Как найти интервалы вогнутости функции выпуклости

Как найти интервалы вогнутости функции выпуклости

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.



Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

  1. Найти вторую производную f’’(x).
  2. Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
  4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.

Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.

f(2) = 6*22 – 23 = 16

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).

Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1

Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4

Источник

Содержание:

  • Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
  • Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Выпуклость и вогнутость функции

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале
$(a ; b)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке
$x_{0} in(a ; b)$ вторую производную. Тогда, если
$f^{prime prime}(x)>0$ всюду на интервале
$(a ; b)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале,
если $f^{prime prime}(x) lt 0$, то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции $y=f(x)$
называется точка $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция $y=f(x)$ имеет перегиб в точке
$Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, то
$f^{prime prime}left(x_{1}right)=0$ или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

  1. первая производная $f^{prime}(x)$
    непрерывна в окрестности точки $x_{1}$;
  2. вторая производная $f^{prime prime}(x)=0$ или не существует в точке $x_{1}$;
  3. $f^{prime prime}(x)$ при переходе через точку $x_{1}$ меняет свой знак,

тогда в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$ функция $y=f(x)$ имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

  1. Найти вторую производную функции.
  2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
$y=frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1$

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

$y^{prime prime}=left(frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1right)^{prime prime}=left(frac{x^{2}}{2}-2 x+3right)^{prime}=x-2$

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
$y^{prime prime}(x)=0$:

$y^{prime prime}(x)=x-2=0 Rightarrow x=2$

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке $(-infty ; 2)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x) lt 0$, то на этом промежутке функция
$y(x)$ выпукла; в силу того, что на промежутке
$(2 ;+infty)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x)>0$ – функция вогнута. Так как при переходе через
точку $x=2$ вторая производная сменила знак, то
эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка $x=2$ – точка перегиба графика функции.

На промежутке $(-infty ; 2)$ функция выпукла, на промежутке
$(2 ;+infty)$ функция вогнута.

Читать дальше: асимптоты графика функции.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

График функции
называется выпуклым в интервале
,
если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис.3).

График функции
называется вогнутым в интервале
,
если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис. 4).

Достаточное
условие выпуклости (вогнутости).Пусть
функцияимеет вторую производную на интервале.
Тогда, еслина этом интервале, то функция выпукла,
если,
то график функции вогнутый на этом
интервале.

Точка графика
непрерывной функции
,
отделяющая его части выпуклости и
вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).

Необходимое
условие точки перегиба. Если– точка перегиба функции,
то в этой точке вторая производная
функции либо равна нулю (),
либо не существует.

Точки, в которых
вторая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими
точками 2 –го рода.

Точки перегиба
следует искать среди критических точек
2- го рода.

Первое достаточное
условие точки перегиба. Пусть функцияимеет первую производную в точкеи вторую производную в некоторой
окрестности этой точки (кроме, быть
может самой точки). Тогда если при
переходе через точкувторая производная меняет знак, то– точка перегиба.

Второе достаточное
условие точки перегиба.Пусть в точкефункцияимеет производные до третьего порядка
включительно. Тогда если,
а,
то– точка перегиба этой функции.

    1. Асимптоты.

Прямая
линияmназываетсяасимптотойграфика функции,
если расстояниеdот
точкиM, лежащей на
этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по графику от начала
координат в бесконечность (Рис. 6 а),
б), в)).

б

в

а

Асимптоты бывают
трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные
(рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая
называетсявертикальной асимптотойграфика функции,
если хотя бы один из односторонних
пределовиравен бесконечности.

Обычно вертикальными
асимптотами являются прямые в точках
разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания
вертикальных асимптот определяют точки
бесконечного

разрыва
функции. Тогда уравнение вертикальных
асимптот
.
Вертикальные асимптоты могут быть и на
границе области определения функции.
Например, как у функции.

Прямая
называется
наклонной асимптотойграфика
функции
при(при),
если(соответственно,).

Уравнение наклонной
асимптоты к графику функции
ищем
виде,
где

(*)

и
(**)

Если хотя бы один
из пределов (*) и (**) не существует или
равен бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты
графика функцииприимогут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (*) и (**) следует отдельно
рассматривать случай, когдаи когда.

Частным случаем
наклонной асимптоты (при
)
являетсягоризонтальная асимптота.

Прямая
является горизонтальной асимптотой
графика функциипри(при)
тогда и только тогда, когда(соответственно,).

    1. Общая
      схема исследования функции и построение
      графиков функций.

При построении
графика данной функции
целесообразно пользоваться следующей
схемой:

  1. найти
    область определения функции;

  2. исследовать
    функцию на четность, нечетность и
    периодичность;

  3. найти
    точки пересечения графика с осями
    координат (если это возможно);

  4. найти
    интервалы знакопостоянства функции
    (промежутки, на которых
    и);

  5. найти
    асимптоты;

  6. найти
    интервалы возрастания и убывания,
    экстремумы функции;

  7. найти
    интервалы выпуклости и вогнутости,
    точки перегиба;

  8. построить
    график функции.

Приведенная схема
исследования не является обязательной.
В более простых случаях достаточно
выполнить лишь несколько операций,
например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым
вычислить несколько дополнительных
точек.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №18. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение производной второго порядка;

2) Определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма;

3) Решение прикладных задач с использованием производной второго порядка.

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

  1. Найти область определения функции
  2. Найти вторую производную функции
  3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
  4. Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
  5. Определить знаки второй производной на каждом интервале
  6. Если f ‘‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f ‘‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

  1. Точки, в которых вторая производная меняет знак, – точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение:

  1. Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
  2. Найдем вторую производную функции:
  3. при х = 1, х = -1
  4. Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

  1. Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У’=соsх

У”= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У”= -sinх <0, а в промежутках , sinх <0, следовательно

У” >0. Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t4 – 8t3 + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение – это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t3 – 24t2 + 2

a= S”(t) = 36t2 – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t2 – 48t=48

36t2 – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x3 – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

  1. D(f) = (0; +∞)
  2. f (x) = (x3 – 6xln x)

  1. f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

  1. Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.

Источник
Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Выпуклая и вогнутая функция

При исследовании заданной функции и построении ее графика встречаются понятия выпуклая и вогнутая функция.

Если функция $y=f(x)$ является дифференцируемой, тогда необходимо рассмотреть следующие определения.

Определение 1

Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вниз на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не ниже касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.

Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вверх на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не выше касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.

Схематическое изображение графиков выпуклой вниз (вогнутая функция) и выпуклой вверх (выпуклая) функций показано на рис.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости графика заданной функции необходимо использовать следующие теоремы.

Теорема 2

Если $f”(x)>0$ для любой точки из рассматриваемого интервала, то график заданной функции на данном интервале направлен выпуклостью вниз.

«Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба» 👇

Пример 1

Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции $y=x^{5} $:

Решение:

Первая производная: $y’=5x^{4} $; вторая производная: $y”=20x^{3} $.
Исследуя знак второй производной кривой, получаем, что $f”(x)0, , forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.$, ,

Правило дождя

Для облегчения запоминания данных теорем можно использовать так называемое «правило дождя» (см. рис.).

Правило дождя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Правило дождя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Правило дождя»:

  • если $f”(x)$
  • если $f”(x)>0$ (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа образуется, а значит, дождь падает во впадину (выпуклость вниз).

Отметим, что график может быть выпуклым или вогнутым на всей области определения заданной функции, а может только на отдельных промежутках. В таких случаях промежутки выпуклости и вогнутости сменяют друг друга.

Пример 2

Найти промежутки выпуклости/вогнутости графика заданной функции $y=x^{3} $.:

Решение:

$y’=3x^{2} $; вторая производная: $y”=6x$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что $f”(x)$0, , forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.

Определение 2

Точка перегиба – это такая точка графика выпуклой функции, которая разделяет промежутки выпуклости/вогнутости графика.

В примере 1 $x=0$ является точкой перегиба, так как при переходе через эту точку меняется поведение графика функции (в частности, с выпуклости на вогнутость).

Необходимое условие точки перегиба: В точке перегиба $(x_{0} ;y_{0} )$ вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба:

  • $f'(x_{0} )$ непрерывна в окрестности заданной точки;
  • $f”(x_{0} )=0$ или не существует в заданной точке;
  • $f”(x)$ меняет знак на противоположный при переходе через заданную точку.

Учитывая все выше сказанное, составим алгоритм исследования выпуклости и вогнутости функции:

  • нахождение первой производной $f'(x)$ заданной функции;
  • нахождение второй производной $f”(x)$ заданной функции;
  • определение точек, в которых $f”(x)$ равна нулю или не существует;
  • исследование знака $f”(x)$ с помощью числовой прямой;
  • определение промежутков выпуклости и вогнутости графика заданной функции;
  • нахождение интервалов выпуклости и точки перегиба функции, если они существуют.

Пример 3

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=4x^{2} -3$.

Решение:

Первая производная: $y’=8x$; вторая производная: $y”=8$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что $f”(x)>0, , forall xin D_{y} $. Следовательно, график направлен выпуклостью вниз при любом $x$. Точек перегиба нет.

Пример 4

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=frac{3}{x^{2} -1} $.

Решение:

Первая производная: $y’=frac{0cdot (x^{2} -1)-3cdot 2x}{(x^{2} -1)^{2} } =-frac{6x}{(x^{2} -1)^{2} } $.

Вторая производная: $y”=-frac{6cdot (x^{2} -1)^{2} -6xcdot 2xcdot 2cdot (x^{2} -1)}{(x^{2} -1)^{4} } =-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } $.

Вторая производная не существует при $x=pm 1$.

[begin{array}{l} {y”=0:-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } =0Rightarrow x^{2} -4x-1=0} \ {x^{2} -4x-1=0} \ {D=16+4=20} \ {x_{1} =frac{4-sqrt{20} }{2} =2-sqrt{5} ;x_{2} =frac{4+sqrt{20} }{2} =2+sqrt{5} } end{array}]

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что:

  • $f”(x)>0, , forall xin (-1;2-sqrt{5} ]bigcup (1;2+sqrt{5} ]$,
  • $f”(x)

Следовательно, график направлен выпуклостью вверх на промежутках $(-infty ;-1)$, $[2-sqrt{5} ;1)$ и $(1;+infty )$, вниз на промежутках – $(-1;2-sqrt{5} ]$ и $(1;2+sqrt{5} ]$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Добавить комментарий