Как найти интервалы знакопостоянства функции онлайн

Как найти интервалы знакопостоянства функции онлайн

Основные функции

left(a=operatorname{const} right)

  • x^{a}: x^a

модуль x: abs(x)

  • sqrt{x}: Sqrt[x]
  • sqrt[n]{x}: x^(1/n)
  • a^{x}: a^x
  • log_{a}x: Log[a, x]
  • ln x: Log[x]
  • cos x: cos[x] или Cos[x]
  • sin x: sin[x] или Sin[x]
  • operatorname{tg}x: tan[x] или Tan[x]
  • operatorname{ctg}x: cot[x] или Cot[x]
  • sec x: sec[x] или Sec[x]
  • operatorname{cosec} x: csc[x] или Csc[x]
  • arccos x: ArcCos[x]
  • arcsin x: ArcSin[x]
  • operatorname{arctg} x: ArcTan[x]
  • operatorname{arcctg} x: ArcCot[x]
  • operatorname{arcsec} x: ArcSec[x]
  • operatorname{arccosec} x: ArcCsc[x]
  • operatorname{ch} x: cosh[x] или Cosh[x]
  • operatorname{sh} x: sinh[x] или Sinh[x]
  • operatorname{th} x: tanh[x] или Tanh[x]
  • operatorname{cth} x: coth[x] или Coth[x]
  • operatorname{sech} x: sech[x] или Sech[x]
  • operatorname{cosech} x: csch[x] или Csch[е]
  • operatorname{areach} x: ArcCosh[x]
  • operatorname{areash} x: ArcSinh[x]
  • operatorname{areath} x: ArcTanh[x]
  • operatorname{areacth} x: ArcCoth[x]
  • operatorname{areasech} x: ArcSech[x]
  • operatorname{areacosech} x: ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) – выделяет целую часть числа (integerPart)
    • Источник

    22:12

    Калькулятор для исследования функций

    Полное исследование функции и построение графика.

    С помощью данных калькуляторов можно пошагово провести полное исследование функции, и построить график функции с асимптотами.

    Для этого вставляем исследуемую функцию в каждый калькулятор, как показано в примере, и получаем ответ.

    1. Находим область определения функции.

    2. Выясняем, не является ли функция:

    а) четной, нечетной • Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными (neither even nor odd), называются функциями общего вида.

    б) периодической

    3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

    Для того, чтобы найти точки пересечения с осью Ох выбираем знак “=”, для нахождения интервалов на которых функция положительна – зак “>”, для интервалов на которых функция отрицательна – знак “<“.

    4. Находим вертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты графика функции.
    5. Находим точки экстремума

    6. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.


    7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

    Смотри также решенные примеры в авторском исполнении. В примере подробно изложена методика исследования функций.
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    Категория: Исследовать функцию,построить график | Просмотров: 470199 | | Теги: построить график, найти асимптоты, исследовать функцию, найти экстремумы функции | Рейтинг: 3.2/50

    Источник

    Интервалы возрастания и убывания функции

    С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.

    • Решение онлайн
    • Видеоинструкция

    Исследование функции с помощью производной

    Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).

    Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).

    Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

    Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

    Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

    1. Найти производную функции f′(x).
    2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
    3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
    4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
    5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

    С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

    Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.

    Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.

    Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

    Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

    x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
    f′(x) + 0 – 0 +
    f(x) возрастает max убывает min возрастает

    f(0) = 03 – 3*02 = 0

    f(2) = 23 – 3*22 = -4

    Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

    точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

    Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

    1. Найти производную f′(x).
    2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
    3. Найти вторую производную f″(x).
    4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
    5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

    Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f”(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

    Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

    Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x – 3.

    Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.

    Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.

    Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.

    Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

    Источник

    Калькуляторы для исследования функции

    В данном разделе представлены онлайн калькуляторы для
    исследования функции. Например: вычисление области определения и области значения функции, нулей и экстремумов функции, точек разрыва и точек перегиба функции и др.

    Исследование функций
    12

    Калькулятор области определения функции

    Калькулятор позволяет найти область определения функции с подробным решением.

    Калькулятор области значений функции

    Калькулятор позволяет найти область значений практически любой функции.

    Калькулятор асимптот функции

    Калькулятор позволяет найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты функции.

    Вычисление экстремумов функции

    Калькулятор находит экстремумы функции с описанием подробного хода решения.

    Нули функции NEW

    Калькулятор находит нули заданной функции с описанием подробного хода решения.

    Калькулятор пересечений с осями NEW

    Калькулятор находит точки пересечения заданной функции с осями координат.

    Калькулятор точек перегиба функции

    Калькулятор находит точки перегиба функции с описанием подробного хода решения.

    Точки разрыва функции NEW

    Калькулятор находит точки разрыва функции с подробным решением.

    Построение графиков функций, заданных в декартовых координатах

    Калькулятор строит графики двумерных функций, заданных в декартовых координатах.

    Калькулятор координат вершины параболы

    Калькулятор находит координаты точки вершины параболы с описанием подробного хода решения.

    Источник

    Исследование функции по-шагам

    Примеры исследуемых функций

    • График логарифмической функции
    • y = log(x)/x
    • График показательной функции
    • y = 2^x - 3^x
    • График степенной функции
    • f(x) = x^5 - x^4 + x^2 - x + 1
    • График гиперболы
    • f(x) = (x - 1)/(x + 1)
    • y = 1/x
    • График квадратичной функции
    • x^2 - x + 5
    • График тригонометрической функции
    • sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x)
    • Функция Гомпертца
    • e/2*e^(-e^-x)
    • e^(-e^-x)
    • -1/2*e^(-e^-x)
    • e^(-1/4*e^(-x))
    • e^(-e^(-2*x))
    • Логистическая кривая
    • 1/(1 + exp(-x))

    Что исследует?

    • Область определения функции. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль
    • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат
    • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции, а также локальные (или относительные) и глобальные (или абсолютные) минимумы и максимумы функции
    • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости)
    • Вертикальные асимптоты: область определения функции, точки, где знаменатель функции обращается в нуль
    • Горизонтальные асимптоты графика функции
    • Наклонные асимптоты графика функции
    • Четность и нечетность функции

    Подробнее про Исследование функции.

    Указанные выше примеры содержат также:

    • модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
    • квадратные корни sqrt(x),
      кубические корни cbrt(x)
    • тригонометрические функции:
      синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
    • показательные функции и экспоненты exp(x)
    • обратные тригонометрические функции:
      арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
      арккотангенс acot(x)
    • натуральные логарифмы ln(x),
      десятичные логарифмы log(x)
    • гиперболические функции:
      гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
      гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
    • обратные гиперболические функции:
      гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
      гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
    • другие тригонометрические и гиперболические функции:
      секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
      арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
      гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
      гиперболический арккосеканс acsch(x)
    • функции округления:
      в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
    • знак числа:
      sign(x)
    • для теории вероятности:
      функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
      функция Лапласа laplace(x)
    • Факториал от x:
      x! или factorial(x)
    • Гамма-функция gamma(x)
    • Функция Ламберта LambertW(x)
    • Тригонометрические интегралы: Si(x),
      Ci(x),
      Shi(x),
      Chi(x)

    Правила ввода

    Можно делать следующие операции

    2*x
    – умножение
    3/x
    – деление
    x^2
    – возведение в квадрат
    x^3
    – возведение в куб
    x^5
    – возведение в степень
    x + 7
    – сложение
    x – 6
    – вычитание
    Действительные числа
    вводить в виде 7.5, не 7,5

    Постоянные

    pi
    – число Пи
    e
    – основание натурального логарифма
    i
    – комплексное число
    oo
    – символ бесконечности
    Источник

    Добавить комментарий