Как найти интеграл от показательной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Формула
Примеры вычисления интеграла показательной функции

Формула

$$int a^{x} d x=frac{a^{x}}{ln a}+C$$

Интеграл от показательной функции равен этой же показательной функции деленной на
натуральный логарифм от основания степени
плюс константа интегрирования.

Примеры вычисления интеграла показательной функции

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $int 3^{x} d x$

Решение. Согласно формуле имеем (при
$a=3$):

$$int 3^{x} d x=frac{3^{x}}{ln 3}+C$$

Ответ. $int 3^{x} d x=frac{3^{x}}{ln 3}+C$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти интеграл
$int 4 cdot 5^{x} d x$

Решение. Константу выносим за знак интеграла:

$$int 4 cdot 5^{x} d x=4 int 5^{x} d x$$

Тогда, согласно формуле, при $a=5$ имеем:

$$int 4 cdot 5^{x} d x=4 int 5^{x} d x=4 cdot frac{5^{x}}{ln 5}+C=frac{4 cdot 5^{x}}{ln 5}+C$$

Ответ. $int 4 cdot 5^{x} d x=frac{4 cdot 5^{x}}{ln 5}+C$

Читать дальше: интеграл экспоненциальной функции.

Источник

Производная логарифмической функции имеет вид ({left( {{{log }_a}x} right)^prime } = frac{1}{x}{log _a}e). По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем: ({log _a}e = frac{{ln e}}{{ln a}} = frac{1}{{ln a}}). Таким образом, (y’left( x right) = {left( {{{log }_a}x} right)^prime } = frac{1}{{xln a}}).

В случае (a=e) мы получаем натуральный логарифм, производная которого выражается формулой ({left( {ln x} right)^prime } = largefrac{1}{x}normalsize).

Производная показательной функции

Поскольку показательная функция с основанием (a (a>0, a≠1)) и логарифмическая функция с тем же основанием образуют пару взаимно обратных функций, то производную показательной функции можно найти с помощью теоремы о производной обратной функции.

Пусть дана пара взаимно обратных функций (y = fleft( x right) = {a^x}) и (x = varphi left( y right) = {log _a}y). Тогда ({left( {{a^x}} right)^prime = f’left( x right) } = {frac{1}{{varphi ‘left( y right)}} } = {frac{1}{{{{left( {{{log }_a}y} right)}^prime }}} } = {frac{1}{{frac{1}{{yln a}}}} } = {yln a } = {{a^x}ln a.})

В частном случае (a=e) производная равна самой функции: ({left( {{e^x}} right)^prime } = {e^x}ln e = {e^x}).

Пример 1. Вычислить производную функции: (y = frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}).

Решение: По формуле производной частного двух функций находим:

({y’left( x right) = {left( {frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}} right)^prime } } = {frac{{{{left( {{x^2}} right)}^prime } cdot {2^x} – {x^2} cdot {{left( {{2^x}} right)}^prime }}}{{{{left( {{2^x}} right)}^2}}} } = {frac{{2 x cdot {2^x} – {x^2} cdot {2^x}ln 2}}{{{{left( {{2^x}} right)}^2}}} }= {frac{{x{2^x}left( {2 – xln 2} right)}}{{{{left( {{2^x}} right)}^{{2}}}}} }= \= {frac{{xleft( {2 – xln 2} right)}}{{{2^x}}}.;;})

Пример 2. Вычислить производную функции: (y = {log _3}frac{3}{x} + frac{3}{x}).

Решение: Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

({y’left( x right) = {left( {{{log }_3}frac{3}{x} + frac{3}{x}} right)^prime } } = {{left( {{{log }_3}frac{3}{x}} right)^prime } + {left( {frac{3}{x}} right)^prime } } = {frac{1}{{frac{3}{x}ln 3}} cdot {left( {frac{3}{x}} right)^prime } + 3 cdot {left( {frac{1}{x}} right)^prime } }= \= {frac{x}{{3ln 3}} cdot 3 cdot left( { – frac{1}{{{x^2}}}} right) + 3 cdot left( { – frac{1}{{{x^2}}}} right) } = { – frac{3}{{{x^2}}}left( {frac{x}{{3ln 3}} + 1} right) } = { – frac{3}{{{x^2}}} cdot frac{{x + 3ln 3}}{{3ln 3}} }= \= { – frac{{x + 3ln 3}}{{{x^2}ln 3}}.})

Интегралы от показательных и логарифмических функций

Интеграл от экспоненциальной функции: (largeintnormalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C).
(largeintnormalsize {{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{a}}normalsize + C,;;a ne 0).
(largeintnormalsize {x{e^{ax}}dx} = largefrac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}normalsizeleft( {ax – 1} right) + C,;;a ne 0).
Интеграл от показательной функции: (largeintnormalsize {{a^x}dx} = largefrac{{{a^x}}}{{ln a}}normalsize + C,;;a > 0).
Интеграл от натурального логарифма: (largeintnormalsize {ln x,dx} = xln x – x + C).
(largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{xln x}}normalsize} = ln left| {ln x} right| + C).
(largeintnormalsize {{x^n}ln x,dx} = {x^{n + 1}}left[ {largefrac{{ln x}}{{n + 1}}normalsize – largefrac{1}{{{{left( {n + 1} right)}^2}}}}normalsize right] + C).

Пример 3. Найти интеграл: (int {{2^x}{e^x}dx} ).

Решение: Перепишем интеграл в виде (int {{2^x}{e^x}dx} = int {{{left( {2e} right)}^x}dx} ).

Обозначая (2e=a), получаем табличный интеграл ({int {{{left( {2e} right)}^x}dx} } = {int {{a^x}dx} } = {frac{{{a^x}}}{{ln a}} + C } = {frac{{{{left( {2e} right)}^x}}}{{ln left( {2e} right)}} + C } = {frac{{{2^x}{e^x}}}{{ln 2 + ln e}} + C } = {frac{{{2^x}{e^x}}}{{ln 2 + 1}} + C.})

Пример 4. Найти интеграл: (intfrac{(2ln x+3)^3}{x}dx).

Решение: Перепишем данный интеграл в виде (int{(2ln x+3)^3}frac1{x}dx). Так как производная выражения (2 ln x+3 равна frac2{x}), а второй множитель (frac1{x}) отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку (2 ln x+3=t). Тогда (2cdot frac{dx}{x}=dt, frac{dx}{x}=frac12 dt). Следовательно,

(int(2 ln x+3)^3frac{dx}{x}=int t^3cdot frac12dt=frac12 int t^3dt=frac18 t^4+C=frac18(2ln x+3)^4+C.)

Источник

Чему равен интеграл от экспоненты

Определение

Интеграл от экспоненты равняется сумме данной показательной функции exp(x)=e^x и постоянной (константы) интегрирования.

Его можно записать в виде формулы:

(int e^xoperatorname dx=e^x+C)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Это выражение является производным от формулы для вычисления интеграла показательной функции при соблюдении следующих условий:

(a=e)

(lnleft(eright)=1)

Список интегралов с экспонентой

В данном перечне постоянная интегрирования опущена для удобства, но она может быть добавлена к каждой из формул в правой ее части.

Неопределенные интегралы

(int e^{cx}operatorname dx=frac1ce^{cx})

(int a^{cx}operatorname dx=frac1{clnleft(aright)}a^{cx},;a>0,;aneq1)

(int xe^{cx}operatorname dx=frac{e^{cx}}{c^2}left(cx-1right))

(int x^2e^{cx}operatorname dx=e^{cx}left(frac{x^2}c-frac{2x}{c^2}+frac2{c^3}right))

(int x^ne^{cx}operatorname dx=frac1cx^ne^{cx}-frac ncint x^{n-1}e^{cx}operatorname dx)

(intfrac{e^{cx}operatorname dx}x=lnleft(left|xright|right)+sum_{i=1}^inftyfrac{left(cxright)^i}{icdot i!})

Обратим внимание, что в данной формуле присутствует натуральный логарифм от модуля x.

(intfrac{e^{cx}operatorname dx}{x^n}=frac1{n-1}left(-frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+cintfrac{e^{cx}operatorname dx}{x^{n-1}}right),;nneq1)

(int e^{cx}lnleft(xright)operatorname dx=frac1ce^{cx}lnleft(left|xright|right)-Eileft(cxright))

(int xe^{cx^2}dx=frac{1}{2c}e^{cx^2})

(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}intfrac1{sigmasqrt{2pi}}e^{-left(x-muright)^2/2sigma^2}operatorname dx=frac12left(1+erffrac{x-mu}{sigmasqrt2}right))

В последнем случае (erf) — функция ошибок.

Первообразные, содержащие синус и косинус:

(int e^{cx}sinleft(bxright)operatorname dx=frac{e^{cx}}{c^2+b^2}left(csinleft(bxright)-bcosleft(bxright)right))

(int e^{cx}cosleft(bxright)operatorname dx=frac{e^{cx}}{c^2+b^2}left(ccosleft(bxright)+bsinleft(bxright)right))

(int e^{cx}sin^nleft(xright)operatorname dx=frac{e^{cx}sin^{n-1}left(xright)}{c^2+n^2}left(csinleft(xright)-ncosleft(xright)right)+frac{nleft(n-1right)}{c^2+n^2}int e^{cx}sin^{n-2}left(xright)operatorname dx)

(int e^{cx}cos^nleft(xright)operatorname dx=frac{e^{cx}cos^{n-1}left(xright)}{c^2+n^2}left(ccosleft(xright)+nsinleft(xright)right)+frac{nleft(n-1right)}{c^2+n^2}int e^{cx}cos^{n-2}left(xright)operatorname dx)

Определенные интегралы

(int_0^1e^{xcdotlnleft(aright)+left(x-1right)cdotlnleft(bright)}operatorname dx=int_0^1left(frac abright)^xcdot boperatorname dx=int_0^1a^xcdot b^{1-x}operatorname dx=frac{a-b}{lnleft(aright)-lnleft(bright)},;a>0,;b>0,;aneq b)

(int_0^infty e^{-ax}operatorname dx=frac1a)

(int_0^infty x^ne^{-ax}operatorname dx=left{begin{array}{lc}frac{Гleft(n+1right)}{a^{n+1}}&left(n>-1,;a>0right)\frac{n!}{a^{n+1}}&left(n=0,1,2…,a>0right)end{array}right.)

(int_0^infty e^{-ax}sinleft(bxright)operatorname dx=frac b{a^2+b^2},;a>0)

(int_0^infty e^{-ax}cosleft(bxright)operatorname dx=frac b{a^2+b^2},;a>0)

(int_0^infty xe^{-ax}sinleft(bxright)operatorname dx=frac{2ab}{left(a^2+b^2right)^2},;a>0)

(int_0^infty xe^{-ax}cosleft(bxright)operatorname dx=frac{a^2-b^2}{left(a^2+b^2right)^2},;a>0)

(int_0^{2pi}e^{xcosleft(thetaright)}operatorname dtheta=2pi I_0(x))

Здесь I₀ — первородная модифицированная функция Бесселя.

Дзета-функция Римана:

(int_0^inftyfrac{x^{s-1}}{e^x-1}operatorname dx,=Гleft(sright)zetaleft(sright))

Выражения с корнем в составе:

Интеграл Гаусса:

(int_0^infty e^{-ax^2}operatorname dx=frac12sqrt{fracpi a},;a>0)

(int_{-infty}^infty e^{-ax^2}operatorname dx=sqrt{fracpi a},;a>0)

(int_{-infty}^infty e^{-ax^2}e^{-2bx}operatorname dx=sqrt{fracpi a}e^frac{b^2}a,;a>0)

(int_{-infty}^infty xe^{-aleft(x-bright)^2}operatorname dx=bsqrt{fracpi a},;a>0)

(int_{-infty}^infty x^2e^{-ax^2}operatorname dx=frac12sqrt{fracpi{a^3}},;a>0)

(int_0^infty x^ne^{-ax^2}operatorname dx=left{begin{array}{cc}frac12Гleft(frac{n+1}2right)/a^frac{n+1}2&left(n>-1,;a>0right)\frac{left(2k-1right)!!}{2^{k+1}a^k}sqrt{fracpi a}&left(n=2k,;a>0right)\frac{k!}{2a^{k+1}}&left(n=2k+1,;a>0right)end{array}right.)

Здесь (k) — целое число, (!!) — двойной факториал.

(int_0^{2pi}e^{xcosleft(thetaright)+ysinleft(thetaright)}operatorname dtheta=2pi I_0left(sqrt{x^2+y^2}right))

Как найти интеграл от экспоненты в сложной степени

В случае, когда показатель степени экспоненты выражен в виде сложной функции ax+b, то неопределенный интеграл вычисляется по формуле:

(int e^{ax+b}+C=frac1ae^{ax+b}+C)

Интеграл от числа Эйлера в степени х (e^x)

Чтобы понять, как произвести переход от е в x-степени к первообразной от e^x, вспомним порядок выведения формулы для производной от функции e^x. Будем действовать по общему алгоритму выведения формулы производной.

Сначала рассмотрим прирост функции степени:

(frac{triangle y}{triangle x}=frac{a^{x+triangle x}-a^x}{triangle x}=a^xcdotfrac{a^{triangle x}-1}{triangle x})

Далее разберем предел составленного выражения при Δx, стремящемся к нулю:

(y’left(xright)=lim_{triangle xrightarrow0}=a^xcdotlnleft(aright))

При y, равном e в степени x, полученное выражение преобразуется в следующее:

(y’left(xright)=e^x)

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить неопределенный интеграл:

(int4cdot e^xoperatorname dx)

Решение

Вынесем постоянную интегрирования за символ интеграла и воспользуемся формулой:

(int4cdot e^xoperatorname dx=4int e^xoperatorname dx=4e^x+С)

Ответ: (int4cdot e^xoperatorname dx=4e^x+С.)

Задача 2

Взять интеграл от:

(int e^{2x}operatorname dx)

Решение

Применим формулу для интеграла от экспоненты со сложной степенью, согласно которой a=2. При подстановке получим:

(int e^{2x}operatorname dx=frac12e^{2x}+C)

Это и будет ответом.

Задача 3

Определить интеграл экспоненциальной функции с отрицательным показателем степени:

(int e^{-x}operatorname dx)

Решение

Поскольку степень e равна −x, знак минуса выносим за символ дифференциала и получим выражение:

(int e^{-x}operatorname dx=-int e^{-x}operatorname dleft(-xright)=-e^{-x}+C)

Ответ: (int e^{-x}operatorname dx=-e^{-x}+C )

Источник

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

Неопределённые интегралы[править | править код]

${displaystyle int e^{cx};dx={frac {1}{c}}e^{cx}}$

${displaystyle int a^{cx};dx={frac {1}{cln a}}a^{cx},}$

для

${displaystyle int xe^{cx};dx={frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}$

${displaystyle int x^{2}e^{cx};dx=e^{cx}left({frac {x^{2}}{c}}-{frac {2x}{c^{2}}}+{frac {2}{c^{3}}}right)}$

${displaystyle int x^{n}e^{cx};dx={frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{frac {n}{c}}int x^{n-1}e^{cx}dx}$

${displaystyle int {frac {e^{cx};dx}{x}}=ln |x|+sum _{i=1}^{infty }{frac {(cx)^{i}}{icdot i!}}}$

${displaystyle int {frac {e^{cx};dx}{x^{n}}}={frac {1}{n-1}}left(-{frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+cint {frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}}right),}$

для

${displaystyle int e^{cx}ln x;dx={frac {1}{c}}e^{cx}ln |x|-operatorname {Ei} ,(cx)}$

${displaystyle int e^{cx}sin bx;dx={frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(csin bx-bcos bx)}$

${displaystyle int e^{cx}cos bx;dx={frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(ccos bx+bsin bx)}$

${displaystyle int e^{cx}sin ^{n}x;dx={frac {e^{cx}sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(csin x-ncos x)+{frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}int e^{cx}sin ^{n-2}x;dx}$

${displaystyle int e^{cx}cos ^{n}x;dx={frac {e^{cx}cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(ccos x+nsin x)+{frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}int e^{cx}cos ^{n-2}x;dx}$

${displaystyle int xe^{cx^{2}};dx={frac {1}{2c}};e^{cx^{2}}}$

${displaystyle int {1 over sigma {sqrt {2pi }}},e^{-{(x-mu )^{2}/2sigma ^{2}}};dx={frac {1}{2}}(1+{mbox{erf}},{frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}),}$

где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы[править | править код]

${displaystyle int limits _{0}^{1}e^{xcdot ln a+(1-x)cdot ln b};mathrm {d} x=int limits _{0}^{1}left({frac {a}{b}}right)^{x}cdot b;mathrm {d} x=int limits _{0}^{1}a^{x}cdot b^{1-x};mathrm {d} x={frac {a-b}{ln a-ln b}}}$

для

, что есть логарифмическое среднее

${displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax},mathrm {d} x={frac {1}{a}}}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={frac {1}{2}}{sqrt {pi over a}}quad (a>0)}$

(интеграл Гаусса)

${displaystyle int limits _{-infty }^{infty }e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={sqrt {pi over a}}quad (a>0)}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx},mathrm {d} x={sqrt {frac {pi }{a}}}e^{frac {b^{2}}{a}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{-infty }^{infty }xe^{-a(x-b)^{2}},mathrm {d} x=b{sqrt {pi over a}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{-infty }^{infty }x^{2}e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={frac {1}{2}}{sqrt {pi over a^{3}}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }x^{n}e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={begin{cases}{frac {1}{2}}Gamma left({frac {n+1}{2}}right)/a^{frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\{frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{sqrt {frac {pi }{a}}}&(n=2k,k;{text{целое}},a>0)\{frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k;{text{целое}},a>0)end{cases}}}$

(!! — двойной факториал)

${displaystyle int limits _{0}^{infty }x^{n}e^{-ax},mathrm {d} x={begin{cases}{frac {Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\{frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,ldots ,a>0)\end{cases}}}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax}sin bx,mathrm {d} x={frac {b}{a^{2}+b^{2}}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax}cos bx,mathrm {d} x={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }xe^{-ax}sin bx,mathrm {d} x={frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{0}^{infty }xe^{-ax}cos bx,mathrm {d} x={frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}quad (a>0)}$

${displaystyle int limits _{0}^{2pi }e^{xcos theta }dtheta =2pi I_{0}(x)}$

( $I_{{0}}$

— модифицированная функция Бесселя первого рода)

${displaystyle int limits _{0}^{2pi }e^{xcos theta +ysin theta }dtheta =2pi I_{0}left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}right)}$

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}},dx,=Gamma (s)zeta (s)}$

(Дзета-функция Римана)

Библиография[править код]

Книги

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов. — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.

Таблицы интегралов

Интегралы на EqWorld
S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

The Integrator (на Wolfram Research)
Империя Чисел
Методы вычисления неопределённых интегралов

Источник

Макеты страниц

Интегрирование показательных и гиперболических функций.

1. Интеграл вида где рациональная функция своих аргументов, — целые числа, вычисляется с помощью подстановки (Частный случай такого преобразования использован при решении четвертого примера в разд. 7.3.)

2. Интеграл вида вычисляется путем перехода от гиперболических функций к показательным по формулам

с последующей заменой

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида

вычисляются при помощи формул

2. Интегралы вида — целые числа) вычисляются следующим образом.

При нечетном используется замена

При нечетном замена

Если обе степени — четные и неотрицательные, то применяются формулы понижения степени:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Используя тригонометрические формулы, последовательно имеем:

Здесь была использована замена

3. Интегралы вида , где — рациональная функция своих аргументов, сводится к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки: