Как найти интерполяционный полином лагранжа

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 ноября 2021 года; проверки требуют 8 правок.

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий заданные значения в заданном наборе точек, то есть решающий задачу интерполяции.

Определение[править | править код]

Интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы ${displaystyle y_{i}l_{i}(x)}$ , каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных.

Пусть задана n+1 пара чисел ${displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),ldots ,(x_{n},y_{n}),}$ где все $x_{j}$ различны. Требуется построить многочлен L(x) степени не более , для которого ${displaystyle L(x_{j})=y_{j}}$ .

Общий случай[править | править код]

Ж. Л. Лагранж предложил следующий способ вычисления таких многочленов:

${displaystyle L(x)=sum _{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),}$

где базисные полиномы $l_{i}$ определяются по формуле

${displaystyle l_{i}(x)=prod _{j=0,jneq i}^{n}{frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}cdots {frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}cdot {frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}cdots {frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}}$

Для любого многочлен $l_{i}$ имеет степень и

${displaystyle l_{i}(x_{j})=left{{begin{array}{rl}0,&jneq i,\1,&j=i.end{array}}right.}$

Отсюда следует, что L(x) , являющийся линейной комбинацией многочленов ${displaystyle l_{i}(x)}$ , имеет степень не больше и ${displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$ .

Случай равноотстоящих узлов интерполяции[править | править код]

Пусть узлы интерполяции $x_{j}$ являются равноотстоящими, то есть выражаются через начальную точку $x_{0}$ и некоторую фиксированную положительную величину следующим образом:

${displaystyle x_{j}=x_{0}+jh.}$

Отсюда следует, что

${displaystyle x_{j}-x_{i}=(j-i)h.}$

Подставляя эти выражения в формулу для базисного полинома и вынося за знаки произведения в числителе и знаменателе, получим

${displaystyle l_{j}(x)={prod _{i=0,,ineq j}^{n}{(x-x_{i}) over (x_{j}-x_{i})}}={prod limits _{i=0,,ineq j}^{n}(x-x_{0}-ih) over h^{n}prod limits _{i=0,,ineq j}^{n}(j-i)}}$

Теперь можно ввести замену переменной

${displaystyle y={{x-x_{0}} over h}}$

и получить выражение для базисных полиномов через , которое строится с использованием только целочисленной арифметики:

${displaystyle l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{n-j}C_{n}^{j}{dfrac {y(y-1)ldots (y-n)}{(y-i)n!}}.}$

Данные величины называются коэффициентами Лагранжа. Они не зависят ни от ${displaystyle y_{0},ldots ,y_{n}}$ , ни от и потому могут быть вычислены заранее и записаны в виде таблиц. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

Остаточный член[править | править код]

Если считать числа ${displaystyle y_{0},ldots ,y_{n}}$ значениями некоторой функции в узлах ${displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}$ , то ошибка интерполирования функции многочленом равна

${displaystyle f(x)-L(x)={dfrac {f^{(n+1)}(xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})ldots (x-x_{n}),}$

где – некоторая средняя точка между наименьшим и наибольшим из чисел ${displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}$ . Полагая ${displaystyle M_{n+1}=sup _{xin [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|}$ , можно записать

${displaystyle |f(x)-L(x)|leqslant {dfrac {M_{n+1}}{(n+1)!}}|(x-x_{0})ldots (x-x_{n})|.}$

Единственность[править | править код]

Существует единственный многочлен степени не превосходящей , принимающий заданные значения в n+1 заданной точке.

Это утверждение является обобщением того факта, что через любые две точки проходит единственная прямая.

С точки зрения линейной алгебры[править | править код]

На единственность интерполяционного многочлена можно также взглянуть с точки зрения СЛАУ. Рассмотрим систему уравнений ${displaystyle P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},dots ,P(x_{n})=y_{n}}$ . В явном виде она записывается как

${displaystyle {begin{cases}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+dots +a_{n}x_{0}^{n}=y_{0},\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+dots +a_{n}x_{1}^{n}=y_{1},\dots dots dots dots dots dots dots dots dots dots dots dots ,\a_{0}+a_{1}x_{n}+a_{2}x_{n}^{2}+dots +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\end{cases}}}$

Её можно переписать в виде системы уравнений с неизвестным вектором ${displaystyle a=(a_{0},a_{1},dots ,a_{n})}$ :

${displaystyle {begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&dots &x_{0}^{n}\1&x_{1}&x_{1}^{2}&dots &x_{1}^{n}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&x_{n}&x_{n}^{2}&dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{0}\a_{1}\vdots \a_{n}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}y_{0}\y_{1}\vdots \y_{n}end{bmatrix}}}$

Матрица в такой системе является матрицей Вандермонда и её определитель равен ${displaystyle prod limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})}$ . Соответственно, если все точки ${displaystyle x_{0},x_{1},dots ,x_{n}}$ различны, то матрица невырождена и система обладает единственным решением.

С точки зрения китайской теоремы об остатках[править | править код]

По теореме Безу остаток от деления P(x) на (x-a) равен P(a) . Таким образом, всю систему можно воспринимать в виде системы сравнений:

${displaystyle {begin{cases}P(x)equiv y_{0}{pmod {x-x_{0}}},\P(x)equiv y_{1}{pmod {x-x_{1}}},\dots ,\P(x)equiv y_{n}{pmod {x-x_{n}}},\end{cases}}}$

По китайской теореме об остатках у такой системы есть единственное решение по модулю ${displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})dots (x-x_{n})}$ , то есть, заданная система однозначно определяет многочлен степени не выше . Такое представление многочлена в виде наборов остатков по модулям мономов аналогично представлению числа в виде остатков от деления на простые модули в системе остаточных классов. При этом явная формула для многочлена Лагранжа также может быть получена в соответствии с формулами китайской теоремы:
${textstyle P(x)=sum limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1}}$ , где ${displaystyle M_{i}=prod limits _{jneq i}(x-x_{j})}$ и ${displaystyle M_{i}^{-1}=prod limits _{jneq i}(x-x_{j})^{-1}{pmod {x-x_{i}}}=prod limits _{jneq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}}$ .

Пример[править | править код]

Приближение функции (синяя линия) многочленом ${displaystyle L(x)=4,834848x^{3}-1,477474x}$ (зелёная линия).

Найдем формулу интерполяции для имеющей следующие значения:

${displaystyle {begin{aligned}x_{0}&=-1.5&&&&&f(x_{0})&=-14,1014\x_{1}&=-0.75&&&&&f(x_{1})&=-0,931596\x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\x_{3}&=0.75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\x_{4}&=1.5&&&&&f(x_{4})&=14,1014.end{aligned}}}$

${displaystyle l_{0}(x)={x-x_{1} over x_{0}-x_{1}}cdot {x-x_{2} over x_{0}-x_{2}}cdot {x-x_{3} over x_{0}-x_{3}}cdot {x-x_{4} over x_{0}-x_{4}}={1 over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)}$

${displaystyle l_{1}(x)={x-x_{0} over x_{1}-x_{0}}cdot {x-x_{2} over x_{1}-x_{2}}cdot {x-x_{3} over x_{1}-x_{3}}cdot {x-x_{4} over x_{1}-x_{4}}={}-{8 over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)}$

${displaystyle l_{2}(x)={x-x_{0} over x_{2}-x_{0}}cdot {x-x_{1} over x_{2}-x_{1}}cdot {x-x_{3} over x_{2}-x_{3}}cdot {x-x_{4} over x_{2}-x_{4}}={3 over 243}(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)}$

${displaystyle l_{3}(x)={x-x_{0} over x_{3}-x_{0}}cdot {x-x_{1} over x_{3}-x_{1}}cdot {x-x_{2} over x_{3}-x_{2}}cdot {x-x_{4} over x_{3}-x_{4}}=-{8 over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)}$

${displaystyle l_{4}(x)={x-x_{0} over x_{4}-x_{0}}cdot {x-x_{1} over x_{4}-x_{1}}cdot {x-x_{2} over x_{4}-x_{2}}cdot {x-x_{3} over x_{4}-x_{3}}={1 over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3).}$

Получим

${displaystyle {begin{aligned}L(x)&={1 over 243}{Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\&{}qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\&{}qquad {}+3f(x_{2})(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\&{}qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\&{}qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){Big )}\&=4,834848x^{3}-1,477474x.end{aligned}}}$

Реализация общего случая на языке программирования Python (не оптимальный вариант)[править | править код]

import numpy as np

# данные для примера
xi = np.array([-1.5, -0.75, 0, 0.75, 1.5])
yi = np.array([-14.1014, -0.931596, 0, 0.931596, 14.1014])


def get_coefficients(_pl: np.ndarray, _xi: np.ndarray):
    '''
    Определение коэффициентов для множителей базисных полиномов l_i
    :param _pl: массив базисных полиномов
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    coefficients = np.empty((n, 2), dtype=float)
    for i in range(n):
        if i == _pl:
            coefficients[i][0] = float('inf')
            coefficients[i][1] = float('inf')
        else:
            coefficients[i][0] = 1 / (_xi[_pl] - _xi[i])
            coefficients[i][1] = -_xi[i] / (_xi[_pl] - _xi[i])
    filtered_coefficients = np.empty((n - 1, 2), dtype=float)
    j = 0
    for i in range(n):
        if coefficients[i][0] != float('inf'):
            # изменение последовательности, степень увеличивается
            filtered_coefficients[j][0] = coefficients[i][1]
            filtered_coefficients[j][1] = coefficients[i][0]
            j += 1
    return filtered_coefficients


def get_polynomial_l(_xi: np.ndarray):
    '''
    Определение базисных полиномов
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    pli = np.zeros((n, n), dtype=float)
    for pl in range(n):
        coefficients = get_coefficients(pl, _xi)
        for i in range(n - 1):  # проходим по массиву coefficients
            if i == 0:
                continue
            elif i == 1:  # на второй итерации занимаются 0-2 степени
                pli[pl][0] = coefficients[i - 1][0] * coefficients[i][0]
                pli[pl][1] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][0] + coefficients[i][1] * coefficients[i - 1][0]
                pli[pl][2] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][1]
            else:
                clone_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for val in range(n):
                    clone_pli[val] = pli[pl][val]
                zeros_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for j in range(n-1):  # проходим по строке pl массива pli
                    product_1 = clone_pli[j] * coefficients[i][0]
                    product_2 = clone_pli[j] * coefficients[i][1]
                    zeros_pli[j] += product_1
                    zeros_pli[j+1] += product_2
                for val in range(n):
                    pli[pl][val] = zeros_pli[val]
    return pli

def get_polynomial(_xi: np.ndarray, _yi: np.ndarray):
    '''
    Определение интерполяционного многочлена Лагранжа
    :param _xi: массив значений x
    :param _yi: массив значений y
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    polynomial_l = get_polynomial_l(_xi)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            polynomial_l[i][j] *= yi[i]
    L = np.zeros(n, dtype=float)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            L[i] += polynomial_l[j][i]
    return L

# результат в виде массива коэффициентов многочлена при x в порядке увеличения степени
# [ 0.         -1.47747378  0.          4.8348476   0.        ]
# т.е. результирующий многочлен имеет вид: y(x) = -1.47747378*x + 4.8348476*x^3

Применения[править | править код]

Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции

Численное интегрирование[править | править код]

Пусть для функции f(x) известны значения $y_{i}=f(x_{i})$ в некоторых точках. Тогда можно интерполировать эту функцию методом Лагранжа:

${displaystyle f(x)approx sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).}$

Полученное выражение можно использовать для приближённого вычисления определённого интеграла от функции :

$int limits _{a}^{b}f(x)dxapprox sum _{{i=0}}^{n}f(x_{i})int limits _{a}^{b}l_{i}(x)dx$

Значения интегралов от $l_{i}$ не зависят от f(x) и их можно вычислить заранее с использованием последовательности $x_{j}$ .

Литература[править | править код]

Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматлит. 1962.

Ссылки[править | править код]

М. А. Тынкевич. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1. (недоступная ссылка)
А. Г. Хованский. Полиномы Лагранжа и их применения. Видео-лекция. VI Летняя школа «Современная математика», Дубна, 2006.

См. также[править | править код]

Схема Эйткена
Интерполяционные формулы Ньютона
Интерполяция с кратными узлами
Схема разделения секрета Шамира
Комбинаторная теорема о нулях
Интерполяция алгебраическими многочленами

Источник

Интерполяция, полином Лагранжа
1. Общие положения

В
вычислительной практике часто приходится
иметь дело с функциями
,
заданными таблицами их значений для
некоторого конечного множества значенийх:
.

В
процессе же решения задачи необходимо
использовать значения
для промежуточных значений аргумента.
В этом случае строят функцию Ф(x),
достаточно простую для вычислений,
которая в заданных точкахx₀,
x₁,…,x_n,называемых узлами интерполяции, принимает
значения
,
а в остальных точках отрезка (x₀,x_n),
принадлежащего области определения
,
приближенно представляет функцию
с той или иной степенью точности.

При
решении задачи в этом случае вместо
функции
оперируют с функцией Ф(x). Задача построения
такой функции Ф(x) называется задачей
интерполирования. Чаще всего интерполирующую
функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического
полинома.

Интерполяционный полином

Для каждой функции

,
определенной на [a,b],
и любого набора узлов x₀,
x₁,….,x_n(
x_i
[a,b],
x_i
x_j
при ij
) среди алгебраических многочленов
степени не выше n существует единственный
интерполяционный многочлен Ф(x), который
может быть записан в форме:

,
(3.1)

где
– многочлен n-ой степени, обладающий
следующим свойством:

(3.2)

Для
интерполяционного полинома многочлен

имеет вид:

(3.3)

Этот
многочлен (3.1) и решает задачу
интерполирования и называется
интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пример

В
качестве примера рассмотрим функцию
вида
на интервалезаданную табличным способом.

X	1	2	3	4
F(x)	1	4	9	16

Необходимо
определить значение функции в точке
x-2.5. Воспользуемся для этого полином
Лагранжа. Исходя из формул (3.1 и 3.3) запишем
этот полином в явном виде:

(3.4).

Тогда
подставляя в формулу (3.4) исходные
значения из нашей таблицы получим

Полученный
результат соответствует теории т.е.
.

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный
полином Лагранжа может быть записан в
другой форме:

(3.5)

Запись
полинома в виде (3.5) более удобна для
программирования.

При
решении задачи интерполяции величина
n
называется порядком интерполирующего
полинома. При этом, как видно из формул
(3.1) и (3.5), число узлов интерполирования
всегда будет равно n+1
и значение x,
для которого
определяется величина
,
должно
лежать внутри области определения узлов
интерполяции
т.е.

. (3.6)

В
некоторых практических случаях общее
известное число узлов интерполяции m
может быть больше, чем порядок
интерполирующего полинома n.

В
этом случае, прежде чем реализовывать
процедуру интерполяции согласно формуле
(3.5), необходимо определить те узлы
интерполяции, для которых справедливо
условие (3.6). При этом следует помнить,
что наименьшая погрешность достигается
при нахождении значения x
в центре области интерполяции. Для
обеспечения этого предлагается следующая
процедура:

После ввода в
программу значения величины х
необходимо
проверить условие x₀

x

x_m,
где x₀и x_m
– начальное и конечное значение узловых
точек интерполяции.
При выполнения
предыдущего условия начинается поиск
области интерполяции, для чего находим
первое
x_i
такое, для которого выполняется условие
x_i
> x,
при этом номер i
будет соответствовать середине интервала
интерполяции. Для определения области
интерполяции ее левая граница будет
начинаться с номера
,
а заканчиваться узлом с номером.
После выполнения
пунктов 1 и 2 программируется формула
(3.5).

Основное назначение
интерполяции – это вычисление значений
табулированной функции для не узловых
(промежуточных) значений аргумента,
поэтому интерполяцию часто называют
«искусством чтения таблиц между
строками».

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел ${displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})dots (x_{n},y_{n})}$ , где все ${displaystyle x_{i}}$ различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого ${displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$ .

В простейшем случае это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Файл:Lagrangepolys.png

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

${displaystyle L(x)=sum _{j=0}^{n}y_{j}l_{j}(x)}$

где базисные полиномы определяются по формуле:

${displaystyle l_{j}(x)=prod _{i=0,jneq i}^{n}{frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={frac {x-x_{0}}{x_{j}-x_{0}}}cdots {frac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}}{frac {x-x_{j+1}}{x_{j}-x_{j+1}}}cdots {frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}},!}$

Легко видеть что ${displaystyle l_{j}(x)}$ обладают такими свойствами:

Отсюда следует, что , как линейная комбинация ${displaystyle l_{j}(x)}$ , может иметь степень не больше , и ${displaystyle L(x_{j})=y_{j}}$ , Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для
численного интегрирования.

Пусть для функции известны значения ${displaystyle y_{j}=f(x_{j})}$ в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

${displaystyle f(x)approx sum _{j=0}^{n}f(x_{j})l_{j}(x)}$

В частности,

${displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dxapprox sum _{j=0}^{n}f(x_{j})int limits _{a}^{b}l_{j}(x)dx}$

Значения интегралов от ${displaystyle l_{j}}$ не зависят от , и их можно вычислить заранее, зная последовательность ${displaystyle x_{i}}$ .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить ${displaystyle x_{i}}$ через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку ${displaystyle x_{0}}$ :

${displaystyle x_{j}equiv {x_{0}+jh}}$

и, следовательно,

${displaystyle {x_{i}-x_{j}}equiv (i-j)h}$

Подставив эти выражения в формулу полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

${displaystyle l_{i}(x)={prod _{j=0,,ineq j}^{n}{(x-x_{j}) over (x_{i}-x_{j})}}={prod limits _{j=0,,ineq j}^{n}(x-x_{0}-jh) over h^{n-1}prod limits _{j=0,,ineq j}^{n}(i-j)}}$

Теперь можно ввести замену переменной

${displaystyle y={{x-x_{0}} over h},!}$

и получить полином от XY, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

cs:Lagrangeova interpolace
nl:Lagrange-polynoom
sr:Лагранжов полином
uk:Многочлен Лагранжа

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

This image shows, for four points ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), the (cubic) interpolation polynomial L(x) (dashed, black), which is the sum of the scaled basis polynomials y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) and y₃ℓ₃(x). The interpolation polynomial passes through all four control points, and each scaled basis polynomial passes through its respective control point and is 0 where x corresponds to the other three control points.

In numerical analysis, the Lagrange interpolating polynomial is the unique polynomial of lowest degree that interpolates a given set of data.

Given a data set of coordinate pairs ${displaystyle (x_{j},y_{j})}$ with the $x_{j}$ are called nodes and the $y_{j}$ are called values. The Lagrange polynomial L(x) has degree and assumes each value at the corresponding node, ${displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Although named after Joseph-Louis Lagrange, who published it in 1795,^[1] the method was first discovered in 1779 by Edward Waring.^[2] It is also an easy consequence of a formula published in 1783 by Leonhard Euler.^[3]

Uses of Lagrange polynomials include the Newton–Cotes method of numerical integration, Shamir’s secret sharing scheme in cryptography, and Reed–Solomon error correction in coding theory.

For equispaced nodes, Lagrange interpolation is susceptible to Runge’s phenomenon of large oscillation.

Definition[edit]

Given a set of nodes ${displaystyle {x_{0},x_{1},ldots ,x_{k}}}$ , which must all be distinct, ${displaystyle x_{j}neq x_{m}}$ for indices , the Lagrange basis for polynomials of degree for those nodes is the set of polynomials ${textstyle {ell _{0}(x),ell _{1}(x),ldots ,ell _{k}(x)}}$ each of degree which take values ${textstyle ell _{j}(x_{m})=0}$ if and ${textstyle ell _{j}(x_{j})=1}$ . Using the Kronecker delta this can be written ${textstyle ell _{j}(x_{m})=delta _{jm}.}$ Each basis polynomial can be explicitly described by the product:

${displaystyle {begin{aligned}ell _{j}(x)&={frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}cdots {frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}cdots {frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\[10mu]&=prod _{begin{smallmatrix}0leq mleq k\mneq jend{smallmatrix}}{frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.end{aligned}}}$

Notice that the numerator ${textstyle prod _{mneq j}(x-x_{m})}$ has roots at the nodes ${textstyle {x_{m}}_{mneq j}}$ while the denominator ${textstyle prod _{mneq j}(x_{j}-x_{m})}$ scales the resulting polynomial so that ${textstyle ell _{j}(x_{j})=1.}$

The Lagrange interpolating polynomial for those nodes through the corresponding values ${displaystyle {y_{0},y_{1},ldots ,y_{k}}}$ is the linear combination:

${displaystyle L(x)=sum _{j=0}^{k}y_{j}ell _{j}(x).}$

Each basis polynomial has degree , so the sum has degree , and it interpolates the data because ${textstyle L(x_{m})=sum _{j=0}^{k}y_{j}ell _{j}(x_{m})=sum _{j=0}^{k}y_{j}delta _{mj}=y_{m}.}$

The interpolating polynomial is unique. Proof: assume the polynomial of degree interpolates the data. Then the difference is zero at distinct nodes ${textstyle {x_{0},x_{1},ldots ,x_{k}}.}$ But the only polynomial of degree with more than roots is the constant zero function, so or

Barycentric form[edit]

Each Lagrange basis polynomial ${textstyle ell _{j}(x)}$ can be rewritten as the product of three parts, a function ${textstyle ell (x)=prod _{m}(x-x_{m})}$ common to every basis polynomial, a node-specific constant ${textstyle w_{j}=prod _{mneq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}$ (called the barycentric weight), and a part representing the displacement from ${textstyle x_{j}}$ to :^[4]

${displaystyle ell _{j}(x)=ell (x){dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}$

By factoring out from the sum, we can write the Lagrange polynomial in the so-called first barycentric form:

${displaystyle L(x)=ell (x)sum _{j=0}^{k}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}$

If the weights $w_{j}$ have been pre-computed, this requires only operations compared to ${displaystyle {mathcal {O}}(k^{2})}$ for evaluating each Lagrange basis polynomial $ell _{j}(x)$ individually.

The barycentric interpolation formula can also easily be updated to incorporate a new node $x_{k+1}$ by dividing each of the $w_{j}$ , by $(x_{j}-x_{k+1})$ and constructing the new $w_{k+1}$ as above.

For any ${textstyle sum _{j=0}^{k}ell _{j}(x)=1}$ because the constant function is the unique polynomial of degree leq k interpolating the data ${textstyle {(x_{0},1),(x_{1},1),ldots ,(x_{k},1)}.}$ We can thus further simplify the barycentric formula by dividing

${displaystyle {begin{aligned}L(x)&=ell (x)sum _{j=0}^{k}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{Bigg /}ell (x)sum _{j=0}^{k}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\[10mu]&=sum _{j=0}^{k}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{Bigg /}sum _{j=0}^{k}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.end{aligned}}}$

This is called the second form or true form of the barycentric interpolation formula.

This second form has advantages in computation cost and accuracy: it avoids evaluation of ell (x) ; the work to compute each term in the denominator $w_{j}/(x-x_{j})$ has already been done in computing ${displaystyle {bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){bigr )}y_{j}}$ and so computing the sum in the denominator costs only addition operations; for evaluation points which are close to one of the nodes ${textstyle x_{j}}$ , catastrophic cancelation would ordinarily be a problem for the value ${textstyle (x-x_{j})}$ , however this quantity appears in both numerator and denominator and the two cancel leaving good relative accuracy in the final result.

Using this formula to evaluate L(x) at one of the nodes $x_{j}$ will result in the indeterminate ${displaystyle infty y_{j}/infty }$ ; computer implementations must replace such results by ${displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Each Lagrange basis polynomial can also be written in barycentric form:

${displaystyle ell _{j}(x)={frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{Bigg /}sum _{m=0}^{k}{frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}$

A perspective from linear algebra[edit]

Solving an interpolation problem leads to a problem in linear algebra amounting to inversion of a matrix. Using a standard monomial basis for our interpolation polynomial ${textstyle L(x)=sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}$ , we must invert the Vandermonde matrix ${displaystyle (x_{i})^{j}}$ to solve $L(x_{i})=y_{i}$ for the coefficients $m_{j}$ of L(x) . By choosing a better basis, the Lagrange basis, ${textstyle L(x)=sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}$ , we merely get the identity matrix, $delta _{ij}$ , which is its own inverse: the Lagrange basis automatically inverts the analog of the Vandermonde matrix.

This construction is analogous to the Chinese remainder theorem. Instead of checking for remainders of integers modulo prime numbers, we are checking for remainders of polynomials when divided by linears.

Furthermore, when the order is large, Fast Fourier transformation can be used to solve for the coefficients of the interpolated polynomial.

Example[edit]

We wish to interpolate $f(x)=x^{2}$ over the domain at the three nodes :

${displaystyle {begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.end{aligned}}}$

The node polynomial ell is

${displaystyle ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}$

The barycentric weights are

${displaystyle {begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={tfrac {1}{2}},\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={tfrac {1}{2}}.end{aligned}}}$

The Lagrange basis polynomials are

${displaystyle {begin{aligned}ell _{0}(x)&={frac {x-2}{1-2}}cdot {frac {x-3}{1-3}}={tfrac {1}{2}}x^{2}-{tfrac {5}{2}}x+3,\[5mu]ell _{1}(x)&={frac {x-1}{2-1}}cdot {frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\[5mu]ell _{2}(x)&={frac {x-1}{3-1}}cdot {frac {x-2}{3-2}}={tfrac {1}{2}}x^{2}-{tfrac {3}{2}}x+1.end{aligned}}}$

The Lagrange interpolating polynomial is:

${displaystyle {begin{aligned}L(x)&=1cdot {frac {x-2}{1-2}}cdot {frac {x-3}{1-3}}+4cdot {frac {x-1}{2-1}}cdot {frac {x-3}{2-3}}+9cdot {frac {x-1}{3-1}}cdot {frac {x-2}{3-2}}\[6mu]&=x^{2}.end{aligned}}}$

In (second) barycentric form,

${displaystyle L(x)={frac {displaystyle sum _{j=0}^{2}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{displaystyle sum _{j=0}^{2}{frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={frac {displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{x-1}}+{frac {-4}{x-2}}+{frac {tfrac {9}{2}}{x-3}}}{displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{x-1}}+{frac {-1}{x-2}}+{frac {tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}$

Notes[edit]

Example of interpolation divergence for a set of Lagrange polynomials.

The Lagrange form of the interpolation polynomial shows the linear character of polynomial interpolation and the uniqueness of the interpolation polynomial. Therefore, it is preferred in proofs and theoretical arguments. Uniqueness can also be seen from the invertibility of the Vandermonde matrix, due to the non-vanishing of the Vandermonde determinant.

But, as can be seen from the construction, each time a node x_k changes, all Lagrange basis polynomials have to be recalculated. A better form of the interpolation polynomial for practical (or computational) purposes is the barycentric form of the Lagrange interpolation (see below) or Newton polynomials.

Lagrange and other interpolation at equally spaced points, as in the example above, yield a polynomial oscillating above and below the true function. This behaviour tends to grow with the number of points, leading to a divergence known as Runge’s phenomenon; the problem may be eliminated by choosing interpolation points at Chebyshev nodes.^[5]

The Lagrange basis polynomials can be used in numerical integration to derive the Newton–Cotes formulas.

Remainder in Lagrange interpolation formula[edit]

When interpolating a given function f by a polynomial of degree k at the nodes ${displaystyle x_{0},...,x_{k}}$ we get the remainder which can be expressed as^[6]

${displaystyle R(x)=f[x_{0},ldots ,x_{k},x]ell (x)=ell (x){frac {f^{(k+1)}(xi )}{(k+1)!}},quad quad x_{0}<xi <x_{k},}$

where ${displaystyle f[x_{0},ldots ,x_{k},x]}$ is the notation for divided differences. Alternatively, the remainder can be expressed as a contour integral in complex domain as

${displaystyle R(x)={frac {ell (x)}{2pi i}}int _{C}{frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})cdots (t-x_{k})}}dt={frac {ell (x)}{2pi i}}int _{C}{frac {f(t)}{(t-x)ell (t)}}dt.}$

The remainder can be bound as

${displaystyle |R(x)|leq {frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}max _{x_{0}leq xi leq x_{k}}|f^{(k+1)}(xi )|.}$

Derivation^[7][edit]

Clearly, is zero at nodes. To find R(x) at a point ${displaystyle x_{p}}$ , define a new function and choose ${textstyle {tilde {R}}(x)=Ccdot prod _{i=0}^{k}(x-x_{i})}$ where is the constant we are required to determine for a given $x_{p}$ . We choose so that F(x) has k+2 zeroes (at all nodes and $x_{p}$ ) between $x_{0}$ and $x_{k}$ (including endpoints). Assuming that f(x) is k+1 -times differentiable, since L(x) and are polynomials, and therefore, are infinitely differentiable, F(x) will be k+1 -times differentiable. By Rolle’s theorem, ${displaystyle F^{(1)}(x)}$ has k+1 zeroes, ${displaystyle F^{(2)}(x)}$ has zeroes… ${displaystyle F^{(k+1)}}$ has 1 zero, say ${displaystyle xi ,,x_{0}<xi <x_{k}}$ . Explicitly writing ${displaystyle F^{(k+1)}(xi )}$ :

${displaystyle F^{(k+1)}(xi )=f^{(k+1)}(xi )-L^{(k+1)}(xi )-{tilde {R}}^{(k+1)}(xi )}$

${displaystyle L^{(k+1)}=0,{tilde {R}}^{(k+1)}=Ccdot (k+1)!}$

(Because the highest power of

)

${displaystyle 0=f^{(k+1)}(xi )-Ccdot (k+1)!}$

The equation can be rearranged as

${displaystyle C={frac {f^{(k+1)}(xi )}{(k+1)!}}}$

Since ${displaystyle F(x_{p})=0}$ we have ${displaystyle R(x_{p})={tilde {R}}(x_{p})={frac {f^{k+1}(xi )}{(k+1)!}}prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}$

Derivatives[edit]

The dth derivative of a Lagrange interpolating polynomial can be written in terms of the derivatives of the basis polynomials,

${displaystyle L^{(d)}(x):=sum _{j=0}^{k}y_{j}ell _{j}^{(d)}(x).}$

Recall (see § Definition above) that each Lagrange basis polynomial is

${displaystyle {begin{aligned}ell _{j}(x)&=prod _{begin{smallmatrix}m=0\mneq jend{smallmatrix}}^{k}{frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.end{aligned}}}$

The first derivative can be found using the product rule:

${displaystyle {begin{aligned}ell _{j}'(x)&=sum _{begin{smallmatrix}i=0\inot =jend{smallmatrix}}^{k}{Biggl [}{frac {1}{x_{j}-x_{i}}}prod _{begin{smallmatrix}m=0\mnot =(i,j)end{smallmatrix}}^{k}{frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{Biggr ]}\[5mu]&=ell _{j}(x)sum _{begin{smallmatrix}i=0\inot =jend{smallmatrix}}^{k}{frac {1}{x-x_{i}}}.end{aligned}}}$

The second derivative is

${displaystyle {begin{aligned}ell _{j}''(x)&=sum _{begin{smallmatrix}i=0\ineq jend{smallmatrix}}^{k}{frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{Biggl [}sum _{begin{smallmatrix}m=0\mneq (i,j)end{smallmatrix}}^{k}{Biggl (}{frac {1}{x_{j}-x_{m}}}prod _{begin{smallmatrix}n=0\nneq (i,j,m)end{smallmatrix}}^{k}{frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{Biggr )}{Biggr ]}\[10mu]&=ell _{j}(x)sum _{0leq i<mleq k}{frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\[10mu]&=ell _{j}(x){Biggl [}{Biggl (}sum _{begin{smallmatrix}i=0\inot =jend{smallmatrix}}^{k}{frac {1}{x-x_{i}}}{Biggr )}^{2}-sum _{begin{smallmatrix}i=0\inot =jend{smallmatrix}}^{k}{frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{Biggr ]}.end{aligned}}}$

The third derivative is

${displaystyle {begin{aligned}ell _{j}'''(x)&=ell _{j}(x)sum _{0leq i<m<nleq k}{frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}end{aligned}}}$

and likewise for higher derivatives.

Finite fields[edit]

The Lagrange polynomial can also be computed in finite fields. This has applications in cryptography, such as in Shamir’s Secret Sharing scheme.

References[edit]

^
Lagrange, Joseph-Louis (1795). “Leçon Cinquième. Sur l’usage des courbes dans la solution des problèmes”. Leçons Elémentaires sur les Mathématiques (in French). Paris. Republished in Serret, Joseph-Alfred, ed. (1877). Oeuvres de Lagrange. Vol. 7. Gauthier-Villars. pp. 271–287. Translated as “Lecture V. On the Employment of Curves in the Solution of Problems”. Lectures on Elementary Mathematics. Translated by McCormack, Thomas J. (2nd ed.). Open Court. 1901. pp. 127–149.
^ Waring, Edward (1779). “Problems concerning interpolations”. Philosophical Transactions of the Royal Society. 69: 59–67. doi:10.1098/rstl.1779.0008.
^ Meijering, Erik (2002). “A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing” (PDF). Proceedings of the IEEE. 90 (3): 319–342. doi:10.1109/5.993400.
^ Berrut, Jean-Paul; Trefethen, Lloyd N. (2004). “Barycentric Lagrange Interpolation” (PDF). SIAM Review. 46 (3): 501–517. Bibcode:2004SIAMR..46..501B. doi:10.1137/S0036144502417715.
^ Quarteroni, Alfio; Saleri, Fausto (2003). Scientific Computing with MATLAB. Texts in computational science and engineering. Vol. 2. Springer. p. 66. ISBN 978-3-540-44363-6..
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. “Chapter 25, eqn 25.2.3”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 878. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
^ “Interpolation” (PDF).

External links[edit]

“Lagrange interpolation formula”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
ALGLIB has an implementations in C++ / C# / VBA / Pascal.
GSL has a polynomial interpolation code in C
SO has a MATLAB example that demonstrates the algorithm and recreates the first image in this article
Lagrange Method of Interpolation — Notes, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple at Holistic Numerical Methods Institute
Lagrange interpolation polynomial on www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. “Lagrange Interpolating Polynomial”. MathWorld.
Lagrange polynomial at ProofWiki
Dynamic Lagrange interpolation with JSXGraph
Numerical computing with functions: The Chebfun Project
Excel Worksheet Function for Bicubic Lagrange Interpolation
Lagrange polynomials in Python

Источник

Этот калькулятор может пригодиться при решении задач на интерполяцию полиномом Лагранжа. В таких задачах обычно требуется интерполировать значение неизвестной функции, соответствующее некоторому значению x, использую формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, полученную из известного набора точек со значениями неизвестной функции (x, f(x)).

Калькулятор ниже обладает следующими функциями:

Он находит формулу полинома Лагранжа для заданного набора точек.
Он отображает пошаговый вывод формулы.
Он вычисляет значения интерполяционного многочлена Лагранжа для заданных точек (интерполирует функцию полиномом Лагранжа в заданных точках интерполяции)
Он отображает набор точек, значения в точках интерполяции, полином Лагранжа и все базисные полиномы на графике.

Как пользоваться

Сначала вводите набор точек – одна точка на строку в форме x f(x), значения разделены пробелом. Если вы хотите получить интерполяцию, вводите значения точек интерполяции в следующее поле в виде значений x, разделенных пробелом.

По умолчанию, калькулятор отображает формулу многочлена и его значения в точках интерполяции. Если нужно пошаговое решение, включите опцию “Показать пошаговое решение”. Также можно отключить отображение базисных полиномов.

Теория и формулы, как обычно, описаны под калькулятором.

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

Набор точек, одна точка на строку, значения разделяются пробелом

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Показать решение по шагам

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Показать базисные полиномы

Полином Лагранжа

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Предположим, что у нас есть набор значений, соответствующих неизвестной функции, при этом все x различны:

$(x_{0},y_{0}),ldots ,(x_{j},y_{j}),ldots ,(x_{k},y_{k})$

Сконструируем следующий многочлен (называемые многочленом Лагранжа):

$L(x):=sum _{j=0}^{k}y_{j}ell _{j}(x)$

где $ell _{j}(x)$ – базисный полином Лагранда

$ell _{j}(x):=prod _{begin{smallmatrix}0leq mleq k\mneq jend{smallmatrix}}{frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}={frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}cdots {frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}cdots {frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}$

Если посмотреть на формулу базисного полинома для любого j, то видно что для всех точек i не равных j, значение этого полинома обращается в ноль, а в самой точке j значение этого полинома j равно единице. Таким образом,

$y_{j}ell _{j}(x_{j})=y_{j} cdot 1=y_{j}$

$L(x_{j})=y_{j}+0+0+dots +0=y_{j}$

что означает, что полином Лагранжа точно интерполирует значение функции в заданных точках.

Стоит заметить, что формула интерполяционного многочлена Лагранжа подвержена воздействию так называемого феномена Рунге. Феномен Рунге связан к увеличением колебаний полинома на краях интервала при использовании полиномов высоких степеней на равноудаленных друг от друга точках. Таким образом, наличие большого количества точек далеко не всегда приводит к улучшению точности интерполяции.

Однако также стоит заметить, что в отличие от некоторых других формул интерполяции, формула Лагранжа не требует того, чтобы точки в наборе были равноудалены друг от друга. Это используется в некоторых способах борьбы с феноменом Рунге, например, при использовании в качестве точек интерполяции узлов Чебышева.

Источник

Определение[править | править код]

Общий случай[править | править код]

Случай равноотстоящих узлов интерполяции[править | править код]

Остаточный член[править | править код]

Единственность[править | править код]

С точки зрения линейной алгебры[править | править код]

С точки зрения китайской теоремы об остатках[править | править код]

Пример[править | править код]

Реализация общего случая на языке программирования Python (не оптимальный вариант)[править | править код]

Применения[править | править код]

Численное интегрирование[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]

Интерполяция, полином Лагранжа

Общие положения

Интерполяционный полином

Интерполяционная формула Лагранжа

Определение

Применения

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

Definition[edit]

Barycentric form[edit]

A perspective from linear algebra[edit]

Example[edit]

Notes[edit]

Remainder in Lagrange interpolation formula[edit]

Derivation^[7][edit]

Derivatives[edit]

Finite fields[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Как пользоваться

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Добавить комментарий Отменить ответ

Определение[править | править код]

Общий случай[править | править код]

Случай равноотстоящих узлов интерполяции[править | править код]

Остаточный член[править | править код]

Единственность[править | править код]

С точки зрения линейной алгебры[править | править код]

С точки зрения китайской теоремы об остатках[править | править код]

Пример[править | править код]

Реализация общего случая на языке программирования Python (не оптимальный вариант)[править | править код]

Применения[править | править код]

Численное интегрирование[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]

Интерполяция, полином Лагранжа

Общие положения

Интерполяционный полином

Интерполяционная формула Лагранжа

Определение

Применения

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

Definition[edit]

Barycentric form[edit]

A perspective from linear algebra[edit]

Example[edit]

Notes[edit]

Remainder in Lagrange interpolation formula[edit]

Derivation[7][edit]

Derivatives[edit]

Finite fields[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Как пользоваться

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Вам также может понравиться

Как исправить косяк на работе

Как исправить тугое тесто для куличей

Киндер сюрприз как найти натунс

Добавить комментарий Отменить ответ

Derivation^[7][edit]