Подставим все в формулу интегрирования по частям и приведем интеграл к табличному, тогда будем иметь:
Методы не применяются для интегрирования функций вида
;
;
;
;
;
, т.е. от тригонометрических функций,
умноженных на многочлен. Такие интегралы интегрируются по частям.
При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов:
Использование тригонометрических формул Понижение степени подынтегральной функции Метод замены переменной Универсальная тригонометрическая подстановка
При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:
Косинус – это четная функция, то есть , минус исчезает без всяких последствий.
Синус – функция нечетная: – здесь минус, наоборот – не пропадает, а выносится.
Использование тригонометрических формул
Пример34
Найти интеграл.
Используем формулу: и метод подведения под знак дифференциала
Пример 35
Найти интеграл
Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся тригонометрическими функциями. Затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к табличному виду.
Пример 36
Найти интеграл.
Используем формулу: и метод подведения под знак дифференциала.
Пример 37
Найти интеграл.
Используем формулу:
Пример 38
Найти неопределенный интеграл
Используем формулы преобразования произведения функций сначала для произведения , а затем для произведения синусов в каждом из интегралов :
В результате искомый интеграл будет равен
Понижение степени подынтегральной функции
Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в чётных степенях. Для понижения степени используют
тригонометрические формулы ,
и , причем последняя формула чаще используется в обратном
направлении:
Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n и m – чётные числа, решается методом
понижения степени подынтегральной функции.
Пример 39
Найти интеграл
∫cos2xdx = ∫1+cos2x2 |
dx = |
21 |
∫(1 + cos2x)dx = 21 x + 21 sin2x + C |
|
Используем формулу: |
||||
Пример 40 |
||||
Найти интеграл |
dx = |
21 ∫(1 −cos3x)dx = 21 x −31 sin3x + C |
||
∫sin2 23 xdx = ∫1−cos3x2 |
||||
Используем формулу: |
Пример 41
Найти интеграл
Выражаем sin4 x как (sin2 x)2 и применяем формулу
Используем формулу
В третьем слагаемом снова понижаем степень с помощью формулы .
Пример 42
Найти интеграл
Метод замены переменной
Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в нечётных степенях.
Общие рекомендации :
1.за t нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
2.за t нужно обозначить ту функцию, которая, является более сложной.
3.Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за t – обозначить другую функцию
Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n или m – нечётные числа, решается методом замены переменной
Пример 43
Найти интеграл
Проведем замену:
Примечание: здесь можно было сделать замену , но гораздо выгоднее обозначить за
весь знаменатель.
Пример 44
Найти интеграл Проводим замену
Пример 45
Найти интеграл Проведем замену:
Пример 46
Найти интеграл
Представляем cos3 x dx как cos2 x cos x dx, а cos2x выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:
Делаем замену:
Пример 47
Найти интеграл Преобразуем подынтегральное выражение:
Проведем замену:
Пример 48
Найти интеграл Проведем замену:
Пример 49
Найти неопределенный интеграл Для вычисления исходного интеграла введем замену
, тогда
Подставляя это в искомый интеграл, получим
Сделаем обратную замену
Пример 50
Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя основное тригонометрическое тождество
Введем замену , тогда исходный интеграл примет вид
Сделаем обратную замену и окончательно получим
Пример 51
Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя вначале формулу для синуса двойного угла:
а затем, формулу для понижения степени
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка – это частый случай метода замены переменной. Её можно попробовать применить, когда «не знаешь, что делать». Интегралами, где нужно применить универсальную тригонометрическую подстановку, являются интегралы вида:
,
,
,
и т.д.
Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.
При этом следует учесть, что из равенства получаем:
;
Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше, чем под синусом и косинусом, т.е., в общем виде, если присутствуют функции вида:
sin(kx), cos(kx), делается подстановка tg(kx/2) = t. Еще раз, при sin2x ‒ tg(2x/2), при sin3x ‒ tg(3x/2) и т.д.
Пример 52
Найти неопределенный интеграл Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
Пример 53
Найти неопределенный интеграл Для решения данного интеграла сделаем упрощенную тригонометрическую замену, положив что
выразим из равенства
то есть Подставим все в искомый интеграл
Сделаем обратную замену
Пример 54
Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:
Для нахождения первого интеграла будем использовать универсальную тригонометрическую замену
Тогда первый интеграл преобразуется следующим образом
Разложим подынтегральную функцию полученного интеграла на элементарные дроби:
Приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства и приравниваем числители:
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим такую систему для нахождения и
Тогда подынтегральная функция имеет следующее разложение на простые дроби
а соответствующий интеграл равен
Делаем обратную замену
Окончательно искомый интеграл равен:
Пример 55
Найти неопределенный интеграл. Перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо понизить степени в знаменателе при помощи формул
,
Универсальная тригонометрическая подстановка:
Применение универсальной тригонометрической подстановки часто приводит к длинным и трудоемким вычислениям. Поэтому на практике универсальной тригонометрической подстановки стараются избегать (если возможно).
В ряде случаев целесообразно свести подынтегральное выражение, содержащее sinn(α) и cosm(α), к tg(α) и ее производной 1/cos2(α) т.е. произвести замену:
. Для этого можно воспользоваться формулами
;
.
Метод работает, если сумма показателей степеней n+m ‒ целое четное отрицательное число .
Пример56
Найти неопределенный интеграл
Пример57
Найти неопределенный интеграл
Замена tgх =t (чтобы не запутаться)
Пример58
Найти неопределенный интеграл
Пример59
Найти неопределенный интеграл
Пример60
Найти неопределенный интеграл
Пример61 |
||||||||||||||
Интеграл из примера55 |
||||||||||||||
= |
= |
= |
||||||||||||
4 2 − 5 2 |
(4 2 − 5 2 ) 2 |
(4 2 − 5) 2 |
||||||||||||
( ) |
= |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 − √5 |
|||||||
= |
4 2 − 5 |
= |
= 4 2 − 5 = |
2 |
(2 )2 − (√5)2 |
= 2 |
2√5 |
2 + √5 + = |
||||||
= 4√1 |
5 22 +−√√55 + |
Решение значительно быстрее и проще.
6.Интегралы от дробей
Суть методов решения интегралов от дроби сводится к преобразованию дроби в сумму элементарных дробей табличного вида:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Для преобразования дроби используется комплекс приемов, основными из которых будут выделение полного квадрата, подстановка, разложение на множители, с дальнейшим преобразованием в сумму элементарных дробей.
Для решения интегралов от дроби можно придерживаться следующего алгоритма:
Определяем тип подынтегрального выражения. |
||||||
1. |
Для простейших дробей вида |
применяется способ подведения функции |
||||
под знак дифференциала с дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. |
||||||
( + ) |
||||||
( + ) |
( + )−+ |
, |
||||
∫( + ) = ∫( + ) |
= |
−+ |
+ |
Примеры:
2. Для дробей вида |
, |
, |
, |
(коэффициенты |
a и c не равны нулю) также применяется способ подведения функции под знак дифференциала с дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. (Формулы 2 – 6, см. выше).
Примеры:
3. Для дробей вида |
сначала представляем |
интеграл в виде суммы: |
Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:
В интегралах вида |
выделяем в знаменателе полный квадрат и приводим |
||||
выражение к табличному виду. |
|||||
В ряде случаев, неразложимый многочлен |
целесообразно представить в |
||||
необходимо вынести коэффициент за знак интеграла, |
|||||
виде полного квадрата (перед этим |
( |
+ + ) |
|||
поделив все выражение на ) по формуле: |
и свести интеграл к виду:
,
или
Пример62
Найти неопределенный интеграл Квадратный трехчлен, который стоит в знаменателе подынтегральной функции, не
раскладывается на множители . Поэтому для нахождения данного интеграла выделим в знаменателе полный квадрат.
Пример63
Найти неопределенный интеграл . Для начала вынесем двойкуиз под знака радикала:
т.е. вида
В подкоренном выражении выделяем полный квадрат:
Поэтому
Пример64
4. Для дробей вида
используют метод интегрирования по частям n раз, каждый раз понижая степень знаменателя и применяя предыдущие способы. Вычисления получаются очень длинные и долгие. Или пользуемся рекуррентными формулами.
5. Дроби( ) , у которых многочлены и в числителе и в знаменателе,
( ) , где Pn(x) и Pm(x) многочлены степени n и m соответственно, перед
собственно взятием интеграла необходимо разложить на множители, а затем, преобразовать в сумму элементарных дробей.
Определяем что дробь правильная. Правильной называется дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Если дробь неправильная, то выделяем целую часть, с оставшейся частью работаем как с правильной дробью.
Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители и преобразуем дробь в сумму элементарных дробей.
Для преобразования дроби в сумму элементарных дробей в большинстве случаев используют метод неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов.
т.е. |
|||||
Любую дробь вида |
( + )( + )( + ) |
можно представить в виде |
|||
2+ + |
|||||
2 + + |
|||||
( + )( + )( + ) = |
+ + + + + , |
+ ++ + +
где A, B, C неизвестные коэффициенты. |
|||||||||||||||||||||||
Приводим правую часть уравнения к общему знаменателю: |
|||||||||||||||||||||||
+ |
= |
( + )( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) |
, |
||||||||||||||||||||
+ |
+Тогда |
+ |
( + )( + )( + ) |
||||||||||||||||||||
+ |
|||||||||||||||||||||||
2 |
+ + |
( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) |
|||||||||||||||||||||
( + )( + )( + ) |
( + )( + )( + ) |
||||||||||||||||||||||
2 |
+ + = ( + )( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) |
||||||||||||||||||||||
Если дроби равны= и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители, |
: |
||||||||||||||||||||||
+ + = |
|||||||||||||||||||||||
= 2 |
Раскрываем скобки |
( + ) + + 2 + |
( + ) + = |
||||||||||||||||||||
+ |
( + ) + + 2 + |
||||||||||||||||||||||
= ( + + ) |
+ |
( + + + + + ) + ( + + ) |
|||||||||||||||||||||
= + + |
|||||||||||||||||||||||
Приравниваем коэффициенты в выражениях: |
|||||||||||||||||||||||
= ( + ) |
+ ( + ) + ( + ) |
||||||||||||||||||||||
= + + |
|||||||||||||||||||||||
Решая систему уравнений, находим неизвестные коэффициенты A, B, C и раскладываем |
|||||||||||||||||||||||
2 |
+ + |
||||||||||||||||||||||
дробь на сумму элементарных дробей: |
+ |
||||||||||||||||||||||
( + )( + )( + ) |
+ |
+ |
|||||||||||||||||||||
он приравнивается к |
( |
+ + ) |
квадратный. |
многочлен вида: |
|||||||||||||||||||
Если в знаменателе встречается= |
+неразложимый+ |
||||||||||||||||||||||
( + )( |
+ |
1 + ) |
2 |
+ |
|||||||||||||||||||
12 |
, где |
– неразложимый квадратный многочлен (D<0), то |
|||||||||||||||||||||
( + )( |
сумме дробей по формуле: |
||||||||||||||||||||||
+ + ) |
+ |
( |
+ + ) |
||||||||||||||||||||
Если в знаменателе2 |
встречаются= |
+кратные2 |
множители. |
вида: |
|||||||||||||||||||
1 |
, |
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||
( 1+ ) |
то они раскладываются по формуле: |
||||||||||||||||||||||
( + ) = |
+ |
2 + + |
+ ( + ) + |
( + )2 |
+ + |
( + ) |
Пример65
Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, расписав знаменатель согласно формуле сокращенного умножения для суммы кубов:
Тогда интеграл примет вид:
Далее разложим подынтегральную функцию на простые дроби с неопределенными коэффициентами. В нашем случае имеет место следующее разложение:
Найдем неопределенные коэффициенты, для этого приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства, а затем приравняем соответствующие числители
Далее приравняем коэффициенты при соответствующих степенях
Подставим, выраженные через , коэффициенты
и
во второе уравнение системы:
, тогда
, а
Таким образом, искомый интеграл будет равен:
1 |
1 |
(2 − 1) − 3 |
|||||||
= 3 |
| + 1| − 6 |
2 − + 1 |
= |
||||||
1 |
1 |
2 − 1 |
−3 |
= |
|||||
= 3 |
| + 1| − 6 |
2 |
− + 1 − |
6 |
2 − + 1 |
||||
1 |
1 |
| |
2 |
1 |
|||||
= 3 |
| + 1| − 6 |
− + 1| + 2 |
2 − + 1 |
Квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе последнего интеграла, не раскладывается на
множители |
1 |
1 |
2 |
. Поэтому для его нахождения выделим в |
||||||||
1 |
||||||||||||
знаменателе полный квадрат: |
||||||||||||
3 + 1 |
= = 3 |
| + 1| − 6 |
| |
− + 1| + |
2 2 − + 1 = |
|||||||
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
2 |
1 |
+ 3 = |
||||||
= 3 |
6 |
2 |
− + 1| + 2 |
( − 1)2 |
||||||||
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
1 |
1 |
2 |
4 |
|||||
= 3 |
6 |
− + 1| + 2 |
3 |
3 |
+ = |
|||||||
1 |
| + 1| − |
1 |
| |
2 |
1 |
4 |
2 |
4 |
||||
= 3 |
6 |
− + 1| + √3 |
√3 + |
Пример66
Найти неопределенный интеграл Дробь является правильной
Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Приводим дробь к общему знаменателю:
Составим и решим систему:
Пример67
Найти неопределенный интеграл Данная дробь является неправильной.
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функцией – это
деление числителя на знаменатель.
Сначала рисуем «заготовку» для деления:
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами
Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить , чтобы получить
? Очевидно, что на
:
Далее умножаем сначала на
, потом – на
, потом – на
, потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя
– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы
изначально унас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, у нас получилась целая часть плюс остаток:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
6. Неопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки.
В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
1. |
Если p – целое число, то принимают |
, где N – общий знаменатель чисел m и n. |
||||||||||
2. |
– целое число, то |
, где N – знаменатель числа p. |
||||||||||
Если + |
||||||||||||
знаменатель |
+ p |
– целое число, то вводят новую переменную |
, где N – |
|||||||||
3. |
Если |
+ |
||||||||||
числа . |
||||||||||||
привести к виду: |
± |
, |
− |
которые можно |
||||||||
Очень часто в вычислениях встречаются дроби вида |
||||||||||||
+ − |
+ |
|||||||||||
+ = |
+ |
= + |
− + = − + |
|||||||||
+ − |
− |
− |
||||||||||
− = |
− |
= − |
+ − = − − |
+ − = −1 + − = − − |
||||||||
+ − |
− |
|||||||||||
− = |
− |
= − |
+ − = + − |
Пример68
Найти неопределенный интеграл
То есть, m = -1, n = 1, p = 1/2. Так как – целое число, то вводим новую
переменную (N = 2 – знаменатель числа p). Выражаем х через z:
Выполняем подстановку в исходный интеграл:
Пример 69
Найти неопределенный интеграл Проведем замену:
. Навешиваем дифференциалы на обе части:
Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно
раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.
Пример70
Найти неопределенный интеграл
Проведем замену: Навешиваем дифференциалы на обе части:
С числителем разобрались. Что делать с в знаменателе? Берем нашу замену
и выражаем из неё:
Если
, то
Пример71
Найти неопределенный интеграл Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.
Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в
виде : . Нас будут интересовать знаменатели степеней. Записываем эти знаменатели: 2, 3, 3.
Теперь нужно найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 3 – такое число, чтобы оно делилось и на 2 и на 3 (в данном случае), кроме того, это число должно быть как можно меньше.
Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3, кроме того, меньше шестерки ничего не придумать.
Замена в рассматриваемом интеграле будет следующей: Оформляем решение:
Проведем замену:
Интегрирование тригонометрических функции
Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x)
применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.
- Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x)=t и тогда sin(x)dx = -dt.
- При R(sin(x),-cosx) = – R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt
- В случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t),
, или замену ctg(x)=t, если это удобнее.
Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫sinnxdx
, ∫cosnxdx
, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x
, 2cos2x=1+cos2x
.
2. Интегралы вида ∫tgnxdx
, ∫ctgnxdx
, где n – целое.
Необходимо использовать формулы
3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x
, 2cos2x=1+cos2x
.
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫sin(nx)·cos(mx)dx
, ∫cos(mx)·cos(nx)dx
, ∫sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:
- sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.
Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.
Примеры
1. Вычислить интеграл ∫cos4x·sin3xdx
.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда ∫cos4x·sin3xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем
3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем
Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда ,
и поэтому
Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
Пример №1. Вычислить интегралы:
Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
, где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
Тогда имеем
Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫R(sinx, cosx) dx
к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
- Если выполняется равенство
R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx
, то применяется подстановка cos x = t. - Если выполняется равенство
R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx
, то подстановка sin x = t. - Если выполняется равенство
R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx
, то подстановка tgx = t или ctg x = t.
В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда
=
или
Так как дробь правильная, то, представляем в виде суммы интегралов:
Возвращась к исходной переменной будем иметь
b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫R(sinx, cosx) dx
имеет вид ∫sinmx·cosnxdx
. В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае
На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.
Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin, cos, tg, ctg. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что ∫sin xdx=-cos x+C, а ∫cos xdx=sin x+C.
Для вычисления неопределенных интегралов функций tg и ctg можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:
∫tg xdx=∫sin xcos xdx=d(cos x)=-sin xdx==-∫d(cos x)cos x=-lncos x+C∫ctg xdx=∫cos xsin xdx=d(sin x)=cos xdx==∫d(sin x)sin x=lnsin x+C
Как же у нас получились формулы ∫dxsin x=ln1-cos xsin x+C и ∫dxcos x=ln1+sin xcos x+C, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.
Используя метод подстановки, запишем:
∫dxsin x=sinx=t⇒x=arcsin y⇒dx=dt1-t2=dtt1-t2
Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:
∫dtt1-t2=1-t2=z2⇒t=1-z2⇒dt=-zdz1-z2==∫-zdzz1-z2·1-z2=∫dzz2-1=∫dz(z-1)(z+)==12∫dzz-1-12∫dzz+1=12lnz-1-12z+1+C==12lnz-1z+1+C=lnz-1z+1+C
Теперь производим обратную замену z=1-t2 и t = sin x:
∫dxsin x=∫dtt1-t2=lnz-1z+1+C==ln1-t2-11-t2+1+C=ln1-sin2 x-11-sin2 x+1+C==lncos x-1cos x+1+C=ln(cos x-1)2sin2x+C==lncos x-1sin x+C
Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как ∫sinn xdx, ∫cosn xdx, ∫dxsinn x, ∫dxcosn x.
О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде ∫sinn x·cosm xdx с натуральными m и n.
Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов ∫Pn(x)·sin (ax)dx, ∫Pn(x)·cos (ax)dx, ∫ea·x·sin (ax)dx, ∫ea·x·cos (ax)dx.
Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.
Найдите множество первообразных функции y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x).
Решение
Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos2x2=1+cos x2, а cos22x=1+cos 4×2. Значит,
y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x)=sin (4x)+2·1+cos 4x2sin x·cos (3x)+2·1+cos x2-1·sin (3x)==sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)
В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:
y=sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)=sin (4x)+cos(4x)+1sin(4x)==1+cos (4x)sin (4x)
У нас получилась сумма 3-х интегралов.
∫sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)dx==∫dx+cos(4x)dxsin (4x)+∫dxsin (4x)==x+14ln∫d(sin(4x))sin(4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)==14lnsin (4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)+C=x+14·lncos4x-1+C
В некоторых случаях тригонометрические функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin, cos и tg через тангенс половинного аргумента:
sin x=2tgx21+tg2x2, sin x=1-tg2x21+tg2x2, tg x=2tgx21-tg2x2
Также нам нужно будет выразить дифференциал dx через тангенс половинного угла:
Поскольку dtgx2=tgx2’dx=dx2cos2x2, то
dx=2cos2x2dtgx2=2dtgx21cos2x2=2dtgx2cos2x2+sin2x2cos2x2=2dtgx21+tg2x2
Таким образом, sin x=2z1+z2, cos x1-z21+z2, tg x2z1-z2, dx=2dz1+z2 при z=tgx2.
Найдите неопределенный интеграл ∫dx2sin x+cos x+2.
Решение
Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.
2sin x+cos x+2=22z1+z2+1-z21+z2=z2+4z+31+z2⇒dx2sin x+cos x+2=2dz1+z2z2+4z+31+z2=2dzz2+4z+3
Получим, что ∫dx2sin x+cos x+2=2dzz2+4z+3.
Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:
∫dx2sin x+cos x+2=2∫2dzz2+4z+3=2∫121z+1-1z+3dz==∫dzz+1-∫Cz+3=lnz+1-lnz+3+C=lnz+1z+3+C
Далее производим обратную замену z=tgx2:
∫dx2sin x+cos x+2=lnz+1z+3+C=lntgx2+1tgx2+3+C
Ответ: ∫dx2sin x+cos x+2=lntgx2+1tgx2+3+C
Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение lntgx2+1tgx2+3+C – это множество первообразных функции y=12sin x+cos x+2 только на области определения.
Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Интегрирование тригонометрических функций
Формула
Формула интегрирования тригонометрических функций в общем виде:
$$ int sin^n x cos^n x dx $$
где $ m $ и $ n $ – неотрицательные целые числа.
Рассмотрим пару случаев:
- Хотя бы один из показателей $ m $ или $ n $ нечётный
- Оба показателя $ m $ и $ n $ чётные
В первом случае применяем непосредственное интегрирование, а во втором могут помочь тригонометрические формулы:
$$ sin^2 x = frac{1}{2}(1-cos 2x); cos^2x = frac{1}{2}(1+cos 2x); sin x cos x = frac{1}{2}sin 2x; $$
Так же существуют интегралы вида:
$$ int sin mx sin nx dx; int cos mx cos nx dx; int sin mx cos nx dx $$
Их можно находить с помощью использования тригонометрических формул:
$$ sin alpha sin beta = frac{1}{2}[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)] $$
$$ cos alpha cos beta = frac{1}{2}[cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)] $$
$$ sin alpha cos beta = frac{1}{2}[sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)] $$
Примеры решений
Пример 1 |
Найти интеграл: $$ int sin^3 x cos^2 x dx $$ |
Решение |
Замечаем, что одна из степеней является нечетной, поэтому интегрирование тригонометрических функций вместе с методом непосредственного интегрирования должно помочь получить ответ к данной задаче. Прежде выполним подведение под знак дифференциала: $$ int sin^3 x cos^2 x dx = int sin^2 x cos^2 x sin x dx = -int sin^2 x cos^2 x d(cos x) = $$ Избавляемся от синуса через тригонометрическое тождество и выполняем разложение на два интеграла: $$ = -int (1-cos^2 x) cos^2 x d(cos x) = -int cos^2 x d(cos x) + int cos^4 x d(cos x) = $$ Так как полученные интегралы содержат табличные функции, то записываем ответ: $$ = -frac{1}{3} cos^2 x + frac{1}{5} cos^5 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ int sin^3 x cos^2 x dx = -frac{1}{3} cos^2 x + frac{1}{5} cos^5 x + C $$ |
Пример 2 |
Найти интеграл произведения тригонометрических функций: $$ int sin^2 x cos^4 x dx $$ |
Решение |
Учитывая, что $ cos^4 x = cos^2 x cdot cos^2 x $ преобразуем выражение под знаком интеграла: $$ int sin^2 x cos^4 x dx = int sin^2 x cos^2 x cos^2 x dx = int (sin x cos x)^2 cos^2 x dx = $$ Выполняем преобразование под синус двойного угла $ (sin x cos x)^2 = frac{1}{4}sin^2 2x $: $$ = frac{1}{4} int sin^2 2x cos^2 x dx = frac{1}{4} int sin^2 2x frac{1+cos 2x}{2} dx = $$ Раскладываем интеграл на два интеграла: $$ = frac{1}{8} int sin^2 2x dx + frac{1}{8} int sin^2 2x cdot cos 2x dx = $$ С помощью формулы понижения степени синуса $ sin^2 2x = frac{1-cos 4x}{2} $ получаем: $$ = frac{1}{8} int frac{1-cos 4x}{2} dx + frac{1}{16} int sin^2 2x d(sin 2x) dx = $$ Выполняем интегрирование: $$ = frac{1}{16} int dx – frac{1}{16} int cos 4x dx +frac{1}{16} frac{sin^3 2x}{3} = $$ $$ = frac{1}{16} x – frac{1}{64} sin 4x +frac{1}{48} sin^3 2x + C $$ |
Ответ |
$$ int sin^2 x cos^4 x dx = frac{1}{16} x – frac{1}{64} sin 4x +frac{1}{48} sin^3 2x + C $$ |
Пример 3 |
Найти интеграл тригонометрической функции: $$ int (cos 5x cos x) dx $$ |
Решение |
С помощью формулы произведения косинусов преобразуем: $$ cos 5x cos x = frac{1}{2}[cos(5x-x)+cos(5x+x)] = frac{1}{2}[cos4x+cos6x] $$ Добавляем знак интеграла и выполняем разложение: $$ int frac{1}{2}[cos4x+cos6x] dx = frac{1}{2}int cos 4x dx + frac{1}{2}int cos 6x dx = $$ Зная таблицу интегрирования элементарных функций получаем ответ: $$ = frac{1}{8} sin 4x + frac{1}{12} sin 6x + C $$ |
Ответ |
$$ int (cos 5x cos x) dx = frac{1}{8} sin 4x + frac{1}{12} sin 6x + C $$ |
Простое объяснение принципов нахождения интегралов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения интегрирования тригонометрических функций
Для нахождения интегралов тригонометрических функций используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов и, в частности, табличные интегралы тригонометрических функций.
Интегралы, содержащие произведения тригонометрических функций, вычисляются путём преобразования к сумме нескольких функций с помощью следующих формул.
Таблица основных интегралов
Таблица основных интегралов, – постоянная величина
Примеры решений интегрирования тригонометрических функций
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем подстановку
Производя обратную подстановку получаем:
Ответ