Как найти интервальное распределения выборки

Интервальное статистическое распределение

Если признак может
принимать любые значения из некоторого
промежутка, т.е. является непрерывной
случайной величиной, то необходимо
промежуток между наименьшим и наибольшим
значениями признака в выборке разбить
на несколько интервалов одинаковой
(или разной) длины. При
этом количество интервалов k
не должно
быть меньше 6 – 10 и больше 20 – 25 (выбор
числа интервалов зависит от объема
выборки n).

При подборе
количества интервалов можно пользоваться
приближенной формулой, которую предложил
американский статистик Sturgess
(Стерджесс):


– целая часть
числа х.

Затем определяем
длину частичного интервала группировки:

,
где R
=

размах выборки.

Находим границы
каждого из непересекающихся частичных
интервалов
:

a1
= xmin

;
b1
= a1
+ h;

a2
= b1;
b2
= a2
+ h
и т.д.

Далее
каждому интервалу требуется поставить
в соответствие число выборочных значений
признака, попавших в этот интервал. В
результате получим интервальное
статистическое распределение
:

Таблица
3.3

Интервалы

[a1;
b1)

[a2;
b2)

[a3;
b3)

[ak;
bk)

Частоты

m1

m2

m3

mk

Используя
интервальное статистическое распределение,
можно вычислить относительную частоту,
накопленную частоту, эмпирическую
функцию распределения, так же как и для
дискретного статистического распределения.

Если
в интервальном распределении каждый
интервал

заменить числом, лежащим в его середине
(ai
+
bi)/2,
то получим дискретное статистическое
распределение. Такая замена вполне
естественна, так как, например, при
измерении размера детали с точностью
до одного миллиметра, всем размерам из
промежутка [49,5 мм; 50,5 мм) будет
соответствовать одно число, равное 50.

Для графического
изображения интервального распределения
используется гистограмма.
Для ее построения в прямоугольной
системе координат по оси абсцисс
откладываем границы интервалов
группировки и на этих интервалах как
на основаниях строим прямоугольники,
высоты которых откладываются на оси
ординат. Различают:

а) гистограмму
абсолютных частот
,
когда высота прямоугольника равна
;

б) гистограмму
относительных частот
,
когда высота прямоугольника равна
.

Гистограмма
является выборочным
аналогом графика плотности вероятности
.
Площадь на интервале (aj;
am)
можно интерпретировать как приближенное
значение вероятности попадания случайной
величины Х
в этот интервал, т.е.
.

Основное свойство
гистограммы
:
ее площадь для абсолютных частот равна
n,
а для относительных частот равна
единице
.

Отношение
относительной частоты к длине частичного
интервала h
называют плотностью
распределения частоты

на интервале


(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Гистограмма
относительных частот

При построении
графика эмпирической функции распределения
для интервального ряда необходимо
учитывать, что функция определена только
на концах интервалов.

Таким образом,
статистическое распределение выборки
можно рассматривать как статистический
аналог для распределения генеральной
совокупности. Из-за случайных колебаний
эти два распределения, как правило, не
будут совпадать, но можно ожидать, что
при большом объеме выборки ее распределение
будет служить приближением для генеральной
совокупности, т.е.

,
если
.

Пример
2.

Получены данные о выработке продукции
30-ю рабочими в отчетном месяце в процентах
к предыдущему месяцу

n

Х
– выработка продукции, %

1-10

125

91

82

93

101

111

109

103

121

90

11-20

79

105

115

95

84

130

104

117

127

107

21-30

85

76

98

104

126

113

98

84

113

123

Необходимо:

  1. составить
    интервальное статистическое распределение;

  2. построить
    гистограмму относительных частот.

Решение

1. Определим величину
частичных интервалов:

Построим 6
непересекающихся интервалов:

[70,5; 81,5), [81,5; 92,5),
[92,5; 103,5),

[103,5; 114,5), [114,5;
125,5), [125,5; 136,5).

Первый интервал
[70,5; 81,5) содержит два значения (76 и 79),
поэтому m1
= 2. Второй
интервал [81,5; 92,5) содержит шесть значений
(82, 84, 84, 85, 90, 91), поэтому m2
= 6 и т.д.
Полученные данные внесем в таблицу
интервального статистического
распределения:

Таблица 3.4

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

Частоты

2

6

6

8

5

3

2. Для построения
гистограммы вычислим значения
относительных частот wi
и значения плотности распределения
частоты на интервале
:

Таблица 3.5

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

mi

2

6

6

8

5

3

wi

0,07

0,20

0,20

0,27

0,17

0,10

0,006

0,018

0,018

0,024

0,015

0,009

Изобразим
данные последней строки табл. 3.5 на
графике

(рис. 3.6).

Обведем гистограмму
плавной линией f*(x)
так, чтобы приблизительно были равны
площади, ограниченные гистограммой и
кривой f*(x),
которую называют эмпирической
плотностью распределения относительных
частот
. В
генеральной совокупности ей соответствует
плотность вероятности f(x).

Рис.
3.6. Гистограмма относительных частот

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

  1. Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики 
  2. Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики
  3. Условное статистическое распределение и их числовые характеристики 
  4. Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции
  5. Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики 

Количественные характеристики элементов генеральной совокупности могут быть одномерными и многомерными, дискретными и непрерывными. 

Когда реализуется выборка, количественный признак, например Статистические распределения выборок и их числовые характеристики приобретает конкретное числовое значение Статистические распределения выборок и их числовые характеристики которое называют вариантой

Возрастающий числовой ряд вариант называют вариационным

Каждая варианта выборки может быть наблюденной  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики если Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  число Статистические распределения выборок и их числовые характеристики частотой варианты Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При этом 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики 

где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  – количество вариант, что отличаются числовым значением; Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – объем выборки. 

Соотношение частоты Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  варианты  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики к объему выборки Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют ее относительной частотой и обозначают через Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то есть 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Для каждой выборки выполняется равенство 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

если исследуется признак генеральной совокупности Статистические распределения выборок и их числовые характеристики которая будет непрерывной, то вариант будет много. В этом случае, вариационный ряд  – это определенное количество равных или неравных частичных интервалов или групп вариант со своими частотами. 

Такие частичные интервалы вариант, которые размещены в возрастающей последовательности, образуют интервальный вариационный ряд. 

На практике для удобства, как правило, рассматривают интервальные вариационные ряды, в которых интервалы являются равными между собой. 

2. Дискретное статистическое распределение выборки и ее числовые характеристики. 

Перечень вариант вариационного ряда и соответственных им частот, или относительных частот, называют дискретным статистическим распределением выборки. 

В табличной форме можно представить так:  

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Дискретное статистическое распределение выборки можно представить эмпирической функцией Статистические распределения выборок и их числовые характеристики.

Эмпирическая функция Статистические распределения выборок и их числовые характеристики и ее свойства. Функция аргумента Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  что обозначает относительную частоту события Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то есть 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

называется эмпирической.

Тут  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  – объем выборки;  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – количество вариант статистического распределения выборки значения которых меньше фиксированной варианты Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  – называют еще функцией накопления относительных частот. 

Свойства  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

 Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики является наименьшей вариантой вариационного ряда; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики является наименьшей вариантой вариационного ряда; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики является не спадающей функцией аргумента Статистические распределения выборок и их числовые характеристики а именно: Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  при Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

 Полигон частот и относительных частот. Дискретное статистическое распределения выборки можно изобразить графически в виде ломанной линии, отрезки которой образуют координаты точек Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  или Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

В первом случае ломанную линию называют полигоном частот, а во втором – полигоном относительных частот.

Пример. По заданному дискретному статистическому распределению выборки

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

нужно: 

1. Построить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и изобразить ее графически; 

2. Начертить полигоны частот и относительных частот. 

Решение. Согласно с определением и свойствам Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  имеет такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Графическое изображение  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики предоставлено на рис. 106.

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Полигоны частот и относительных частот изображены на рис. 107, 108. 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Числовые характеристики: 

1) выборочная средняя величина Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Величину, которая обозначается формулой 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

называют выборочной средней величиной дискретного статического распределения выборки. 

Тут Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – варианта вариационного ряда выборки;  

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – частота этой выборки 

 Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – объем выборки Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Если все варианты выявляются в выборке только по одному разу, то есть Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

2) отклонение вариант. Разницу Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют отклонением этих вариант. 

При этом 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, сумма отклонений всех вариант вариационного ряда выборки всегда равна нулю; 

3) мода Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, что имеет наибольшую частоту появления.

Мод может быть несколько. Когда дискретное статистическое распределение имеет одну моду, то оно называется одномодальным. если имеет две моды – двумодальным и так далее. 

4) медиана Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные количеством вариант: 

5) дисперсия. Для измерения рассеивания вариант выборки относительно Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  выбирается дисперсия. 

Дисперсия выборки – это среднее арифметическое квадратов отклонений вариант относительно Статистические распределения выборок и их числовые характеристики, которое вычисляется по формуле 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

или

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

6) среднее квадратичное отклонение выборки Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  При вычислении Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  отклонения приводиться к квадрату, а следует, изменяется единица измерения признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики потому на основании дисперсии приводится среднее квадратичное отклонение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

которое измеряет рассеивание вариант выборки относительно Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то в тех же единицах, в которых изменяется признак Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

7) размах Статистические распределения выборок и их числовые характеристики Для четкой оценки рассеивания вариант относительно Статистические распределения выборок и их числовые характеристики используется величина, которая равна разнице между наибольшей Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и наименьшей Статистические распределения выборок и их числовые характеристики вариантами вариационного ряда. Эта величина называется размахом 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

8) коэффициенты вариации Статистические распределения выборок и их числовые характеристики Для сравнения оценок вариаций  статистических рядов с разными значениями Статистические распределения выборок и их числовые характеристики которые не равны нулю, приводится коэффициент вариации, который вычисляется по формуле 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. По заданному статистическому распределению выборки

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

нужно:

1) вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

2) найти Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

3) Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то согласно с формулами (354), (357), (358) получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Для вычисления Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  обозначается 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тогда 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, приведенное статистическое распределение выборки будет двумодальным. Статистические распределения выборок и их числовые характеристики поскольку варианта Статистические распределения выборок и их числовые характеристики делит вариационный ряд Статистические распределения выборок и их числовые характеристики на две части: Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики которые имеют одинаковое количество вариант 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики 

Перечень долевых интервалов и соответственных им частот, или относительных частот называют интервальным статистическим распределением выборки

В табличной форме это распределение имеет такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тут Статистические распределения выборок и их числовые характеристики является длиной частичного Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – нного интервала. Как правило, этот интервал берется одинаковым. 

Интервальное статистическое распределение выборки можно  преподать графически в виде гистограмм частот или относительных частот, а также, как и для дискретного статистического распределения, эмпирической функцией Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Гистограмма частот и относительных частот. Гистограмма частот – фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и высоту Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

 Гистограмма относительных  частот – фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу  длиной Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и высоту. что равен Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

нужно построить гистограмму частот и относительных частот 

Решение. Гистограммы частот и относительных частот приведены на Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Площадь гистограммы частот Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Площадь гистограммы относительных частот 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Эмпирическая функция  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики. При постройке кумуляты Статистические распределения выборок и их числовые характеристики для интервального статистического распределения выборки за основу берется предположение, что признак на каждом частичном интервале имеет равномерную плотность вероятностей. Потому кумулята имеет вид ломанной линии, которая возрастает на каждом частичном интервале и приближается к единице. 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

построить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и предоставить ее графически. 

Решение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

график Статистические распределения выборок и их числовые характеристики изображен на рис. 111. 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Аналогом эмпирической функции Статистические распределения выборок и их числовые характеристики в теории вероятностей будет интегральная функция Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Медана. Для обозначения медианы интервального статистического распределения выборки необходимо обозначить медианный частичны интервал. Если, например, на Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – нном интервале Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то обратим внимание, что исследование признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  является непрерывной и при этом Статистические распределения выборок и их числовые характеристики является не спадающей функцией, на середине интервала Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  обязательно существует такое значение Статистические распределения выборок и их числовые характеристики где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Из признаков подобности треугольников Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  изображенных на рис. 112, получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют шагом. 

Мода. Для определения моды интервального статистического распределения необходимо найти модальный интервал, то есть такой частичный интервал, что имеет наибольшую частоту появления. 

Используя линейную интерполяцию, моду вычислим по формуле

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

где Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – начало модального интервала; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – длина или шаг частичного интервала; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – частота модального интервала; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики– частота домодального интервала; 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики частота послемодального интервала; 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

построить гистограмму частот и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Обозначим Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Гистограмма частот изображена на рис. 113.

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

График Статистические распределения выборок и их числовые характеристики изображен  на рис. 114

Статистические распределения выборок и их числовые характеристикиИз рис. 113 обозначается модальный интервал,  который равен Статистические распределения выборок и их числовые характеристики Используя Статистические распределения выборок и их числовые характеристики и обратив на внимание, что Статистические распределения выборок и их числовые характеристики Статистические распределения выборок и их числовые характеристики получим 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Из графика Статистические распределения выборок и их числовые характеристики обозначается медианный интеграл, который равен Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Обратим внимание, что Статистические распределения выборок и их числовые характеристики   и используя (361), получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  для интервального статистического распределения выборки. Для обозначения Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  перейдем от интервального распределение к дискретному, вариантами которого будет середина частичных интервалов Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и который имеет вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тогда Статистические распределения выборок и их числовые характеристики вычисляется по формуле: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки, в котором приведено распределение массы новорожденных Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Построим дискретное статистическое распределение к заданным интервальным. Поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Обращая внимание  на Статистические распределения выборок и их числовые характеристики и то, что Статистические распределения выборок и их числовые характеристики получим:

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристикиСтатистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Перечень вариант Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и соответственных им частот Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  совместного их появления образуют двумерное статистическое распределение выборки, что реализована из генеральной совокупности, элементам этой выборки присущие количественные признаки  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

В табличной форме это распределение имеет такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тут Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – частота совместного появления вариант 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Общие числовые характеристики признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

общая средняя величина признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

общая дисперсия признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

общие среднее квадратичное отклонение  признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Общие числовые характеристики признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики 

общая средняя величина признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики:

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

общая дисперсия признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики:

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

общее среднее квадратичное отклонение  признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики:

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условное статистическое распределение и их числовые характеристики 

Условным статистическим распределением признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  при фиксированном значении Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  называют пересечение вариант признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тут Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Числовые характеристики для такого статистического распределения называют условными. К ним принадлежат: условный средний признак  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

условная дисперсия признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

условное среднее квадратичное отклонение  признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики:

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики измеряют рассеивание вариант признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  относительно средней величины  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условным статистическим распределением признака  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики   при Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют пересечение вариант Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении признака 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тут Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условные числовые характеристики для этого распределения: условная средняя величина признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

условная дисперсия признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

условное среднее квадратичное отклонение  признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При известных значениях условных средних Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  общие средние признаки   Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики вычислить по формулам: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции

Во время исследования двумерного статистического распределения выборки предстает потребность использовать наглядность связи между признаками Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики, какой в статистике называют корреляционным. Для этого вычисляется эмпирический корреляционный момент Статистические распределения выборок и их числовые характеристики по формуле

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Если Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то корреляционная связь между признаками Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики нет. Если же Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то эта связь существует. 

Следует, корреляционный момент дает только ответ на вопросы: существует связь между признаками Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики или нет. 

Для измерения тесноты корреляционной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  по формуле 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

как и в теории вероятностей Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. По заданному двумерному статистическому распределению выборки признаки  Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

нужно: 

1) вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

2) построить условно статистические распределения Статистические распределения выборок и их числовые характеристикиСтатистические распределения выборок и их числовые характеристики и вычислить условные числовые характеристики. 

Решение. 1) Чтобы вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики обозначим Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует,  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

для обозначения Статистические распределения выборок и их числовые характеристики вычисляют 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Тогда 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики а это свидетельствует о том, что между признаками Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики существует отрицательная корреляционная связь.

Для измерения тесноты этой связи вычислим выборочный коэффициент корреляции 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то есть теснота корреляционной связи между признаками Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  является слабой. 

Условное статистическое распределение Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  имеет  такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Вычисляют условные числовые характеристики для этого распределения: 

Условная средняя величина

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристикиСледует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условное статистическое распределение Статистические распределения выборок и их числовые характеристики имеет такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Вычисляются условные числовые характеристики. 

Условная средняя величина 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики 

Если частота общего появления признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  для всех вариант, то в этом случае двумерное статистическое распределение приобретает такой вид: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

его называют четным статистическим распределением выборки. Тут каждая пара значений признаков  Статистические распределения выборок и их числовые характеристикии  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики   выявляется только один раз. 

Объем выборки в этом случае равен количеству пар, то есть Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Числовые характеристики признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

средняя величина

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

дисперсия

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

среднее квадратичное отклонение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Числовые характеристики признака Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

средняя величина

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

дисперсия

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

среднее квадратичное отклонение 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

эмпирический корреляционный момент 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

выборочный коэффициент корреляции 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. Зависимость количества масла Статистические распределения выборок и их числовые характеристики что использует определенная особь за месяц, от ее прибыли в рублях  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  приведена в таблице 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Нужно вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Поскольку объем выборки Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

 Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Поскольку значение Статистические распределения выборок и их числовые характеристики близко к единице, то отсюда получается, что зависимость между количеством масла, использованного определенной особой, и ее месячной прибылью почти функциональная. 

6. Эмпирические моменты

Начальные эмпирические моменты. Среднее взвешенное значение вариант в степени Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют начальным эмпирическим моментом Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – ого порядка Статистические распределения выборок и их числовые характеристики который вычисляется по формуле 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  получим начальный момент первого порядка: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  вычислим начальный момент второго порядка: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, дисперсию выборки можно преподать через начальные моменты первого и второго порядков, а именно: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Центральный эмпирический момент Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – ого порядка. Среднее взвешенное отклонение вариант в степени Статистические распределения выборок и их числовые характеристики называют центральным эмпирическом моментом Статистические распределения выборок и их числовые характеристики – ого порядка 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

На практике чаще используются центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, что вычисляются по формулам: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Преподнося к третьему и четвертому степени отклонения вариант, придадим Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  и Статистические распределения выборок и их числовые характеристики через соответственные начальные моменты: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Коэффициент асимметрии Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Центральный эмпирический момент третьего порядка используется для вычисления коэффициента асимметрии: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Если варианты статистического распределения выборки симметрично распределены относительно Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  то в этом случае Статистические распределения выборок и их числовые характеристики поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики варианты статистического распределения Статистические распределения выборок и их числовые характеристики преобладают варианты Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  Такую асимметрию называют отрицательной. При Статистические распределения выборок и их числовые характеристики статистического распределения  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  преобладают варианты  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики и такую асимметрию называют положительной

 Эксцесс. Центральный эмпиричный момент четвертого порядка используется для вычисления эксцесса: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  как правило, используется при исследовании непрерывности признаков генеральных совокупностей, поскольку он оценивает крутизну  закона распределения непрерывной случайной величины уравнена с нормальным. Для нормального закона распределения, как известно, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Пример. Оценить в баллах Статистические распределения выборок и их числовые характеристики полученные абитуриенты на вступительных испытаниях по математике, приведены в таблице дискретного распределения: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Вычислить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Используя приведенные выше формулы и учитывая, что Статистические распределения выборок и их числовые характеристики вычислим 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Откуда Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, получим: Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики сравнительно малый, то статистическое распределение ближе к симметричному. 

Пример. Длина заготовок  Статистические распределения выборок и их числовые характеристики  изготовленных работником за смену, и частоты этих длин Статистические распределения выборок и их числовые характеристики приведены в виде статистического распределения: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

обозначить Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Решение. Вычисляются значения Статистические распределения выборок и их числовые характеристики Поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то получим: 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Следует, Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Вычислим центральный эмпирический момент четвертого порядка. 

Статистические распределения выборок и их числовые характеристики

Поскольку Статистические распределения выборок и их числовые характеристики то вершина закона распределения случайной величины, заданного плотностью вероятностей, будет плоской, то есть так называемое туповершинное распределение.

Лекции:

  • Статистические оценки
  • Статистические гипотезы
  • Корреляционный и регрессионный анализ
  • Комбинаторика основные понятия и формулы с примерами
  • Число перестановок
  • Непосредственное вычисление вероятностей примеры с решением
  • Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей примеры с решением
  • Примеры решения задач на тему: Случайные величины
  • Примеры решения задач на тему: основные законы распределения
  • Примеры решения задач на тему: совместный закон распределения двух случайных величин

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Статистическое распределение выборки

Содержание:

  • Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач
  • Статистический интервальный ряд распределения

Предположим случай, когда из генеральной совокупности извлекается некоторая выборка, при этом каждому значению соответствует некоторый параметр, означающий количество раз, когда появлялось данное значение. Здесь $x_1$ было зафиксировано $n_1$ раз, $x_2$ было обнаружено $n_2$$x_k$ выявлено $n_k$. При этом

$sum_{i=1}^{k}n_i=n$

Где n — объём рассматриваемой выборки.

Определение 1

Используется следующая терминология: $x_k$ носят наименование вариантов, а последовательность таких вариантов, зафиксированный по возрастанию именуется вариационным рядом. Количество наблюдений каждого из вариантов носят название частот. При этом частное частот и выборки называют относительными частотами.

Определение 2

Статистическое распределение —это название всего набора вариантов и частот, которые с ними соотносятся. Чаще всего задаётся с помощью специальной таблицы, где представлены частоты, а также интервалы им соответствующие.

$x_1$ $x_2$ $x_k$
$n_1$ $n_2$ $n_k$
$frac{n_1}{n}$ $frac{n_2}{n}$ $frac{n_k}{n}$

Здесь в первой строке представлены варианты, во второй частоты, в третьеq взяты относительные частоты.

Для определения размера интервала используется следующее выражение:

$d=frac{x_{max}- x_{min}}{1+3,332cdot lg n}$

Здесь $x_{max}$, $x_{min}$ наибольшее и наименьшее значения ряда вариантов, а n характеризуем объём выборки.

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач

Пример 1

В ходе проведения измерений в однородных группах, были определены следующие значения выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74. Необходимо использовать данные значения, что определить ряд распределения частот и ряд распределения относительных частот.

Решение.

1) Составим статистический ряд распределения частот:

xi 70 71 72 73 74
ni 2 4 8 2 4

2) Рассчитаем суммарный размер выборки: n=2+4+8+2+4=20. Определим относительные частоты, для этого используем формулы: ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Теперь зафиксируем в таблице распределение относительных частот:

xi 70 71 72 73 74
wi 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

Контрольная сумма должна равняться единице: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигон частот

Название «полигоном частот» применяют для обозначения ломаной линии, каждый отрезок, которой соединяют точки $(х_1,n_1),(х_2,n_2),…,(х_k,n_k)$. Для построения на графике полигона частот по оси абсцисс отмечают варианты $х_2$, при этом на оси ординат отсчитывают– соответствующие частоты $n_i$. Когда полученные точки $(х_i,n_i)$ соединяются с помощью отрезков, то автоматически получают полигон частот.

Статистический интервальный ряд распределения.

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются, если число различающихся вариант в полученной выборке не слишком большое. Также применение возможно, когда дискретность имеет важное значение для экспериментатора. В тех случаях, когда важный для задачи признак генеральной совокупности Х распределяется непрерывным образом, либо его дискретность нет возможности учесть, то варианты предпочтительнее всего группировать, чтобы получить интервалы.

Статистическое распределение допустимо задавать в том числе в качестве последовательности интервалов и частот, соответствующих этим интервалам. При это за частоту какого-либо интервала принимается сумма всех частот, вошедших в данный интервал.

Особенно следует отметить ,что $h_i-h_{i-1}=h$ при всех i, т.е. группировка проводится с равным шагом h. Также в вопросе группировки можно ориентироваться на ряд полученных опытным путём рекомендацийу, касающихся таких параметров, как а, k и $h_i$:

1. $Rраз_{мах}=X_{max}-X_{min}$

2. $h=R/k$; k-число групп

3.$ kgeq 1+3.321lgn$ (формула Стерджеса)

4. $a=x_{min}, b=x_{max}$

5.$ h=a+h_i, i=0,1…k$

Определённую в ходе решения задачи группировку удобнее всего скомпоновать и перевести в вид специальной таблицы, которая также может именоваться — «статистический интервальный ряд распределения»:

Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) [hk-2;hk-1) [hk-1;hk)
Частоты n1 n2 nk-1 nk

Таблицу подобного вида можно сделать, поменяв частоты $n_i$ на относительные частоты:

Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) [hk-2;hk-1) [hk-1;hk)
Отн. частоты w1 w2 wk-1 wk

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

На склад пришла крупная партия деталей. Из них методом случайного отбора взято 50 экземпляров. Рассматривая изделия по одному, особенно интересующему признаку — размеру, определённому с точностью до 1 см, получим следующий вариационный ряд: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Требуется произвести расчёт и определить статистический интервальный ряд распределения.

Решение

Найдём параметры выборки используя сведения из условия задачи.

$k geq1+3,321cdot lg50=1+3.32lg(5cdot10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6$

Получили a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки 22-26 26-30 30-34 34-38 38-42 42-46 46-50
Частоты 1 4 10 18 9 5 3
Отн. частоты 0.02 0.08 0.2 0.36 0.18 0.1 0.06

Десятичные логарифмы от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lnn≈ 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.78 0.85 0.9 0.95 1

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Содержание:

Интервальные оценки параметров распределения. Непрерывное и дискретное распределения признаков:

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим интервальные оценки параметров распределения, а именно непрерывное и дискретное распределения признаков генеральной и выборочной совокупности.

Статистические ряды и их геометрическое изображение дают представление о распределении наблюдаемой случайной величины X по данным выборки. Во многих задачах вид распределения случайной величины X известен, необходимо получить приближённое значение неизвестных параметров этого распределения: m, Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

ПустьИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Точечной оценкой Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения неизвестного параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияназывается приближённое значение этого параметра, полученное по выборке.

Очевидно, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения зависит от элементов выборки Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Будем считать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – случайная величина и является функциейИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения системы случайных величин, одной из реализации которой является данная выборка.

Точечная оценка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения должна удовлетворять свойствам:

1. Состоятельность. Оценка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияназывается
состоятельной, если Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения приИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Состоятельность оценки можно установить с помощью теоремы: если Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, то Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – состоятельная оценка.

2.    Несмещённость. Оценка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называется несмещённой, если Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Для несмещённых оценок систематическая ошибка оценивания равна нулю.

Для оценки параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения может быть предложено несколько несмещённых оценок. Мерой точности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения считают её дисперсию Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Отсюда вытекает третье свойство.

3.    Эффективность. Несмещённая оценка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения параметраИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими несмещёнными оценками этого параметра.

Запишем точечные оценки числовых характеристик случайной величины X.

1. Точечная оценка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения математического ожидания (выборочного среднего) Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения находится по формуле

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Проверим свойства оценки:

а) состоятельность следует из теоремы Чебышева:Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения приИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
б) несмещённость:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

в)эффективность:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

так как Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

2.    Точечная оценкаИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения дисперсии Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения находится по формуле
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
она обладает свойствами:    состоятельность, несмещённость,

эффективность.

3.    Точечная оценкаИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения среднеквадратического отклонения равна
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
 

Интервальные оценки

При статистической обработке результатов наблюдений необходимо знать не только точечную оценку Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияпараметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения но и уметь оценить точность этой оценки

Характеристики вариационного ряда

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим характеристики вариационного ряда.

Вариационные ряды

Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных — сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя признак.

Пример:

Исследователь, интересующийся тарифным разрядом рабочих механического цеха, в результате опроса 100 рабочих получил следующие сведения:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Здесь признаком является тарифный разряд, а полученные о нём сведения образуют статистические данные. Для изучения данных прежде всего необходимо их сгруппировать. Расположим наблюдавшиеся значения признака в порядке возрастания. Эта операция называется ранжированием статистических данных. В результате получим следующий ряд, который называется ранжированным:
(1, 1, 1, 1) – 4 раза; (2, 2, 2, 2, 2, 2) – 6 раз; (3, 3, …, 3) – 12 раз; (4, 4, …, 4) –

16 раз; (5, 5, …, 5) – 44 раза; (6, 6, …, 6) – 18 раз.
Из ранжированного ряда следует, что признак (тарифный разряд) принял шесть различных значений: первый, второй и т.д. до шестого разряда.

В дальнейшем различные значения признака условимся называть вариантами, а под варьированием — понимать изменение значений признака. Если признак по своей сущности таков, что различные его значения не могут отличаться друг от друга меньше чем на некоторую конечную величину, то говорят, что это дискретно варьирующий признак.

Тарифный разряд — дискретно варьирующий признак: его различные значения не могут отличаться друг от друга меньше, чем на единицу. В примере этот признак принял 6 различных значений — 6 вариантов: вариант 1 повторился 4 раза, вариант 2-6 раз и т.д. Число, показывающее. сколько раз встречается вариант л* в ряде наблюдений, называется частотой варианта Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Ранжированный ряд представим в виде табл. 1.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Вместо частоты варианта x можно рассматривать её отношение к общему числу наблюдений n, которое называется частостью варианта х и обозначается Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Так как общее число наблюдений равно сумме частот всех вариантов Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения то справедлива следующая цепочка равенств: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Таблица, позволяющая судить о распределении частот (или частостей) между вариантами, называется дискретным вариационным рядом.

В примере 1 была поставлена задача изучить результаты наблюдений. Если просмотр первичных данных не позволил составить представление о варьировании значений признака, то, рассматривая вариационный, ряд, можно сделать следующие выводы: тарифный разряд колеблется от 1-го до 6-го; наиболее часто встречается 5-й тарифный разряд; с ростом тарифного разряда (до 5-го разряда) растёт число рабочих, имеющих соответствующий разряд.

Наряду с понятием частоты используют понятие накопленной частоты, которую обозначают Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Накопленная частота показывает, во скольких наблюдениях признак принял значения, меньшие заданного значения х. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называют накопленной частостью и обозначаютИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В дискретном вариационном ряду накопленные частоты (частости) вычисляются для каждого варианта и являются результатом последовательного суммирования частот (частостей). Накопленные частоты (частости) для вариационного ряда, заданного в табл. 1, вычислены в табл. 2.Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Например, варианту 1 соответствует накопленная частота, равная нулю, так как среди опрошенных рабочих не было таких, у которых тарифный разряд был бы меньше 1-го; варианту 5 соответствует накопленная частота 38, так как было 4+6+12+16 рабочих с тарифным разрядом, меньшим 5-го, накопленная частость для этого варианта равна 0,38 (38: 100); если тарифный разряд выше 6-го, то ему соответствует накопленная частота 100, так как тарифный разряд всех опрошенных рабочих не выше 6-го.

Пример:

Исследователь, изучающий выработку на одного рабочего-станочника механического цеха в отчётном году в процентах к предыдущему году, получил следующие данные (в целых процентах) по 117 рабочим:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В этом примере признаком является выработка в отчётном году в процентах к предыдущему. Очевидно, что значения, принимаемые этим признаком, могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину, т. е. признак может принять любое значение в некотором числовом интервале (только для упрощения дальнейших расчетов полученные данные округлены до целых процентов). Такой признак называют непрерывно варьирующим. По приведенным данным трудно выявить характерные черты варьирования значений признака. Построение дискретного вариационного ряда также не даст желаемых результатов (слишком велико число различных наблюдавшихся значений признака). Для получения ясной картины объединим в группы рабочих, у которых величина выработки колеблется, например, в пределах 10%. Сгруппированные данные представим в табл. 3.
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В табл. 3 частоты m показывают, во скольких наблюдениях признак принял значения, принадлежащие тому или иному интервалу. Такую частоту называют интервальной, а отношение её к общему числу наблюдений — интервальной частостью w. Таблицу, позволяющую судить о распределении частот (или частостей) между интервалами варьирования значений    признака, называют интервальным вариационным рядом.

Интервальный вариационный ряд, представленный в табл. 3, позволяет выявить закономерности распределения рабочих по интервалам выработки. В табл. 3 для верхних границ интервалов приведены накопленные    частоты (частости)    (они получены последовательным суммированием интервальных частот (частостей), начиная с частоты (частости) первого интервала). Например, для верхней границы третьего интервала, равной 110, накопленная частота равна 69; так как 8+15+46 рабочих имели выработку меньше 110%, накопленная частость равна 69/117.

Интервальный вариационный ряд строят по данным наблюдений за непрерывно    варьирующим признаком, а также за дискретно варьирующим, если велико число наблюдавшихся вариантов. Дискретный вариационный ряд строят только для дискретно варьирующего признака.

Иногда интервальный вариационный ряд условно заменяют дискретным. Тогда серединное значение интервала принимают за вариант х, а соответствующую интервальную частоту — за Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Построение интервального вариационного ряда

Для построения интервального вариационного ряда необходимо определить величину интервала, установить полную шкалу интервалов, в соответствии с ней сгруппировать результаты наблюдений. В примере 2 при выборе величины интервала учитывались требования наибольшего удобства отсчётов. Интервал был принят равным 10% и оказался удачным. Построенный интервальный ряд позволил выявить закономерности варьирования значений признака. Для определения оптимального интервала h, т.е. такого, при котором построенный интервальный ряд не был бы слишком громоздким и в то же время позволял выявить характерные черты рассматриваемого явления, можно использовать формулу Стэрджеса
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

где Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— соответственно максимальный и минимальный варианты. Если h — дробное число, то за величину интервала следует взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь.

За начало первого интервала рекомендуется принимать величину 

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения начало второго интервала совпадает с концом первого и равно

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения начало третьего интервала совпадает с концом второго и равно Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Построение интервалов продолжают до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

После установления шкалы интервалов следует сгруппировать результаты наблюдений. Границы последовательных интервалов записывают в столбец слева, а затем, просматривая статистические данные в том порядке, в каком они были получены, проставляют чёрточки справа от соответствующего интервала. В интервал включается данные, большие или равные нижней границе интервала и меньшие верхней границы. Целесообразно каждые пятое и шестое наблюдения отмечать диагональными черточками, пересекающими квадрат из четырёх предшествующих. Общее количество чёрточек, проставленных против какого-либо интервала, определяет его частоту.

Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности варьирования значений признака. Наиболее    широко используются    следующие    виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная
кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения где x — вариант, а Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — соответствующая ему частота. Иногда вместо точек Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения строят точки (х; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Затем эти точки соединяют последовательно отрезками. Крайние левую и правую точки соединяют соответственно с точками, изображающими ближайший снизу к наименьшему и ближайший сверху к наибольшему варианты. Полученная ломаная линия называется полигоном.

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для её построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на этих отрезках, как на основании, строят прямоугольники с высотами, равными частотам (или частостям) соответствующего интервала. В результате получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую и называют гистограммой.

Если по оси абсцисс выбрать такой масштаб, чтобы ширина интервала была равна единице, и считать, что по оси ординат единица масштаба соответствует одному наблюдению, то площадь гистограммы равна общему числу наблюдений, если по оси ординат откладывались частоты, и эта площадь равна единице, если откладывались частости.

Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и к ним относят интервальные частоты. Для полученного дискретного ряда строят полигон.

Кумулятивная кривая (кривая накопленных частот или накопленных частостей) строится следующим образом. Если вариационный ряд дискретный, то в прямоугольной системе координат строят точки с координатами Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениягде х — вариант, Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— соответствующая накопленная частота. Иногда вместо точекИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения строят точки Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Полученные точки соединяют отрезками.

Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты (или накопленные частости); нижней границе первого интервала — накопленная частота, равная нулю. Построив кумулятивную кривую, можно приблизительно установить число наблюдений (или их долю в общем количестве наблюдений), в которых признак принял значения, меньшие заданного.

Построение вариационного ряда — первый шаг к осмысливанию ряда наблюдений. Однако на практике этого недостаточно, особенно когда необходимо сравнить два ряда или более. Сравнению подлежат только так называемые однотипные вариационные ряды, т. е. ряды, которые построены по результатам обработки сходных статистических данных. Например, можно сравнивать распределения рабочих по возрасту на двух заводах или распределения времени простоев станков одного вида. Однотипные вариационные ряды обычно имеют похожую форму при графическом изображении, однако могут отличаться друг от друга, а именно: иметь различные значения признака, вокруг которых концентрируются наблюдения (меры этой качественной особенности называется средними величинами); различаться рассеянием наблюдений вокруг средних величин (меры этой особенности получили название показателей вариации).

Средние величины и показатели вариации позволяют судить о характерных особенностях вариационного ряда и называются статистическими характеристиками. К статистическим характеристикам относятся также показатели, характеризующие различия в скошенности полигонов и различия в их островершинности.

Средние величины

Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений, поскольку вокруг них концентрируются наблюдавшиеся значения признака. Заметим, что только для качественно однородных наблюдений имеет смысл вычислять средние величины.

Различают несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая и т.д. При выборе вида средней величины необходимо прежде всего ответить на вопрос: какое свойство ряда мы хотим представить средней величиной или, иначе говоря, какая цель преследуется при вычислении средней? Это свойство, получившее название определяющего, и определяет вид средней. Понятие определяющего свойства впервые введено советским статистиком А. Я. Боярским.

Наиболее распространенной средней величиной является средняя арифметическая. Пусть Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— данные наблюдений; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — средняя арифметическая. Свойство, определяющее среднюю арифметическую, формулируется следующим образом:    сумма результатов наблюдений должна остаться неизменной, если каждое из них заменить средней арифметической, т.е.
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Так как Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда получаем следующую формулу для
вычисления средней арифметической по данным наблюдений:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Если по наблюдениям построен вариационный ряд, то средняя арифметическая
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
где x- — вариант, если ряд дискретный, и центр интервала, если ряд интервальный;Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — соответствующая частота.

ЧастотыИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения в формуле (4) называют весами, а операцию умножения x на Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — операцией взвешивания. Среднюю арифметическую, вычисленную по формуле (4), называют взвешенной в отличие от средней арифметической, вычисленной по формуле (3).

Очевидно, что если по данным наблюдений построен дискретный вариационный ряд, то формулы (3) и (4) дают одинаковые значения средней арифметической. Если же по наблюдениям построен интервальный ряд, то средние арифметические, вычисленные по формулам

(3) и (4), могут не совпадать, так как в формуле (4) значения признака внутри каждого интервала принимаются равными центрам интервалов. Ошибка, возникающая в результате такой замены, вообще говоря, очень мала, если наблюдения, распределены равномерно вдоль каждого интервала, а не скапливаются к одноименным границам интервалов (т.е. либо все к нижним границам, либо все к верхним границам).

Среднюю арифметическую для вариационного ряда можно вычислять по формуле
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
которая является следствием формулы (4). Действительно,

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Свойство, определяющее среднюю арифметическую, сводилось к требованию неизменности суммы наблюдений при замене каждого из них средней арифметической. При решении практических задач может оказаться необходимым вычислить такую среднюю Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения при замене которой каждого наблюдения, осталась бы неизменной сумма q-x степеней наблюдений, т.е. чтобы
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
где q — положительное или отрицательное число. Среднюю Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют степенной средней q-го порядка. Из определяющего свойства (6) получим следующую формулу для вычисления Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения по данным наблюдений:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Сравнивая формулы (7) и (3), можно сделать вывод, что степенная средняя первого порядка есть не что иное, как средняя арифметическая, т.е.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

При q=-l из формулы (7) получаем выражение для средней гармонической, при q=2 — для среднеквадратической, при q=3 — для средней кубической и т.д.

Средней геометрической Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияназывают корень n-й степени из произведения наблюдений    Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияМожно доказать, что средняя геометрическая является предельным случаем степенной средней q-го порядка при q=0, т.е.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

1°. Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметической равна нулю.

Доказательство. Исходя из определяющего свойства (2) средней арифметической, получаем

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая взвешенная, то свойство 1° формулируется так: сумма произведений отклонений вариантов от средней арифметической на соответствующие частоты равна нулю. Действительно, на основании формулы (4) получаемИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

или

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то же число. (Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая — взвешенная).

Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов на одно и то же число с соответствующие им частоты останутся прежними. Поэтому взвешенная средняя арифметическая для изменённого вариационного ряда такова:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно показать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияЭто свойство позволяет среднюю арифметическую вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) на одно и то же число с. Если среднюю арифметическую, вычисленную для измененного ряда, увеличить (уменьшить) на число с, то получим среднюю арифметическую для первоначального вариационного ряда.

3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) во столько же раз.

Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов в k раз их частоты останутся прежними. Поэтому средняя арифметическая для изменённого ряда

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно доказать, чтоИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияРассмотренное свойство позволяет среднюю арифметическую вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) в одно и то же число k раз. Если среднюю арифметическую, вычисленную для изменённого ряда, увеличить

(уменьшить) в k раз, то получим среднюю арифметическую для первоначального вариационного ряда.

4°. Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых средних, причём весами являются объёмы групп.

Пусть Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения число наблюдений соответственно в 1-й и 2-й группах; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

средняя арифметическая для всего ряда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения наблюдений; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— средние арифметические соответственно для 1-й и 2-й групп наблюдений. Требуется доказать, что
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство.    Исходя    из определяющего свойству средней арифметической, имеем:    произведение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения равно сумме (/?! +/;2) наблюдавшихся значений признака; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения равно суммеИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениянаблюдавшихся значений, образующих первую группу: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияравно сумме Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения наблюдавшихся значений, образующих вторую группу.

Следовательно,
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Следствие. Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения равна взвешенной средней арифметической групповых средних Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения причём весами являются объёмы групп Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

5°. Средняя арифметическая для сумм (разностей) взаимно соответствующих значений признака двух рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна сумме (разности) средних арифметических этих рядов.

Пусть Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— один ряд наблюдений, Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — его средняя арифметическая; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— другой ряд наблюдений,Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — его средняя арифметическая Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения—    ряд сумм соответствующих наблюдений, Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— его средняя арифметическая. Требуется доказать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Имеем

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно показать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Средняя арифметическая алгебраической суммы соответствующих значений признака нескольких рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна алгебраической сумме средних арифметических этих рядов.

Вычисление средней арифметической вариационного ряда непосредственно по формуле (4) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто используют следующий способ, основанный на свойствах 3° и 2° средней арифметической: среднюю вычисляют не по первоначальным вариантам л-, а по уменьшенным на не которое число с, а затем разделённым на некоторое число k т.е. для вариантов Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Зная среднюю арифметическую Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения для измененного ряда, легко вычислить среднюю арифметическую для первоначального ряда:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° средней арифметической, получаем

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения откуда    следует,    что

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияОчевидно, что от выбора числовых значений с и к зависит, насколько простым будет вычисление средней арифметической для измененного ряда. Значения с и k обычно выбирают так, чтобы новые варианты Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения были небольшими целыми числами. Если ряд дискретный, то в качестве с берётся вариант, занимающий серединное положение в вариационном ряду (если таких вариантов два, то за k принимается тот, которому соответствует большая частота); за k принимают наибольший общий делитель вариантов (х-с). Если ряд интервальный, то его заменяют дискретным; тогда с — центр серединного интервала (если таких интервала два, то берётся тот, которому соответствует большая частота); за к принимают длину интервала h

Медиана и мода

Наряду со средними величинами в качестве описательных характеристик вариационного ряда применяют медиану и моду.

Медианой Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечётное число наблюдений, т.е. n=2q—1, и результаты наблюдений проранжированы и выписаны в следующий ряд:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияЗдесь Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения значение признака, занявшее i-е порядковое место в ранжированном ряду. На середину ряда приходится значение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно,

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Если проведено чётное число наблюдений, т.е. n=2q, то на середину ранжированного ряда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения приходятся значения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияи

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения В этом случае за медиану принимают среднюю арифметическую значений Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

, т.е.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Покажем на примерах на практическом занятии, как определяется медиана дискретного и интервального вариационных рядов.

В общем случае медиана для интервального вариационного ряда определяется по формуле

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

или по следующей формуле, полученной из формулы (9) в результате деления числителя и знаменателя входящей в неё дроби на n:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

гдеИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — начало медианного интервала, т.е. такого, которому соответствует первая из накопленных частот (накопленных частостей), равная или большая половине всех наблюдений (>0,5); Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения—частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения—частота (частость) медианного интервала.

Модой Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ею является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле (вывод формулы можно найти в кн.: Венецкий И. Г Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1975.):

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

или по тождественной формуле:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
где Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — начало модального интервала, т.е. такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — частота (частость) модального интервала; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— частота (частость) интервала, предшествующего модальному; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости и т. д. Модальная производительность, себестоимость и т.д. помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.

Показатели вариации

Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами, т.е.
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения(13)
Вариационный размах — приближённый показатель вариации, так как почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты, которые используются для его вычисления, как правило, ненадёжны.

Более содержательными являются меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.

Сумма отклонений результатов наблюдений Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияот средней арифметическойИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияне может характеризовать вариацию наблюдений около средней арифметической. В силу свойства 1° эта сумма равна нулю. Берут или абсолютные величины, или квадраты разностей Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. В результате получают различные показатели вариации.

Средним линейным отклонением (d) называют среднюю арифметическую абсолютных величин отклонений результатов наблюдений от их средней ар и ф метической:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Эмпирической дисперсией Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют среднюю арифметическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их средней ар и ф м ети ч ес ко й:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд, то эмпирическая дисперсияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Вместо эмпирической дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используют эмпирическое среднеквадратическое отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

где x — вариант (если ряд дискретный) и центр интервала (если ряд интервальный); Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — соответствующая частота (частость); Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— средняя арифметическая.

Для краткости величину Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениячасто будем называть просто дисперсией, не употребляя термина «эмпирическая». Однако при этом всегда следует помнить, что в этом случае дисперсия вычислена по результатам наблюдений на основании опытных данных, т.е. является эмпирической. Аналогичное замечание относится и к величине s.

Приведем свойство минимальности эмпирической дисперсии:Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения меньше взвешенной средней арифметической квадратов отклонений вариантов от любой постоянной величины, отличной от средней арифметической, т.е.
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
если Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Найдём экстремум функции Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Для

этого решим уравнение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Так как Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениято функция f(a) имеет в точке Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения минимум.
Можно показать, что среднее линейное отклонение не обладает свойством минимальности. Поэтому наиболее употребительными мерами рассеяния
 

Для вариационного ряда среднеквадратическое отклонение наблюдений вокруг средней арифметической являются эмпирическая дисперсия и эмпирическое среднеквадратическое отклонение.

Итальянский статистик Коррадо Джинни предложил в качестве показателя вариации использовать величину Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения гдеИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения– ряд наблюдений. Особенность этого показателя состоит в том, что он зависит только от разностей между наблюдениями и измеряет как бы «внутреннюю изменчивость» значений признака, а не их рассеяние вокруг какой-либо точки. Можно показать, чтоИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияявлясь мерой рассеяния значений признака вокруг средней арифметической, характеризует также и внутреннюю их изменчивость.

Свойства эмпирической дисперсии

Рассмотрим основные свойства эмпирической дисперсии, знание которых позволит упростить её вычисление.

1 °. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство этого свойства очевидно вытекает из того, что дисперсия является показателем рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической, а средняя арифметическая постоянной равна этой постоянной.

2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то дисперсия не изменится.

Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд.

Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то в соответствии со свойством 2° средней арифметической средняя для измененного вариационного ряда равна Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения следовательно, его дисперсия

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

,т.е. совпадает с дисперсией первоначального вариационного ряда. Аналогично можно показать, чтоИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказанное свойство позволяет вычислять дисперсию не по данным вариантам, а по уменьшенным, (увеличенным) на одно и то же число с, так как дисперсия, вычисленная для измененного ряда, равна первоначальной.

3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения раз.

Доказательство. Если все варианты уменьшить в k раз, то, согласно свойству 3 средней арифметической, средняя для измененного вариационного ряда равна Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения следовательно, его дисперсия

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно показать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Это свойство позволяет эмпирическую дисперсию вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) в одно и то же число k раз. Если дисперсию, вычисленную для измененного ряда, увеличить (уменьшить) в Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения раз, то получим дисперсию для первоначального вариационного ряда.

Следствие. Если все варианты уменьшить (увеличить) в k раз, то среднеквадратическое отклонение уменьшится (увеличится) в число раз, равное k.

Следствие очевидно вытекает из определения среднеквадратического
отклонения.

Прежде чем рассматривать следующее свойство дисперсии, докажем теорему.

Теорема. Эмпирическая дисперсия равна разности между средней
арифметической    квадратов наблюдений и    квадратом    средней
арифметической,    т.е.        
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство    проведём для случая    взвешенных    средних    арифметических, т.е.Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Тождественно преобразуя выражения для дисперсии, имеем
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
 

4°, Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то дисперсия всего ряда равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и средней арифметической квадратов отклонений групповых средних от средней всего ряда, причем ‘ при вычислении средних арифметических весами являются объемы групп.

Пусть Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — число наблюдений соответственно в 1-й и 2-й группах; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— средние арифметические для 1-й и 2-й групп наблюдений;Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — дисперсии для 1-й и 2-й групп наблюдений; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— средняя арифметическая и дисперсия для всего ряда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения наблюдений. Требуется доказать, что

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияДоказательство.

ПустьИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения— ряд наблюдавшихся значений признака, причем к первой группе относятся наблюдения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , а ко второй — наблюдения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияОбозначим символом i порядковый номер наблюдения, попавшего в 1-ю группу, а через j — порядковый номер наблюдения, попавшего во 2-ю группу. На основании теоремы о дисперсии имеемИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, первое слагаемое имеет видИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В соответствии со свойством 4° средней арифметической можно записать Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияУчитывая последнее равенство, преобразуем второе слагаемое:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Используя найденные выражения для слагаемых, получаем
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 4° можно обобщить на случай, когда ряд наблюдений состоит из любого количества Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения групп наблюдений. Введём понятия межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то межгрупповой дисперсией Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют среднюю арифметическую квадратов отклонений групповых средних Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения от средней всего ряда наблюдений Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения причём весами являются объёмы группИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решеният.е.
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Средней групповых дисперсий или внутригрупповой дисперсией Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют среднюю арифметическую групповых дисперсийИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения причём весами являются объёмы групп Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Следствие (свойства 4°). Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то дисперсия всего ряда s2 равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е. Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление дисперсии вариационного ряда непосредственно по формуле (16) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто дисперсию вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Зная Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения (дисперсию для измененного ряда), легко вычислить дисперсию Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениядля первоначального ряда:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° дисперсии, получаем
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
откуда следует, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Требования к с  и k предъявляют те же, что и в упрощенном способе вычисления средней арифметической.
 

Эмпирические центральные и начальные моменты

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.

Эмпирическим начальным моментомИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней вариантов, т.е.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Эмпирический начальный момент нулевого порядка
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Эмпирический начальный момент первого порядкаИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Эмпирический начальный момент второго порядка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и т.д.
Эмпирическим центральным моментом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней отклонений вариантов от их средней арифметической, т.е.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Эмпирический центральный момент нулевого порядка

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Эмпирический центральный момент первого порядка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения (в силу свойства 1° средней арифметической).

Эмпирический центральный момент второго порядка

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем для краткости величинуИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения часто будем называть просто центральным моментом (начальным моментом), не употребляя термин «эмлирический».

Используя формулу бинома Ньютона, разложим в ряд выражение для центрального момента q-го порядка:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

В проведенных тождественных преобразованиях использованы свойства 5° и 3° средней арифметической; Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения — число сочетаний из q элементов по р элементов Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Итак, центральный момент q-го порядка выражается через начальные моменты следующим образом:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Полагая q = 0, 1, 2,…, можно получить выражения центральных моментов различных порядков через начальные моменты:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

 и т.д.

Заметим, что формула (23) для центрального момента второго порядка, как и следовало ожидать, аналогична формуле (18) для дисперсии.

Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволят значительно упростить их вычисление.

1°. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то центральный момент q-го порядка не изменится.

Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то средняя арифметическая для измененного ряда равна Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения поэтому центральный момент q-го порядка
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично можно показать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

2°. Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то центральный момент q-го порядка уменьшится (увеличится) в Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения раз. Доказательство. Если все варианты уменьшить в одно и то же число k раз,

то средняя арифметическая для измененного вариационного ряда равна Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

поэтому центральный момент q-го порядка
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично можно показать, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Для облегчения расчётов центральные моменты вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантамИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения ЗнаяИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения (центральный момент q-го порядка для измененного ряда), легко вычислить центральный момент q-го порядка для первоначального ряда:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

внимание свойства центрального момента, получаем

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
откуда следует, чтоИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Эмпирические асимметрия и эксцесс

Эмпирическим коэффициентом асимметрии Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Если полигон вариационного ряда скошен, т.е. одна из его ветвей, начиная от вершины, зримо длиннее другой, то такой ряд называют асимметричным. Из формулы (27) следует, что если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения то эмпирический коэффициент асимметрии отрицателен; говорят, что в этом случае имеет место левосторонняя асимметрия. Если же в вариационном ряду преобладают варианты, большие Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения то эмпирический коэффициент асимметрии положителен; в этом случае имеет место правосторонняя асимметрия. При левосторонней асимметрии левая ветвь полигона длиннее правой. При правосторонней, более длинной является правая ветвь.

Эмпирическим эксцессом или коэффициентом крутости Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения называют уменьшенное на 3 единицы отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднеквадратического отклонения:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
За стандартное значение эксцесса принимают нуль-эксцесс так называемой нормальной кривой (см. рис. 1).

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Кривые, у которых эксцесс отрицательный, по сравнению с нормальной менее крутые, имеют, более плоскую вершину и называются «плосковершинными» Кривые с положительным эксцессом более крутые по сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются «островершинными».

Интервальные оценки параметров распределений

Доверительный интервал, доверительная вероятность:

Точечная оценка неизвестного параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, найденная по выборке объема Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения из генеральной совокупности, не позволяет непосредственно узнать ошибку, которая получается, когда вместо точного значения неизвестного параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения принимается некоторое его приближение (оценка) Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому чаще пользуются интервальной оценкой, основанной на определении некоторого интервала, накрывающего неизвестное значение параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения с определенной вероятностью. На рис. 10.1 изображен интервал длиной Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, внутри которого в любом месте может находиться неизвестное значение параметра Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Чем меньше разность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения тем лучше качество оценки. И если записать Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения то Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения будет характеризовать точность оценки.
 

Доверительной вероятностью оценки называется вероятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениявыполнения неравенства Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения . Доверительную вероятность р обычно задают заранее: 0,9; 0,95; 0,9973. И доверительная вероятность показы­вает, что с вероятностью р параметр Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения будет накрываться данным интервалом

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения   или

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения                       (10.1)

Из  (10.1) видно, что неизвестный параметр Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения находится внутри интервала Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
 

Доверительным интервалом называется интервалИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения накрывающий неизвестный параметр 0 с заданной доверительной вероятностью Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения 

Длина его (см. рис. 10.1) Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Параметр Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения -уровень значимости.

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X при известной дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X при известной дисперсии (или Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения)

Пусть эксперимент Е описывается нормальной случайной величиной X.
Плотность распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Предположим, что известна дисперсия Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – неизвестна. Тогда точечную оценку математического ожидания можно получить из выборки объемом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – и она определится так:Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Рассматривая выборку Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения как Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения независимых случайных величин, имеющих одно и тоже нормальное распределение, определим числовые характеристики Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

 Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

откуда получим

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения       (10.2)

Для определения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Нормируем ее (сделаем безразмерной), т. е. разделим на Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и обозначим как случайную величину U:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения    (10.3)

Покажем, что случайная величина U имеет нормированный нормальный закон распределения. Найдем ее числовые характеристики:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения– это значит, что U имеет нормированное нормальное распределение, график которого изображен на рис. 10.2.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Зная плотность распределения случайной величины U, легко найти вероятность попадания случайной величины U в интервалИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 10.2):

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Левая часть этого уравнения представляет собой доверительную вероятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Тогда из (10.4) и (10.5) следует уравнение
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Решая уравнение (10.6), по таблицам функции Лапласа для заданной доверительной вероятности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения можно найти границы доверительного интервала для U, т. е. квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения . Считая, что квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения известны, преобразуем правую часть уравнения (10.5), подставляя в нее (10.3):

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Считая, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения– известна, из (10.7) следует, что доверительный интер­вал Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения накрывает неизвестное математическое ожидание Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения с заданной доверительной вероятностью Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Точность оценки ма­тематического ожидания или длина доверительного интервала

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Замечания по формуле (10.8):

  1. при увеличении объема выборки Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения из (10.8) видим, что е уменьшается, значит, уменьшается длина доверительного интервала, а точность оценки увеличивается;
  2. увеличение доверительной вероятности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения приводит к увеличению длины доверительного интервала (см. рис. 10.2, где квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения увеличиваются), т. е. е увеличивается, а точность оценки падает;
  3. если задать точность е и доверительную вероятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , то можно найти объем выборки, который обеспечит заданную точность:Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

Сколько конденсаторов одного номинала надо измерить, чтобы с вероят­ностью 0,95 можно было утверждать, что мы с точностью 1 % определили их среднее значение – математическое ожидание.
Обозначим Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения по таблицам функции Лапласа найдем квантиль для заданной доверительной вероятности 0,95: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения = 1,96. Для проведения расчетов положим Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Подставляя эти значения в (10.9), получим
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины X при НЕизвестной дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины X при неизвестной дисперсии или Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Пусть эксперимент описывается случайной величиной X с нормальным распределением с неизвестными параметрами Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Для определения точечных оценок этих параметров из генеральной совокупности извлечена выборка Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения объемом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Тогда точечные оценки этих параметров определяются так:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Здесь использовали для оценки дисперсии Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – модифицированную выборочную дисперсию, несмещенную оценку. Для построения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения . Нормиру­ем ее, т. е. разделим на Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и обозначим результат как случайную величину t. Ранее мы показали, что Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения но т. к. здесь Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения неизвестна, возьмем ее оценку Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и тогда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения . Тогда случайная величина t принимает вид

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Умножим числитель и знаменатель в (10.10) на Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

 Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Здесь X – нормированная нормальная случайная величина, знаменатель – распределение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияс Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы. Поэтому, согласно определению (см. раздел 9.3, формула (9.5)), можно утверждать, что случайные величины Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения определяемые по формулам (10.10) и (10.11), имеют закон распределения Стьюдента с Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы.
Зная закон распределения случайной величины t и задавая доверительную вероятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, можно найти вероятность попадания ее в интервал Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения(рис. 10.3).

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Из таблиц распределений Стьюдента по заданной доверительной вероятности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениянаходим квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющие условию
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Подставляя в (10.13) вместо t равенство (10.10), получаем
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Разрешим неравенство в левой части формулы (10.14) относительно Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда непосредственно следует, что доверительный интервал  Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения накрывает неизвестный параметр Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения – (математическое ожидание) с доверительной вероятностью Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервал (10.15) несколько шире интервала (10.7), определенного для той же выборки и той же доверительной вероятности. Зато в (10.15) используется меньшая априорная информация – Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения знать не надо.

Можно обозначить ширину доверительного интервала или точность через Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , и из (10.15) следует
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Все замечания, сделанные по формуле (10.8), справедливы и для формулы (10.16).
 

Пример №2

Даны результаты четырех измерений напряжения сети (значения приве­дены в Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Считаем, что X – напряжение сети – является нормальной случайной величиной. Построить доверительный интервал с вероятностью 0,95 для истинного напряжения сети – Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Найдем точечную оценку Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Из таблиц распределения Стьюдента для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения– число степеней свободы; находим квантиль Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Вычислим модифицированную выборочную дисперсию Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

 Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Полученные значения подставим в формулу (10.16):

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Найдем левую и правую границы доверительного интервала для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, истинное напряжение сети с вероятностью 0,95 накрывается доверительным интервалом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Найдем минимальное число измерений, чтобы с вероятностью 0,95 точ­ ность определения истинного напряжения сети не превышала 0,5 В, т. е. Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Из (10.16) имеем
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения измерения.
 

Видим, что число измерений Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения велико. Следует отметить, что значение квантиля Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения зависит от Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и при увеличении Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения будет убывать. При больших Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения значение квантиля стремится к постоянной величине и равно Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения. Тогда после коррекции значения квантиля вычисляем по формуле (10.16) скорректированное значение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения :

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения измерения.

Доверительный интервал для дисперсии или ст нормальной случайной величины X

Рассмотрим вероятностный эксперимент с нормальной моделью, где параметры Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения неизвестны. Предположим, что по выборке Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения найдены точечные оценки этих параметров:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Составим вспомогательную случайную величину
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Эта случайная величина имеет распределение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы. Покажем это, подставив в (10.17) выражение для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Это и есть распределение хи-квадрат с Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения степенью свободы. На рис. 10.4 приведен график этого распределения.

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Зная закон распределения случайной величины У, определим вероятность того, что случайная величина Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения попадет в интервал Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Здесь Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения плотность распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения с Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы. Из рис. 10.4 видно, что кривая для плотности распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения несимметрична относительно центра распределения, поэтому границы доверительного интервала или квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения для данной вероятности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения не определяются однозначно. Чтобы избежать неопределенности будем их находить из условия

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что площади заштрихованных фигур равны. Задавая доверительную вероятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения по таблицам распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения для числа сте­пеней свободы Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения используя условия (10.19), находим квантили Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Считая Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и р известными, перепишем (10.18) в следующем виде:
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Подставим в (10.20) значение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, определяемое формулой (10.17):
Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Решаем неравенство в левой части (10.21) относительно Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

 Из (10.22) записываем доверительный интервал дляИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Для среднего квадратического отклонения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения доверительный интервал имеет следующий вид:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Можно ввести коэффициенты Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Тогда доверительный интервал для о определится следующим обра­зом:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициенты Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , соответствующие доверительной вероятности Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, находятся по таблицам распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения.
 

Пример №3

В предыдущем разделе (10.3) приведен пример для измеренных значений напряжения сети. Продолжим и найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения .

Найдена точечная оценка для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Задавая доверительную ве­роятность Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , зная число степеней свободы Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения, по таблицам распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения , используя (10.23), находим коэффициенты Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Тогда нижняя граница для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Верхняя граница для Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
И окончательно: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Случайная величина Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения с надежностью Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения если по данным выборки объемом Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решениявычислено Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения
Решение. Определим значение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения  по табл. П2:

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Точность оценки Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Подставим в неравенство (4.1):  

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Смысл полученного результата: если произведено достаточно большое число выборок по 36 в  каждой,  то 95 % из  них  определяют  такие  доверительные 
интервалы, в которых Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения заключено, и лишь в 5 % случаев оно может выйти за границы доверительного интервала.

Пример №5

Для исследования нормального распределения Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения извлечена выборка (табл. 4.1).

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Найти с надежностью Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения исследуемой СВ.

Решение. Найдем несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии, используя метод произведений (табл. 4.2).

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Контроль: Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

По табл. П3 по данным Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения находим Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Для определения доверительного интервала для математического ожидания используем неравенство (4.2):

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, интервал (50, 547; 51, 453) накрывает точку Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения с вероятностью 0,95.

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения используем неравенство (4.3). По табл. П4 по заданным Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения находим Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решенияИнтервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения

С вероятностью 0,95 неизвестное значение Интервальные оценки параметров распределения - определение и вычисление с примерами решения накрывается интервалом (2,004; 2,651).

  • Алгебра событий – определение и вычисление
  • Свойства вероятности
  • Многомерные случайные величины
  • Случайные события – определение и вычисление
  • Основные законы распределения дискретных случайных величин
  • Непрерывные случайные величины
  • Закон больших чисел
  • Генеральная и выборочная совокупности

Добавить комментарий