Часто при решении прикладных задач возникают ситуации когда требуется найти неопределенный интеграл от синуса или косинуса в некоторой натуральной степени, в частности, от синуса или косинуса в квадрате, в этих случаях для нахождения неопределенного интеграла требуется воспользоваться формулами понижения степени
Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от синуса в квадрате:
где 
— произвольная вещественная постоянная.
Таким образом:
Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса во второй степени были использованы:
В следующем практическом видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» приведено подробное решение задачи о нахождении интеграла от sin в квадрате.
Интеграл от синус икс в квадрате
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
При нахождении интеграла $int sin^m xdx$ используют разные методы интегрирования. В нашем случае степень чётная. Поэтому мы применим метод с использованием следующей формулы: $sin^2 x =frac{1-cos 2x}{2}.$
Приведём решение.
Пример 1
$intsin^2 xdx=intfrac{1-cos 2x}{2}dx=frac{1}{2}int(1-cos 2x)dx=frac{1}{2}x-frac{1}{4}sin 2x+C.$
Решим пример, когда использование формулы не требуется:
Пример 2
$intsin^2 xcos xdx$.
Подставим $sin x = t$.
$int t^24dt=frac{1}{3}t^3+С=frac{1}{3}sin^3x+C$
Интеграл от синус икс в квадрате решается одним из методов интегрирования тригонометрических функций, который мы описали. В разных примерах могут понадобиться преобразующие формулы из курса тригонометрии и различные виды подстановки. Навык правильно и быстро интегрировать приходит в процессе самостоятельного решения примеров.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 04.05.2023
Интеграл от синуса
Интеграл от синуса по таблице интегрирования равен: $$ int sin x dx = – cos x + C $$
Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной.
| Пример 1 |
| Найти интеграл от синус 2x: $$ int sin 2x dx $$ |
| Решение |
|
Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ frac{1}{2} $: $$ int sin 2x dx = frac{1}{2} int sin 2x d(2x) = -frac{1}{2} cos 2x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ int sin 2x dx = -frac{1}{2} cos 2x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл от синуса в квадрате: $$ int sin^2 x dx $$ |
| Решение |
|
В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ sin^2 x = frac{1-cos 2x}{2} $$ Заменяем выражение под интегралом: $$ int sin^2 x dx = int frac{1-cos 2x}{2} dx = frac{1}{2} int (1-cos 2x) dx = $$ $$ = frac{1}{2} int 1dx – frac{1}{2} int cos 2x dx = frac{1}{2}x – frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}int cos 2x d(2x) = $$ $$ = frac{1}{2}x – frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ int sin^2 x dx = frac{1}{2}x – frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
| Пример 3 |
| Найти интеграл от синуса в кубе: $$ int sin^3 x dx $$ |
| Решение |
|
Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ sin^3 x = sin x cdot sin^2 x $$ Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ sin x $ под знак дифференциала: $$ int sin^3 x dx = int sin x sin^2 x dx = – int sin^2 x d(cos x) = $$ Далее используем свойство $ sin^2 x = 1 – cos^2 x $: $$ = -int (1-cos^2 x) d(cos x) = -int d(cos x) + int cos^2 x d(cos x) = $$ $$ = – cos x + frac{cos^3 x}{3} + C = frac{1}{3} cos^3 x – cos x + C $$ |
| Ответ |
|
$$ int sin^3 x dx = frac{1}{3} cos^3 x – cos x + C $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить определенный интеграл от синуса: $$ int_0^pi sin x dx $$ |
| Решение |
|
Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ int_a^b f(x) dx = F(x) bigg |_a^b = F(b)-F(a) $: $$ int_0^pi sin x dx = -cos x bigg |_0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$ |
| Ответ |
| $$ int_0^pi sin x dx = 2 $$ |
Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Вопросы – лидеры.
Особенности перевода в другой ВУЗ
1 ставка
Помогите решить задачи в Excel
1 ставка
Основные понятия и законы химии.
Билет №3
Помоги пожалуйста срочно!!!!!!!!!!!
1 ставка
Реставрационно-художественный колледж СПб
1 ставка
Вопрос по физике
1 ставка
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Как найти интеграл от синус квадрат х?
Кронос К
Профи
(643),
закрыт
13 лет назад
Лучший ответ
Юрик
Высший разум
(117860)
13 лет назад
Воспользоваться формулой понижения порядка
sin²x=(1/2)•(1-cos2x).
Остальные ответы
Похожие вопросы
Подставим все в формулу интегрирования по частям и приведем интеграл к табличному, тогда будем иметь:
Методы не применяются для интегрирования функций вида
; 
; 
; 
;
; 
, т.е. от тригонометрических функций,
умноженных на многочлен. Такие интегралы интегрируются по частям.
При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов:
Использование тригонометрических формул Понижение степени подынтегральной функции Метод замены переменной Универсальная тригонометрическая подстановка
При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:
Косинус – это четная функция, то есть 
, минус исчезает без всяких последствий.
Синус – функция нечетная: 
– здесь минус, наоборот – не пропадает, а выносится.
Использование тригонометрических формул
Пример34
Найти интеграл. 
Используем формулу: 
и метод подведения под знак дифференциала
Пример 35
Найти интеграл 
Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся тригонометрическими функциями. Затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к табличному виду.
Пример 36
Найти интеграл. 
Используем формулу: 
и метод подведения под знак дифференциала.
Пример 37
Найти интеграл. 
Используем формулу:
Пример 38
Найти неопределенный интеграл
Используем формулы преобразования произведения функций сначала для произведения 
, а затем для произведения синусов в каждом из интегралов :
В результате искомый интеграл будет равен
Понижение степени подынтегральной функции
Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в чётных степенях. Для понижения степени используют
тригонометрические формулы 
, 
и , причем последняя формула чаще используется в обратном
направлении:
Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n и m – чётные числа, решается методом
понижения степени подынтегральной функции.
Пример 39
Найти интеграл
|
∫cos2xdx = ∫1+cos2x2 |
dx = |
21 |
∫(1 + cos2x)dx = 21 x + 21 sin2x + C |
|
|
Используем формулу: |
||||
|
Пример 40 |
||||
|
Найти интеграл |
dx = |
21 ∫(1 −cos3x)dx = 21 x −31 sin3x + C |
||
|
∫sin2 23 xdx = ∫1−cos3x2 |
||||
|
Используем формулу: |
Пример 41
Найти интеграл 
Выражаем sin4 x как (sin2 x)2 и применяем формулу
Используем формулу 
В третьем слагаемом снова понижаем степень с помощью формулы 
.
Пример 42
Найти интеграл 
Метод замены переменной
Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в нечётных степенях.
Общие рекомендации :
1.за t нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
2.за t нужно обозначить ту функцию, которая, является более сложной.
3.Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за t – обозначить другую функцию
Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n или m – нечётные числа, решается методом замены переменной
Пример 43
Найти интеграл 
Проведем замену:
Примечание: здесь можно было сделать замену 
, но гораздо выгоднее обозначить за 
весь знаменатель.
Пример 44
Найти интеграл 
Проводим замену 
Пример 45
Найти интеграл 
Проведем замену: 
Пример 46
Найти интеграл
Представляем cos3 x dx как cos2 x cos x dx, а cos2x выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества: 
Делаем замену:
Пример 47
Найти интеграл 
Преобразуем подынтегральное выражение:
Проведем замену:
Пример 48
Найти интеграл 
Проведем замену:
Пример 49
Найти неопределенный интеграл 
Для вычисления исходного интеграла введем замену 
, тогда
Подставляя это в искомый интеграл, получим
Сделаем обратную замену
Пример 50
Найти неопределенный интеграл 
Преобразуем подынтегральную функцию, используя основное тригонометрическое тождество
Введем замену 
, тогда исходный интеграл примет вид
Сделаем обратную замену и окончательно получим
Пример 51
Найти неопределенный интеграл 
Преобразуем подынтегральную функцию, используя вначале формулу для синуса двойного угла:
а затем, формулу для понижения степени
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка 
– это частый случай метода замены переменной. Её можно попробовать применить, когда «не знаешь, что делать». Интегралами, где нужно применить универсальную тригонометрическую подстановку, являются интегралы вида:
, 
, 
, 
и т.д.
Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.
При этом следует учесть, что из равенства 
получаем:
;
Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше, чем под синусом и косинусом, т.е., в общем виде, если присутствуют функции вида:
sin(kx), cos(kx), делается подстановка tg(kx/2) = t. Еще раз, при sin2x ‒ tg(2x/2), при sin3x ‒ tg(3x/2) и т.д.
Пример 52
Найти неопределенный интеграл 
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
Пример 53
Найти неопределенный интеграл 
Для решения данного интеграла сделаем упрощенную тригонометрическую замену, положив что
выразим из равенства
то есть 
Подставим все в искомый интеграл
Сделаем обратную замену
Пример 54
Найти неопределенный интеграл 
Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:
Для нахождения первого интеграла будем использовать универсальную тригонометрическую замену
Тогда первый интеграл преобразуется следующим образом
Разложим подынтегральную функцию полученного интеграла на элементарные дроби:
Приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства и приравниваем числители:
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим такую систему для нахождения 
и 
Тогда подынтегральная функция имеет следующее разложение на простые дроби
а соответствующий интеграл равен
Делаем обратную замену
Окончательно искомый интеграл равен:
Пример 55
Найти неопределенный интеграл. 
Перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо понизить степени в знаменателе при помощи формул
, 
Универсальная тригонометрическая подстановка:
Применение универсальной тригонометрической подстановки часто приводит к длинным и трудоемким вычислениям. Поэтому на практике универсальной тригонометрической подстановки стараются избегать (если возможно).
В ряде случаев целесообразно свести подынтегральное выражение, содержащее sinn(α) и cosm(α), к tg(α) и ее производной 1/cos2(α) т.е. произвести замену:
. Для этого можно воспользоваться формулами
; 
.
Метод работает, если сумма показателей степеней n+m ‒ целое четное отрицательное число .
Пример56
Найти неопределенный интеграл 
Пример57
Найти неопределенный интеграл 
Замена tgх =t (чтобы не запутаться)
Пример58
Найти неопределенный интеграл 
Пример59
Найти неопределенный интеграл 
Пример60
Найти неопределенный интеграл 
|
Пример61 |
||||||||||||||
|
Интеграл из примера55 |
||||||||||||||
|
= |
= |
= |
||||||||||||
|
4 2 − 5 2 |
(4 2 − 5 2 ) 2 |
(4 2 − 5) 2 |
||||||||||||
|
( ) |
= |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 − √5 |
|||||||
|
= |
4 2 − 5 |
= |
= 4 2 − 5 = |
2 |
(2 )2 − (√5)2 |
= 2 |
2√5 |
2 + √5 + = |
||||||
|
= 4√1 |
5 22 +−√√55 + |
Решение значительно быстрее и проще.
6.Интегралы от дробей
Суть методов решения интегралов от дроби сводится к преобразованию дроби в сумму элементарных дробей табличного вида:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Для преобразования дроби используется комплекс приемов, основными из которых будут выделение полного квадрата, подстановка, разложение на множители, с дальнейшим преобразованием в сумму элементарных дробей.
Для решения интегралов от дроби можно придерживаться следующего алгоритма:
|
Определяем тип подынтегрального выражения. |
||||||
|
1. |
Для простейших дробей вида |
применяется способ подведения функции |
||||
|
под знак дифференциала с дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. |
||||||
|
( + ) |
||||||
|
( + ) |
( + )−+ |
, |
||||
|
∫( + ) = ∫( + ) |
= |
−+ |
+ |
Примеры:
|
2. Для дробей вида |
, |
, |
, |
(коэффициенты |
a и c не равны нулю) также применяется способ подведения функции под знак дифференциала с дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. (Формулы 2 – 6, см. выше).
Примеры:
|
3. Для дробей вида |
сначала представляем |
|
интеграл в виде суммы: |
Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:
|
В интегралах вида |
выделяем в знаменателе полный квадрат и приводим |
||||
|
выражение к табличному виду. |
|||||
|
В ряде случаев, неразложимый многочлен |
целесообразно представить в |
||||
|
необходимо вынести коэффициент за знак интеграла, |
|||||
|
виде полного квадрата (перед этим |
( |
+ + ) |
|||
|
поделив все выражение на ) по формуле: |
и свести интеграл к виду:
,
или
Пример62
Найти неопределенный интеграл 
Квадратный трехчлен, который стоит в знаменателе подынтегральной функции, не
раскладывается на множители 
. Поэтому для нахождения данного интеграла выделим в знаменателе полный квадрат.
Пример63
Найти неопределенный интеграл 
. Для начала вынесем двойкуиз под знака радикала:
т.е. вида
В подкоренном выражении выделяем полный квадрат:
Поэтому
Пример64
4. Для дробей вида 
используют метод интегрирования по частям n раз, каждый раз понижая степень знаменателя и применяя предыдущие способы. Вычисления получаются очень длинные и долгие. Или пользуемся рекуррентными формулами.
5. Дроби( ) , у которых многочлены и в числителе и в знаменателе,
( ) , где Pn(x) и Pm(x) многочлены степени n и m соответственно, перед
собственно взятием интеграла необходимо разложить на множители, а затем, преобразовать в сумму элементарных дробей.
Определяем что дробь правильная. Правильной называется дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Если дробь неправильная, то выделяем целую часть, с оставшейся частью работаем как с правильной дробью.
Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители и преобразуем дробь в сумму элементарных дробей.
Для преобразования дроби в сумму элементарных дробей в большинстве случаев используют метод неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов.
|
т.е. |
|||||
|
Любую дробь вида |
( + )( + )( + ) |
можно представить в виде |
|||
|
2+ + |
|||||
|
2 + + |
|||||
|
( + )( + )( + ) = |
+ + + + + , |
+ ++ + +
|
где A, B, C неизвестные коэффициенты. |
|||||||||||||||||||||||
|
Приводим правую часть уравнения к общему знаменателю: |
|||||||||||||||||||||||
|
+ |
= |
( + )( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) |
, |
||||||||||||||||||||
|
+ |
+Тогда |
+ |
( + )( + )( + ) |
||||||||||||||||||||
|
+ |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ + |
( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) |
|||||||||||||||||||||
|
( + )( + )( + ) |
( + )( + )( + ) |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ + = ( + )( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) |
||||||||||||||||||||||
|
Если дроби равны= и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители, |
: |
||||||||||||||||||||||
|
+ + = |
|||||||||||||||||||||||
|
= 2 |
Раскрываем скобки |
( + ) + + 2 + |
( + ) + = |
||||||||||||||||||||
|
+ |
( + ) + + 2 + |
||||||||||||||||||||||
|
= ( + + ) |
+ |
( + + + + + ) + ( + + ) |
|||||||||||||||||||||
|
= + + |
|||||||||||||||||||||||
|
Приравниваем коэффициенты в выражениях: |
|||||||||||||||||||||||
|
= ( + ) |
+ ( + ) + ( + ) |
||||||||||||||||||||||
|
= + + |
|||||||||||||||||||||||
|
Решая систему уравнений, находим неизвестные коэффициенты A, B, C и раскладываем |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ + |
||||||||||||||||||||||
|
дробь на сумму элементарных дробей: |
+ |
||||||||||||||||||||||
|
( + )( + )( + ) |
+ |
+ |
|||||||||||||||||||||
|
он приравнивается к |
( |
+ + ) |
квадратный. |
многочлен вида: |
|||||||||||||||||||
|
Если в знаменателе встречается= |
+неразложимый+ |
||||||||||||||||||||||
|
( + )( |
+ |
1 + ) |
2 |
+ |
|||||||||||||||||||
|
12 |
, где |
– неразложимый квадратный многочлен (D<0), то |
|||||||||||||||||||||
|
( + )( |
сумме дробей по формуле: |
||||||||||||||||||||||
|
+ + ) |
+ |
( |
+ + ) |
||||||||||||||||||||
|
Если в знаменателе2 |
встречаются= |
+кратные2 |
множители. |
вида: |
|||||||||||||||||||
|
1 |
, |
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||
|
( 1+ ) |
то они раскладываются по формуле: |
||||||||||||||||||||||
|
( + ) = |
+ |
2 + + |
+ ( + ) + |
( + )2 |
+ + |
( + ) |
Пример65
Найти неопределенный интеграл 
Преобразуем подынтегральную функцию, расписав знаменатель согласно формуле сокращенного умножения для суммы кубов:
Тогда интеграл примет вид:
Далее разложим подынтегральную функцию на простые дроби с неопределенными коэффициентами. В нашем случае имеет место следующее разложение:
Найдем неопределенные коэффициенты, для этого приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства, а затем приравняем соответствующие числители
Далее приравняем коэффициенты при соответствующих степенях
Подставим, выраженные через 
, коэффициенты 
и 
во второе уравнение системы:
, тогда 
, а 
Таким образом, искомый интеграл будет равен:
|
1 |
1 |
(2 − 1) − 3 |
|||||||
|
= 3 |
| + 1| − 6 |
2 − + 1 |
= |
||||||
|
1 |
1 |
2 − 1 |
−3 |
= |
|||||
|
= 3 |
| + 1| − 6 |
2 |
− + 1 − |
6 |
2 − + 1 |
||||
|
1 |
1 |
| |
2 |
1 |
|||||
|
= 3 |
| + 1| − 6 |
− + 1| + 2 |
2 − + 1 |
Квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе последнего интеграла, не раскладывается на
|
множители |
1 |
1 |
2 |
. Поэтому для его нахождения выделим в |
||||||||
|
1 |
||||||||||||
|
знаменателе полный квадрат: |
||||||||||||
|
3 + 1 |
= = 3 |
| + 1| − 6 |
| |
− + 1| + |
2 2 − + 1 = |
|||||||
|
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
2 |
1 |
+ 3 = |
||||||
|
= 3 |
6 |
2 |
− + 1| + 2 |
( − 1)2 |
||||||||
|
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
1 |
1 |
2 |
4 |
|||||
|
= 3 |
6 |
− + 1| + 2 |
3 |
3 |
+ = |
|||||||
|
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
2 |
1 |
4 |
2 |
4 |
||||
|
= 3 |
6 |
− + 1| + √3 |
√3 + |
Пример66
Найти неопределенный интеграл 
Дробь является правильной
Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Приводим дробь к общему знаменателю:
Составим и решим систему:
Пример67
Найти неопределенный интеграл 
Данная дробь является неправильной.
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функцией – это
деление числителя на знаменатель.
Сначала рисуем «заготовку» для деления:
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами
Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить 
, чтобы получить 
? Очевидно, что на 
:
Далее умножаем 
сначала на 
, потом – на 
, потом – на 
, потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка 
равна двум, старшая степень делителя
– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы
изначально унас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, у нас получилась целая часть плюс остаток:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
6. Неопределенные интегралы иррациональных функций вида 
находятся методом подстановки.
В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
|
1. |
Если p – целое число, то принимают |
, где N – общий знаменатель чисел m и n. |
||||||||||
|
2. |
– целое число, то |
, где N – знаменатель числа p. |
||||||||||
|
Если + |
||||||||||||
|
знаменатель |
+ p |
– целое число, то вводят новую переменную |
, где N – |
|||||||||
|
3. |
Если |
+ |
||||||||||
|
числа . |
||||||||||||
|
привести к виду: |
± |
, |
− |
которые можно |
||||||||
|
Очень часто в вычислениях встречаются дроби вида |
||||||||||||
|
+ − |
+ |
|||||||||||
|
+ = |
+ |
= + |
− + = − + |
|||||||||
|
+ − |
− |
− |
||||||||||
|
− = |
− |
= − |
+ − = − − |
+ − = −1 + − = − − |
||||||||
|
+ − |
− |
|||||||||||
|
− = |
− |
= − |
+ − = + − |
Пример68
Найти неопределенный интеграл 
То есть, m = -1, n = 1, p = 1/2. Так как 
– целое число, то вводим новую
переменную 
(N = 2 – знаменатель числа p). Выражаем х через z:
Выполняем подстановку в исходный интеграл:
Пример 69
Найти неопределенный интеграл 
Проведем замену: 
. Навешиваем дифференциалы на обе части:
Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно
раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет 
и допустит ошибку.
Пример70
Найти неопределенный интеграл 
Проведем замену: 
Навешиваем дифференциалы на обе части:
С числителем разобрались. Что делать с 
в знаменателе? Берем нашу замену 
и выражаем из неё: 
Если 
, то 
Пример71
Найти неопределенный интеграл 
Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.
Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в
виде 
: . Нас будут интересовать знаменатели степеней. Записываем эти знаменатели: 2, 3, 3.
Теперь нужно найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 3 – такое число, чтобы оно делилось и на 2 и на 3 (в данном случае), кроме того, это число должно быть как можно меньше.
Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3, кроме того, меньше шестерки ничего не придумать.
Замена в рассматриваемом интеграле будет следующей: 
Оформляем решение:
Проведем замену:
