Как найти интеграл методом подстановки онлайн

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет
многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной
к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на
оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача — задача о восстановлении
закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что ( s(t) = frac{gt^2}{2} ). В самом деле
( s'(t) = left( frac{gt^2}{2} right)’ = frac{g}{2}(t^2)’ = frac{g}{2} cdot 2t = gt )
Ответ: ( s(t) = frac{gt^2}{2} )

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили ( s(t) = frac{gt^2}{2} ). На самом деле задача имеет бесконечно
много решений: любая функция вида ( s(t) = frac{gt^2}{2} + C ), где C — произвольная константа, может служить законом движения,
поскольку ( left( frac{gt^2}{2} +C right)’ = gt )

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в
какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s₀, то из равенства s(t) = (gt²)/2 + C
получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s₀. Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt²)/2 + s₀.

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например:
возведение в квадрат (х²) и извлечение квадратного корня ( ( sqrt{x} ) ), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д.
Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс нахождения
функции по заданной производной, — интегрированием.

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у’ = f'(x).
Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем»,
они говорят, что это, по отношению к функции у’ = f'(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для ( x in X )
выполняется равенство F'(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х² является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x²)’ = 2х
2) Функция у = х³ является первообразной для функции у = 3х², поскольку для любого х справедливо равенство
(x³)’ = 3х²
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))’ = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно
связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) — первообразная для f(x), то kF(x) — первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) — первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция
( y=frac{1}{k}F(kx+m) )

Теорема 2. Если y = F(x) — первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много
первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл ( textstyle int F(x)dx ). Сделаем подстановку ( x= varphi(t) ) где
( varphi(t) ) — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда ( dx = varphi ‘ (t) cdot dt ) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
( int F(x) dx = int F(varphi(t)) cdot varphi ‘ (t) dt )

Интегрирование выражений вида ( textstyle int sin^n x cos^m x dx )

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
( textstyle int u cdot dv = u cdot v – int v cdot du )
или:
( textstyle int u cdot v’ cdot dx = u cdot v – int v cdot u’ cdot dx )

$$ int 0 cdot dx = C $$

$$ int 1 cdot dx = x+C $$

$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n neq -1) $$

$$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$

$$ int e^x dx = e^x +C $$

$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a neq 1) $$

$$ int cos x dx = sin x +C $$

$$ int sin x dx = -cos x +C $$

$$ int frac{dx}{cos^2 x} = text{tg} x +C $$

$$ int frac{dx}{sin^2 x} = -text{ctg} x +C $$

$$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = text{arcsin} x +C $$

$$ int frac{dx}{1+x^2} = text{arctg} x +C $$

$$ int text{ch} x dx = text{sh} x +C $$

$$ int text{sh} x dx = text{ch} x +C $$