Как найти интервалы выпуклости функции по графику

Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.

Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.

В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным.  Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме,  с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y=f(x) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f”(x)≥0 ∀x∈X (f”(x)≤0 ∀x∈X) будет верным.  

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f”(x)≥0  и f”(x)≤0  на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y=f(x) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), график которой имеет точку перегиба. При  x=x0  у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f”(x0)=0.

Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0. Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.

Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная. На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0. Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x0 из  области определения функции, где limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞. Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0.

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Мы нашли все значения x0, которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), которая является непрерывной в точке M(x0; f(x0)). При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x0. В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.

Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x0.

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Как найти точки перегиба графика функции

1. Для начала нужно найти все абсциссы x0  возможных точек перегиба, где f”(x0)=0, limx→x0-0f'(x)=∞, limx→x0+0f'(x)=∞.
2. Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения  и есть абсциссы точек перегиба, а точки M(x0; f(x0)) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.

Для наглядности разберем две задачи.

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Если мы имеем f”(x0)=0 и  f”'(x0)≠0, то x0 будет абсциссой точки перегиба графика y=f(x).

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Допустим, что f'(x0)=0, f”(x0)=0, …, f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0 .В таком случае при четном n мы получим, что x0 – это абсцисса точки перегиба графика y=f(x).

Содержание:

• Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
• Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Читать дальше: асимптоты графика функции.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №18. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение производной второго порядка;

2) Определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма;

3) Решение прикладных задач с использованием производной второго порядка.

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х₀называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

1. Найти область определения функции
2. Найти вторую производную функции
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
4. Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
5. Определить знаки второй производной на каждом интервале
6. Если f ‘‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f ‘‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

1. Точки, в которых вторая производная меняет знак, – точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение:

1. Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
2. Найдем вторую производную функции:
3. при х = 1, х = -1
4. Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

1. Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У’=соsх

У”= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У”= -sinх <0, а в промежутках , sinх <0, следовательно

У” >0. Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t⁴ – 8t³ + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение – это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t³ – 24t² + 2

a= S”(t) = 36t² – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t² – 48t=48

36t² – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x³ – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

1. D(f) = (0; +∞)
2. f (x) = (x³ – 6xln x)

1. f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

1. Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.

График
функции ,
дифференцируемой на интервале,
является на этом интервалевыпуклым,
если график этой функции в пределах
интервала лежит
не выше любой своей касательной (рис.
1).

График
функции ,
дифференцируемой на интервале,
является на этом интервалевогнутым,
если график этой функции в пределах
интервала лежит
не ниже любой своей касательной (рис.
2).

Теорема

(Об
условиях выпуклости или вогнутости
графика функции)

Пусть
функция определена
на интервалеи
имеет непрерывную, не равную нулю в
точкевторую
производную. Тогда, есливсюду
на интервале,
то функция имеетвогнутость
на этом интервале,
если ,
то функция имеетвыпуклость.

Определение

Точкой
перегиба графика
функции называется
точка,
разделяющая промежутки выпуклости и
вогнутости.

Теорема

(О
необходимом условии существования
точки перегиба)

Если
функция имеет
перегиб в точке,
тоили
не существует.

Теорема

(О
достаточном условии существования
точки перегиба)

Если:

1. первая
   производная непрерывна
   в окрестности точки ;

2. вторая
   производная или
   не существует в точке;

3.  при
   переходе через точку меняет
   свой знак,

тогда
в точке функцияимеет
перегиб.

36 Применение второй производной для нахождения интервалов выпуклости

Кривая называетсявыпуклой
вниз (вверх) в
промежутке ,
если она лежит выше (ниже) касательной
в любой точке этого промежутка.

Выпуклость
кривой, являющейся графиком функции ,
характеризуется знаком её второй
производной:если
в некотором промежутке ,
то кривая выпукла вниз в этом промежутке;
если же,
то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точка,
при переходе через которую функция
меняет выпуклость на вогнутость или
наоборот, называется точкой
перегиба.

Если
в точке перегиба x₀ существует
вторая производная f
”( x₀ ),
то  .

Теорема.
Пусть дифференцируема
на промежутке.
Если во всех точках промежуткавторая
производная функцииy=f(x) отрицательная,
т.е. ,
то график функции на этом промежутке
выпуклый, если же  –
вогнутый.

37 Общая схема исследования функций

и
построения их графиков

При
исследовании функций и построении их
графиков целесообразно пользоваться
следующей схемой.

1.  Нахождение
области определения функции.

2.  Исследование
функции на четность и нечетность.

3.  Установление
области непрерывности  функции и
точек разрыва. Отыскание вертикальных
асимптот.

4.  Исследование
поведения функции при (если
она там определена). Отыскание
горизонтальных и наклонных асимптот.

5.  Нахождение
экстремумов и интервалов монотонности
функции. Составление таблицы.

6.  Нахождение
интервалов выпуклости и вогнутости и
точек перегиба графика функции.

7.  Нахождение
точек пересечения графика функции с
осями, интервалов знакопостоянства  функции.
Составление таблицы. Отыскание
дополнительных точек для построения
графика.

8.  Построение
графика функции.

38 Первообраз и их множеств.

Первообразной
функции f(x) на
промежутке (a;
b) называется
такая функция F(x),
что выполняется равенство для
любогох из
заданного промежутка.

Множество
всех первообразных

Если
принять во внимание тот факт, что
производная от константы С равна
нулю, то справедливо равенство .
Таким образом, функцияf(x) имеет
множество первообразных F(x)+C,
для произвольной константы С,
причем эти первообразные отличаются
друг от друга на произвольную постоянную
величину.

Определение
неопределенного интеграла.

Все
множество первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается 

 свойства
неопределенного интеграла 

1. 
   Производная
   результата интегрирования равна
   подынтегральной функции.

2. 
   Неопределенный
   интеграл дифференциала функции равен
   сумме самой функции и произвольной
   константы.

3. ,
   где k –
   произвольная константа.
   Коэффициент
   можно выносить за знак неопределенного
   интеграла.

4. 
   Неопределенный
   интеграл суммы/разности функций равен
   сумме/разности неопределенных интегралов
   функций.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Выпуклость графика функции

1. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

2. Если вторая производная функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

3. Если – точка перегиба функции и существует, то = 0.

4. Если вторая производная меняет знак при переходе через точку , то точка является точкой перегиба функции

5. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба’.

1) найти вторую производную функции ;

2) найти точки, в которых вторая производная = 0 или не существует;

3) исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции

Решение:

В соответствии со схемой исследования (п. 5), найдем Очевидно, при . Знаки второй производной указаны на рис. 8.4.

Функция является выпуклой вверх на интервалах и (так как ) и выпуклой вниз на интервале (0; 1),

( — точки перегиба, так как при переходе через них меняет свой знак.►

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции

Решение:

. Вторая производная обращается в нуль в тех же точках , что и в предыдущем примере. Однако, на этот раз знаки второй производной следующие (рис. 8.5).

Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале , и точка не является точкой перегиба. Нетрудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точка является точкой перегиба. На интервале функция является выпуклой вниз.

Пример 3.

Найти точки перегиба .

Решение:

Имеем Вторая производная обращается в нуль при выполнении равенства . Рис. 8.6 показывает, что при и функция является выпуклой вниз, а при и функция является выпуклой вверх. Точки — точки перегиба.

Выпуклость графика функции

Рассмотрим функцию , имеющую на интервале вторую производную

Вторая производная функции f(x) есть первая производная функции f'(x), поэтому:

1. если на интервале (а; 6), то первая производная f'(x) на этом интервале возрастает;
2. если на интервале (а; &), то первая производная f'(x) на этом интервале убывает.

На рисунках 113—115 изображены графики функций, соответствующие случаю 1.

Объясним это. Для каждого из этих трех графиков при возрастании х от а до Ь тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох возрастает. На рисунке 113 угол а острый для всех значений х из интервала (а; 6); с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (положительный) увеличивается. На рисунке 114 угол тупой; с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (отрицательный) увеличивается.

• Наконец, на рисунке 115 тангенс сначала растет, принимая отрицательные значения на интервале (а; с), обращается в нуль в точке х = с, а затем растет, принимая положительные значения на интервале (с; Ь).

Так как в любой точке имеем то рост тангенса угла означает, что на интервале (а; Ь) функция возрастает. Возрастание же первой производной, т. е. возрастание tga, вызвано тем, что вторая производная функции положительна на интервале (а; Ь).

Во всех трех рассмотренных случаях график расположен выше касательной, проведенной в любой его точке.

Справедливо утверждение 1, выражающее геометрический смысл второй производной: если функция на интервале имеет положительную вторую производную fff(x)9 то на этом интервале график функции имеет выпуклость вниз; если же функция f(x) на интервале имеет отрицательную вторую производную то на этом интервале график функции имеет выпуклость вверх.

В случае 1 это утверждение уже разъяснено, а в случае 2 его разъяснение следует из рассмотрения графиков на рисунках 116—118.

Справедливо утверждение 2. Пусть функция f (х) имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную Если то функция имеет в точке локальный максимум. Если же , то функция имеет в точке локальный минимум.

Справедливость утверждения 2 следует из доказанной ниже теоремы, если учесть, что из того, что вторая производная отрицательна в точке , в силу предположения о ее непрерывности следует, что она отрицательна в некоторой окрестности этой точки. Из того что вторая производная положительна в точке , в силу ее непрерывности также следует, что она положительна в некоторой окрестности этой точки.

ТЕОРЕМА. Пусть функция f (х) имеет вторую производную на интервале и пусть первая производная этой функции в точке равна нулю: Тогда:

Доказательство.

а) Пусть на интервале Так как вторая производная есть первая производная от первой производной: , то на основании теоремы (п. 5.5) функция на интервале возрастает, но поэтому на интервале на интервале , т. е. первая производная при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+». Но это означает, что функция в точке имеет локальный минимум.

б) Подобным образом доказывается теорема и в случае , приводящем к локальному максимуму в точке .

Говорят, что точка есть точка перегиба кривой — графика функции , если существует достаточно малое , такое, что для всех кривая находится по одну сторону касательной к кривой в точке с абсциссой , а для всех — по другую. Иными словами, если при переходе х через точка кривой переходит с одной стороны касательной на другую.

Если функция в каждой точке окрестности точки (включая и точку х0) имеет вторую производную , а в точке вторая производная меняет знак с «+» на или с «-» на «+», то точка является точкой перегиба ее графика.

Чтобы найти точки перегиба графика функции на интервале (а; Ь), надо найти вторую производную и решить уравнение

Те корни уравнения (1), которые принадлежат интервалу (а; Ь) и в которых вторая производная меняет знак с «+» на «—» или с «-» на «+», и являются точками перегиба графика функции

Пример с решением

Найдем промежутки выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба графика функции

Функция (2) определена для всех

Вычислим вторую производную функции (2). Так как то

Очевидно, что вторая производная функции (2) обращается в нуль в единственной точке отрицательна на интервале , положительна на интервале . Следовательно, точка — точка перегиба графика функции (2).

На интервале график функции (2) имеет выпуклость вверх, а на интервале — выпуклость вниз.

На рисунке 119 изображены график функции (2) в окрестности точки и касательная, проведенная к графику в точке с абсциссой