Как найти интервал действительных чисел

Если множество
рациональных чисел объединить с
множеством иррациональных чисел, то
получится множество действительных
чисел. Множество действительных чисел
обычно означают буквой
;
используют также символическую запись.

Действительные
числа изображают точками координатной
прямой (числовой оси).

Определение
1.8. Координатная прямая –
это всякая прямая, на которой выбраны
направление, принимаемое за положительное,
точка – начало отсчета и единица
измерения – масштабный отрезок, длина
которого принимается равной единице.

Пусть
и– действительные числа и.
В таблице 1.1 даны названия, определения
и обозначения числовых множеств,
называемыхчисловыми
промежутками,
и их изображение на координатной прямой.
Каждый из числовых промежутков
определяется как множество действительных
чисел
,
удовлетворяющих определенным неравенствам.

Таблица 1.1

Название	Неравенство, определяющее множество	Обозначение	Изображение
отрезок от до(замкнутый промежуток)
интервал от до(открытый промежуток)
открытый слева промежуток от до (полуинтервал)
открытый справа промежуток от до (полуинтервал)
числовой луч от до
открытый числовой луч от до
числовой луч от до
открытый числовой луч от до

1.5. Модуль действительного числа

Определение
1.9. Модулем неотрицательного действительного
числа
называют
само это число:
;
модулем
отрицательного действительного числа

называют
противоположное число:
.

Или записывают
так:

Например,
;;(так как).

Свойства модулей

1. .	4. .	7. .
2. .	5. .	8. .
3. .	6. .	9. .

1.6. Метод математической индукции

Утверждение,
зависящее
от
натурального
числа
,
справедливо для любого,
если выполнены два условия:

1) утверждение
верно для
;

1. из справедливости
   утверждения для
   ,
   где– любое натуральное

число, вытекает
справедливость утверждения и для
следующего натурального числа
.

Замечание 1.1.
В некоторых
случаях утверждение является истинным
для
,
тогда в этом случае пункт1)
проверяют для
,
а пункт2)
доказывают
при
.
Аналогично, если утверждение выполняется
лишь для,
тогда пункт1)
проверяют для
,
а пункт2)
доказывают при
.

Пример 1.11.
Доказать,
что

.

(1.3)

Решение. 1)
Проверим
справедливость этого утверждения для
,
то есть справедливость равенства.
Очевидно,.

2) Предположим,
что равенство (1.3) выполняется при
,
то есть справедливо равенство:

.

(1.4)

Докажем, что тогда
проверяемое равенство (1.3) верно и при
,
то есть докажем равенство

.

(1.5)

Подчеркнем, что
равенство (1.5) интересует нас не само по
себе, а интересует вопрос, вытекает ли
оно из равенства (1.4).

Рассмотрим левую
часть равенства (1.5) и воспользуемся в
процессе преобразований равенством
(1.4):

.

Таким образом, из
равенства (1.4) вытекает равенство (1.5).
Оба условия принципа математической
индукции выполнены, следовательно,
равенство (1.3) справедливо для любого
натурального числа
.

Пример 1.12.
Доказать,
что
при

Решение. 1)
При
имеем:– делится на 17.

2) Предположим, что
утверждение выполняется при
,
то есть,
(,
где),
и докажем, что оно верно и при,
а именно

.

Действительно,

.

Оба условия принципа
математической индукции выполняются,
следовательно, выдвинутое утверждение
доказано.

Пример 1.13.
Доказать,
что для
исправедливо неравенство

(его называют
неравенством
Бернулли
в честь швейцарского математика Якоба
Бернулли (1654-1705)).

Решение. 1)
При
получим верное неравенство:

(так как
)

2) Предположим, что
неравенство Бернулли верно для
():

.

(1.6)

Докажем, что
неравенство Бернулли верно и для
,
то есть докажем, что

.

Умножим обе части
неравенства (1.6) на одно и тоже положительное
число
,
тогда получим:

,

что и требовалось
доказать. Следовательно, по принципу
математической индукции неравенство
Бернулли справедливо для любого
.

Соседние файлы в папке Gmail

• #
• #
• #
• #

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если , то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через , то есть

В случае отрезок состоит из одной точки.

Если , то множество называется интервалом и обозначается через , т.е.

Интервал называется внутренностью отрезка

Множества  и  называются полуинтервалами.

Отрезки , интервалы и полуинтервалы называются промежутками, а точки a и b – их концами: a – левым концом, а b – правым, а точки x такие, что – их внутренними точками.

Если a и b конечны, т.е. то промежуток с концами a и b называется также конечным промежутком, а число b ? a – его длиной. Если хотя бы одно из a и b является бесконечным, то промежуток с концами a и b называется бесконечным.

Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством:  если точки 
принадлежат некоторому промежутку с концами  и  то и весь отрезок  принадлежит этому промежутку.

Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие – окрестности точки расширенной числовой прямой. В случае т.е. когда a является действительным числом, – окрестностью ^[1] а числа a называется интервал

Если же то

а если то

Таким образом, во всех случаях, т.е. когда a – действительно число и когда a – одна из бесконечностей при уменьшении числа соответствующие – окрестности уменьшаются: если то

Иногда бывает удобно пополнить множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) Ее – окрестность определяется равенством

Иначе говоря, – окрестность состоит из двух бесконечных интервалов и самого элемента Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со знаком и бесконечность без знака не связана с действительными числами отношением порядка.

Всякая – окрестность конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто обозначается просто через U(a). Иногда мы будем обозначать окрестность и другими буквами, например V, W.

Нередко с определенными выше окрестностями бесконечностей в пополнениях ими множества действительных чисел иногда рассматривают и окрестности бесконечностей и в самом множестве действительных чисел: и Сами бесконечности, конечно, уже не попадают в эти окрестности.

 Лемма
У любых двух различных точек расширенной числовой прямой (расширенной с помощью двух бесконечностей со знаком или при помощи  
только одной бесконечности без знака) существуют непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай расширенной числовой прямой R, полученной добавлением к множеству действительных чисел R двух бесконечностей со знаком. Покажем, что для любых и существуют такие и что В самом деле, если a и b – действительные числа, то можно взять (рис. 1, а)^[2] Если a – действительное число, а , то в качестве указанных и подходят, например, и (рис. 1, б). Если – действительное число, то можно взять (рис. 1, в). Наконец, если то при произвольном окрестности и не пересекаются (рис. 1, г). Если же числовая прямая R дополнена лишь одной бесконечностью , то достаточно рассмотреть лишь случай и (так как случай и рассмотрен выше), в котором можно снова (как при ) взять , а

Замечание 2. В случае   и их непересекающихся окрестностей  
для любых  и  очевидно, справедливо неравенство 

Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой во всех возможных здесь случаях, т.е. при при при и при Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.

Примечания

1. ^ Обозначение окрестности точки символом U происходит от нем. Umgebung – окрестность.
2. ^ Рисунок 1

Источник

Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа, “Дрофа”

Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби   , где  и . Множество рациональных чисел обозначают  . 

Рациональными являются натуральные и целые числа, а также конечные и периодические десятичные дроби, так как все они могут быть обращены в обыкновенную дробь. 

Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, иррациональными являются числа:  ;  ;  .

Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Запись   обозначает множество всех действительных чисел  или множество всех точек числовой прямой.

Координаты точек

Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой. 

Например, на рисунке 1.4 точка  имеет координату  , точка  – координату  , а точка  – координату  Записывают:   ,  ,   .

Расположим две координатные прямые  и  так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. При этом прямую  называют осью абсцисс, а прямую  – осью ординат. Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют  ,  ,  и   координатными четвертями. 

Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел   , которые называют координатами точки на плоскости.

На координатной плоскости (рис. 1.6) построим точку  с координатами  и  . Для этого отложим на оси   единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси  . Отложим на оси   единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . В результате пересечения этих прямых получим точку , которой соответствуют два числа: число  – абсцисса точки  , число–ордината точки  . Запишем:  . 

Изображения числовых множеств

Отрезок  – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   . С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек  и  , а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7). 

Например, на рисунке 1.8 отрезок   есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .

Интервал  – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   . Если из отрезка  исключить точки  и  , то получим интервал  (рис. 1.9).

Например, на рисунке 1.10 интервал   есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .

Полуинтервалы и  – множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам   и   .

Например, полуинтервал   – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   (рис. 1.11), а полуинтервал   – множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  (рис. 1.12).

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками. 

Длина отрезка. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала, то есть длина отрезка  равна   . 

Середина отрезка. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму координат концов отрезка, то есть серединой отрезка  является число   .

Операции над числовыми множествами

Запись   означает, что имеем -элементное множество  , состоящее из элементов   . Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству  , то записывают:  ,  и т. д. Если некоторый элемент  не принадлежит заданному множеству  , то записывают:   .

Например, запишем, что число  принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел:   ,   .

Множество  является подмножеством множества  , если все элементы множества  являются элементами множества  . Говорят, что множество  содержит в себе множество  или, что множество  включается в множество  и записывают:   . 

Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, а множество рациональных чисел – подмножеством множества действительных чисел:   и   .

Объединением двух множеств  и  называют множество  , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  или  . Объединение множеств  и  записывают так:  .

Примером объединения множеств является решение совокупности неравенств: решением совокупности неравенств   является объединение промежутков   и  . 

Пересечением двух множеств  и  называют множество  , состоящее из элементов, принадлежащих и множеству  и множеству  . Пересечение множеств  и  записывают так:  . Если множества  и  не содержат общих элементов, то их пересечение пусто:   .

Примером пересечения множеств является решение системы неравенств: решением системы неравенств   является пересечение промежутков   и   . 

Пример 1. Найдите длину и середину отрезка  .

Решение. Длина отрезка равна:   .

Середина отрезка равна:  .

Ответ: ;  .

Пример 2. Решите   и   .

Решение. Решением совокупности неравенств   является объединение промежутков   и   (рис. 1.13). Запишем:   .

Решение системы неравенств   показано на рисунке 1.14 – это промежуток   .

Пример 3. Вычислите   .

Решение. Найдем значение выражения, записанного в числителе дроби: 

1)   ;

2)   ;

3)   .

Найдем значение выражения, записанного в знаменателе дроби:

4)   ;

5)   ;

6)   ;

7)    ;

8)   .

Разделим числитель дроби на ее знаменатель:

 .

Ответ:  .

Пример 4. Найдите сумму всех чисел  , каждое из которых делится без остатка на  и принадлежит промежутку   .

Решение. Рассмотрим отрезок   и интервал   (рис. 1.15). 

1. Рассмотрим отрезок   . Сумма всех чисел, каждое из которых делится без остатка на  и принадлежит этому отрезку, будет равна нулю (  ,   и т. д.).

2. Рассмотрим интервал . Зная, что число делится на , но не принадлежит рассматриваемому интервалу, найдем все числа, кратные  и не превосходящие число  .  

Получим:   ,   .

Тогда   .

Ответ:  .

Пример 5. Укажите все номера рациональных чисел данного множества:   (1);   (2);  (3);  (4);  (5).

Варианты ответов: а)  , ,  ; б)  ,  ,  ; в)  ,  ,  ; г)  ,  ,  ; д)  ,  ,  .

Решение. Применим метод исключений, выполняя следующие преобразования.

1. Преобразуем любое число данного множества, например число (5):  .

Число (5) рациональное, значит, исключим варианты ответов, не содержащие этого числа, то есть варианты г) и д).

2. Преобразуем число (3):   . Число (3) иррациональное, значит, исключим вариант ответа в).

3. Преобразуем любое из чисел (2) или (4), так как число (1) входит в оба оставшихся варианта ответа:   . Число (4) – рациональное.

Ответ:  б.

1. Обозначения числовых множеств:

1)  – множество натуральных чисел;

2)  – множество целых чисел;

3)  – множество рациональных чисел;

4)  – множество иррациональных чисел;

5)  – множество действительных чисел;

6)  – пустое множество.

2. Справедливо, что:  ;  ;  . 

In mathematics, a (real) interval is a set of real numbers that contains all real numbers lying between any two numbers of the set. For example, the set of numbers x satisfying 0 ≤ x ≤ 1 is an interval which contains 0, 1, and all numbers in between. Other examples of intervals are the set of numbers such that 0 < x < 1, the set of all real numbers , the set of nonnegative real numbers, the set of positive real numbers, the empty set, and any singleton (set of one element).

Real intervals play an important role in the theory of integration, because they are the simplest sets whose “length” (or “measure” or “size”) is easy to define. The concept of measure can then be extended to more complicated sets of real numbers, leading to the Borel measure and eventually to the Lebesgue measure.

Intervals are central to interval arithmetic, a general numerical computing technique that automatically provides guaranteed enclosures for arbitrary formulas, even in the presence of uncertainties, mathematical approximations, and arithmetic roundoff.

Intervals are likewise defined on an arbitrary totally ordered set, such as integers or rational numbers. The notation of integer intervals is considered in the special section below.

Terminology[edit]

An open interval does not include its endpoints, and is indicated with parentheses.^[1] For example, (0, 1) means greater than 0 and less than 1. This means (0, 1) = {x | 0 < x < 1}.
This interval can also be denoted by ]0, 1[, see below.

A closed interval is an interval which includes all its limit points, and is denoted with square brackets.^[1] For example, [0, 1] means greater than or equal to 0 and less than or equal to 1.

A half-open interval includes only one of its endpoints, and is denoted by mixing the notations for open and closed intervals.^[2] For example, (0, 1] means greater than 0 and less than or equal to 1, while [0, 1) means greater than or equal to 0 and less than 1.

A degenerate interval is any set consisting of a single real number (i.e., an interval of the form [a, a]).^[2] Some authors include the empty set in this definition. A real interval that is neither empty nor degenerate is said to be proper, and has infinitely many elements.

An interval is said to be left-bounded or right-bounded, if there is some real number that is, respectively, smaller than or larger than all its elements. An interval is said to be bounded, if it is both left- and right-bounded; and is said to be unbounded otherwise. Intervals that are bounded at only one end are said to be half-bounded. The empty set is bounded, and the set of all reals is the only interval that is unbounded at both ends. Bounded intervals are also commonly known as finite intervals.

Bounded intervals are bounded sets, in the sense that their diameter (which is equal to the absolute difference between the endpoints) is finite. The diameter may be called the length, width, measure, range, or size of the interval. The size of unbounded intervals is usually defined as +∞, and the size of the empty interval may be defined as 0 (or left undefined).

The centre (midpoint) of a bounded interval with endpoints a and b is (a + b)/2, and its radius is the half-length |a − b|/2. These concepts are undefined for empty or unbounded intervals.

An interval is said to be left-open if and only if it contains no minimum (an element that is smaller than all other elements); right-open if it contains no maximum; and open if it contains neither. The interval [0, 1) = {x | 0 ≤ x < 1}, for example, is left-closed and right-open. The empty set and the set of all reals are both open and closed intervals, while the set of non-negative reals, is a closed interval that is right-open but not left-open. The open intervals are open sets of the real line in its standard topology, and form a base of the open sets.

An interval is said to be left-closed if it has a minimum element or is left-unbounded, right-closed if it has a maximum or is right unbounded; it is simply closed if it is both left-closed and right closed. So, the closed intervals coincide with the closed sets in that topology.

The interior of an interval I is the largest open interval that is contained in I; it is also the set of points in I which are not endpoints of I. The closure of I is the smallest closed interval that contains I; which is also the set I augmented with its finite endpoints.

For any set X of real numbers, the interval enclosure or interval span of X is the unique interval that contains X, and does not properly contain any other interval that also contains X.

An interval I is subinterval of interval J if I is a subset of J. An interval I is a proper subinterval of J if I is a proper subset of J.

Note on conflicting terminology[edit]

The terms segment and interval have been employed in the literature in two essentially opposite ways, resulting in ambiguity when these terms are used. The Encyclopedia of Mathematics^[3] defines interval (without a qualifier) to exclude both endpoints (i.e., open interval) and segment to include both endpoints (i.e., closed interval), while Rudin’s Principles of Mathematical Analysis^[4] calls sets of the form [a, b] intervals and sets of the form (a, b) segments throughout. These terms tend to appear in older works; modern texts increasingly favor the term interval (qualified by open, closed, or half-open), regardless of whether endpoints are included.

Notations for intervals[edit]

The interval of numbers between a and b, including a and b, is often denoted [a, b]. The two numbers are called the endpoints of the interval. In countries where numbers are written with a decimal comma, a semicolon may be used as a separator to avoid ambiguity.

Including or excluding endpoints[edit]

To indicate that one of the endpoints is to be excluded from the set, the corresponding square bracket can be either replaced with a parenthesis, or reversed. Both notations are described in International standard ISO 31-11. Thus, in set builder notation,

Each interval (a, a), [a, a), and (a, a] represents the empty set, whereas [a, a] denotes the singleton set {a}. When a > b, all four notations are usually taken to represent the empty set.

Both notations may overlap with other uses of parentheses and brackets in mathematics. For instance, the notation (a, b) is often used to denote an ordered pair in set theory, the coordinates of a point or vector in analytic geometry and linear algebra, or (sometimes) a complex number in algebra. That is why Bourbaki introduced the notation ]a, b[ to denote the open interval.^[5] The notation [a, b] too is occasionally used for ordered pairs, especially in computer science.

Some authors such as Yves Tillé use ]a, b[ to denote the complement of the interval (a, b); namely, the set of all real numbers that are either less than or equal to a, or greater than or equal to b.

Infinite endpoints[edit]

In some contexts, an interval may be defined as a subset of the extended real numbers, the set of all real numbers augmented with −∞ and +∞.

In this interpretation, the notations [−∞, b] , (−∞, b] , [a, +∞] , and [a, +∞) are all meaningful and distinct. In particular, (−∞, +∞) denotes the set of all ordinary real numbers, while [−∞, +∞] denotes the extended reals.

Even in the context of the ordinary reals, one may use an infinite endpoint to indicate that there is no bound in that direction. For example, (0, +∞) is the set of positive real numbers, also written as . The context affects some of the above definitions and terminology. For instance, the interval (−∞, +∞) =  is closed in the realm of ordinary reals, but not in the realm of the extended reals.

Integer intervals[edit]

When a and b are integers, the notation ⟦a, b⟧, or [a .. b] or {a .. b} or just a .. b, is sometimes used to indicate the interval of all integers between a and b included. The notation [a .. b] is used in some programming languages; in Pascal, for example, it is used to formally define a subrange type, most frequently used to specify lower and upper bounds of valid indices of an array.

An integer interval that has a finite lower or upper endpoint always includes that endpoint. Therefore, the exclusion of endpoints can be explicitly denoted by writing a .. b − 1 , a + 1 .. b , or a + 1 .. b − 1. Alternate-bracket notations like [a .. b) or [a .. b[ are rarely used for integer intervals.^{[citation needed]}

Classification of intervals[edit]

The intervals of real numbers can be classified into the eleven different types listed below^{[citation needed]}, where a and b are real numbers, and :

Properties of intervals[edit]

The intervals are precisely the connected subsets of . It follows that the image of an interval by any continuous function is also an interval. This is one formulation of the intermediate value theorem.

The intervals are also the convex subsets of . The interval enclosure of a subset is also the convex hull of .

The intersection of any collection of intervals is always an interval. The union of two intervals is an interval if and only if they have a non-empty intersection or an open end-point of one interval is a closed end-point of the other – e.g., .

If is viewed as a metric space, its open balls are the open bounded sets (c + r, c − r), and its closed balls are the closed bounded sets [c + r, c − r].

Any element x of an interval I defines a partition of I into three disjoint intervals I₁, I₂, I₃: respectively, the elements of I that are less than x, the singleton , and the elements that are greater than x. The parts I₁ and I₃ are both non-empty (and have non-empty interiors), if and only if x is in the interior of I. This is an interval version of the trichotomy principle.

Dyadic intervals[edit]

A dyadic interval is a bounded real interval whose endpoints are and , where and are integers. Depending on the context, either endpoint may or may not be included in the interval.

Dyadic intervals have the following properties:

• The length of a dyadic interval is always an integer power of two.
• Each dyadic interval is contained in exactly one dyadic interval of twice the length.
• Each dyadic interval is spanned by two dyadic intervals of half the length.
• If two open dyadic intervals overlap, then one of them is a subset of the other.

The dyadic intervals consequently have a structure that reflects that of an infinite binary tree.

Dyadic intervals are relevant to several areas of numerical analysis, including adaptive mesh refinement, multigrid methods and wavelet analysis. Another way to represent such a structure is p-adic analysis (for p = 2).^[6]

Generalizations[edit]

Multi-dimensional intervals[edit]

In many contexts, an -dimensional interval is defined as a subset of that is the Cartesian product of intervals, , one on each coordinate axis.

For , this can be thought of as region bounded by a square or rectangle, whose sides are parallel to the coordinate axes, depending on whether the width of the intervals are the same or not; likewise, for , this can be thought of as a region bounded by an axis-aligned cube or a rectangular cuboid.
In higher dimensions, the Cartesian product of intervals is bounded by an n-dimensional hypercube or hyperrectangle.

A facet of such an interval is the result of replacing any non-degenerate interval factor by a degenerate interval consisting of a finite endpoint of . The faces of comprise itself and all faces of its facets. The corners of are the faces that consist of a single point of .

Complex intervals[edit]

Intervals of complex numbers can be defined as regions of the complex plane, either rectangular or circular.^[7]

Topological algebra[edit]

Intervals can be associated with points of the plane, and hence regions of intervals can be associated with regions of the plane. Generally, an interval in mathematics corresponds to an ordered pair (x,y) taken from the direct product R × R of real numbers with itself, where it is often assumed that y > x. For purposes of mathematical structure, this restriction is discarded,^[8] and “reversed intervals” where y − x < 0 are allowed. Then, the collection of all intervals [x,y] can be identified with the topological ring formed by the direct sum of R with itself, where addition and multiplication are defined component-wise.

The direct sum algebra has two ideals, { [x,0] : x ∈ R } and { [0,y] : y ∈ R }. The identity element of this algebra is the condensed interval [1,1]. If interval [x,y] is not in one of the ideals, then it has multiplicative inverse [1/x, 1/y]. Endowed with the usual topology, the algebra of intervals forms a topological ring. The group of units of this ring consists of four quadrants determined by the axes, or ideals in this case. The identity component of this group is quadrant I.

Every interval can be considered a symmetric interval around its midpoint. In a reconfiguration published in 1956 by M Warmus, the axis of “balanced intervals” [x, −x] is used along with the axis of intervals [x,x] that reduce to a point. Instead of the direct sum , the ring of intervals has been identified^[9] with the split-complex number plane by M. Warmus and D. H. Lehmer through the identification

z = (x + y)/2 + j (x − y)/2.

This linear mapping of the plane, which amounts of a ring isomorphism, provides the plane with a multiplicative structure having some analogies to ordinary complex arithmetic, such as polar decomposition.

See also[edit]

• Arc (geometry)
• Inequality
• Interval graph
• Interval finite element
• Interval (statistics)
• Line segment
• Partition of an interval
• Unit interval

References[edit]

Bibliography[edit]

• T. Sunaga, “Theory of interval algebra and its application to numerical analysis” Archived 2012-03-09 at the Wayback Machine, In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

External links[edit]

• A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
• Interval computations website Archived 2006-03-02 at the Wayback Machine
• Interval computations research centers Archived 2007-02-03 at the Wayback Machine
• Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. “Interval”. MathWorld.