Как найти интеграл от lnx

Что такое интеграл от натурального логарифма

Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.

Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:

(int ln x dx = xln x – x + C)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:

( int u d v=u v-int v d u)

Таким образом, выражение является равным:( int ln x d xleft|begin{array}{ll}{u=ln x} & {d v=d x} \ {d u=frac{d x}{x}} & {v=x}end{array}right|=x ln x-int x cdot frac{d x}{x}=x ln x-int d x=x ln x-x+C ).

В том случае, когда (u=phi _{1}(x)) и (v=phi _{2}(x)) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:

(d (uv) = udv + vdu)

В результате получим формулу интегрирования по частям:

(int udv=uv-int vdu)

Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.

В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.

Список интегралов или первообразных функций от логарифмической функции представлен ниже. Следует отметить, что формулы записаны с учетом х, значение которого больше нуля. Аддитивная константа опущена.

Интеграл натурального логарифма сложной функции

Формула интеграла от экспоненциальной функции имеет следующий вид:
(largeintnormalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C)

В случае показательной функции интеграл будет определяться в соответствии с уравнениями при разных значениях а:

(largeintnormalsize {{a^x}dx} = largefrac{{{a^x}}}{{ln a}}normalsize + C,;;a > 0)

(largeintnormalsize {{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{a}}normalsize + C,;;a ne 0 )

(largeintnormalsize {x{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}normalsizeleft( {ax – 1} right) + C,;;a ne 0)

Выражения, справедливые для определения интеграла от натурального логарифма:

(largeintnormalsize {ln x,dx} = xln x – x + C)

(largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{xln x}}normalsize} = ln left| {ln x} right| + C )

(largeintnormalsize {{x^n}ln x,dx} = {x^{n + 1}}left[ {largefrac{{ln x}}{{n + 1}}normalsize – largefrac{1}{{{{left( {n + 1} right)}^2}}}}normalsize right] + C )

(largeintnormalsize {{e^{ax}}sin {bx},dx} = largefrac{{asin {bx} – bcos {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}normalsize {e^{ax}} + C )

(largeintnormalsize {{e^{ax}}cos {bx},dx} = largefrac{{acos {bx} + bsin {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}normalsize {e^{ax}} + C )

Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Решение:

В том случае, когда требуется взять рассматриваемый интеграл, целесообразно воспользоваться уравнением интегрирования по частям:

(int udv = uv – vdu)

В результате получим уравнение:

(int ln x dx = begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln x – int dx = xln x – x + C)

Ответ: (int ln x dx = xln x – x + C)

Требуется взять от записанного выражения интеграл.

Решение:

В данном случае необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям:

(int ln^2 xdx = begin{vmatrix} u = ln^2 x & du = 2lnx cdot frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln^2 x – int 2lnxdx = xln^2 x – 2int lnxdx)

Полученное равенство следует преобразовать с помощью повторного использования формулы интегрирования по частям. В результате запишем равенство:(xln^2 x – 2begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln^2 x – 2(xln x – int dx) = xln^2 x – 2xln x + 2int dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C ).

Ответ: (int ln^2 x dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C)

Решение:

В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:( int ln (x+1) d xleft|begin{array}{c}{ | x+1=t |} \ {d x=d t}end{array}right|=int ln t d t=t ln t-t+C ).

Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:

( int ln (x+1) d x=(x+1) ln (x+1)-x-1+C)

(Ответ: int ln (x+1) d x=(x+1) ln (x+1)-x-1+C)

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл натурального логарифма выводится из формулы интегрирования по частям и равен:

$$ int ln x dx = xln x – x + C $$

Пример 1

Найти интеграл от натурального логарифма икс: $$ int ln x dx $$

Решение

Для взятия этого интеграла используем формулу интегрирования по частям: $ int udv = uv – vdu $: $$ int ln x dx = begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln x – int dx = xln x – x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int ln x dx = xln x – x + C $$

Пример 2

Взять интеграл от натурального логарифма в квадрате: $$ int ln^2 x dx $$

Решение

Используем интегрирование по частям: $$ int ln^2 x dx = begin{vmatrix} u = ln^2 x & du = 2ln x cdot frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln^2 x – int 2ln x dx = xln^2 x – 2int ln x dx = $$ Снова используем формулу интегрирования по частям: $$ = xln^2 x – 2begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln^2 x – 2(xln x – int dx) = xln^2 x – 2xln x + 2int dx = $$ $$ = xln^2 x – 2xln x + 2x + C $$

Ответ

$$ int ln^2 x dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C $$

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Формула

Отметим, что даны интеграл не является табличным, для его нахождения надо применять
метод интегрирования по частям.

Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Читать дальше: интеграл суммы функций.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Лаборатория

Интеграл натурального логарифма

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Для начала вспомним, что из себя представляет натуральный логарифм числа х.

Определение 1

Натуральный логарифм — это логарифм, основанием которого является число $е$, иначе называемое числом Эйлера и приблизительно равное $2,71$.

В десятичном же логарифме основанием является число $10$.

Интеграл от натурального логарифма не является обычным табличным интегралом, поэтому для того чтобы узнать, чему равна первообразная от сложной функции lnx, необходимо воспользоваться формулой для частичного интегрирования, напомним её:

$int udv=uv-int vduleft(1right)$.

Зная эту формулу, её можно применить для интегрирования функции $y=ln x$:

Пусть $dx=du$, тогда в качестве произведения $uv$ имеем $xln x$, а в качестве второго члена выражения имеем $int x d ln x$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

$int ln x dx = x cdot ln x – int x d ln x = x cdot ln x – int dx=x ln x + x + C= x(ln x – 1) + C$.

$int ln x dx=x(ln x – 1) + C$.

Пример 1

Найти первообразную от функции $x^5 ln x$.

Решение:

Примем $ln x= u$, a $dv=x^4dx$, тогда получается, что $du=frac{dx}{x}, v=frac{1}{6} x^6$.

Получаем:

$int x^5 ln x dx = frac{1}{6} x^6 ln x – frac{1}{6} int x^5 dx = frac{1}{6} x^6 ln x – frac{1}{36} x^6 + c$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 16.04.2023