Как найти интеграл монотонности функции

Как найти интеграл монотонности функции

    1. Свойства определённого интеграла

Монотонность
интеграла.Еслидля всехи,
то.

Действительно,
в этом случае
и переходя к пределув этом неравенстве (см. раздел «Введение
в анализ»), получаем искомое соотношение
между интегралами.

Как следующее
свойство отметим одно простое равенство,
вытекающее из определения определенного
интеграла:

Оценка
интеграла.Еслина отрезкеи,
то

Действительно,
Здесь мы последовательно применили
монотонность интеграла, его линейность
и равенство (1). Аналогично доказывается
первое из неравенств в (2).

Например,
на отрезке,
что следует из монотонности функцииа значит и функции. Отсюда,

Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке,
то найдётся точкатакая,
что

Величина
называется интегральным средним функциина отрезке.

Доказательство.
По теореме Вейерштрасса, функция
на отрезкедостигает своего наибольшего значения)
и наименьшего значения.
Здесь— некоторые точки отрезка.
Применяя оценку интеграла (2), выводим

Интегральное
среднее оказывается промежуточным
значением между наименьшим и наибольшим
значениями. Применим теорему Больцано-Коши
о промежуточном значении к непрерывной
функции
и найдем точкумеждуи(значит)
такую, что.□

Пример.
Пусть

Тогда
интегральное среднее функции (4) на
отрезке
равно

Однако
точки
такой, чтонет. Причина этого – разрыв функциив точке 1.

  1. Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл
вида
называют интегралом с переменным
верхним пределом.

Теорема.
 Пусть
непрерывна на отрезке.
Тогда
есть первообразная функции
:

для любого
.

Доказательство.
Пусть
.
Тогда по теореме о среднем

для некоторой
точкиСледовательно,при,
ибо в этом случае,
а функциянепрерывна.□

Формула
Ньютона-Лейбница. Пусть
— первообразная функции.
Тогда

Доказательство.
Для функции
имеем в распоряжении две первообразныхи. По теореме о первообразных (см.§
1 )найдется константатакая, что

Подставим
в соотношение (3) вместо
сначалаи получим,
а затем подставимв (3) – получим

что и
требовалось доказать.

Пример.
(см. пример вычисления площади в начале§6).

  1. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Замена
переменной. Пусть— дифференцируемое отображениеcнепрерывной производной и такое, что,
а— непрерывная функция, заданная на
отрезке.
Тогда

Доказательство.
Пусть
— первообразная функции.
Тогда по формуле замена переменной в
неопределенном интеграле функцияесть первообразная функции.
Применим формулу Ньютона-Лейбница
дважды:

— что и
требовалось доказать. □

Пример
1.Вычислим площадь верхнего полукруга
радиусаR.

Интегрирование по частям. Пустьи— дифференцируемые функции на отрезке.
Тогда

Доказательство.
Соотношение
проинтегрируем отдоbполучимчто эквивалентно (2).

Пример
2.Вычислим

Заметим,
что
при условии

  1. Несобственные интегралы

Пусть
функция
задана на полуинтервале,
где,
а величинаможет быть как конечным числом, так и.
Предположим, чтоинтегрируема на любом отрезке,.
Полагаем по определению

и называем
это число несобственным интегралом.
В случае, когда предел (1) существует, то
говорим, что соответствующий интеграл
сходится; в противном случае будем
говорить, что онрасходится.

Несобственный
интеграл (1) применяется в двух типичных
ситуациях.

1) Пусть
. Тогда

2) Пусть d∈ℝи функциянеограничена на полуинтервале.

Если
на полуинтервале,
то несобственный интеграл равен площади
неограниченной фигуры — криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком
функции,
снизу – осью Ох и слева – вертикальной
прямой
(см. рис. 1)

Отметим,
что если функцияна самом деле интегрируема на отрезке(это означает, в частности, что), то коллизии обозначений не возникает
— несобственный интеграл в смысле (1)
будет равен определенному интегралу
функциина отрезке.

Аналогично
определяется несобственный интеграл
для функций, определенных на полуинтервале
,
гдеи:

В примере
§8 мы фактически
вычислили несобственный интеграл.

Формула
Ньютона-Лейбница для несобственных
интегралов. Пусть— первообразная непрерывной функциина интервале (c,d). Предположим, что
существуют пределы

Тогда
несобственный интеграл
сходится, причём

Равенство
(5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница
для обычных интегралов и соотношений
(4).

Пример.
Вычислим

Предложение
об “эталонных” интегралах . Пусть
a>0.

  1. Интеграл
    сходится тогда и только тогда, когда
    p>1.

  2. Интеграл

    сходится тогда и только тогда, когдаp<1.

Доказательство.
1. Если,
то первообразнаяподинтегральной функцииимеет конечный предел 0 при.
По формуле Ньютона-Лейбница для
несобственных интегралов, получаем,
что интегралсходится и равен.

Если
,
то первообразной подинтегральной
функции служит, который не имеет конечного предела на.
Длято же самое можно сказать о первообразной.

Аналогично,
прямыми вычислениями доказывает второе
утверждение.

Примеры

1. Интегралсходится,
так как здесь

2. Докажем,
что интегралы
исходятся и вычислим их. Имеем

Интеграл
также сходится, ибо занесение под знак
дифференциалаи заменапревращают его в интеграл,
который сходится согласно предложению
об эталонных интегралах и равен 1.

Интегралы
ирасходятся, так как такая же замена
приводит их к несобственным эталонным
интегралами,
с

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ2

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Макеты страниц

а. Одна общая оценка интеграла.

Начнем с одной общей оценки интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для интегралов от действительнозначных функций.

Теорема 3. Если а то и справедливо неравенство

Если при этом на то

При утверждение тривиально, поэтому будем считать, что Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что (см. утверждение 4 из § 1), и написать следующую оценку интегральной суммы

Переходя к пределу при получаем

b. Монотонность интеграла и первая теорема о среднем.

Все дальнейшее специфично для интегралов от действительнозначных функций.

Теорема 4. Если а в любой точке

При утверждение тривиально. Если же то достаточно записать для интегральных сумм неравенство

справедливое, поскольку и затем перейти в нем к пределу при

Теорему 4 можно трактовать как утверждение о монотонности зависимости интеграла от подынтегральной функции.

Из теоремы 4 получается ряд полезных следствий.

Следствие 1. Если а на то

и, в частности, если

Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждый член неравенств и воспользоваться теоремой 4.

Следствие то найдется число такое, что

Если то утверждение тривиально. Если то положим Тогда из (12) следует, что , если Но обе части (13) меняют знак при перестановке местами а и поэтому (13) справедливо и при

Следствие 3. Если то найдется точка такая, что

По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции, на отрезке найдется точка , в которой если только

Таким образом, (14) следует из (13).

Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для интеграла. Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько более общего утверждения.

Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть Если функция неотрицательна (или неположительна) на отрезке то

где

Если, кроме того, известно, что найдется точка такая, что

Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака одновременно в обеих частях равенства (15), то достаточно проверить это равенство в случае Изменение знака функции тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15), поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что на

Поскольку то при

Поскольку то, применяя теорему 4 и теорему 1, получаем

Бели то, как видно из этих неравенств, соотношение (15) выполнено.

Если же то, полагая

из (17) находим, что

но это равносильно соотношению (15).

Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном значении для функции с учетом того, что в случае

Заметим, что равенство (13) получается из (15), если на

с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно более специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана является так называемая вторая теорема о среднем.

Чтобы не осложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколько полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.

Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразование суммы Пусть положим также Тогда

Итак,

или, поскольку

На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая

Лемма 2. Если числа удовлетворяют неравенствам , а числа неотрицательны и при то

Используя то, что при из (19) получаем

Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении (20).

Лемма 3. Если то при любом определена функция

Существование интеграла (21) при любом нам уже известно из утверждения 4 § 1, поэтому остается проверить непрерывность функции Поскольку имеем на Пусть Тогда в силу аддитивности интеграла и неравенств (9), (10) получаем

Мы воспользовались неравенством (10) с учетом того, что при имеем

Итак, мы показали, что если то

откуда, очевидно, следует непрерывность функции в любой точке отрезка

Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй теоремы о среднем.

Лемма 4. Если — неотрицательная и невозрастающая на отрезке функция, то найдется точка такая, что

Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отличие от соотношения (16) первой теоремы о среднем, в (23) под знаком интеграла осталась функция не монотонная функция

Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных выше случаях, постараемся оценить соответствующую интегральную сумму.

Пусть Р — разбиение отрезка Запишем сначала тождество

и покажем, что при последняя сумма стремится к нулю.

Поскольку то на Тогда, используя уже доказанные свойства интеграла, получаем

при , ввиду того, что (см. утверждение 2 из § 1). Значит,

Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). Положив

по лемме 3 получаем функцию, непрерывную на отрезке

Пусть

Поскольку то

Учитывая неотрицательность и невозрастание функции на и полагая

по лемме 2 находим, что

поскольку

Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26). Вспоминая соотношение (24), теперь имеем

Если то, как показывают неравенства (27), доказываемое соотношение (23), очевидно, справедливо.

Если же то положим

Из (27) следует, что , а из непрерывности функции на следует, что найдется точка в которой Но именно это и утверждает формула (23).

Теорема 6 (вторая теорема о среднем для интеграла). Если монотонная на функция, то найдется точка такая, что

Равенство (28) (как, впрочем, и равенство часто называют формулой Бонне

Пусть — неубывающая на функция. Тогда — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на функция. Применяя формулу (23), находим

Но

Учитывая эти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29) получаем доказываемое равенство (28).

Бели — невозрастающая функция, то, полагая получим, что — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на функция. Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и формулу (28).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1

Оглавление

  • ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
  • ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
  • ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
  • § 1. Логическая символика
  • § 2. Множество и элементарные операции над множествами
  • 2. Отношение включения.
  • 3. Простейшие операции над множествами.
  • Упражнения
  • § 3. Функция
  • 2. Простейшая классификация отображений.
  • 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.
  • 4. Функция как отношение. График функции.
  • § 4. Некоторые дополнения
  • 2. Об аксиоматике теории множеств.
  • 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
  • Упражнения
  • ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
  • § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
  • 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
  • 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества
  • § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
  • 2. Рациональные и иррациональные числа
  • 3. Принцип Архимеда.
  • 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
  • Задачи и упражнения
  • § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
  • 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега)
  • 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса).
  • Задачи и упражнения
  • § 4. Счетные и несчетные множества
  • 2. Мощность континуума
  • Задачи и упражнения
  • ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ
  • 2. Свойства предела последовательности
  • 3. Вопросы существования предела последовательности
  • 4. Начальные сведения о рядах
  • § 2. Предел функции
  • 2. Свойства предела функции.
  • 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
  • 4. Вопросы существования предела функции
  • ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
  • 2. Точки разрыва.
  • § 2. Свойства непрерывных функций
  • 2. Глобальные свойства непрерывных функций.
  • ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
  • 2. Функция, дифференцируемая в точке.
  • 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
  • 4. Роль системы координат.
  • 5. Некоторые примеры
  • Задачи и упражнения
  • § 2. Основные правила дифференцирования
  • 2. Дифференцирование композиции функций
  • 3. Дифференцирование обратной функции
  • 4. Таблица производных основных элементарных функций.
  • 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
  • 6. Производные высших порядков.
  • § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
  • 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
  • 3. Формула Тейлора.
  • § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
  • 2. Условия внутреннего экстремума функции.
  • 3. Условия выпуклости функции
  • 4. Правило Лопиталя.
  • 5. Построение графика функции.
  • § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
  • 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
  • 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
  • 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
  • 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
  • § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
  • 2. Барометрическая формула.
  • 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
  • 4. Падение тел в атмосфере.
  • 5. Еще раз о числе e и функции exp(x).
  • 6. Колебания.
  • § 7. Первообразная
  • 2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
  • 3. Первообразные рациональных функций.
  • 4. Первообразные вида …
  • 5. Первообразные вида …
  • ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ
  • § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
  • 2. Определение интеграла Римана
  • 3. Множество интегрируемых функций.
  • § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
  • 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
  • 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем
  • § 3. Интеграл и производная
  • 2. Формула Ньютона—Лейбница
  • 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора
  • 4. Замена переменной в интеграле.
  • 5. Некоторые примеры.
  • § 4. Некоторые приложения интеграла
  • 2. Длина пути.
  • 3. Площадь криволинейной трапеции.
  • 4. Объем тела вращения.
  • 5. Работа и энергия.
  • § 5. Несобственный интеграл
  • 2. Исследование сходимости несобственного интеграла
  • 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
  • ГЛАВА VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
  • 2. Открытые и замкнутые множества в R^m
  • 3. Компакты в R^m
  • § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
  • 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
  • ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
  • 2. Линейные отображения L : R^m -> R^n.
  • 3. Норма в R^m.
  • 4. Евклидова структура в R^m.
  • § 2. Дифференциал функции многих переменных
  • 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
  • 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
  • 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
  • § 3. Основные законы дифференцирования
  • 2. Дифференцирование композиции отображений
  • 3. Дифференцирование обратного отображения
  • § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
  • 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
  • 4. Формула Тейлора
  • 5. Экстремумы функций многих переменных.
  • 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных
  • § 5. Теорема о неявной функции
  • 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
  • 3. Переход к случаю зависимости
  • 4. Теорема о неявной функции.
  • § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
  • 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
  • 3. Зависимость функций
  • 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
  • 5. Лемма Морса.
  • § 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума
  • 2. Касательное пространство.
  • 3. Условный экстремум
  • НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
  • ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
  • ЛИТЕРАТУРА
Источник


Требуемые условия завершения

стр 2

Предыдущая

Следующая

15. Монотонность определенного интеграла

стр 19

Предыдущая

Следующая

◄ Итоговые схемы

Перейти на…

Вычисление определенных интегралов ►

Источник

Добавить комментарий