Как найти интеграл с точностью

Содержание:

1. Пример с решением
2. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
3. Вычисление интеграла

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

План решения:

Если приращение аргумента х мало по абсолютной величине, то

1. Выбираем точку а, ближайшую к и такую, чтобы легко вычислялись значения

2. Вычисляем

3. По формуле (1) вычисляем .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример с решением

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Решение:

1. Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения — это точка

2. Вычисляем:

3. По формуле (1) имеем

Ответ.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример: Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Вычислить интеграл

с точностью разложима в степенной ряд, имеющий радиус сходимости Решение:

Практические вычисления обычно сводятся к суммированию того или иного числового ряда. В данном случае такой ряд получается, если разложить подынтегральное выражение в степенной ряд и проинтегрировать его почленно.

1. Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд по степеням

и определяем его область сходимости.

2. Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Поэтому, интегрируя почленно полученный ряд и используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

3. Вычисляем сумму числового ряда с заданной точностью (оценивая остаток ряда).

ЗАМЕЧАНИЕ. Если разложить подынтегральную функцию в ряд не по степеням , а по степеням , то ряд будет сходится быстрее, т.е. для обеспечения заданной точности может потребоваться меньше слагаемых, однако в итоге вычисления оказываются более сложными.

Пример: Вычислить интеграл

с точностью .

Решение:

1. Разлагаем подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням :

Разложение справедливо при всех .

2. Интегрируем почленно полученный ряд:

3. Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,

и то справедливо неравенство

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как

4. Производя вычисления, получаем

Ответ.

Пример: Пользуясь разложением в ряд , вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. , = ^ = £,0.3491

Получаем Подставляя это значение в формулу, получаем

Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как , то этот

и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,

Пример: Вычислить с точностью до 0,01.

Решение:

Воспользуемся разложением , где 2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5³ является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5³+5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:

поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

Разложение функции в ряд Маклорена.

1.
f
(x)
= e^x.

Ряд

сходится к функции е^х
на всей числовой оси.

2.
f
(x)
= cos
x.

Аналогично

.

Ряд
Маклорена для sin
x
и cos
x
сходится к ним на всей числовой оси, т.
е. R
= ¥.

3.

Согласно
формуле суммы членов геометрической
прогрессии со знаменателем х,
|x|<1,
имеем

Интегрируя
левую и правую части равенства от 0 до
х,
при |x|<1
получаем

,

Очевидно,
область сходимости полученного ряда
х

( ̶ 1; 1].

4.
f
(x)
= (1+ x)^α,
где х > 1, α – любое действительное
число.

Полученный
ряд называется биномиальным.

При
любом α данный степенной ряд сходится
к функции (1+ x)^α
на (–1;
1).

5.
f
(x)
= arctg
x.
Используем сумму геометрической
прогрессии со знаменателем –t²
( |t|
< 1).

Интегрируя
левую и правую части по t
от 0 до х
( |x|
< 1) получаем

Этот
ряд сходится на интервале [ ̶ 1; 1].

6.
f
(x)
= arcsin x.

Рассмотрим
функцию

Разложим
её в ряд, используя разложение ряда (1+
х)^α
при α = –
½

Это
разложение справедливо при R
= 1. Интегрируя левую и правую части от
0 до х
находим

Замечание.
Можно показать во всех полученных
разложениях, что R_n(x)→0
при п
→ ¥.

Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

Степенные
ряды имеют разнообразные приложения.
С их помощью с любой заданной точностью
вычисляют значения функций (в частности
значения π и e).
Значительную роль играют степенные
ряды в приближенных методах решений
дифференциальных уравнений. Определенные
интегралы от различных типов функций
за малым исключением не вычисляются по
формуле Ньютона – Лейбница, например,

и
др.

С
помощью рядов находят приближенные
значения таких определенных интегралов,
которые или не выражаются через
элементарные функции или сложны для
вычислений. Среди них часто встречающиеся
в практических приложениях математики.

Рассмотрим
несколько
примеров.

1. Пусть
   требуется вычислить интеграл
   
   .

Здесь
первообразная от

не
является элементарной функцией. Для

вычисления
этого интеграла разложим подынтегральную
функцию в ряд

заменяя
в разложении

_,тогда

.

Интегрируя
обе части этого равенства в пределах
от 0 до a,
получим

С
помощью этого равенства мы можем при
любом a
вычислить данный интеграл с любой
степенью точности.

2.
Пусть требуется вычислить интеграл

Этот интеграл не берется в элементарных
функциях, поскольку первообразная
функции

не является элементарной. В то же время
эта первообразная легко выражается в
виде степенного ряда.

Из
равенства

получаем

,

последний
ряд сходится при всех значениях x.

Интегрируя
почленно, получим

.

Сумма
ряда вычисляется с любой заданной
степенью точности при всех a.

Сводная
таблица основных формул по теме
«Функциональные ряды»

ПРИМЕРЫ
РЕШЕНИЯПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Пример
1.Найти
область сходимости степенного ряда

.

Решение.

.
Найдем радиус сходимости ряда по
формуле (4):

.

Интервал
сходимости ряда (–5; 5). Исследуем
сходимость ряда на концах интервала
сходимости. При

получим ряд

,
который сходится по признаку Лейбница.
При

получим ряд

,
который сходится (это ряд Дирихле).
Область сходимости данного ряда

.

Пример
2.
Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.
Применяя признак сходимости Даламбера,
получим

Так
как предел не зависит от x
и меньше единицы, то значит ряд сходится
при всех значениях x.

.

Пример
3.
Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.
Этот ряд расходится при всех значениях
x,
кроме

,
так как

при

,
каково бы ни было x,
отличное от 0.

Пример
4.
Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.
Здесь

.
Поэтому

.

Следовательно,
данный ряд сходится на интервале (–1;
1).

Исследуем
поведение ряда на концах интервала
сходимости, то есть в точках

.

При
x
= 1 получаем гармонический ряд

(он расходится).

При
x
= –1 получаем ряд

.
Он сходится в силу признака
Лейбница .
Данный ряд сходится в любой точке
полуинтервала

и расходится вне его.

Пример
5. Разложить
в ряд по степеням х функцию

.

Воспользуемся
разложением

Полагаем

и получим

.

Отсюда

.

Пример
6. Разложить
в ряд по степеням х функцию

.

Запишем

и воспользуемся разложением

Положим

,

.
Тогда

или

Пример
7. Разложить
функцию

в ряд по степеням

Воспользуемся
разложением функции f
(x) в ряд Тейлора

В последней формуле
примем х0 = π / 2. Последовательно

Дифференцируя,
найдём:

;

_;

;

_;

;

_;

;

_;

;

_;

и т.д., таким образом

Пример
8 Вычислить
определенный интеграл

с точностью

до 0,001

Решение.
Разложим
подынтегральную функцию в степенной
ряд. Воспользуемся
уже известным рядом:

_{.
Заменив в нем} x
на

,
получим

.
Умножим обе части равенства на

:

,

отсюда

Замечаем, что
третий член ряда по абсолютной величине
меньше 0,001. Следовательно, для решения
данной задачи, согласно признаку
Лейбница, надо взять сумму первых двух
членов, что обеспечит требуемую точность:

.

ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти
область сходимости степенных рядов:

1.
;
2.

;
3.
;
4.
.

Ответы:1).
[ ̶ 1,5; 0,5] ; 2). ( ̶∞;+∞); 3). [ ̶

/3;

/3 ]; 4). [ ̶ 2; 2)

Разложить
в ряд по степеням

функции:

6.

7.

8

10.

18

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приближённые вычисления определённых интегралов с помощью рядов. Первая часть.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл $intlimits_{a}^{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена.

Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

1. Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
2. Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $varepsilon$.

Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $varepsilon$.

Пример №1

Вычислить $intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ с точностью до $varepsilon=10^{-3}$.

Решение

Сразу отметим, что интеграл $int e^{-x^2}dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^{-x^2}$ найти не удастся.

Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать “развёрнутый” и “сокращённый” варианты.

Развёрнутый вариант оформления

Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена:

$$e^x=1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+ldots$$

Данное разложение верно при всех $xin{R}$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:

$$e^{-x^2}=1-x^2+frac{left(-x^2right)^2}{2}+frac{left(-x^2right)^3}{6}+ldots=1-x^2+frac{x^4}{2}-frac{x^6}{6}+ldots$$

Интегрируем полученное разложение на отрезке $left[0;frac{1}{2}right]$:

$$intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=intlimits_{0}^{frac{1}{2}}left(1-x^2+frac{x^4}{2}-frac{x^6}{6}+ldotsright)dx=\
=left.left(x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{10}-frac{x^7}{42}+ldotsright)right|_{0}^{1/2}=
frac{1}{2}-frac{1}{3cdot{2^3}}+frac{1}{10cdot{2^5}}-frac{1}{42cdot{2^7}}+ldots$$

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.

Согласно условию, точность $varepsilon=10^{-3}$. Так как $frac{1}{42cdot{2^7}}=frac{1}{5376}<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:

$$intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dxapproxfrac{1}{2}-frac{1}{3cdot{2^3}}+frac{1}{10cdot{2^5}}=frac{443}{960}.$$

Погрешность полученного равенства не превышает $frac{1}{5376}$.

Однако суммировать обычные дроби – дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:

$$intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dxapproxfrac{1}{2}-frac{1}{3cdot{2^3}}+frac{1}{10cdot{2^5}}approx{0{,}5}-0{,}0417+0{,}0031approx{0{,}461}.$$

Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. $0{,}5$) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит $0,0001$. Итоговая погрешность округления не превысит $0+0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002$.

Следовательно, суммарная погрешность равенства $intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dxapprox{0{,}461}$ не превысит $0{,}0002+frac{1}{5376}<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.

Отмечу, что большинство авторов методичек и учебных пособий не учитывают погрешность округления, хоть это и не совсем корректно. В дальнейших примерах данной темы я буду упоминать про эту погрешность, если она возникнет.

Сокращённый вариант оформления

Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена:

$$e^x=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}$$

Данное разложение верно при всех $xin{R}$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:

$$e^{-x^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{left(-x^2right)^n}{n!}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{x}^{2n}}{n!}$$

Интегрируем полученный ряд на отрезке $left[0;frac{1}{2}right]$:

$$intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=intlimits_{0}^{frac{1}{2}}sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{x}^{2n}}{n!}dx=
sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n!}intlimits_{0}^{frac{1}{2}}x^{2n}dx=\
=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n!}left.frac{x^{2n+1}}{2n+1}right|_{0}^{1/2}=
sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdotleft(frac{1}{2}right)^{2n+1}}{n!cdot(2n+1)}=
sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n!cdot(2n+1)cdot{2^{2n+1}}}$$

Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $varepsilon$):

$$sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n!cdot(2n+1)cdot{2^{2n+1}}}=frac{1}{2}-frac{1}{24}+frac{1}{320}-frac{1}{5376}+ldots$$

Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е.

$$intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dxapproxfrac{1}{2}-frac{1}{3cdot{2^3}}+frac{1}{10cdot{2^5}}approx{0{,}461}.$$

Чем сокращённый вариант записи лучше развёрнутого?

Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:

$$e^{-x^2}=1-x^2+frac{x^4}{2}-frac{x^6}{6}+ldots$$

Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем $varepsilon$, – что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.

Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.

Далее, при интегрировании в развёрнутом способе записи мы находили первообразную четыре раза. При интегрировании в сокращённом способе записи, по сути, мы нашли лишь первообразную для $x^{2n}$.

Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.

Ответ: $intlimits_{0}^{frac{1}{2}}e^{-x^2}dxapprox{0{,}461}$.

Пример №2

Вычислить определённый интеграл $intlimits_{0}^{0{,}2}frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}dx$ с точностью до $varepsilon=10^{-3}$, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.

Решение

Начнём с разложения подынтегральной функции $frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}$ в ряд Маклорена. Запишем разложение функции $cos{x}$ в ряд Маклорена:

$$cos{x}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{x}^{2n}}{(2n)!}$$

Данное разложение верно при всех $xin{R}$. Подставим вместо $x$ дробь $frac{5x}{3}$:

$$cos{frac{5x}{3}}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{left(frac{5x}{3}right)}^{2n}}{(2n)!}=
sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}.$$

Теперь разложим $1-cosfrac{5x}{3}$:

$$
1-cosfrac{5x}{3}=1-sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}
$$

Забирая из суммы $sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}$ первый член, получим:

$$sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}=1+sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}$$

Следовательно:

$$
1-sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}=1-left(1+sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}right)=\
=-sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}
=sumlimits_{n=1}^{infty}frac{-(-1)^ncdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}=sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}.
$$

Последнее, что остаётся – это разделить на $x$:

$$
frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}=frac{1}{x}cdotsumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}=
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}.
$$

Интегрируем данное разложение на отрезке $left[0;frac{1}{5}right]$:

$$
intlimits_{0}^{0{,}2}frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}dx=intlimits_{0}^{frac{1}{5}}sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}dx=
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}intlimits_{0}^{frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\
=sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}cdot{5^{2n}}}{3^{2n}cdot{(2n)!}}cdotleft.frac{x^{2n}}{2n}right|_{0}^{1/5}=
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{{2n}cdot 3^{2n}cdot{(2n)!}}
$$

Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $varepsilon$):

$$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{{2n}cdot 3^{2n}cdot{(2n)!}}=frac{1}{36}-frac{1}{7776}+ldots$$

Так как $frac{1}{7776}<varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:

$$intlimits_{0}^{0{,}2}frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}dxapproxfrac{1}{36}approx{0{,}028}.$$

Ответ: $intlimits_{0}^{0{,}2}frac{1-cosfrac{5x}{3}}{x}dxapprox{0{,}028}$.

Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во второй части.

Печатать книгу

Численное интегрирование

Численное интегрирование

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный случай[править | править код]

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов.
При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

где числа называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле ( — шаг сетки;  — число узлов сетки, а индекс узлов ). Слагаемое  — погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции.

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (), формулы трапеций (), формула Симпсона (), формула Ньютона () и т. д.

Метод прямоугольников[править | править код]

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной
Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы

Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников.
Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность, если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

где

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объёме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций[править | править код]

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона)[править | править код]

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на равных частей, то имеем

где .

Увеличение точности[править | править код]

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Метод Гаусса[править | править код]

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 — методы правых и левых прямоугольников, 1 — методы средних прямоугольников и трапеций, 3 — метод парабол (Симпсона)).
Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так, для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции можно получить метод уже не второго, а третьего порядка точности:

.

В общем случае, используя точек, по формуле можно получить метод с порядком точности , т. е. получаются точные значения для полиномов степени не выше .

Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени . Значения весов вычисляются по формуле , где – первая производная полинома Лежандра.

Для узлы и веса имеют следующие значения : веса :

(полином определен на отрезке ).

Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса — Кронрода[править | править код]

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении.
Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где  — узлы метода Гаусса по точкам, а параметров , , подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где  — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса — Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам. Библиотека ALGLIB использует метод Гаусса — Кронрода по 15 точкам.

Метод Чебышёва[править | править код]

Метод Чебышева (или как его иногда называют Гаусса — Чебышева) является одним из представителей методов наивысшей алгебраической точности Гаусса. Его отличительной особенностью является наличие у подынтегральной функции множителя . Суть заключается в следующем:

,

где , , — количество узлов метода.

Метод Гаусса-Лагера[править | править код]

Метод Гаусса-Эрмита[править | править код]

Интегрирование при бесконечных пределах[править | править код]

Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастают при стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которой пределы будут конечны.
Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезка интегрирования.

См. в том числе Метод Самокиша.

Методы Монте-Карло[править | править код]

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

Этот алгоритм требует определения экстремумов функции на интервале и не использует вычисленное точное значение функции кроме как в сравнении, вследствие чего непригоден для практики. Приведённые в основной статье варианты метода Монте-Карло избавлены от этих недостатков.

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Методы Рунге — Кутты[править | править код]

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем — итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления, разработанные около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Метод сплайнов[править | править код]

Многомерный случай[править | править код]

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на интерполяционных многочленах. Интегрирование производится аналогично одномерному интегрированию.
Для больших размерностей эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.

Примеры реализации[править | править код]

Ниже приведена реализация на Python 3 метода средних прямоугольников, метода средних трапеций, метода Симпсона и метода Монте-Карло.

import math, random
from numpy import arange

def get_i():
    return math.e ** 1 - math.e ** 0

def method_of_rectangles(func, min_lim, max_lim, delta):
    def integrate(func, min_lim, max_lim, n):
        integral = 0.0
        step = (max_lim - min_lim) / n
        for x in arange(min_lim, max_lim-step, step):
            integral += step * func(x + step / 2)
        return integral

    d, n = 1, 1
    while abs(d) > delta:
        d = (integrate(func, min_lim, max_lim, n * 2) - integrate(func, min_lim, max_lim, n)) / 3
        n *= 2

    a = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n))
    b = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n)) + d
    if a > b:
        a, b = b, a
    print('Rectangles:')
    print('t%st%st%s' % (n, a, b))

def trapezium_method(func, min_lim, max_lim, delta):
    def integrate(func, min_lim, max_lim, n):
        integral = 0.0
        step = (max_lim - min_lim) / n
        for x in arange(min_lim, max_lim-step, step):
            integral += step*(func(x) + func(x + step)) / 2
        return integral

    d, n = 1, 1
    while abs(d) > delta:
        d = (integrate(func, min_lim, max_lim, n * 2) - integrate(func, min_lim, max_lim, n)) / 3
        n *= 2

    a = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n))
    b = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n)) + d
    if a > b:
        a, b = b, a
    print('Trapezium:')
    print('t%st%st%s' % (n, a, b))

def simpson_method(func, min_lim, max_lim, delta):
    def integrate(func, min_lim, max_lim, n):
        integral = 0.0
        step = (max_lim - min_lim) / n
        for x in arange(min_lim + step / 2, max_lim - step / 2, step):
            integral += step / 6 * (func(x - step / 2) + 4 * func(x) + func(x + step / 2))
        return integral

    d, n = 1, 1
    while abs(d) > delta:
        d = (integrate(func, min_lim, max_lim, n * 2) - integrate(func, min_lim, max_lim, n)) / 15
        n *= 2

    a = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n))
    b = abs(integrate(func, min_lim, max_lim, n)) + d
    if a > b:
        a, b = b, a
    print('Simpson:')
    print('t%st%st%s' % (n, a, b))

def monte_karlo_method(func, n):
    in_d, out_d = 0., 0.
    for i in arange(n):
        x, y = random.uniform(0, 1), random.uniform(0, 3)
        if y < func(x): in_d += 1

    print('M-K:')
    print('t%st%s' % (n, abs(in_d/n * 3)))

method_of_rectangles(lambda x: math.e ** x, 0.0, 1.0, 0.001)
trapezium_method(lambda x: math.e ** x, 0.0, 1.0, 0.001)
simpson_method(lambda x: math.e ** x, 0.0, 1.0, 0.001)
monte_karlo_method(lambda x: math.e ** x, 100)
print('True value:nt%s' % get_i())

Литература[править | править код]

• Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.).. — Изд. второе, стереотип.. — М.: Мир, 2001. — 575 с. — ISBN 5-03-003392-0.
• Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : Учеб. пособие для вузов: В 2 т. — 13-е изд.. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 432 с.
• Болтачев Г.Ш. Численные методы в теплофизике. Курс лекций Лекция 3: Численное интегрирование

См. также[править | править код]

• Численное дифференцирование
• Вычислительные методы
• Список квадратурных формул