Как найти интеграл в знаменателе корень - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

§5. Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Алгоритм решения интегрирования иррациональных функций

Примеры решений интегрирования иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Понятие о неберущихся интегралах

Примеры с решением

Интегрирование простейших квадратичных иррациональностей

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Задача 1:

Задача 2:

Пример 8

∫		1	dx = ∫	(lnx +1)′ dx = 2	+C .
		lnx +1

	x	lnx +1	lnx +1

I. Интегралы вида ∫	dx	или ∫	dx	берутся с помощью вы-
ax2 +bx + c
ax2 +bx + c

деления полного квадрата для квадратного трехчлена и использование табличных интегралов № 8 – 11.

Пример 9

∫	dx	= ∫	dx	= ∫	dx	= ∫	d(x +1)	=
x2 + 2x +5	x2 + 2x +1+ 4	(x +1)2 + 4	(x +1)2 + 22

= 12arctg x 2+1+C .

В случае с квадратным корнем только на последнем шаге применяется другой табличный интеграл (10-11 вместо 8-9).

Пример 10

d(x +1)

∫

= ∫

= ln(x +1+ x

+ 2x +5)+C .

+ 2x +5

(x +1)

+ 4

Замечание. Так как у нас подкоренное выражение, очевидно, положительно, то выражение под знаком логарифма тоже положительно и проще избавиться в ответе от знака модуля.

II. Интегралы вида ∫	kx + e	∫	kx + e
	dx или			dx берутся с помо-
ax2 +bx + c
ax2 +bx + c

щью выделения в числителе производной от квадратного трехчлена в знамена-

теле (ax2 +bx +c)′ = 2ax +b: kx + e = A(2ax +b)+ B, где А и B находятся мето-

дом неопределенных коэффициентов (раскрываются скобки и после приведения подобных членов приравниваются коэффициенты при x и свободные чле-

ны, что дает систему двух линейных уравнений относительно А и В, определитель которой всегда отличен от нуля); подставив полученное выражение в числитель и почленно разделив, мы сводим первые слагаемые к формулам (1.6) или (1.7), а вторые будут интегралами I типа.

Пример 11

∫x24−x6−x9+5dx .

Применим, описанный выше метод:

(x2 −6x +5)′ = 2x −6, 4x −9= A(2x −6)+ B, 4x −9= 2Ax + (−6A + B),

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, выписываем систему для определения коэффициентов

2A = 4,	A = 2,

−6A + B = −9,	B = 6A −9=3,

значит,

4x −9= 2(2x −6)+3.

Отметим, что в простых случаях с целыми числами A, B можно сразу найти A и B подбором т.е. а) на что нужно умножить 2x, чтобы получить 4x, очевидно, A=2; б) подставив в первое равенство A=2, уже раскрыв скобки 4x 12 легко ответить, какое число надо добавить к 12, чтобы получить 9, это позволяет найти B=3. Тогда

4x −9

2(2x −6)+3

2x −6

∫

dx = ∫ x2 −6x +5 dx = 2∫

+3∫

x2 −6x +5

= 2∫

(x2 −6x +9)′

dx +3∫

d(x −3)

3 1

x −3− 2

x2 −6x +5

= 2ln

−6x +5

+ 2

2ln

+C =

(x −3)2 − 4

x −3+ 2

3ln

x −5

= 2ln

x2 −6x +5

+C .

x −1

Аналогичный пример с квадратным корнем отличается только применением последнего частного случая внесения под знак дифференциала и иного табличного интеграла.

Пример 12

∫

− 4x

dx = ∫

2(6− 2x)−3

dx = 2∫

(6x − x2 −5)′

dx −

− x

6x − x

−5

6x − x

−5

−3∫

d(x −3)

−3arcsin

x −3

+C .

6x − x2 −5

4−(x −3)

Проверьте, что из-за смены знака квадратного трехчлена и знака числителя по сравнению с предыдущим примером А не изменится, а B сменит знак.

Определение. Правильной рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Qm (x)	= bm xm + +b1x +b0	,	(1.8)
Pn (x)	an xn + + a1x + a0

если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть при m < n . Если дробь неправильная, то разделив уголком, всегда можно выделить целую часть и добавить остаток, деленный на многочлен Pn (x)

в знаменателе.

Пример 13

∫	x5
	dx .
x2 +9
Так как степень числителя больше степени знаменателя, значит подынте-
гральная рациональная дробь неправильная: Q (x) = x5	,	P (x) = x2	+9,
5		2

m =5> 2= n. При делении уголком на каждом шаге степень многочлена понижается на n = 2, и, как только она станет меньше двух, процесс останавливаем.

−9x3

−9x3 −81x

81x

В нашем случае целая часть равна x3 −9x , а остаток 81x , поэтому

x2x+5 9 = x3 −9x + x812 +x9 .

Тогда

81x

dx =

x3 −9x +

dx =

x3dx −

∫x

∫

xdx

′

−9∫xdx + 81∫

−9

+81

∫

+9) dx

= 0,25x

− 4,5x

x2 +9

+40,5ln(x2 +9) +C .

Замечание. Первоначальный интеграл свелся к сумме трех интегралов, первые два из которых (от целой части) берутся как табличные, а последний сводится к выделению в числителе производной от знаменателя ((1.6)), но пока в сумме есть хотя бы один интеграл, произвольную постоянную С не пишут, т.к. она содержится в нем, и появляется в ответе только после взятия последнего интеграла.

Рассмотрим теперь общую схему интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то выделить целую часть (пример 13.).

2.Разложить знаменатель, если это возможно, на множители:

Pn (x) = an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = an (x − x1) (x − x2)k


			2 +	p1x	+	q1)		(x2	+ p x + q )s	,	(1.9)
	(x					2	2
где x1 является простым корнем многочлена Pn (x), x2		̶корнем кратности k, а
дискриминантыD = p2	− 4q	, D = p2	− 4q	отрицательны, им у квадратных
1	1		1		2		2	2

трехчленов соответствуют пары комплексно-сопряженных корней. Отметим, что по основной теореме алгебры у каждого многочлена, в области комплексных чисел, существует хотя бы один корень, отсюда вытекает, что у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами точно будет хотя бы один действительный корень, но нахождение корней для многочленов старших

степеней и соответствующее разложение (1.9) на множители на практике часто затруднительно. Например, чтобы разложить на множители многочлен четвер-

той степени P4 = x4 + 4 , у которого нет действительных корней, нужно догадаться добавить и отнять 4x2 , то есть дополнить до полного квадрата.

P4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 −(2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2),

проверьте, что оба дискриминанта отрицательны.

3.Пусть по формуле (1.9) знаменатель разложен на множители. Пра-

вильную рациональную дробь	R(x)	, где	R(x) ̶остаток, полученный при деле-
P	(x)

	n

нии многочленов (или, если изначально была правильная дробь, многочлен

R(x) = Qm (x)) можно разложить на сумму простейших дробей. Кроме того,

без ограничения общности, можно считать многочлен Pn (x) приведенным, ко-

гда первый коэффициент равен единице (так как мы можем первый коэффициент an ≠ 0 перенести в числитель). Тогда разложение будет иметь вид:

R(x)

+ +

Cx + D

P (x)

x − x

(x − x

x2 + p x + q

С1x + D1

+ +

Cs x + Ds

(1.10)

x2 + p x + q

(x2

+ p x + q )s

При разложении мы руководствовались следующими правилами:

•каждому корню соответствует столько слагаемых, какова его кратность;

•для действительных корней в числителях ставятся константы;

•для квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами в числителях ставятся линейные выражения, то есть многочлены первой степени.

Отметим, что все коэффициенты разложения: A1, ,Ds необходимо обо-

значать разными буквами, их можно просто нумеровать A1,A2, ,An , так как их количество совпадает со степенью многочлена знаменателя Pn (x) равной n .

4. Метод неопределенных коэффициентов, который заключается в следующем:

а) привести к общему знаменателю полученное разложение. Заметим, что дополнительные множители можно выписывать по разложению на множители (1.9) (только без an );

б) раскрыть скобки и привести подобные члены в правой части;

в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной xk , k = 0,1,…,n −1, при этом получится система n уравнений с n неизвестными

A1,A2, ,An ;

г) решить полученную в пункте в) систему n уравнений с n неизвестными и найти её единственное решение (доказано, что основной определитель этой системы отличен от нуля);

д) подставить найденные коэффициенты A1,A2, ,An в (1.10).

5. Добавив к найденному разложению на сумму простейших дробей целую часть (если она была для первоначальной неправильной дроби), почленно проинтегрировать.

Пример 14

∫	6x3 +10x2 + 6x +15dx .
x4 + 2x3 +5x2

Решение

1) рациональная дробь правильная, поэтому начинаем с пункта 2.

2) разложим многочлен в знаменателе на множители: x4 + 2x3 +5x2 = x2(x2 + 2x +5), так как D = 4− 20= −16< 0, то квадратный мно-

гочлен на линейные множители в области действительных чисел разложить нельзя.

3) разложимисходную правильную рациональную дробьна суммупростейших:

6x3 +10x2 + 6x +15	=	A	+	A	+	A x + A	.
x2(x2	+ 2x +5)	1	2	3	4
x	x2	x2 + 2x +5

4) приведем дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда

6x3 +10x2 + 6x +15= A x3	+ 2A x2	+5A x + A x2	+ 2A x +5A + A x3	+ A x2	,
1	1	1	2		2	2	3	4
6x3 +10x2 + 6x +15= (A + A )x3	+ (2A + A + A )x2	+ (5A + 2A )x +5A ,
1	3	1	2	4	1		2	2

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

	A	+ A	= 6,	A = 6− A ,	A = 6,
	1	3		3	1	3
2A1 + A2	+ A4 =10,	A4	=10− 2A1 − A2,	A4	= 7,
		+ 2A2	= 6,	5A1 = 6− 2A2,	A1 = 0,
5A1
		5A2	=15.	A2	=3,	A2	=3.

В данном примере система, также, как и приведение её методом Гаусса к треугольному виду ( если расположить неопределенные коэффициенты в по-

∫

6x3 +10x2 +6x +15

6x +7

dx =

+ 2x +5)

2x +5

∫ x

dx 3(2x + 2)+1

−2

′

=3∫x2 + ∫ x2 + 2x +5 dx = 3∫x

dx + 3∫

dx + ∫

x2 + 2x +5

(x +1)2 + 4

= −

+3ln(x2 + 2x +5)+

1arctg

x +1

. (пример 9).

Решим пример 11 ∫

4x −9

dx по общей схеме.

x2 −6x +5

Решение. 1) дробь правильная;

2)x2 −6x +5= 0, по теореме Виета x =1,

= 5 и x2 −6x +5= (x −1)(x −5);

4x −9

;

(x −1)(x −5)

x −1

x −5

4) 4x −9= A1(x −5)+ A2(x −1).

Если все корни многочлена в знаменателе действительны и различны, то можно сразу найти неопределенные коэффициенты, полагая по очереди x равным найденным в пункте 2 корням. В нашем случае

Поэтому, минуя остальные подпункты 4), сразу получим

4x −9	5	11
4	4
	=		+	.
(x −1)(x −5)	x −1	x −5
	16

4x −9

dx =

dx = 5 d(x −1)

+11 d(x −5) =

∫x

−6x +9

∫

x −5

4∫ x −1

4 ∫ x −5

x −1

5ln

x −1

+ 11ln

x −5

+С .

Замечание 1. Сравним данный ответ с ответом на с. 10, полученного с помощью выделения в числителе производной от знаменателя, но упростив тот первоначальный ответ с помощью свойств логарифма, можно свести его к новому ответу. Такая ситуация при взятии интеграла разными методами типична: ответы получаются часто совершенно на первый взгляд разные, но отличаются друг от друга на константу (см. лемму о первообразных).

Замечание 2. Отметим, что чем больше степень многочлена в знаменателе, тем выгоднее применение предложенного метода нахождения неопределенных коэффициентов (в случае разложения этого многочлена только на различные линейные множители). В качестве упражнения, возьмите с помощью этого ме-

тода ∫ 2x3 −3x2 +7x +5 dx (полагая по очереди x = 0, x =1, x = −1, x = 2). x(x −1)(x +1)(x − 2)

Приведем еще один метод интегрирования выражений, содержащих ко-

рень из квадратного трехчлена, а именно,

метод неопределенных коэффициен-

тов

для

нахождения

интегралов

вида

∫

Pn (x)

или

+bx + c

∫Pn (x)

ax2 +bx + cdx , где Pn (x)

многочлен степени n.

Отметим, что второй

интеграл сводится к первому умножением и делением на ax2 +bx +c , а потому остановимся на первом интеграле. Докажем, что имеет место его представление в виде

Pn (x)

dx = Qn−1

(x)

+bx + c + L

∫

ax2

+bx + c

ax2

+bx + c

где Qn−1(x) ̶некоторый многочлен, степени на единицу меньшей степени многочлена Pn (x), L ̶некоторая константа.

Продифференцировав обе части записанного равенства, получим

Pn (x)

ax +

= Qn′−1(x)

ax2 +bx + c

+Qn−1(x)

ax2 +bx + c

ax2 +bx

ax2 +bx + c

+ c

откуда при умножении правой и левой частей на ax2 +bx +c придем к равенству двух многочленов степени n

Pn (x)=Qn′−1(x)(ax2 +bx + c)+ Qn−1(x) ax + b2 + L,

которое должно выполняться тождественно. Это условие даёт возможность определения коэффициентов многочлена Qn−1(x) и константы L обычным ме-

тодом неопределенных коэффициентов. Отметим также, что система уравнений для определения этих коэффициентов будет иметь треугольный вид.

Пример 15

∫x2

dx = ∫

+ 2x + 2)

dx = ∫

+ 2x

dx.

x2 + 2x + 2

+ 2x + 2

В соответствии с рассмотренным методом запишем равенство

∫

+ 2x3 + 2x

+L∫

dx = (Ax3 + Bx2

+Cx + D) x2 + 2x + 2

x + 2x + 2

+ 2x + 2

Продифференцируем это равенство:

x4 + 2x3 + 2x2

= (3Ax2

+ 2Bx +C) x2

+ 2x + 2 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D)

x2 + 2x + 2

x +1

x2 + 2x + 2

и, умножив обе его части на x2 + 2x + 2, придем к тождественному равенству двух многочленов четвертой степени:

x4 + 2x3 + 2x2 = (3Ax2 + 2Bx +C )(x2 + 2x + 2) +(Ax3 + Bx2 +Cx + D)(x +1)+ L.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.

Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.

Пример 1

Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.

Решение

По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

∫dx3x-13=∫(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C

Ответ: ∫dx3x-13=12(3x-1)23+C.

Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл ∫3×2+5×3+5x-776dx.

Решение

Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7’dx=(3×2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

∫3×2+5×3+5x-776dx=∫(x3+5x-7)-76·(3×2+5)dx==∫(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==∫z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C

Ответ: ∫3×2+5×3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.

Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24

Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

∫dxx2±α=lnx+x2±α+C

Тогда вычисление интеграла производится:

∫dxx2+px+q=∫dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C

Пример 3

Найти неопределенный интеграл вида ∫dx2x2+3x-1.

Решение

Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:

∫dx2x2+3x-1=∫dx2x2+32x-12=12∫dxx2+32x-12

Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716

Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12∫dxx2+32x-12=12∫dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C

Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C

Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл ∫dx-x2+4x+5.

Решение

Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

∫dx-x2+4x+5=∫dx-x2-4x-5==∫dx-x2-4x+4-4-5=∫dx-x-22-9=∫dx-(x-2)2+9

Табличный интеграл имеет вид ∫dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что ∫dx-x2+4x+5=∫dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C

Ответ: ∫dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.

Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

Пример 5

Найти первообразные функции y=x+2×2-3x+1.

Решение

Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.

Рассчитаем интеграл: ∫x+2×2-3x+1dx=12∫d(x2-3x+1)x2-3x+1+72∫dxx2-3x+1==12∫(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72∫dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C

Ответ: ∫x+2×2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.

Поиск неопределенных интегралов функции ∫xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи метода подстановки.

Для решения необходимо ввести новые переменные:

Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.

Пример 6

Найти определенный интеграл ∫1x2x-9dx.

Решение

Получаем, что ∫1x2x-9dx=∫x-1·(-9+2×1)-12dx. Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что

-9+2x=z2⇒x=z2+92⇒dx=z2+92’dz=zdz-9+2x=z

Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C

Ответ: ∫dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.

Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Содержание:

Определение 1. Функция вида

Пример 1.
– рациональная функция переменных u и v, при этом:

п.1. Интегралы вида:

Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.

Пример 3

п.2. Интегралы вида– интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z – интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.

Пример 5.

п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).

Пример 6.

п 4. Интегралы вида , где – многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

Заказать решение задач по высшей математике

Пример 7.
После взятия производной:

Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.

Решив систему (3), получим :

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
– для первого интеграла,
– для второго,
– для третьего (см. § 23).

Пример 8.

Пример 9.

1. Интегралы вида .

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

-у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
– проводят замену .

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример:

Вычислить

Решение:

В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.

2. Интегралы вида .

Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:

1. 2. 3.

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены

1. 2. 3. – которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример:

Вычислить

Решение:

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

(интеграл вычислен в п. 2а)

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
Линии второго порядка
Полярные координаты
Непрерывность функции
Формула Тейлора и ее применение
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование тригонометрических выражений

Источник

Простое объяснение принципов решения интегрирования иррациональных функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.

При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.

Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:

$[intfrac{P_{n}(x)}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)cdotsqrt{ax^{2} + bx + c} + lambdaintfrac{dx}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{2}{3}} - x^{frac{1}{2}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{3}, frac{2}{3}$ и $frac{1}{2}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{3}} = (y^{6})^{frac{1}{3}} = y^{2}, x^{frac{2}{3}} = (y^{6})^{frac{2}{3}} = y^{4}, x^{frac{1}{2}} = (y^{6})^{frac{1}{2}} = y^{3}$

$[int frac{y^{2}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{7}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6int frac{y^{4}}{y - 1}dy]$

Выделим целую часть в $frac{y^{4}}{y - 1}$ :

$frac{y^{4}}{y - 1} = y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}$

$[= 6left[frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$6left[frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C = 6left[frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[6]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = 6left[frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[6]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = int frac{x^{frac{1}{2}}}{x^{frac{2}{3}} - x^{frac{1}{2}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{2}$ и $frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{2}} = (y^{6})^{frac{1}{2}} = y^{3}, x^{frac{2}{3}} = (y^{6})^{frac{2}{3}} = y^{4}$

$[int frac{y^{3}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{8}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6int frac{y^{5}}{y - 1}dy]$

Выделим целую часть в $frac{y^{5}}{y - 1}$ :

$frac{y^{5}}{y - 1} = y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}$

$[6intfrac{y^{5}}{y - 1}dy = 6intleft[y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}right]dy =]$

$[= 6left[frac{y^{5}}{5} + frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$6left[frac{y^{5}}{5} + frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C = 6left[frac{sqrt[6]{x^{5}}}{5} + frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[3]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = 6left[frac{sqrt[6]{x^{5}}}{5} + frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[3]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dxdx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x(x^{frac{1}{2}} + x^{frac{1}{3}})}dx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{3}{2}} + x^{frac{4}{3}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{2}$ и $frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{3}} = (y^{6})^{frac{1}{3}} = y^{2}, x^{frac{3}{2}} = (y^{6})^{frac{3}{2}} = y^{9}, x^{frac{4}{3}} = (y^{6})^{frac{4}{3}} = y^{8}$

$[int frac{y^{2}}{y^{9} + y^{8}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{7}}{y^{9} + y^{8}}dy = 6int frac{1}{y^{2} + y}dy]$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$[6int frac{1}{y^{2} + y}dy = 6int frac{y + 1 - y}{y(y + 1)}dy]$

$[6int frac{1}{y^{2} + y}dy = 6left[intfrac{dy}{y} - intfrac{dy}{y+1}right]]$

$[6left[intfrac{dy}{y} - intfrac{dy}{y+1}right] = 6left[ln|y| - ln|y + 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$[= 6lnfrac{sqrt[6]{x}}{sqrt[6]{x} + 1} + C]$

Ответ

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dx = 6lnfrac{sqrt[6]{x}}{sqrt[6]{x} + 1} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx = int frac{x^{frac{1}{6}}}{x^{frac{4}{3}} + x^{frac{5}{4}}}dx]$

Наименьшим общим кратным знаменателей дробей $frac{1}{6}, frac{4}{3}$ и $frac{5}{4}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{12}, dx = 12y^{11}dy$

$x^{frac{1}{6}} = (y^{12})^{frac{1}{6}} = y^{2}, x^{frac{4}{3}} = (y^{12})^{frac{4}{3}} = y^{16}, x^{frac{5}{4}} = (y^{12})^{frac{5}{4}} = y^{15}$

$[int frac{y^{2}}{y^{16} + y^{15}}12y^{11}dy = 12intfrac{y^{13}}{y^{15}(y + 1)}dy = 12intfrac{1}{y^{2}(y + 1)}dy]$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$[12intfrac{1}{y^{2}(y + 1)}dy = -12intfrac{y^{2} - 1 - y^{2}}{y^{2}(y + 1)}dy =]$

$[-12left[intfrac{y - 1}{y^{2}}dy - intfrac{1}{y + 1}dyright] =]$

$[= -12left[intfrac{1}{y}dy - intfrac{1}{y^{2}}dy - intfrac{1}{y + 1}dyright] =]$

$[= -12left[ln{y} + frac{1}{y} + ln{(y + 1)}right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$-12left[ln{y} + frac{1}{y} + ln{(y + 1)}right] + C =-12left[ln{sqrt[12]{x}} + frac{1}{sqrt[12]{x}} + ln{(sqrt[12]{x} + 1)}right] + C = -12left[ln({sqrt[12]{x}cdot(sqrt[12]{x} + 1)}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C = -12left[ln({sqrt[6]{x} + sqrt[12]{x})}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx = -12left[ln({sqrt[6]{x} + sqrt[12]{x})}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx]$

Решение

Преобразуем $4x^{2} + 2x + 1$ :

$4x^{2} + 2x + 1 = 4(x^{2} + frac{1}{2}x + frac{1}{4}) = 4((x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16})$

$[intfrac{dx}{sqrt{4((x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16})}} = frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{(x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16}}}]$

Подставим вместо $x + frac{1}{4}, t$ :

$x + frac{1}{4} = t, x = t - frac{1}{4}, dx = dt$

$[frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{(x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16}}} = frac{1}{2}intfrac{dt}{sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}}]$

$[frac{1}{2}intfrac{dt}{sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}} = frac{1}{2}lnleft|t + sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}|right| + C]$

Делаем обратную замену $t = x + frac{1}{4}$ :

$[frac{1}{2}lnleft|t + sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}|right| + C = frac{1}{2}lnleft|x + frac{1}{4} + sqrt{(x + frac{1}{4})^{2} + frac{3}{16}}right| + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx = frac{1}{2}lnleft|x + frac{1}{4} + sqrt{(x + frac{1}{4})^{2} + frac{3}{16}}right| + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx]$

Решение

Преобразуем $6 - 2x - x^{2}$ :

$6 - 2x - x^{2} = -(x^{2} + 2x - 6) = -((x + 1)^2 - 7) = 7 - (x + 1)^2$

Подставим вместо :

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = intfrac{t - 1 + 4}{sqrt{7 - t^{2}}}dt]$

$[intfrac{t - 1 + 4}{sqrt{7 - t^{2}}}dt = intfrac{tdt}{sqrt{7 - t^{2}}} + 3intfrac{dt}{sqrt{7 - t^{2}}} =]$

$[= -frac{1}{2}int(7 - t^{2})^{-frac{1}{2}}d(7 - t^{2}) + 3intfrac{dt}{sqrt{{(sqrt{7})^{2}} - t^2}} =]$

$[= -sqrt{7 - t^{2}} + 3arcsin{frac{t}{sqrt{7}}} + C]$

Делаем обратную замену :

$-sqrt{7 - t^{2}} + 3arcsin{frac{t}{sqrt{7}}} + C = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C$

Ответ

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx]$

Решение

Применим формулу

$[intfrac{P_{n}(x)}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)cdotsqrt{ax^{2} + bx + c} + lambdaintfrac{dx}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}]$

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C]$

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (Ax + B)sqrt{1 - 2x - x^{2}} + lambdacdotint frac{dx}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

Дифференцируя равенство по , получаем:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}} equiv Acdotsqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)cdotfrac{-2 - 2x}{2sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + frac{lambda}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

$x^{2} equiv A(1 - 2x - x^{2}) + (Ax + B)(-1 - x) + lambda$

$x^{2} equiv A - 2Ax - Ax^{2}) - Ax - B - Ax^{2} - Bx + lambda$

Сопоставим коэффициенты слагаемых с в одинаковой степени:

– коэффициент при $x^{2}$

– коэффициент при

– коэффициент при $x^{0}$

Находим значения и :

$A = -frac{1}{2}, B = frac{3}{2}, lambda = 2$

Подставляем найденные значения в

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}} equiv Acdotsqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)cdotfrac{-2 - 2x}{2sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + frac{lambda}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

Получаем

$[(-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2intfrac{dx}{sqrt{2 - (x + 1)^{2}}} =]$

$[= (-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2arcsin{frac{x + 1}{sqrt{2}}} + C]$

Ответ

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2arcsin{frac{x + 1}{sqrt{2}}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx]$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку

Найдём dx:

С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:

$frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2} - a^{2}sin^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}(1 - sin^{2}{t})}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}cos^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}$

В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}acos{t}dt = a^{2}int sin^{2}{t}dt]$

Данный интеграл относится к табличным и равен:

$[int sin^{2}{t}dt = frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Поэтому:

$[a^{2}int sin^{2}{t}dt = a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

$t = arcsin{frac{x}{a}}, sin{t} = frac{x}{a}, cos{t} = sqrt{1 - sin^{2}{t}} = sqrt{1 - frac{x^{2}}{a^{2}}} = frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}(arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{a}frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C]$

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Ответ

$[int frac{x^{2}}{sqrt{2ax - x^{2}}}dx = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx]$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку $x = 2sin{t}, t = arcsinfrac{x}{2}$

Найдём dx:

С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:

$[frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} = frac{sqrt{4 - 4sin^{2}{t}}}{4sin^{2}{t}}cdot2cos{t}dt =]$

$[= intfrac{4cos^{2}{t}}{4sin^{2}{t}}dt = intfrac{1 - sin^{2}{t}}{sin^{2}{t}}dt = intfrac{dt}{sin^{2}{t}} - int dt =]$

Делаем обратную подстановку $t = arcsinfrac{x}{2}$ и учитываем, что $ctgt = frac{sqrt{1 - sin^{2}{t}}}{sin{t}} = frac{sqrt{1 - (frac{x}{2})^{2}}}{frac{x}{2}} = frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x}$ :

$- ctgt - t + C = -frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x} - arcsinfrac{x}{2} + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx = -frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x} - arcsinfrac{x}{2} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx]$

Решение

$x^{2} + 2x - 4 = (x + 1)^{2} - 5$

Сделаем подстановку :

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = intfrac{sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt]$

Сделаем подстановку $t = frac{sqrt{5}}{sin{z}}, dt = frac{-sqrt{5}cdotcos{z}}{sin^{2}{z}}dz, z = arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}$ :

$[intfrac{sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt = intfrac{sqrt{frac{5}{sin^{2}{z}} - 5}}{frac{5sqrt{5}}{sin^{3}{z}}}cdotfrac{-sqrt{5}cos{z}}{sin^{2}{z}}dz = -frac{1}{sqrt{5}}intcos^{2}{z}dz =]$

$[= -frac{1}{sqrt{5}}cdotfrac{1}{2}int(1 + cos{2z})dz = -frac{5}{sqrt{10}}(z + frac{1}{2}sin{2z}) + C]$

Переходим к переменной через подстановку $z = arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}$ :

$-frac{5}{sqrt{10}}(z + frac{1}{2}sin{2z}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{t}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}}) + C$

Переходим к переменной через подстановку :

$-frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{t}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}}}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{sqrt{5}cdotsqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{sqrt{5}cdotsqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C]$

Источник

Содержание:

Интегрирование простейших квадратичных иррациональностей
Найдем интегралы от простейших квадратичных иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей

Основным методом интегрирования функций, содержащих радикалы, является отыскание такой замены переменной, которая приводит к интегралу от рациональной функции. Если такая замена определена, то интегрирование сводится к вычислению интеграла от рациональной функции (вычисление таких интегралов рассмотрено в предыдущей главе).

В простейшем случае подынтегральная функция рационально выражается через независимую переменную и некоторое количество радикалов от одной и той же дробно-линейной функции (так называется отношение двух линейных функций):

Обозначим через наименьшее общее кратное показателей корней от дробно-линейной функции . В этом случае все радикалы будут степенями функции

Выражая отсюда , находим

Отсюда следует, что замена на приводит к интегралу от рациональной функции. Перейдем теперь к примерам.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Делая замену , получаем

Делаем замену получаем и интеграл

Разложение рациональной функции имеет следующий вид:

Коэффициенты и легко определяются из асимптотик функции при и

при . при .

Отсюда следует, что и . Оставшуюся дробь в (2) находим вычитанием

Таким образом,

Вычислим оставшийся интеграл в (3):

где . Возвращаясь к исходному интегралу, получаем

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Сделаем замену . Находим .

Выделяем из неправильной дроби целую часть:

Ищем разложение правильной части на элементарные дроби:

Освобождаясь от общего знаменателя и приводя подобные члены, получаем тождество

Решая систему

находим

Далее вычисляем интеграл

Возвращаясь к исходному интегралу, получаем

где

Делаем замену . Находим

Выделяем целую часть

Вычисляем интеграл

Следовательно, исходный интеграл

где

После замены получаем

Полагая находим

Часто приходится вычислять интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена. С помощью подстановок Эйлера, которые мы рассмотрим в следующем разделе, такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций.

Однако часто применение этих подстановок приводит к довольно громоздким интегралам.

Поэтому представляют интерес и другие способы вычисления рассматриваемых интегралов. Эти способы мы сейчас и рассмотрим. В общем случае функцию, которая рационально зависит от и от квадратного корня из можно записать в виде отношения

где — многочлены.

Умножая числитель и знаменатель этой дроби на сопряженное к знаменателю выражение получим где и — рациональные функции. Интегрированию рациональных функций посвящена предыдущая глава, поэтому достаточно рассмотреть вопрос об интегрировании второго слагаемого, которое можно привести к виду

где — также рациональная функция.

Выделим из рациональной функции многочлен (целую часть) и правильную дробь, а затем разложим правильную дробь на сумму простейших. В результате получим сумму интегралов следующего вида:

При этом в интеграле третьего типа дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.

Рассмотрим простейший интеграл первого вида:

Для него можно получить рекуррентное соотношение

Доказать соотношение (1).

С помощью соотношения (1) интеграл первого типа в принципе сводится к одному интегралу . Однако непосредственное применение этого соотношения довольно утомительно. Существует более эффективный способ вычисления. Из соотношения (1) можно видеть, что

где — некоторый многочлен -й степени, а — некоторое число. Так как интеграл первого типа представляет собой линейную комбинацию интегралов с индексами , меняющимися от 0 до , где — степень многочлена , то существуют некоторый многочлен степени и такое число , что

Если мы запишем многочлен с неопределенными коэффициентами и продифференцируем написанное тождество, то получим равенство

Приводя дроби к общему знаменателю и освобождаясь от него, получаем равенство многочленов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем линейную систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов. Решая полученную систему, находим искомые коэффициенты.

После этого остается вычислить интеграл

Методом выделения полного квадрата этот интеграл сводится к одному из табличных (интегралы вида 5, 6 и 7 дополнительной таблицы интегралов). Применение данного метода проиллюстрировано решениями задач 1943-1946. Так как упомянутые интегралы дополнительной таблицы представляют собой арксинусы и логарифмы, то внеинтегральный член рассматриваемой формулы представляет алгебраическую часть интеграла.

В частности, этот метод позволяет ответить на вопрос, будет ли вычисляемый интеграл представлять собой алгебраическую функцию.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы число , стоящее перед интегралом, оказалось равным нулю. В этой связи можно обратить внимание на решение задачи 1951.

Рассмотрим интегралы второго типа. Если не является корнем квадратного трехчлена, то применима подстановка

которая сводит интеграл второго типа к интегралу первого типа. Если же число является корнем, то эта же подстановка приводит интеграл второго типа к интегралу от простейшей иррациональности, рассмотренной в начале этой главы.

Перейдем к интегралам последнего типа. Рассмотрим сначала случай, когда квадратные трехчлены и пропорциональны. Тогда искомый интеграл принимает вид

Выделяя в числителе производную квадратного трехчлена, получаем

где Первый из полученных интегралов является табличным, а для вычисления второго можно использовать подстановку Абеля:

Освобождаясь здесь от знаменателя и возводя в квадрат, получаем

или

что дает

Отсюда находим

Обозначим . Непосредственно из формулы замены следует, что

После дифференцирования приходим к тождеству

Так как , то и, следовательно,

Из этого равенства получаем

Таким образом,

и вычисление интеграла сводится к интегрированию многочлена.

Перейдем к основному случаю интегралов третьего типа, для которого квадратные трехчлены и непропорциональны, а дискриминант трехчлена отрицателен. Рассматриваемый интеграл имеет следующий вид:

При этом мы можем без ограничения общности предполагать, что величина

Первый этап состоит в упрощении интеграла. Для этого подбирают замену переменной так, чтобы получился аналогичный интеграл, но без слагаемых, содержащих первую степень независимой переменной. Если величина это можно сделать с помощью дробно-линейной подстановки

(эта подстановка невырождена, если ). Применяя эту подстановку, находим

‘

Условие отсутствия слагаемого с первой степенью дает уравнение

Такое же уравнение (с заменой на , на , на ) получаем, применяя эту же подстановку для второго квадратного трехчлена. Таким образом, для определения коэффициентов и имеем следующую систему:

Эта система является линейной относительно переменных и . Решая ее, находим

Последняя система представляет собой систему типа Виета и нахождение коэффициентов и сводится к решению квадратного уравнения

Можно показать, что дискриминант уравнения (2) в нашем случае положителен и, следовательно, числа и являются его различными корнями. Отметим применение такой дробно-линейной подстановки в решении задач 1964 и 1965.

рядке A3,A4,A1,A2 ), двигаясь снизу вверх найдем A2 , затем A1,A4 и A3 . Под-

ставив найденные коэффициенты в разложение из п. 3), получим

6x3 +10x2 + 6x +15

x2(x2 + 2x +5)

x2 + 2x +5

Доказать, что если и квадратные трехчлены и непропорциональны, то дискриминант уравнения (2) положителен.

Если , то величины и пропорциональны и необходимое преобразование достигается с помощью метода выделения полного квадрата, т. е. с помощью подстановки ,