Как найти интервальное распределения выборки

Интервальное статистическое распределение

Если признак может
принимать любые значения из некоторого
промежутка, т.е. является непрерывной
случайной величиной, то необходимо
промежуток между наименьшим и наибольшим
значениями признака в выборке разбить
на несколько интервалов одинаковой
(или разной) длины. При
этом количество интервалов k
не должно
быть меньше 6 – 10 и больше 20 – 25 (выбор
числа интервалов зависит от объема
выборки n).

При подборе
количества интервалов можно пользоваться
приближенной формулой, которую предложил
американский статистик Sturgess
(Стерджесс):

– целая часть
числа х.

Затем определяем
длину частичного интервала группировки:

,
где R
=
–
размах выборки.

Находим границы
каждого из непересекающихся частичных
интервалов
:

a₁
= x_min
–
;
b₁
= a₁
+ h;

a₂
= b₁;
b₂
= a₂
+ h
и т.д.

Далее
каждому интервалу требуется поставить
в соответствие число выборочных значений
признака, попавших в этот интервал. В
результате получим интервальное
статистическое распределение:

Таблица
3.3

Интервалы	[a1; b1)	[a2; b2)	[a3; b3)	…	[ak; bk)
Частоты	m1	m2	m3	…	mk

Используя
интервальное статистическое распределение,
можно вычислить относительную частоту,
накопленную частоту, эмпирическую
функцию распределения, так же как и для
дискретного статистического распределения.

Если
в интервальном распределении каждый
интервал

заменить числом, лежащим в его середине
(a_i
+
b_i)/2,
то получим дискретное статистическое
распределение. Такая замена вполне
естественна, так как, например, при
измерении размера детали с точностью
до одного миллиметра, всем размерам из
промежутка [49,5 мм; 50,5 мм) будет
соответствовать одно число, равное 50.

Для графического
изображения интервального распределения
используется гистограмма.
Для ее построения в прямоугольной
системе координат по оси абсцисс
откладываем границы интервалов
группировки и на этих интервалах как
на основаниях строим прямоугольники,
высоты которых откладываются на оси
ординат. Различают:

а) гистограмму
абсолютных частот,
когда высота прямоугольника равна
;

б) гистограмму
относительных частот,
когда высота прямоугольника равна
.

Гистограмма
является выборочным
аналогом графика плотности вероятности.
Площадь на интервале (a_j;
a_m)
можно интерпретировать как приближенное
значение вероятности попадания случайной
величины Х
в этот интервал, т.е.
.

Основное свойство
гистограммы:
ее площадь для абсолютных частот равна
n,
а для относительных частот равна
единице.

Отношение
относительной частоты к длине частичного
интервала h
называют плотностью
распределения частоты
на интервале

(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Гистограмма
относительных частот

При построении
графика эмпирической функции распределения
для интервального ряда необходимо
учитывать, что функция определена только
на концах интервалов.

Таким образом,
статистическое распределение выборки
можно рассматривать как статистический
аналог для распределения генеральной
совокупности. Из-за случайных колебаний
эти два распределения, как правило, не
будут совпадать, но можно ожидать, что
при большом объеме выборки ее распределение
будет служить приближением для генеральной
совокупности, т.е.

,
если
.

Пример
2.
Получены данные о выработке продукции
30-ю рабочими в отчетном месяце в процентах
к предыдущему месяцу

n	Х – выработка продукции, %
1-10	125	91	82	93	101	111	109	103	121	90
11-20	79	105	115	95	84	130	104	117	127	107
21-30	85	76	98	104	126	113	98	84	113	123

Необходимо:

1. составить
   интервальное статистическое распределение;

2. построить
   гистограмму относительных частот.

Решение

1. Определим величину
частичных интервалов:

Построим 6
непересекающихся интервалов:

[70,5; 81,5), [81,5; 92,5),
[92,5; 103,5),

[103,5; 114,5), [114,5;
125,5), [125,5; 136,5).

Первый интервал
[70,5; 81,5) содержит два значения (76 и 79),
поэтому m₁
= 2. Второй
интервал [81,5; 92,5) содержит шесть значений
(82, 84, 84, 85, 90, 91), поэтому m₂
= 6 и т.д.
Полученные данные внесем в таблицу
интервального статистического
распределения:

Таблица 3.4

Интервалы	[70,5- 81,5)	[81,5- 92,5)	[92,5- 103,5)	[103,5- 114,5)	[114,5- 125,5)	[125,5- 136,5)
Частоты	2	6	6	8	5	3

2. Для построения
гистограммы вычислим значения
относительных частот w_i
и значения плотности распределения
частоты на интервале
:

Таблица 3.5

Интервалы	[70,5- 81,5)	[81,5- 92,5)	[92,5- 103,5)	[103,5- 114,5)	[114,5- 125,5)	[125,5- 136,5)
mi	2	6	6	8	5	3
wi	0,07	0,20	0,20	0,27	0,17	0,10
	0,006	0,018	0,018	0,024	0,015	0,009

Изобразим
данные последней строки табл. 3.5 на
графике

(рис. 3.6).

Обведем гистограмму
плавной линией f*(x)
так, чтобы приблизительно были равны
площади, ограниченные гистограммой и
кривой f*(x),
которую называют эмпирической
плотностью распределения относительных
частот. В
генеральной совокупности ей соответствует
плотность вероятности f(x).

Рис.
3.6. Гистограмма относительных частот

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики 
2. Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики
3. Условное статистическое распределение и их числовые характеристики 
4. Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции
5. Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики 

Количественные характеристики элементов генеральной совокупности могут быть одномерными и многомерными, дискретными и непрерывными. 

Когда реализуется выборка, количественный признак, например  приобретает конкретное числовое значение  которое называют вариантой. 

Возрастающий числовой ряд вариант называют вариационным. 

Каждая варианта выборки может быть наблюденной   если   число  частотой варианты . 

При этом 

 

где   – количество вариант, что отличаются числовым значением;  – объем выборки. 

Соотношение частоты   варианты   к объему выборки  называют ее относительной частотой и обозначают через   то есть 

Для каждой выборки выполняется равенство 

если исследуется признак генеральной совокупности  которая будет непрерывной, то вариант будет много. В этом случае, вариационный ряд  – это определенное количество равных или неравных частичных интервалов или групп вариант со своими частотами. 

Такие частичные интервалы вариант, которые размещены в возрастающей последовательности, образуют интервальный вариационный ряд. 

На практике для удобства, как правило, рассматривают интервальные вариационные ряды, в которых интервалы являются равными между собой. 

2. Дискретное статистическое распределение выборки и ее числовые характеристики. 

Перечень вариант вариационного ряда и соответственных им частот, или относительных частот, называют дискретным статистическим распределением выборки. 

В табличной форме можно представить так:  

Дискретное статистическое распределение выборки можно представить эмпирической функцией .

Эмпирическая функция  и ее свойства. Функция аргумента   что обозначает относительную частоту события  то есть 

называется эмпирической.

Тут    – объем выборки;   – количество вариант статистического распределения выборки значения которых меньше фиксированной варианты 

  – называют еще функцией накопления относительных частот. 

Свойства  

 

  где  является наименьшей вариантой вариационного ряда; 

  где  является наименьшей вариантой вариационного ряда; 

 является не спадающей функцией аргумента  а именно:   при 

 Полигон частот и относительных частот. Дискретное статистическое распределения выборки можно изобразить графически в виде ломанной линии, отрезки которой образуют координаты точек   или 

В первом случае ломанную линию называют полигоном частот, а во втором – полигоном относительных частот.

Пример. По заданному дискретному статистическому распределению выборки

нужно: 

1. Построить   и изобразить ее графически; 

2. Начертить полигоны частот и относительных частот. 

Решение. Согласно с определением и свойствам   имеет такой вид: 

Графическое изображение   предоставлено на рис. 106.

Полигоны частот и относительных частот изображены на рис. 107, 108. 

Числовые характеристики: 

1) выборочная средняя величина   Величину, которая обозначается формулой 

называют выборочной средней величиной дискретного статического распределения выборки. 

Тут  – варианта вариационного ряда выборки;  

 – частота этой выборки 

  – объем выборки 

Если все варианты выявляются в выборке только по одному разу, то есть   то

2) отклонение вариант. Разницу  называют отклонением этих вариант. 

При этом 

Следует, сумма отклонений всех вариант вариационного ряда выборки всегда равна нулю; 

3) мода   Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, что имеет наибольшую частоту появления.

Мод может быть несколько. Когда дискретное статистическое распределение имеет одну моду, то оно называется одномодальным. если имеет две моды – двумодальным и так далее. 

4) медиана   Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные количеством вариант: 

5) дисперсия. Для измерения рассеивания вариант выборки относительно   выбирается дисперсия. 

Дисперсия выборки – это среднее арифметическое квадратов отклонений вариант относительно , которое вычисляется по формуле 

или

6) среднее квадратичное отклонение выборки   При вычислении   отклонения приводиться к квадрату, а следует, изменяется единица измерения признака  потому на основании дисперсии приводится среднее квадратичное отклонение 

которое измеряет рассеивание вариант выборки относительно  то в тех же единицах, в которых изменяется признак 

7) размах  Для четкой оценки рассеивания вариант относительно  используется величина, которая равна разнице между наибольшей   и наименьшей  вариантами вариационного ряда. Эта величина называется размахом 

8) коэффициенты вариации  Для сравнения оценок вариаций  статистических рядов с разными значениями  которые не равны нулю, приводится коэффициент вариации, который вычисляется по формуле 

Пример. По заданному статистическому распределению выборки

нужно:

1) вычислить 

2) найти 

3) 

Решение. Поскольку  то согласно с формулами (354), (357), (358) получим: 

Для вычисления   обозначается 

Тогда 

Следует, приведенное статистическое распределение выборки будет двумодальным.  поскольку варианта  делит вариационный ряд  на две части:   и  которые имеют одинаковое количество вариант 

Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики 

Перечень долевых интервалов и соответственных им частот, или относительных частот называют интервальным статистическим распределением выборки

В табличной форме это распределение имеет такой вид: 

Тут  является длиной частичного  – нного интервала. Как правило, этот интервал берется одинаковым. 

Интервальное статистическое распределение выборки можно  преподать графически в виде гистограмм частот или относительных частот, а также, как и для дискретного статистического распределения, эмпирической функцией 

Гистограмма частот и относительных частот. Гистограмма частот – фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу   и высоту 

 Гистограмма относительных  частот – фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу  длиной   и высоту. что равен 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

нужно построить гистограмму частот и относительных частот 

Решение. Гистограммы частот и относительных частот приведены на 

Площадь гистограммы частот 

Площадь гистограммы относительных частот 

Эмпирическая функция  . При постройке кумуляты  для интервального статистического распределения выборки за основу берется предположение, что признак на каждом частичном интервале имеет равномерную плотность вероятностей. Потому кумулята имеет вид ломанной линии, которая возрастает на каждом частичном интервале и приближается к единице. 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

построить   и предоставить ее графически. 

Решение 

график  изображен на рис. 111. 

Аналогом эмпирической функции  в теории вероятностей будет интегральная функция 

Медана. Для обозначения медианы интервального статистического распределения выборки необходимо обозначить медианный частичны интервал. Если, например, на  – нном интервале   и   то обратим внимание, что исследование признака   является непрерывной и при этом  является не спадающей функцией, на середине интервала   обязательно существует такое значение  где  

Из признаков подобности треугольников   и   изображенных на рис. 112, получим: 

где  называют шагом. 

Мода. Для определения моды интервального статистического распределения необходимо найти модальный интервал, то есть такой частичный интервал, что имеет наибольшую частоту появления. 

Используя линейную интерполяцию, моду вычислим по формуле

где  – начало модального интервала; 

 – длина или шаг частичного интервала; 

 – частота модального интервала; 

– частота домодального интервала; 

 частота послемодального интервала; 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки 

построить гистограмму частот и 

Обозначим 

Решение. Гистограмма частот изображена на рис. 113.

График  изображен  на рис. 114

Из рис. 113 обозначается модальный интервал,  который равен  Используя  и обратив на внимание, что   получим 

Следует, 

Из графика  обозначается медианный интеграл, который равен 

Обратим внимание, что    и используя (361), получим: 

Следует, 

  для интервального статистического распределения выборки. Для обозначения   перейдем от интервального распределение к дискретному, вариантами которого будет середина частичных интервалов   и который имеет вид: 

Тогда  вычисляется по формуле: 

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки, в котором приведено распределение массы новорожденных 

вычислить 

Решение. Построим дискретное статистическое распределение к заданным интервальным. Поскольку  то получим: 

Обращая внимание  на  и то, что  получим:

Следует, 

Следует, 

Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Перечень вариант   и соответственных им частот   совместного их появления образуют двумерное статистическое распределение выборки, что реализована из генеральной совокупности, элементам этой выборки присущие количественные признаки    и 

В табличной форме это распределение имеет такой вид: 

Тут  – частота совместного появления вариант 

Общие числовые характеристики признака 

общая средняя величина признака 

общая дисперсия признака 

общие среднее квадратичное отклонение  признака 

Общие числовые характеристики признака  

общая средняя величина признака  :

общая дисперсия признака  :

общее среднее квадратичное отклонение  признака :

Условное статистическое распределение и их числовые характеристики 

Условным статистическим распределением признака    при фиксированном значении   называют пересечение вариант признака  и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении . 

Тут 

Числовые характеристики для такого статистического распределения называют условными. К ним принадлежат: условный средний признак  

условная дисперсия признака  

условное среднее квадратичное отклонение  признака :

 измеряют рассеивание вариант признака    относительно средней величины 

Условным статистическим распределением признака     при  называют пересечение вариант   и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении признака 

Тут 

Условные числовые характеристики для этого распределения: условная средняя величина признака 

условная дисперсия признака 

условное среднее квадратичное отклонение  признака 

При известных значениях условных средних   общие средние признаки     и  вычислить по формулам: 

Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции

Во время исследования двумерного статистического распределения выборки предстает потребность использовать наглядность связи между признаками и  , какой в статистике называют корреляционным. Для этого вычисляется эмпирический корреляционный момент  по формуле

Если   то корреляционная связь между признаками и   нет. Если же  то эта связь существует. 

Следует, корреляционный момент дает только ответ на вопросы: существует связь между признаками и   или нет. 

Для измерения тесноты корреляционной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции    по формуле 

как и в теории вероятностей 

Пример. По заданному двумерному статистическому распределению выборки признаки  и  

нужно: 

1) вычислить 

2) построить условно статистические распределения  и вычислить условные числовые характеристики. 

Решение. 1) Чтобы вычислить  обозначим 

Поскольку   то 

Следует, 

Следует,  

для обозначения  вычисляют 

Тогда 

Следует,  а это свидетельствует о том, что между признаками и   существует отрицательная корреляционная связь.

Для измерения тесноты этой связи вычислим выборочный коэффициент корреляции 

Следует,  то есть теснота корреляционной связи между признаками и    является слабой. 

Условное статистическое распределение   имеет  такой вид: 

Вычисляют условные числовые характеристики для этого распределения: 

Условная средняя величина

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение 

Следует, 

Условное статистическое распределение  имеет такой вид: 

Вычисляются условные числовые характеристики. 

Условная средняя величина 

Следует, 

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение 

Следует, 

Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики 

Если частота общего появления признака и      для всех вариант, то в этом случае двумерное статистическое распределение приобретает такой вид: 

его называют четным статистическим распределением выборки. Тут каждая пара значений признаков  и     выявляется только один раз. 

Объем выборки в этом случае равен количеству пар, то есть 

Числовые характеристики признака : 

средняя величина

дисперсия

среднее квадратичное отклонение 

Числовые характеристики признака : 

средняя величина

дисперсия

среднее квадратичное отклонение 

эмпирический корреляционный момент 

выборочный коэффициент корреляции 

Пример. Зависимость количества масла  что использует определенная особь за месяц, от ее прибыли в рублях    приведена в таблице 

Нужно вычислить 

Решение. Поскольку объем выборки  то получим: 

Следует 

 

Поскольку значение  близко к единице, то отсюда получается, что зависимость между количеством масла, использованного определенной особой, и ее месячной прибылью почти функциональная. 

6. Эмпирические моменты

Начальные эмпирические моменты. Среднее взвешенное значение вариант в степени  называют начальным эмпирическим моментом  – ого порядка  который вычисляется по формуле 

При   получим начальный момент первого порядка: 

При   вычислим начальный момент второго порядка: 

Следует, дисперсию выборки можно преподать через начальные моменты первого и второго порядков, а именно: 

Центральный эмпирический момент  – ого порядка. Среднее взвешенное отклонение вариант в степени  называют центральным эмпирическом моментом  – ого порядка 

При   получим: 

При  получим: 

На практике чаще используются центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, что вычисляются по формулам: 

Преподнося к третьему и четвертому степени отклонения вариант, придадим   и  через соответственные начальные моменты: 

Коэффициент асимметрии   Центральный эмпирический момент третьего порядка используется для вычисления коэффициента асимметрии: 

Если варианты статистического распределения выборки симметрично распределены относительно   то в этом случае  поскольку 

При  варианты статистического распределения  преобладают варианты   Такую асимметрию называют отрицательной. При  статистического распределения    преобладают варианты   и такую асимметрию называют положительной. 

 Эксцесс. Центральный эмпиричный момент четвертого порядка используется для вычисления эксцесса: 

  как правило, используется при исследовании непрерывности признаков генеральных совокупностей, поскольку он оценивает крутизну  закона распределения непрерывной случайной величины уравнена с нормальным. Для нормального закона распределения, как известно, 

Пример. Оценить в баллах  полученные абитуриенты на вступительных испытаниях по математике, приведены в таблице дискретного распределения: 

Вычислить 

Решение. Используя приведенные выше формулы и учитывая, что  вычислим 

Откуда 

Следует, получим: 

поскольку  сравнительно малый, то статистическое распределение ближе к симметричному. 

Пример. Длина заготовок    изготовленных работником за смену, и частоты этих длин  приведены в виде статистического распределения: 

обозначить 

Решение. Вычисляются значения  Поскольку  то получим: 

Следует, 

Вычислим центральный эмпирический момент четвертого порядка. 

Поскольку  то вершина закона распределения случайной величины, заданного плотностью вероятностей, будет плоской, то есть так называемое туповершинное распределение.

Содержание:

Интервальные оценки параметров распределения. Непрерывное и дискретное распределения признаков:

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим интервальные оценки параметров распределения, а именно непрерывное и дискретное распределения признаков генеральной и выборочной совокупности.

Статистические ряды и их геометрическое изображение дают представление о распределении наблюдаемой случайной величины X по данным выборки. Во многих задачах вид распределения случайной величины X известен, необходимо получить приближённое значение неизвестных параметров этого распределения: m,

Пусть

Точечной оценкой неизвестного параметра называется приближённое значение этого параметра, полученное по выборке.

Очевидно, что зависит от элементов выборки . Будем считать, что – случайная величина и является функцией системы случайных величин, одной из реализации которой является данная выборка.

Точечная оценка должна удовлетворять свойствам:

1. Состоятельность. Оценка  параметра называется
состоятельной, если при

Состоятельность оценки можно установить с помощью теоремы: если , то – состоятельная оценка.

2.    Несмещённость. Оценка параметра называется несмещённой, если . Для несмещённых оценок систематическая ошибка оценивания равна нулю.

Для оценки параметра может быть предложено несколько несмещённых оценок. Мерой точности считают её дисперсию
Отсюда вытекает третье свойство.

3.    Эффективность. Несмещённая оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими несмещёнными оценками этого параметра.

Запишем точечные оценки числовых характеристик случайной величины X.

1. Точечная оценка математического ожидания (выборочного среднего) находится по формуле

Проверим свойства оценки:

а) состоятельность следует из теоремы Чебышева: при
б) несмещённость:

в)эффективность:

так как

2.    Точечная оценка дисперсии находится по формуле

она обладает свойствами:    состоятельность, несмещённость,

эффективность.

3.    Точечная оценка среднеквадратического отклонения равна

 

Интервальные оценки

При статистической обработке результатов наблюдений необходимо знать не только точечную оценку параметра но и уметь оценить точность этой оценки

Характеристики вариационного ряда

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим характеристики вариационного ряда.

Вариационные ряды

Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных — сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя признак.

Пример:

Исследователь, интересующийся тарифным разрядом рабочих механического цеха, в результате опроса 100 рабочих получил следующие сведения:

Здесь признаком является тарифный разряд, а полученные о нём сведения образуют статистические данные. Для изучения данных прежде всего необходимо их сгруппировать. Расположим наблюдавшиеся значения признака в порядке возрастания. Эта операция называется ранжированием статистических данных. В результате получим следующий ряд, который называется ранжированным:
(1, 1, 1, 1) – 4 раза; (2, 2, 2, 2, 2, 2) – 6 раз; (3, 3, …, 3) – 12 раз; (4, 4, …, 4) –

16 раз; (5, 5, …, 5) – 44 раза; (6, 6, …, 6) – 18 раз.
Из ранжированного ряда следует, что признак (тарифный разряд) принял шесть различных значений: первый, второй и т.д. до шестого разряда.

В дальнейшем различные значения признака условимся называть вариантами, а под варьированием — понимать изменение значений признака. Если признак по своей сущности таков, что различные его значения не могут отличаться друг от друга меньше чем на некоторую конечную величину, то говорят, что это дискретно варьирующий признак.

Тарифный разряд — дискретно варьирующий признак: его различные значения не могут отличаться друг от друга меньше, чем на единицу. В примере этот признак принял 6 различных значений — 6 вариантов: вариант 1 повторился 4 раза, вариант 2-6 раз и т.д. Число, показывающее. сколько раз встречается вариант л* в ряде наблюдений, называется частотой варианта Ранжированный ряд представим в виде табл. 1.

Вместо частоты варианта x можно рассматривать её отношение к общему числу наблюдений n, которое называется частостью варианта х и обозначается Так как общее число наблюдений равно сумме частот всех вариантов то справедлива следующая цепочка равенств:

Таблица, позволяющая судить о распределении частот (или частостей) между вариантами, называется дискретным вариационным рядом.

В примере 1 была поставлена задача изучить результаты наблюдений. Если просмотр первичных данных не позволил составить представление о варьировании значений признака, то, рассматривая вариационный, ряд, можно сделать следующие выводы: тарифный разряд колеблется от 1-го до 6-го; наиболее часто встречается 5-й тарифный разряд; с ростом тарифного разряда (до 5-го разряда) растёт число рабочих, имеющих соответствующий разряд.

Наряду с понятием частоты используют понятие накопленной частоты, которую обозначают Накопленная частота показывает, во скольких наблюдениях признак принял значения, меньшие заданного значения х. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называют накопленной частостью и обозначают Очевидно, что

В дискретном вариационном ряду накопленные частоты (частости) вычисляются для каждого варианта и являются результатом последовательного суммирования частот (частостей). Накопленные частоты (частости) для вариационного ряда, заданного в табл. 1, вычислены в табл. 2.

Например, варианту 1 соответствует накопленная частота, равная нулю, так как среди опрошенных рабочих не было таких, у которых тарифный разряд был бы меньше 1-го; варианту 5 соответствует накопленная частота 38, так как было 4+6+12+16 рабочих с тарифным разрядом, меньшим 5-го, накопленная частость для этого варианта равна 0,38 (38: 100); если тарифный разряд выше 6-го, то ему соответствует накопленная частота 100, так как тарифный разряд всех опрошенных рабочих не выше 6-го.

Пример:

Исследователь, изучающий выработку на одного рабочего-станочника механического цеха в отчётном году в процентах к предыдущему году, получил следующие данные (в целых процентах) по 117 рабочим:

В этом примере признаком является выработка в отчётном году в процентах к предыдущему. Очевидно, что значения, принимаемые этим признаком, могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину, т. е. признак может принять любое значение в некотором числовом интервале (только для упрощения дальнейших расчетов полученные данные округлены до целых процентов). Такой признак называют непрерывно варьирующим. По приведенным данным трудно выявить характерные черты варьирования значений признака. Построение дискретного вариационного ряда также не даст желаемых результатов (слишком велико число различных наблюдавшихся значений признака). Для получения ясной картины объединим в группы рабочих, у которых величина выработки колеблется, например, в пределах 10%. Сгруппированные данные представим в табл. 3.

В табл. 3 частоты m показывают, во скольких наблюдениях признак принял значения, принадлежащие тому или иному интервалу. Такую частоту называют интервальной, а отношение её к общему числу наблюдений — интервальной частостью w. Таблицу, позволяющую судить о распределении частот (или частостей) между интервалами варьирования значений    признака, называют интервальным вариационным рядом.

Интервальный вариационный ряд, представленный в табл. 3, позволяет выявить закономерности распределения рабочих по интервалам выработки. В табл. 3 для верхних границ интервалов приведены накопленные    частоты (частости)    (они получены последовательным суммированием интервальных частот (частостей), начиная с частоты (частости) первого интервала). Например, для верхней границы третьего интервала, равной 110, накопленная частота равна 69; так как 8+15+46 рабочих имели выработку меньше 110%, накопленная частость равна 69/117.

Интервальный вариационный ряд строят по данным наблюдений за непрерывно    варьирующим признаком, а также за дискретно варьирующим, если велико число наблюдавшихся вариантов. Дискретный вариационный ряд строят только для дискретно варьирующего признака.

Иногда интервальный вариационный ряд условно заменяют дискретным. Тогда серединное значение интервала принимают за вариант х, а соответствующую интервальную частоту — за

Построение интервального вариационного ряда

Для построения интервального вариационного ряда необходимо определить величину интервала, установить полную шкалу интервалов, в соответствии с ней сгруппировать результаты наблюдений. В примере 2 при выборе величины интервала учитывались требования наибольшего удобства отсчётов. Интервал был принят равным 10% и оказался удачным. Построенный интервальный ряд позволил выявить закономерности варьирования значений признака. Для определения оптимального интервала h, т.е. такого, при котором построенный интервальный ряд не был бы слишком громоздким и в то же время позволял выявить характерные черты рассматриваемого явления, можно использовать формулу Стэрджеса

где — соответственно максимальный и минимальный варианты. Если h — дробное число, то за величину интервала следует взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь.

За начало первого интервала рекомендуется принимать величину 

начало второго интервала совпадает с концом первого и равно

начало третьего интервала совпадает с концом второго и равно Построение интервалов продолжают до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше

После установления шкалы интервалов следует сгруппировать результаты наблюдений. Границы последовательных интервалов записывают в столбец слева, а затем, просматривая статистические данные в том порядке, в каком они были получены, проставляют чёрточки справа от соответствующего интервала. В интервал включается данные, большие или равные нижней границе интервала и меньшие верхней границы. Целесообразно каждые пятое и шестое наблюдения отмечать диагональными черточками, пересекающими квадрат из четырёх предшествующих. Общее количество чёрточек, проставленных против какого-либо интервала, определяет его частоту.

Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности варьирования значений признака. Наиболее    широко используются    следующие    виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная
кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами где x — вариант, а — соответствующая ему частота. Иногда вместо точек строят точки (х; . Затем эти точки соединяют последовательно отрезками. Крайние левую и правую точки соединяют соответственно с точками, изображающими ближайший снизу к наименьшему и ближайший сверху к наибольшему варианты. Полученная ломаная линия называется полигоном.

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для её построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на этих отрезках, как на основании, строят прямоугольники с высотами, равными частотам (или частостям) соответствующего интервала. В результате получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую и называют гистограммой.

Если по оси абсцисс выбрать такой масштаб, чтобы ширина интервала была равна единице, и считать, что по оси ординат единица масштаба соответствует одному наблюдению, то площадь гистограммы равна общему числу наблюдений, если по оси ординат откладывались частоты, и эта площадь равна единице, если откладывались частости.

Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и к ним относят интервальные частоты. Для полученного дискретного ряда строят полигон.

Кумулятивная кривая (кривая накопленных частот или накопленных частостей) строится следующим образом. Если вариационный ряд дискретный, то в прямоугольной системе координат строят точки с координатами где х — вариант, — соответствующая накопленная частота. Иногда вместо точек строят точки Полученные точки соединяют отрезками.

Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты (или накопленные частости); нижней границе первого интервала — накопленная частота, равная нулю. Построив кумулятивную кривую, можно приблизительно установить число наблюдений (или их долю в общем количестве наблюдений), в которых признак принял значения, меньшие заданного.

Построение вариационного ряда — первый шаг к осмысливанию ряда наблюдений. Однако на практике этого недостаточно, особенно когда необходимо сравнить два ряда или более. Сравнению подлежат только так называемые однотипные вариационные ряды, т. е. ряды, которые построены по результатам обработки сходных статистических данных. Например, можно сравнивать распределения рабочих по возрасту на двух заводах или распределения времени простоев станков одного вида. Однотипные вариационные ряды обычно имеют похожую форму при графическом изображении, однако могут отличаться друг от друга, а именно: иметь различные значения признака, вокруг которых концентрируются наблюдения (меры этой качественной особенности называется средними величинами); различаться рассеянием наблюдений вокруг средних величин (меры этой особенности получили название показателей вариации).

Средние величины и показатели вариации позволяют судить о характерных особенностях вариационного ряда и называются статистическими характеристиками. К статистическим характеристикам относятся также показатели, характеризующие различия в скошенности полигонов и различия в их островершинности.

Средние величины

Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений, поскольку вокруг них концентрируются наблюдавшиеся значения признака. Заметим, что только для качественно однородных наблюдений имеет смысл вычислять средние величины.

Различают несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая и т.д. При выборе вида средней величины необходимо прежде всего ответить на вопрос: какое свойство ряда мы хотим представить средней величиной или, иначе говоря, какая цель преследуется при вычислении средней? Это свойство, получившее название определяющего, и определяет вид средней. Понятие определяющего свойства впервые введено советским статистиком А. Я. Боярским.

Наиболее распространенной средней величиной является средняя арифметическая. Пусть — данные наблюдений; — средняя арифметическая. Свойство, определяющее среднюю арифметическую, формулируется следующим образом:    сумма результатов наблюдений должна остаться неизменной, если каждое из них заменить средней арифметической, т.е.

Так как Отсюда получаем следующую формулу для
вычисления средней арифметической по данным наблюдений:

Если по наблюдениям построен вариационный ряд, то средняя арифметическая

где x- — вариант, если ряд дискретный, и центр интервала, если ряд интервальный; — соответствующая частота.

Частоты в формуле (4) называют весами, а операцию умножения x на — операцией взвешивания. Среднюю арифметическую, вычисленную по формуле (4), называют взвешенной в отличие от средней арифметической, вычисленной по формуле (3).

Очевидно, что если по данным наблюдений построен дискретный вариационный ряд, то формулы (3) и (4) дают одинаковые значения средней арифметической. Если же по наблюдениям построен интервальный ряд, то средние арифметические, вычисленные по формулам

(3) и (4), могут не совпадать, так как в формуле (4) значения признака внутри каждого интервала принимаются равными центрам интервалов. Ошибка, возникающая в результате такой замены, вообще говоря, очень мала, если наблюдения, распределены равномерно вдоль каждого интервала, а не скапливаются к одноименным границам интервалов (т.е. либо все к нижним границам, либо все к верхним границам).

Среднюю арифметическую для вариационного ряда можно вычислять по формуле

которая является следствием формулы (4). Действительно,

Свойство, определяющее среднюю арифметическую, сводилось к требованию неизменности суммы наблюдений при замене каждого из них средней арифметической. При решении практических задач может оказаться необходимым вычислить такую среднюю при замене которой каждого наблюдения, осталась бы неизменной сумма q-x степеней наблюдений, т.е. чтобы

где q — положительное или отрицательное число. Среднюю называют степенной средней q-го порядка. Из определяющего свойства (6) получим следующую формулу для вычисления по данным наблюдений:

Сравнивая формулы (7) и (3), можно сделать вывод, что степенная средняя первого порядка есть не что иное, как средняя арифметическая, т.е.

При q=-l из формулы (7) получаем выражение для средней гармонической, при q=2 — для среднеквадратической, при q=3 — для средней кубической и т.д.

Средней геометрической называют корень n-й степени из произведения наблюдений    Можно доказать, что средняя геометрическая является предельным случаем степенной средней q-го порядка при q=0, т.е.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

1°. Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметической равна нулю.

Доказательство. Исходя из определяющего свойства (2) средней арифметической, получаем

Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая взвешенная, то свойство 1° формулируется так: сумма произведений отклонений вариантов от средней арифметической на соответствующие частоты равна нулю. Действительно, на основании формулы (4) получаем

или

2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то же число. (Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая — взвешенная).

Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов на одно и то же число с соответствующие им частоты останутся прежними. Поэтому взвешенная средняя арифметическая для изменённого вариационного ряда такова:

Аналогично можно показать, что Это свойство позволяет среднюю арифметическую вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) на одно и то же число с. Если среднюю арифметическую, вычисленную для измененного ряда, увеличить (уменьшить) на число с, то получим среднюю арифметическую для первоначального вариационного ряда.

3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) во столько же раз.

Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов в k раз их частоты останутся прежними. Поэтому средняя арифметическая для изменённого ряда

Аналогично можно доказать, чтоРассмотренное свойство позволяет среднюю арифметическую вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) в одно и то же число k раз. Если среднюю арифметическую, вычисленную для изменённого ряда, увеличить

(уменьшить) в k раз, то получим среднюю арифметическую для первоначального вариационного ряда.

4°. Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых средних, причём весами являются объёмы групп.

Пусть число наблюдений соответственно в 1-й и 2-й группах; —

средняя арифметическая для всего ряда наблюдений; — средние арифметические соответственно для 1-й и 2-й групп наблюдений. Требуется доказать, что

Доказательство.    Исходя    из определяющего свойству средней арифметической, имеем:    произведение равно сумме (/?! +/;2) наблюдавшихся значений признака; равно сумменаблюдавшихся значений, образующих первую группу: равно сумме наблюдавшихся значений, образующих вторую группу.

Следовательно,

Следствие. Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых средних причём весами являются объёмы групп

5°. Средняя арифметическая для сумм (разностей) взаимно соответствующих значений признака двух рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна сумме (разности) средних арифметических этих рядов.

Пусть — один ряд наблюдений, — его средняя арифметическая; — другой ряд наблюдений, — его средняя арифметическая —    ряд сумм соответствующих наблюдений, — его средняя арифметическая. Требуется доказать, что

Доказательство. Имеем

Аналогично можно показать, что

Следствие. Средняя арифметическая алгебраической суммы соответствующих значений признака нескольких рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна алгебраической сумме средних арифметических этих рядов.

Вычисление средней арифметической вариационного ряда непосредственно по формуле (4) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто используют следующий способ, основанный на свойствах 3° и 2° средней арифметической: среднюю вычисляют не по первоначальным вариантам л-, а по уменьшенным на не которое число с, а затем разделённым на некоторое число k т.е. для вариантов Зная среднюю арифметическую для измененного ряда, легко вычислить среднюю арифметическую для первоначального ряда:

Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° средней арифметической, получаем

откуда    следует,    что

Очевидно, что от выбора числовых значений с и к зависит, насколько простым будет вычисление средней арифметической для измененного ряда. Значения с и k обычно выбирают так, чтобы новые варианты были небольшими целыми числами. Если ряд дискретный, то в качестве с берётся вариант, занимающий серединное положение в вариационном ряду (если таких вариантов два, то за k принимается тот, которому соответствует большая частота); за k принимают наибольший общий делитель вариантов (х-с). Если ряд интервальный, то его заменяют дискретным; тогда с — центр серединного интервала (если таких интервала два, то берётся тот, которому соответствует большая частота); за к принимают длину интервала h

Медиана и мода

Наряду со средними величинами в качестве описательных характеристик вариационного ряда применяют медиану и моду.

Медианой называют значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечётное число наблюдений, т.е. n=2q—1, и результаты наблюдений проранжированы и выписаны в следующий ряд:

Здесь значение признака, занявшее i-е порядковое место в ранжированном ряду. На середину ряда приходится значение Следовательно,

Если проведено чётное число наблюдений, т.е. n=2q, то на середину ранжированного ряда приходятся значения и

В этом случае за медиану принимают среднюю арифметическую значений

, т.е.

Покажем на примерах на практическом занятии, как определяется медиана дискретного и интервального вариационных рядов.

В общем случае медиана для интервального вариационного ряда определяется по формуле

или по следующей формуле, полученной из формулы (9) в результате деления числителя и знаменателя входящей в неё дроби на n:

где — начало медианного интервала, т.е. такого, которому соответствует первая из накопленных частот (накопленных частостей), равная или большая половине всех наблюдений (>0,5); —частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; —частота (частость) медианного интервала.

Модой называют такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ею является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле (вывод формулы можно найти в кн.: Венецкий И. Г Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1975.):

или по тождественной формуле:

где — начало модального интервала, т.е. такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); — частота (частость) модального интервала; — частота (частость) интервала, предшествующего модальному; — частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости и т. д. Модальная производительность, себестоимость и т.д. помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.

Показатели вариации

Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами, т.е.
(13)
Вариационный размах — приближённый показатель вариации, так как почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты, которые используются для его вычисления, как правило, ненадёжны.

Более содержательными являются меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.

Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметическойне может характеризовать вариацию наблюдений около средней арифметической. В силу свойства 1° эта сумма равна нулю. Берут или абсолютные величины, или квадраты разностей . В результате получают различные показатели вариации.

Средним линейным отклонением (d) называют среднюю арифметическую абсолютных величин отклонений результатов наблюдений от их средней ар и ф метической:

Эмпирической дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их средней ар и ф м ети ч ес ко й:

Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд, то эмпирическая дисперсия

Вместо эмпирической дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используют эмпирическое среднеквадратическое отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака.

где x — вариант (если ряд дискретный) и центр интервала (если ряд интервальный); — соответствующая частота (частость); — средняя арифметическая.

Для краткости величину часто будем называть просто дисперсией, не употребляя термина «эмпирическая». Однако при этом всегда следует помнить, что в этом случае дисперсия вычислена по результатам наблюдений на основании опытных данных, т.е. является эмпирической. Аналогичное замечание относится и к величине s.

Приведем свойство минимальности эмпирической дисперсии: меньше взвешенной средней арифметической квадратов отклонений вариантов от любой постоянной величины, отличной от средней арифметической, т.е.

если

Доказательство. Найдём экстремум функции . Для

этого решим уравнение Имеем:

Так как то функция f(a) имеет в точке минимум.
Можно показать, что среднее линейное отклонение не обладает свойством минимальности. Поэтому наиболее употребительными мерами рассеяния
 

Для вариационного ряда среднеквадратическое отклонение наблюдений вокруг средней арифметической являются эмпирическая дисперсия и эмпирическое среднеквадратическое отклонение.

Итальянский статистик Коррадо Джинни предложил в качестве показателя вариации использовать величину  где– ряд наблюдений. Особенность этого показателя состоит в том, что он зависит только от разностей между наблюдениями и измеряет как бы «внутреннюю изменчивость» значений признака, а не их рассеяние вокруг какой-либо точки. Можно показать, чтоявлясь мерой рассеяния значений признака вокруг средней арифметической, характеризует также и внутреннюю их изменчивость.

Свойства эмпирической дисперсии

Рассмотрим основные свойства эмпирической дисперсии, знание которых позволит упростить её вычисление.

1 °. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство этого свойства очевидно вытекает из того, что дисперсия является показателем рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической, а средняя арифметическая постоянной равна этой постоянной.

2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то дисперсия не изменится.

Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд.

Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то в соответствии со свойством 2° средней арифметической средняя для измененного вариационного ряда равна следовательно, его дисперсия

,т.е. совпадает с дисперсией первоначального вариационного ряда. Аналогично можно показать, что

Доказанное свойство позволяет вычислять дисперсию не по данным вариантам, а по уменьшенным, (увеличенным) на одно и то же число с, так как дисперсия, вычисленная для измененного ряда, равна первоначальной.

3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в раз.

Доказательство. Если все варианты уменьшить в k раз, то, согласно свойству 3 средней арифметической, средняя для измененного вариационного ряда равна следовательно, его дисперсия

Аналогично можно показать, что

Это свойство позволяет эмпирическую дисперсию вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) в одно и то же число k раз. Если дисперсию, вычисленную для измененного ряда, увеличить (уменьшить) в раз, то получим дисперсию для первоначального вариационного ряда.

Следствие. Если все варианты уменьшить (увеличить) в k раз, то среднеквадратическое отклонение уменьшится (увеличится) в число раз, равное k.

Следствие очевидно вытекает из определения среднеквадратического
отклонения.

Прежде чем рассматривать следующее свойство дисперсии, докажем теорему.

Теорема. Эмпирическая дисперсия равна разности между средней
арифметической    квадратов наблюдений и    квадратом    средней
арифметической,    т.е.        

Доказательство    проведём для случая    взвешенных    средних    арифметических, т.е.

Доказательство. Тождественно преобразуя выражения для дисперсии, имеем

 

4°, Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то дисперсия всего ряда равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и средней арифметической квадратов отклонений групповых средних от средней всего ряда, причем ‘ при вычислении средних арифметических весами являются объемы групп.

Пусть — число наблюдений соответственно в 1-й и 2-й группах; — средние арифметические для 1-й и 2-й групп наблюдений; — дисперсии для 1-й и 2-й групп наблюдений; — средняя арифметическая и дисперсия для всего ряда наблюдений. Требуется доказать, что

Доказательство.

Пусть— ряд наблюдавшихся значений признака, причем к первой группе относятся наблюдения , а ко второй — наблюдения Обозначим символом i порядковый номер наблюдения, попавшего в 1-ю группу, а через j — порядковый номер наблюдения, попавшего во 2-ю группу. На основании теоремы о дисперсии имеемСледовательно, первое слагаемое имеет вид

В соответствии со свойством 4° средней арифметической можно записать Учитывая последнее равенство, преобразуем второе слагаемое:

Используя найденные выражения для слагаемых, получаем

Свойство 4° можно обобщить на случай, когда ряд наблюдений состоит из любого количества групп наблюдений. Введём понятия межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то межгрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений групповых средних от средней всего ряда наблюдений причём весами являются объёмы группт.е.

Средней групповых дисперсий или внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий причём весами являются объёмы групп

Следствие (свойства 4°). Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то дисперсия всего ряда s2 равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е.

Вычисление дисперсии вариационного ряда непосредственно по формуле (16) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто дисперсию вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам Зная  (дисперсию для измененного ряда), легко вычислить дисперсию для первоначального ряда:

Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° дисперсии, получаем

откуда следует, что

Требования к с  и k предъявляют те же, что и в упрощенном способе вычисления средней арифметической.
 

Эмпирические центральные и начальные моменты

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.

Эмпирическим начальным моментом порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней вариантов, т.е.

Эмпирический начальный момент нулевого порядка

Эмпирический начальный момент первого порядка
Эмпирический начальный момент второго порядка  и т.д.
Эмпирическим центральным моментом порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней отклонений вариантов от их средней арифметической, т.е.

Эмпирический центральный момент нулевого порядка

Эмпирический центральный момент первого порядка  (в силу свойства 1° средней арифметической).

Эмпирический центральный момент второго порядка

В дальнейшем для краткости величину часто будем называть просто центральным моментом (начальным моментом), не употребляя термин «эмлирический».

Используя формулу бинома Ньютона, разложим в ряд выражение для центрального момента q-го порядка:

В проведенных тождественных преобразованиях использованы свойства 5° и 3° средней арифметической;  — число сочетаний из q элементов по р элементов

Итак, центральный момент q-го порядка выражается через начальные моменты следующим образом:

Полагая q = 0, 1, 2,…, можно получить выражения центральных моментов различных порядков через начальные моменты:

 и т.д.

Заметим, что формула (23) для центрального момента второго порядка, как и следовало ожидать, аналогична формуле (18) для дисперсии.

Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволят значительно упростить их вычисление.

1°. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то центральный момент q-го порядка не изменится.

Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то средняя арифметическая для измененного ряда равна поэтому центральный момент q-го порядка

Аналогично можно показать, что

2°. Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то центральный момент q-го порядка уменьшится (увеличится) в раз. Доказательство. Если все варианты уменьшить в одно и то же число k раз,

то средняя арифметическая для измененного вариационного ряда равна

поэтому центральный момент q-го порядка

Аналогично можно показать, что

Для облегчения расчётов центральные моменты вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам Зная (центральный момент q-го порядка для измененного ряда), легко вычислить центральный момент q-го порядка для первоначального ряда:

внимание свойства центрального момента, получаем

откуда следует, что

Эмпирические асимметрия и эксцесс

Эмпирическим коэффициентом асимметрии называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения:

Если полигон вариационного ряда скошен, т.е. одна из его ветвей, начиная от вершины, зримо длиннее другой, то такой ряд называют асимметричным. Из формулы (27) следует, что если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие то эмпирический коэффициент асимметрии отрицателен; говорят, что в этом случае имеет место левосторонняя асимметрия. Если же в вариационном ряду преобладают варианты, большие то эмпирический коэффициент асимметрии положителен; в этом случае имеет место правосторонняя асимметрия. При левосторонней асимметрии левая ветвь полигона длиннее правой. При правосторонней, более длинной является правая ветвь.

Эмпирическим эксцессом или коэффициентом крутости называют уменьшенное на 3 единицы отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднеквадратического отклонения:

За стандартное значение эксцесса принимают нуль-эксцесс так называемой нормальной кривой (см. рис. 1).

Кривые, у которых эксцесс отрицательный, по сравнению с нормальной менее крутые, имеют, более плоскую вершину и называются «плосковершинными» Кривые с положительным эксцессом более крутые по сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются «островершинными».

Интервальные оценки параметров распределений

Доверительный интервал, доверительная вероятность:

Точечная оценка неизвестного параметра , найденная по выборке объема  из генеральной совокупности, не позволяет непосредственно узнать ошибку, которая получается, когда вместо точного значения неизвестного параметра  принимается некоторое его приближение (оценка)  Поэтому чаще пользуются интервальной оценкой, основанной на определении некоторого интервала, накрывающего неизвестное значение параметра  с определенной вероятностью. На рис. 10.1 изображен интервал длиной , внутри которого в любом месте может находиться неизвестное значение параметра .

Чем меньше разность  тем лучше качество оценки. И если записать  то  будет характеризовать точность оценки.
 

Доверительной вероятностью оценки называется вероятность выполнения неравенства  . Доверительную вероятность р обычно задают заранее: 0,9; 0,95; 0,9973. И доверительная вероятность показы­вает, что с вероятностью р параметр  будет накрываться данным интервалом

   или

                       (10.1)

Из  (10.1) видно, что неизвестный параметр  находится внутри интервала 
 

Доверительным интервалом называется интервал накрывающий неизвестный параметр 0 с заданной доверительной вероятностью  

Длина его (см. рис. 10.1) . Параметр  -уровень значимости.

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X при известной дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X при известной дисперсии (или )

Пусть эксперимент Е описывается нормальной случайной величиной X.
Плотность распределения . Предположим, что известна дисперсия  – неизвестна. Тогда точечную оценку математического ожидания можно получить из выборки объемом  – и она определится так: Рассматривая выборку  как  независимых случайных величин, имеющих одно и тоже нормальное распределение, определим числовые характеристики

 

откуда получим

       (10.2)

Для определения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром:  Нормируем ее (сделаем безразмерной), т. е. разделим на  и обозначим как случайную величину U:

    (10.3)

Покажем, что случайная величина U имеет нормированный нормальный закон распределения. Найдем ее числовые характеристики:

Таким образом – это значит, что U имеет нормированное нормальное распределение, график которого изображен на рис. 10.2.

Зная плотность распределения случайной величины U, легко найти вероятность попадания случайной величины U в интервал (см. рис. 10.2):

Левая часть этого уравнения представляет собой доверительную вероятность

Тогда из (10.4) и (10.5) следует уравнение

Решая уравнение (10.6), по таблицам функции Лапласа для заданной доверительной вероятности  можно найти границы доверительного интервала для U, т. е. квантили  . Считая, что квантили  известны, преобразуем правую часть уравнения (10.5), подставляя в нее (10.3):

Считая, что – известна, из (10.7) следует, что доверительный интер­вал  накрывает неизвестное математическое ожидание  с заданной доверительной вероятностью  Точность оценки ма­тематического ожидания или длина доверительного интервала

Замечания по формуле (10.8):

1. при увеличении объема выборки  из (10.8) видим, что е уменьшается, значит, уменьшается длина доверительного интервала, а точность оценки увеличивается;
2. увеличение доверительной вероятности  приводит к увеличению длины доверительного интервала (см. рис. 10.2, где квантили  увеличиваются), т. е. е увеличивается, а точность оценки падает;
3. если задать точность е и доверительную вероятность  , то можно найти объем выборки, который обеспечит заданную точность:

Пример №1

Сколько конденсаторов одного номинала надо измерить, чтобы с вероят­ностью 0,95 можно было утверждать, что мы с точностью 1 % определили их среднее значение – математическое ожидание.
Обозначим  по таблицам функции Лапласа найдем квантиль для заданной доверительной вероятности 0,95:  = 1,96. Для проведения расчетов положим  Подставляя эти значения в (10.9), получим

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины X при НЕизвестной дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины X при неизвестной дисперсии или

Пусть эксперимент описывается случайной величиной X с нормальным распределением с неизвестными параметрами  Для определения точечных оценок этих параметров из генеральной совокупности извлечена выборка  объемом . Тогда точечные оценки этих параметров определяются так:

Здесь использовали для оценки дисперсии  – модифицированную выборочную дисперсию, несмещенную оценку. Для построения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром:  . Нормиру­ем ее, т. е. разделим на  и обозначим результат как случайную величину t. Ранее мы показали, что  но т. к. здесь  неизвестна, возьмем ее оценку  и тогда  . Тогда случайная величина t принимает вид

Умножим числитель и знаменатель в (10.10) на

 

Здесь X – нормированная нормальная случайная величина, знаменатель – распределение с  степенями свободы. Поэтому, согласно определению (см. раздел 9.3, формула (9.5)), можно утверждать, что случайные величины  определяемые по формулам (10.10) и (10.11), имеют закон распределения Стьюдента с  степенями свободы.
Зная закон распределения случайной величины t и задавая доверительную вероятность , можно найти вероятность попадания ее в интервал (рис. 10.3).

Из таблиц распределений Стьюдента по заданной доверительной вероятности  и числу степеней свободы находим квантили  удовлетворяющие условию

Подставляя в (10.13) вместо t равенство (10.10), получаем

Разрешим неравенство в левой части формулы (10.14) относительно

Отсюда непосредственно следует, что доверительный интервал   накрывает неизвестный параметр  – (математическое ожидание) с доверительной вероятностью

Интервал (10.15) несколько шире интервала (10.7), определенного для той же выборки и той же доверительной вероятности. Зато в (10.15) используется меньшая априорная информация –  знать не надо.

Можно обозначить ширину доверительного интервала или точность через  , и из (10.15) следует

Все замечания, сделанные по формуле (10.8), справедливы и для формулы (10.16).
 

Пример №2

Даны результаты четырех измерений напряжения сети (значения приве­дены в

Считаем, что X – напряжение сети – является нормальной случайной величиной. Построить доверительный интервал с вероятностью 0,95 для истинного напряжения сети –

Найдем точечную оценку

Из таблиц распределения Стьюдента для – число степеней свободы; находим квантиль  Вычислим модифицированную выборочную дисперсию

 
Тогда
Полученные значения подставим в формулу (10.16):

Найдем левую и правую границы доверительного интервала для

Таким образом, истинное напряжение сети с вероятностью 0,95 накрывается доверительным интервалом

Найдем минимальное число измерений, чтобы с вероятностью 0,95 точ­ ность определения истинного напряжения сети не превышала 0,5 В, т. е.  Из (10.16) имеем
 измерения.
 

Видим, что число измерений  велико. Следует отметить, что значение квантиля  зависит от  и при увеличении  будет убывать. При больших  значение квантиля стремится к постоянной величине и равно . Тогда после коррекции значения квантиля вычисляем по формуле (10.16) скорректированное значение  :

 измерения.

Доверительный интервал для дисперсии или ст нормальной случайной величины X

Рассмотрим вероятностный эксперимент с нормальной моделью, где параметры  неизвестны. Предположим, что по выборке  найдены точечные оценки этих параметров:

Составим вспомогательную случайную величину

Эта случайная величина имеет распределение  степенями свободы. Покажем это, подставив в (10.17) выражение для

Это и есть распределение хи-квадрат с  степенью свободы. На рис. 10.4 приведен график этого распределения.

Зная закон распределения случайной величины У, определим вероятность того, что случайная величина  попадет в интервал

Здесь  плотность распределения  с  степенями свободы. Из рис. 10.4 видно, что кривая для плотности распределения  несимметрична относительно центра распределения, поэтому границы доверительного интервала или квантили  для данной вероятности  не определяются однозначно. Чтобы избежать неопределенности будем их находить из условия

Это означает, что площади заштрихованных фигур равны. Задавая доверительную вероятность  по таблицам распределения  для числа сте­пеней свободы  используя условия (10.19), находим квантили

Считая  и р известными, перепишем (10.18) в следующем виде:

Подставим в (10.20) значение , определяемое формулой (10.17):

Решаем неравенство в левой части (10.21) относительно

 Из (10.22) записываем доверительный интервал для

Для среднего квадратического отклонения  доверительный интервал имеет следующий вид:

Можно ввести коэффициенты

Тогда доверительный интервал для о определится следующим обра­зом:

Коэффициенты  , соответствующие доверительной вероятности  и числу степеней свободы , находятся по таблицам распределения .
 

Пример №3

В предыдущем разделе (10.3) приведен пример для измеренных значений напряжения сети. Продолжим и найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения  .

Найдена точечная оценка для  Задавая доверительную ве­роятность  , зная число степеней свободы , по таблицам распределения  , используя (10.23), находим коэффициенты
Тогда нижняя граница для
Верхняя граница для
И окончательно:

Пример №4

Случайная величина  имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением  Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания  с надежностью  если по данным выборки объемом вычислено 
Решение. Определим значение   по табл. П2:

Точность оценки 

Подставим в неравенство (4.1):  

Смысл полученного результата: если произведено достаточно большое число выборок по 36 в  каждой,  то 95 % из  них  определяют  такие  доверительные 
интервалы, в которых  заключено, и лишь в 5 % случаев оно может выйти за границы доверительного интервала.

Пример №5

Для исследования нормального распределения  извлечена выборка (табл. 4.1).

Найти с надежностью  доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения исследуемой СВ.

Решение. Найдем несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии, используя метод произведений (табл. 4.2).

Контроль: 

По табл. П3 по данным  находим 

Для определения доверительного интервала для математического ожидания используем неравенство (4.2):

Таким образом, интервал (50, 547; 51, 453) накрывает точку  с вероятностью 0,95.

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения используем неравенство (4.3). По табл. П4 по заданным  находим 

С вероятностью 0,95 неизвестное значение  накрывается интервалом (2,004; 2,651).