её конец из точки 
надо приложить силу 
При этом выполненная работа приближённо равна 
Чтобы растянуть пружину на расстояние 
надо приложить силу 
и выполнить работу, которая приближённо равна 
и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние 
надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме
Значение 
с увеличением 
(и соответствующим уменьшением 
всё меньше отличается от точного значения искомой работы 
т. е. если 
Следовательно,
Если 
Сила давления жидкости
Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина 
(рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?
Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой 
— глубина в метрах, 
— давление воды в килопаскалях. Пусть 
— разница уровней воды.
Разобьём этот отрезок точками 
на 
равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на 
равных полос. Если 
, то площадь каждой полосы равна 
Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно 
Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме
Полученное произведение ширины ворот 
на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение
Экономическое содержание интеграла
Пусть функция 
описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции 
произведённой за промежуток времени 
Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени 
— постоянная функция), то объём продукции 
произведённой за некоторый промежуток времени 
задаётся формулой 
В общем случае справедливо приближённое равенство 
Оно тем точнее, чем меньше 
Разобьём отрезок 
равных частей точками 
Для объёма продукции 
произведённой за промежуток времени 
имеем 
Следовательно,
Если 
то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно 
Если 
— производительность труда в момент времени 
то объём произведённой продукции за промежуток 
можно вычислить по формуле 
Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.
Пример №595
Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна 
Решение:
Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра 
равных частей точками 
Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен 
а масса — 
где 
— плотность жидкости в резервуаре, 
— радиус основания цилиндра, а 
Чтобы тело массой 
поднять на высоту 
нужно выполнить работу 
В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в 
цилиндре, выражается формулой 
а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —
По условию задачи 
поэтому
Ответ. 
Пример №596
Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой 
— рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.
Решение:
Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому
Ответ. 
единиц.
- Первообразная и интегра
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Рациональные уравнения
- Рациональные неравенства и их системы
- Геометрические задачи и методы их решения
- Прямые и плоскости в пространстве
