Как найти интеграл от логарифма натурального

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл натурального логарифма выводится из формулы интегрирования по частям и равен:

$$ int ln x dx = xln x – x + C $$

Пример 1

Найти интеграл от натурального логарифма икс: $$ int ln x dx $$

Решение

Для взятия этого интеграла используем формулу интегрирования по частям: $ int udv = uv – vdu $: $$ int ln x dx = begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln x – int dx = xln x – x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int ln x dx = xln x – x + C $$

Пример 2

Взять интеграл от натурального логарифма в квадрате: $$ int ln^2 x dx $$

Решение

Используем интегрирование по частям: $$ int ln^2 x dx = begin{vmatrix} u = ln^2 x & du = 2ln x cdot frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln^2 x – int 2ln x dx = xln^2 x – 2int ln x dx = $$ Снова используем формулу интегрирования по частям: $$ = xln^2 x – 2begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = $$ $$ = xln^2 x – 2(xln x – int dx) = xln^2 x – 2xln x + 2int dx = $$ $$ = xln^2 x – 2xln x + 2x + C $$

Ответ

$$ int ln^2 x dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C $$

Что такое интеграл от натурального логарифма

Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.

Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:

(int ln x dx = xln x – x + C)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:

( int u d v=u v-int v d u)

Таким образом, выражение является равным:( int ln x d xleft|begin{array}{ll}{u=ln x} & {d v=d x} \ {d u=frac{d x}{x}} & {v=x}end{array}right|=x ln x-int x cdot frac{d x}{x}=x ln x-int d x=x ln x-x+C ).

В том случае, когда (u=phi _{1}(x)) и (v=phi _{2}(x)) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:

(d (uv) = udv + vdu)

В результате получим формулу интегрирования по частям:

(int udv=uv-int vdu)

Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.

В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.

Список интегралов или первообразных функций от логарифмической функции представлен ниже. Следует отметить, что формулы записаны с учетом х, значение которого больше нуля. Аддитивная константа опущена.

Интеграл натурального логарифма сложной функции

Формула интеграла от экспоненциальной функции имеет следующий вид:
(largeintnormalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C)

В случае показательной функции интеграл будет определяться в соответствии с уравнениями при разных значениях а:

(largeintnormalsize {{a^x}dx} = largefrac{{{a^x}}}{{ln a}}normalsize + C,;;a > 0)

(largeintnormalsize {{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{a}}normalsize + C,;;a ne 0 )

(largeintnormalsize {x{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}normalsizeleft( {ax – 1} right) + C,;;a ne 0)

Выражения, справедливые для определения интеграла от натурального логарифма:

(largeintnormalsize {ln x,dx} = xln x – x + C)

(largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{xln x}}normalsize} = ln left| {ln x} right| + C )

(largeintnormalsize {{x^n}ln x,dx} = {x^{n + 1}}left[ {largefrac{{ln x}}{{n + 1}}normalsize – largefrac{1}{{{{left( {n + 1} right)}^2}}}}normalsize right] + C )

(largeintnormalsize {{e^{ax}}sin {bx},dx} = largefrac{{asin {bx} – bcos {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}normalsize {e^{ax}} + C )

(largeintnormalsize {{e^{ax}}cos {bx},dx} = largefrac{{acos {bx} + bsin {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}normalsize {e^{ax}} + C )

Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Решение:

В том случае, когда требуется взять рассматриваемый интеграл, целесообразно воспользоваться уравнением интегрирования по частям:

(int udv = uv – vdu)

В результате получим уравнение:

(int ln x dx = begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln x – int dx = xln x – x + C)

Ответ: (int ln x dx = xln x – x + C)

Требуется взять от записанного выражения интеграл.

Решение:

В данном случае необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям:

(int ln^2 xdx = begin{vmatrix} u = ln^2 x & du = 2lnx cdot frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln^2 x – int 2lnxdx = xln^2 x – 2int lnxdx)

Полученное равенство следует преобразовать с помощью повторного использования формулы интегрирования по частям. В результате запишем равенство:(xln^2 x – 2begin{vmatrix} u = ln x & du = frac{dx}{x} \ dv = dx & v = x end{vmatrix} = xln^2 x – 2(xln x – int dx) = xln^2 x – 2xln x + 2int dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C ).

Ответ: (int ln^2 x dx = xln^2 x – 2xln x + 2x + C)

Решение:

В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:( int ln (x+1) d xleft|begin{array}{c}{ | x+1=t |} \ {d x=d t}end{array}right|=int ln t d t=t ln t-t+C ).

Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:

( int ln (x+1) d x=(x+1) ln (x+1)-x-1+C)

(Ответ: int ln (x+1) d x=(x+1) ln (x+1)-x-1+C)

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Формула

Отметим, что даны интеграл не является табличным, для его нахождения надо применять
метод интегрирования по частям.

Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Читать дальше: интеграл суммы функций.

Интеграл натурального логарифма

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Для начала вспомним, что из себя представляет натуральный логарифм числа х.

Определение 1

Натуральный логарифм — это логарифм, основанием которого является число $е$, иначе называемое числом Эйлера и приблизительно равное $2,71$.

В десятичном же логарифме основанием является число $10$.

Интеграл от натурального логарифма не является обычным табличным интегралом, поэтому для того чтобы узнать, чему равна первообразная от сложной функции lnx, необходимо воспользоваться формулой для частичного интегрирования, напомним её:

$int udv=uv-int vduleft(1right)$.

Зная эту формулу, её можно применить для интегрирования функции $y=ln x$:

Пусть $dx=du$, тогда в качестве произведения $uv$ имеем $xln x$, а в качестве второго члена выражения имеем $int x d ln x$.

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

$int ln x dx = x cdot ln x – int x d ln x = x cdot ln x – int dx=x ln x + x + C= x(ln x – 1) + C$.

$int ln x dx=x(ln x – 1) + C$.

Пример 1

Найти первообразную от функции $x^5 ln x$.

Решение:

Примем $ln x= u$, a $dv=x^4dx$, тогда получается, что $du=frac{dx}{x}, v=frac{1}{6} x^6$.

Получаем:

$int x^5 ln x dx = frac{1}{6} x^6 ln x – frac{1}{6} int x^5 dx = frac{1}{6} x^6 ln x – frac{1}{36} x^6 + c$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 16.04.2023