Как найти исходный объем информации - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

§ 1.6. Измерение информации

Информатика. 7 класса. Босова Л.Л. Оглавление

Ключевые слова:

бит
информационный вес символа
информационный объём сообщения
единицы измерения информации

1.6.1. Алфавитный подход к измерению информации

Одно и то же сообщение может нести много информации для одного человека и не нести её совсем для другого человека. При таком подходе количество информации определить однозначно затруднительно.

Алфавитный подход позволяет измерить информационный объём сообщения, представленного на некотором языке (естественном или формальном), независимо от его содержания.

Для количественного выражения любой величины необходима, прежде всего, единица измерения. Измерение осуществляется путём сопоставления измеряемой величины с единицей измерения. Сколько раз единица измерения «укладывается» в измеряемой величине, таков и результат измерения.

При алфавитном подходе считается, что каждый символ некоторого сообщения имеет определённый информационный вес — несёт фиксированное количество информации. Все символы одного алфавита имеют один и тот же вес, зависящий от мощности алфавита. Информационный вес символа двоичного алфавита принят за минимальную единицу измерения информации и называется 1 бит.

Обратите внимание, что название единицы измерения информации «бит» (bit) происходит от английского словосочетания binary digit — «двоичная цифра».

За минимальную единицу измерения информации принят 1 бит. Считается, что таков информационный вес символа двоичного алфавита.

1.6.2. Информационный вес символа произвольного алфавита

Ранее мы выяснили, что алфавит любого естественного или формального языка можно заменить двоичным алфавитом. При этом мощность исходного алфавита N связана с разрядностью двоичного кода i, требуемой для кодирования всех символов исходного алфавита, соотношением: N = 2ⁱ.

Разрядность двоичного кода принято считать информационным весом символа алфавита. Информационный вес символа алфавита выражается в битах.

Информационный вес символа алфавита i и мощность алфавита N связаны между собой соотношением: N = 2ⁱ.

Задача 1. Алфавит племени Пульти содержит 8 символов. Каков информационный вес символа этого алфавита?

Решение. Составим краткую запись условия задачи.

Известно соотношение, связывающее величины i и N : N = 2ⁱ.

С учётом исходных данных: 8 = 2ⁱ. Отсюда: i = 3.

Полная запись решения в тетради может выглядеть так:

1.6.3. Информационный объём сообщения

Информационный объём сообщения (количество информации в сообщении), представленного символами естественного или формального языка, складывается из информационных весов составляющих его символов.

Информационный объём сообщения I равен произведению количества символов в сообщении К на информационный вес символа алфавита i;I = К • i.

Задача 2. Сообщение, записанное буквами 32-символьного алфавита, содержит 140 символов. Какое количество информации оно несёт?

Задача 3. Информационное сообщение объёмом 720 битов состоит из 180 символов. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано это сообщение?

1.6.4. Единицы измерения информации

В наше время подготовка текстов в основном осуществляется с помощью компьютеров. Можно говорить о «компьютерном алфавите», включающем следующие символы: строчные и прописные русские и латинские буквы, цифры, знаки препинания, знаки арифметических операций, скобки и др. Такой алфавит содержит 256 символов. Поскольку 256 = 2⁸, информационный вес каждого символа этого алфавита равен 8 битам. Величина, равная восьми битам, называется байтом. 1 байт — информационный вес символа алфавита мощностью 256.

1 байт = 8 битов

Бит и байт — «мелкие» единицы измерения. На практике для измерения информационных объёмов используются более крупные единицы:

1 килобайт = 1 Кб = 1024 байта = 2¹⁰ байтов
1 мегабайт = 1 Мб = 1024 Кб = 2¹⁰ Кб = 2²⁰ байтов
1 гигабайт = 1 Гб = 1024 Мб = 2¹⁰ Мб = 2²⁰ Кб = 2³⁰ байтов
1 терабайт = 1 Тб = 1024 Гб = 2¹⁰ Гб = 2²⁰ Мб = 2³⁰ Кб = 2⁴⁰ байтов

Задача 4. Информационное сообщение объёмом 4 Кбайта состоит из 4096 символов. Каков информационный вес символа используемого алфавита? Сколько символов содержит алфавит, с помощью которого записано это сообщение?

Ответ: 8 битов, 256 символов.

Задача 5. В велокроссе участвуют 128 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер цепочкой из нулей и единиц минимальной длины, одинаковой для каждого спортсмена. Каков будет информационный объём сообщения, записанного устройством после того, как промежуточный финиш пройдут 80 велосипедистов?

Решение. Номера 128 участников кодируются с помощью двоичного алфавита. Требуемая разрядность двоичного кода (длина цепочки) равна 7, так как 128 = 2⁷. Иначе говоря, зафиксированное устройством сообщение о том, что промежуточный финиш прошёл один велосипедист, несёт 7 битов информации. Когда промежуточный финиш пройдут 80 спортсменов, устройство запишет 80 • 7 = 560 битов, или 70 байтов информации.

Ответ: 70 байтов.

Самое главное.

При алфавитном подходе считается, что каждый символ некоторого сообщения имеет опредёленный информационный вес — несёт фиксированное количество информации.

1 бит — минимальная единица измерения информации.

Информационный вес символа алфавита i и мощность алфавита N связаны между собой соотношением: N = 2ⁱ.

Информационный объём сообщения I равен произведению количества символов в сообщении К на информационный вес символа алфавита i: I = K•i.

1 байт = 8 битов.

Байт, килобайт, мегабайт, гигабайт, терабайт — единицы измерения информации. Каждая следующая единица больше предыдущей в 1024 (210) раза.

Вопросы и задания.

1.Ознакомтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. В чём суть алфавитного подхода к измерению информации?

3. Что принято за минимальную единицу измерения информации?

4. Что нужно знать для определения информационного веса символа алфавита некоторого естественного или формального языка?

5. Определите информационный вес i символа алфавита мощностью N, заполняя таблицу

6. Как определить информационный объём сообщения, представленного символами некоторого естественного или формального языка?

7. Определите количество информации в сообщении из Ксимволов алфавита мощностью N, заполняя таблицу

8. Племя Мульти пишет письма, пользуясь 16-символьным алфавитом. Племя Пульти пользуется 32-символьным алфавитом. Вожди племён обменялись письмами. Письмо племени Мульти содержит 120 символов, — а письмо племени Пульти — 96. Сравните информационные объёмы сообщений, содержащихся в письмах

9. Информационное сообщение объёмом 650 битов состоит из 130 символов. Каков информационный вес каждого символа этого сообщения?

10. Выразите количество информации в различных единицах, заполняя таблицу

11. Информационное сообщение объёмом 375 байтов состоит из 500 символов. Каков информационный вес каждого символа этого сообщения? Какова мощность алфавита, с помощью которого было записано это сообщение?

12. Для записи текста использовался 64-символьный алфавит. Какое количество информации в байтах содержат 3 страницы текста, если на каждой странице расположено 40 строк по 60 символов в строке?

13. Сообщение занимает 6 страниц по 40 строк, в каждой строке записано по 60 символов. Информационный объём всего сообщения равен 9000 байтам. Каков информационный вес одного символа? Сколько символов в алфавите языка, на котором записано это сообщение?

14. Метеорологическая станция ведёт наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100 процентов, которое записывается цепочкой из нулей и единиц минимальной длины, одинаковой для каждого измерения. Станция сделала 8192 измерения. Определите информационный объём результатов наблюдений.

15. Племя Пульти пользуется 32-символьным алфавитом. Свод основных законов племени хранится на 512 глиняных табличках, на каждую из которых нанесено ровно 256 символов. Какое количество информации содержится на каждом носителе? Какое количество информации заключено во всём своде законов?

Оглавление

§ 1.5. Двоичное кодирование

§ 1.6. Измерение информации

Тестовые задания для самоконтроля

Источник

Мы ежедневно работаем с информацией из разных источников. При этом каждый из нас имеет некоторые интуитивные представления о том, что означает, что один источник является для нас более информативным, чем другой. Однако далеко не всегда понятно, как это правильно определить формально. Не всегда большое количество текста означает большое количество информации. Например, среди СМИ распространена практика, когда короткое сообщение из ленты информационного агентства переписывают в большую новость, но при этом не добавляют никакой «новой информации». Или другой пример: рассмотрим текстовый файл с романом Л.Н. Толстого «Война и мир» в кодировке UTF-8. Его размер — 3.2 Мб. Сколько информации содержится в этом файле? Изменится ли это количество, если файл перекодировать в другую кодировку? А если заархивировать? Сколько информации вы получите, если прочитаете этот файл? А если прочитаете его второй раз?

По мотивам открытой лекции для Computer Science центра рассказываю о том, как можно математически подойти к определению понятия “количество информации”.

В классической статье А.Н. Колмогорова “Три подхода к определению понятия количества информации” (1965) рассматривают три способа это сделать:

комбинаторный (информация по Хартли),
вероятностный (энтропия Шеннона),
алгоритмический (колмогоровская сложность).

Мы будем следовать этому плану.

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Мы начнём самого простого и естественного подхода, предложенного Хартли в 1928 году.

Пусть задано некоторое конечное множество . Количеством информации в будем называть .

Можно интерпретировать это определение следующим образом: нам нужно chi(A) битов для описания элемента из .

Почему мы используем биты? Можно использовать и другие единицы измерения, например, триты или байты, но тогда нужно изменить основание логарифма на 3 или 256, соответственно. В дальшейшем все логарифмы будут по основанию 2.

Этого определения уже достаточно для того, чтобы измерить количество информации в некотором сообщении. Пусть про xin A стало известно, что xin B . Теперь нам достаточно битов для описания , таким образом нам сообщили битов информации.

Пример

Загадано целое число от до . Нам сообщили, что делится на . Сколько информации нам сообщили?

Воспользуемся рассуждением выше.

$log_2 1000 - log_2 166 = log_2 frac{1000}{166} approx 2.59 text{битов.}$

(Тот факт, что некоторое сообщение может содержать нецелое количество битов, может показаться немного неожиданным.)

Можно ещё сказать, что сообщение, уменшающее пространство поиска в alpha раз приносит битов информации. В данном примере пространство поиска уменьшилось в 1000/166 раз.

Интересно, что одного этого определения уже достаточно для того, чтобы решать довольно нетривиальные задачи.

Применение: цена информации

Загадано целое число от до . Разрешается задавать любые вопросы на ДА/НЕТ. Если ответ на вопрос “ДА”, то мы должны заплатить рубль, если ответ “НЕТ” — два рубля. Сколько нужно заплатить для отгадывания числа ?

Любой вопрос можно сформулировать как вопрос о принадлежности некоторому множеству, поэтому мы будем считать, что все вопросы имеют вид “ xin T ?” для некоторого множества .

Каким образом нужно задавать вопросы? Нам бы хотелось, чтобы вне зависимости от ответа цена за бит информации была постоянной. Другими словами, в случае ответа “НЕТ” и заплатив два рубля мы должны узнать в два больше информации, чем при ответе “ДА”. Давайте запишем это формально.

Потребуем, чтобы

Пусть , тогда . Подставляем и получаем, что

Это эквивалентно квадратному уравнению Положительный корень этого уравнения . Таким образом, при любом ответе мы заплатим рублей за бит информации, а в сумме мы заплатим примерно clog n рублей (с точностью до округления).

Осталось понять, как выбирать такие множества . Будем выбирать в качестве непрерывные отрезки прямой. Пусть нам известно, что принадлежит отрезку [a,b] (изначально это отрезок [1,n] ). В следующего множества возмём отрезок , где. Тогда за каждый заплаченный рубль текущий отрезок будет уменьшаться в раз. Когда длина отрезка станет меньше единицы, мы однозначно определим . Поэтому цена отгадывания не будет превосходить

Приведённое рассуждение доказывает только верхнюю оценку. Можно доказать и нижнюю оценку: для любого способа задавать вопросы будет такое число , для отгадывания которого придётся заплатить не менее рублей.

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Вероятностный подход, предложенный Клодом Шенноном в 1948 году, обобщает определение Хартли на случай, когда не все элементы множества являются равнозначными. Вместо множества в этом подходе мы будем рассматривать вероятностное распределение на множестве и оценивать среднее по распределению количество информации, которое содержит случайная величина.

Пусть задана случайная величина , принимающая различных значений с вероятностями . Энтропия Шеннона случайной величины определяется как

$H(X) = sum_{i=1}^k p_icdotlogfrac1p_i.$

(По непрерывности тут нужно доопределить $0cdot logfrac10 = 0$ .)

Энтропия Шеннона оценивает среднее количество информации (математическое ожидание), которое содержится в значениях случайной величины.

При первом взгляде на это определение, может показаться совершенно непонятно откуда оно берётся. Шеннон подошёл к этой задаче чисто математически: сформулировал требования к функции и доказал, что это единственная функция, удовлетворяющая сформулированным требованиям.

Я попробую объяснить происхождение этой формулы как обобщение информации по Хартли. Нам бы хотелось, чтобы это определение согласовывалось с определением Хартли, т.е. должны выполняться следующие “граничные условия”:

Будем искать в виде математического ожидания количества информации, которую мы получаем от каждого возможного значения .

$H(X) = sum_i p_icdot text{(информация в событии $X=a_i$)}.$

Как оценить, сколько информации содержится в событии X = a_i ? Пусть — всё пространство элементарных исходов. Тогда событие X = a_i соответствует множеству элементарных исходов меры p_i . Если произошло событие X = a_i , то размер множества согласованных с этим событием элементарных исходов уменьшается с |U| до , т.е. событие X = a_i сообщает нам битов информации. Тут мы пользуемся тем, что количество информации в сообщении, которое уменьшает размер пространство поиска в 1/p_i раз приносит битов информации.

Примеры

Свойства энтропии Шеннона

Для случайной величины , принимающей значений с вероятностями , выполняются следующие соотношения.

.
распределение вырождено.
.
распределение равномерно.

Чем распределение ближе к равномерному, тем больше энтропия Шеннона.

Энтропия пары

Понятие энтропии Шеннона можно обобщить для пары случайных величин. Аналогично это обощается для тройки, четвёрки и т.д.

Пусть совместно распределённые случайные величины и принимают значения и , соответственно. Энтропия пары случайных величин и определяется следующим соотношением:

$H(X,Y) = sum_{i=1}^ksum_{j=1}^mPr[X = a_i, Y=b_j]cdot logfrac{1}{Pr[X = a_i, Y = b_j]}.$

Примеры

Рассмотрим эксперимент с выбрасыванием двух игральных кубиков — синего и красного.

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Для энтропии пары выполняются следующие свойства.

Условная энтропия Шеннона

Теперь давайте научимся вычислять условную энтропию одной случайной величины относительно другой.

Условная энтропия относительно определяется следующим соотношением:

Примеры

Рассмотрим снова примеры про два игральных кубика.

Свойства условной энтропии

Условная энтропия обладает следующими свойствами

Взаимная информация

Ещё одна информационная величина, которую мы введём в этом разделе — это взаимная информация двух случайных величин.

Информация в о величине (взаимная информация случайных величин и ) определяется следующим соотношением

Примеры

И снова обратимся к примерам с двумя игральными кубиками.

Свойства взаимной информации

Выполняются следующие соотношения.

. Т.е. определение взаимной информации симметрично и его можно переписать так:

Или так: .
и .
.
.

Все информационные величины, которые мы определили к этому моменту можно проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера.

Мы пойдём дальше и рассмотрим информационную величину, зависящую от трёх случайных величин.

Пусть , и совместно распределены. Информация в о при условии определяется следующим соотношением:

Свойства такие же как и обычной взаимной информации, нужно только добавить соответствующее условие ко всем членам.

Всё, что мы успели определить можно удобно проиллюстрировать при помощи трёх кругов Эйлера.

Из этой иллюстрации можно вывести все определения и соотношения на информационные величины.

Мы не будем продолжать дальше и рассматривать четыре случайные величины по трём причинам. Во-первых, рисовать четыре круга Эйлера со всеми возможными областями — это непросто. Во-вторых, для двух и трёх случайных величин почти все возможные соотношения можно вывести из кругов Эйлера, а для четырёх случайных величин это уже не так. И в третьих, уже для трёх случайных величин возникают неприятные эффекты, демонстрирующие, что дальше будет хуже.

Рассмотрим треугольник в пересечении всех трёх кругов H(X) , H(Y) и H(Z) . Этот треугольник соответствуют взаимной информации трёх случайных величин . Проблема с этой информационной величиной заключается в том, что ей не удаётся придать какой-то “физический” смысл. Более того, в отличие от всех остальных величин на картинке может быть отрицательной!

Рассмотрим пример трёх случайных величин равномерно распределённых на {0,1} . Пусть и будут независимы, а . Легко проверить, что . При этом . В то же время . Получается следующая картинка.

Мы знаем, что . При этом . Получается, что a=b=c=1 , а d=-1 , т.е. для таких случайных величин.

Применение энтропии Шеннона: кодирование

В этом разделе мы обсудим, как энтропия Шеннона возникает в теории кодирования. Будем рассматривать коды, которые кодируют каждый символ по отдельности.

Пусть задан алфавит Sigma . Код — это отображение из Sigma в ${0,1}^*$ . Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, полученное применением к символам некоторого текста, декодируется однозначно.

Код называется префиксным (prefix-free), если нет двух символов alpha и beta таких, что является префиксом C(beta) .

Префиксные коды являются однозначно декодируемыми. Действительно, при декодировании префиксного кода легко понять, где находятся границы кодов отдельных символов.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода существует префиксный код с теми же длинами кодов символов.

Таким образом для изучения однозначно декодируемых кодов достаточно рассматривать только префиксные коды.

Задача об оптимальном кодировании.
Дан текст . Нужно найти такой код , что

$sum_{i=1}^n |C(a_i)| to min.$

Пусть $Sigma = {alpha_1,alpha_2,dotsc,alpha_k}$ . Обозначим через f_i частоту, с которой символ alpha_i встречается в . Тогда выражение выше можно переписать как

$nsum_{i=1}^k f_icdot |C(alpha_i)| to min.$

Следующая теорема могла встречаться вам в курсе алгоритмов.

Теорема [Хаффман]. Код Хаффмана, построенный по , является оптимальным префиксным кодом.

Алгоритм Хаффмана по набору частот эффективно строит оптимальный код для задачи оптимального кодирования.

Связь с энтропией

Имеют место две следующие оценки.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода выполняется

$sum_{i=1}^k f_icdot|C(alpha_i)|ge sum_{i=1}^n f_icdot logfrac1{f_i}.$

Теорема [Шеннон]. Для любых значений ${f_1,f_2,dotsc,f_k}$ существует префиксный код , такой что

$sum_{i=1}^n f_icdot|C(alpha_i)|le sum_{i=1}^n f_icdot logfrac1{f_i} + 1.$

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на символах текста . Получим, что $H(X) = f_icdot logfrac1{f_i}$ . Таким образом, эти две теоремы задают оценку на среднюю длину кода символа при оптимальном кодировании, т.е. и для кодирования Хаффмана.

$H(X) le sum_{i=1}^n f_icdot|C(alpha_i)|le H(X) + 1.$

Следовательно, длину кода Хаффмана текста можно оценить, как

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Рассмотрим простейшую схему шифрования с закрытым ключом. Шифрование сообщения с ключом шифрования выполняется при помощи алгоритма шифрования . В результате получается шифрограмма . Зная получатель шифрограммы восстанавливает исходное сообщение : .

Мы будем анализировать эту схему с помощью аппарата энтропии Шеннона. Пусть и являются случайными величинами. Противник не знает и , но знает , которая так же является случайной величиной.

Для совершенной схемы шифрования (perfect secrecy) выполняются следующие соотношения:

, т.е. шифрограмма однозначно определяется по ключу и сообщению.
, т.е. исходное сообщение однозначно восстанавливается по шифрограмме и ключу.
, т.е. в отсутствие ключа из шифрограммы нельзя получить никакой информации о пересылаемом сообщении.

Теорема [Шеннон]. , даже если условие нарушается (т.е. алгоритм использует случайные биты).

Эта теорема утверждает, что для совершенной схемы шифрования длина ключа должна быть не менее длины сообщения. Другими словами, если вы хотите зашифровать и передать своему знакомому файл размера 1Гб, то для этого вы заранее должны встретиться и обменяться закрытым ключом размера не менее 1Гб. И конечно, этот ключ можно использовать только однажды. Таким образом, самая оптимальная совершенная схема шифрования — это “одноразовый блокнот”, в котором длина ключа совпадает с длиной сообщения.

Если же вы используете ключ, который короче пересылаемого сообщения, то шифрограмма раскрывает некоторую информацию о зашифрованном сообщении. Причём количество этой информации можно оценить, как разницу между энтропией сообщения и энтропией ключа. Если вы используете пароль из 10 символов при пересылке файла размера 1Гб, то вы разглашаете примерно 1Гб – 10 байт.

Это всё звучит очень печально, но не всё так плохо. Мы ведь никак не учитываем вычислительную мощь противника, т.е. мы не ограничиваем количество времени, которое противнику потребуется на выделение этой информации.

Современная криптография строится на предположении об ограниченности вычислительных возможностей противника. Тут есть свои проблемы, а именно отсутствие математического доказательства криптографической стойкости (все доказательства строятся на различных предположениях), так что может оказаться, что вся эта криптография бесполезна (подробнее можно почитать в статье о мирах Рассела Импальяццо, которая переведена на хабре), но это уже совсем другая история.

Доказательство. Нарисуем картинку для трёх случайных величин и отметим то, что нам известно.

.
, следовательно , а значит .
(по свойству взаимной информации), следовательно , а значит .
. Таким образом,

В доказательстве мы действительно не воспользовались тем, что .

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Подход Шеннона хорош для случайных величин, но если мы попробуем применить его к текстам, то выходит, что количество информации в тексте зависит только от частот символов, но не зависит от их порядка. При таком подходе получается, что в “Войне и мире” и в тексте, который получается сортировкой всех знаков в “Войне и мире”, содержится одинаковое количество информации. Колмогоров предложил подход, позволяющий измерять количество информации в конкретных объектах (строках), а не в случайных величинах.

Внимание. До этого момента я старался следить за математической строгостью формулировок. Для того, чтобы двигаться дальше в том же ключе, мне потребовалось бы предположить, что читатель неплохо знаком с математической логикой и теорией вычислимости. Я пойду более простым путём и просто буду махать руками, заметая под ковёр некоторые подробности. Однако, все утверждения и рассуждения дальше можно математически строго сформулировать и доказать.

Нам потребуется зафиксировать способ описания битовой строки. Чтобы не углубляться в рассуждения про машины Тьюринга, мы будем описывать строки на языках программирования. Нужно только сделать оговорку, что программы на этих языках будут запускаться на компьютере с неограниченным объёмом оперативной памяти (иначе мы получили бы более слабую вычислительную модель, чем машина Тьюринга).

Сложностью K_F(x) строки относительно языка программирования называется длина кратчайшей программы, которая выводит .

Таким образом сложность “Войны и мира” относительноя языка Python — это длина кратчайшей программы на Python, которая печатает текст “Войны и мира”. Естественным образом сложность отсортированной версии “Войны и мира” относительно языка Python получится значительно меньше, т.к. её можно предварительно закодировать при помощи RLE.

Сравнение языков программирования

Дальше нам потребуется научиться любимой забаве всех программистов — сравнению языков программирования.

Будем говорить, что язык не хуже языка программирования и обозначать Fprec G , если существует константа c_G такая, что для для всех $xin{0,1}^*$ выполняется

Исходя из этого определения получается, что язык Python не хуже (!) этого вашего Haskell! И я это докажу. В качестве константы $c_text{Haskell}$ мы возьмём длину реализации интепретатора Haskell на Python. Таким образом, любая программа на Haskell переделывается в программу на Python просто дописыванием к ней интерпретатора Haskell на Python.

Соломонов и Колмогоров пошли дальше и доказали существования оптимального языка программирования.

Теорема [Соломонова-Колмогорова]. Существует способ описания (язык программирования) такой, что для любого другого способа описания выполняется Uprec F .

И да, некоторые уже наверное догадались, что — это JavaScript. Или любой другой Тьюринг полный язык программирования.

Это приводит нас к следующему определению, предложенному Колмогоровым в 1965 году.

Колмогоровской сложностью строки будем называть её сложность относительно оптимального способа описания и будем обозначать .

Важно понимать, что при разных выборах оптимального языка программирования колмогоровская сложность будет отличаться, но только на константу. Для любых двух оптимальных языков программирования F_1 и F_2 выполняется и , т.е. существует такая константа , что $|K_{F_1} - K_{F_2}| le c.$ Это объясняет, почему в этой науке аддитивные константы принято игнорировать.

При этом для конкретной строки и конкретного выбора колмогоровская сложность определена однозначно.

Свойства колмогоровской сложности

Начнём с простых свойств. Колмогоровская сложность обладает следующими свойствами.

Первое свойство выполняется потому, что мы всегда можем зашить строку в саму программу. Второе свойство верно, т.к. из программы, выводящей строку , легко сделать программу, которая выводит эту строку дважды.

Примеры

Несжимаемые строки

Важнейшее свойство колмогоровской сложности заключается в существовании сложных (несжимаемых строк). Проверьте себя и попробуйте объяснить, почему не бывает идеальных архиваторов, которые умели бы сжимать любые файлы хотя бы на 1 байт, и при этом позволяли бы однозначно разархивировать результат.

В терминах колмогоровской сложности это можно сформулировать так.

Вопрос. Существует ли такая длина строки , что для любой строки $xin{0,1}^n$ колмогоровская сложность меньше ?

Следующая теорема даёт отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема. Для любого существует $xin{0,1}^n$ такой, что .

Доказательство. Битовых строк длины всего 2^n . Число строк сложности меньше не превосходит число программ длины меньше , т.е. таких программ не больше чем

$1+2+dotsb +2^{n-1} = 2^n - 1 < 2^n.$

Таким образом, для какой-то строки гарантированно не хватит программы.

Верна и более сильная теорема.

Теорема. Существует c > 0 такое, что для 99% слов длины верно

Другими словами, почти все строки длины имеют почти максимальную сложность.

Колмогоровская сложность: вычислимость

В этом разделе мы поговорим про вычислимость колмогоровской сложности. Я не буду давать формально определение вычислимости, а буду опираться на интуитивные предствления читателей.

Теорема. Не существует программы, которая по двоичной записи числа выводит строку , такую что .

Эта теорема говорит о том, что не существует программы-генератора, которая умела бы генерировать сложные строки по запросу.

Доказательство. Проведём доказетельство от противного. Пусть такая программа существует и . Тогда с одной стороны сложность не меньше , а с другой стороны мы можем описать при помощи log n битов и кода программы.

Это приводит нас к противоречию, т.к. при достаточно больших значениях неизбежно станет больше, чем .

Как следствие мы получаем невычислимость колмогоровской сложности.

Следствие. Отображение не является вычислимым.

Опять же, предположим, что это нет так и существует программа , которая по строку вычисляет её колмогоровскую сложность. Тогда на основе программы можно реализовать программу из теоремы выше: она будет перебирать все строки длины не более и находить лексикографически первую, для которой сложность будет не меньше . А мы уже доказали, что такой программы не существует.

Связь с энтропией Шеннона

Теорема. Пусть длины содержит pcdot n единиц и нулей, тогда

$K(x)le left(pcdotlogfrac1p + (1-p)cdotlogfrac{1}{1-p}right)cdot n + O(log n).$

Я надеюсь, что вы уже узнали энтропию Шеннона для случайной величины с двумя значениями с вероятностями и 1-p .

Для колмогоровской сложности можно проделать весь путь, который мы проделали для энтропии Шеннона: определить условную колмогоровскую сложность, сложность пары строк, взаимную информацию и условную взаимную информацию и т.д. При этом формулы будут повторять формулы для энтропии Шеннона с точностью до . Однако это тема для отдельной статьи.

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Начнём с довольно игрушечного применения. С помощью колмогоровской сложности мы докажем следующую теорему, знакомую нам со школы.

Теорема. Простых чисел бесконечно много.

Очевидно, что для доказательства этой теоремы никакая колмогоровская сложность не нужна. Однако на этом примере я смогу продемонстрировать основные идеи применения колмогоровской сложности в более сложных ситуациях.

Доказательство. Проведём доказательство от обратного. Пусть существует всего простых чисел: . Тогда любое натуральное раскладывается на степени простых:

$x = p_1^{k_1}cdot p_2^{k_2}cdotdotsmcdot p_m^{k_m},$

т.е. определяется набором степеней . Каждое , т.е. задаётся битами. Поэтому любое можно задать при помощи битов (помним, что — это константа).

Теперь воспользуемся теоремой о существовании несжимаемых строк. Как следствие, мы можем заключить, что существуют -битовые числа сложности не менее (можно взять сложную строку и приписать в начало единицу). Получается, что сложное число можно задать при помощи небольшого числа битов.

Противоречие.

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Колмогоровская сложность позволяет решить следующую проблему из классической теории вероятностей.

Пусть в лаборатории живёт обезьянка, которую научили печатать на печатной машинке так, что каждую кнопку она нажимает с одинаковой вероятность. Вам предлагается посмотреть на лист печатного текста и сказать, верите ли вы, что его напечатала эта обезьянка. Вы смотрите на лист и видите, что это первая страница “Гамлета” Шекспира. Поверите ли вы? Очевидно, что нет. Хорошо, а если это не Шекспир, а, скажем, текст детектива Дарьи Донцовой? Скорей всего тоже не поверите. А если просто какой-то набор русских слов? Опять же, очень сомневаюсь, что вы поверите.

Внимание, вопрос. А как объяснить, почему вы не верите? Давайте для простоты считать, что на странице помещается 2000 знаков и всего на машинке есть 80 знаков. Вы можете резонно заметить, что вероятность того, что обезьянка случайным образом породила текст “Гамлета” порядка $1/80^{2000}$ , что астрономически мало. Это верно.

Теперь предположим, что вам показали текст, который вас устроил (он с вашей точки зрения будет похож на “случайный”). Но ведь вероятность его появления тоже будет порядка $1/80^{2000}$ . Как же вы определяете, что один текст выглядит “случайным”, а другой — не выглядит?

Колмогоровская сложность позволяет дать формальный ответ на этот вопрос. Если у текста отстутствует короткое описание (т.е. в нём нет каких-то закономерностей, которые можно было бы использовать для сжатия), то такую строку можно назвать случайной. И как мы увидели выше почти все строки имеют большую колмогоровскую сложность. Поэтому, когда вы видите строку с закономерностями, т.е. маленькой колмогоровской сложности, то это соответствует очень редкому событию. В противоположность наблюдению строки без закономерностей. Вероятность увидеть строку без закономерностей близка к 1.

Это обобщается на случай бесконечных последовательностей. Пусть . Как определить понятие случайной последовательности?

(неформальное определение)
Последовательность случайна по Мартину–Лёфу, если каждый её префикс является несжимаемым.

Оказывается, что это очень хорошее определение случайных последовательностей, т.к. оно обладает ожидаемыми свойствами.

Свойства случайных последовательностей

Почти все последовательности являются случайными по Мартину–Лёфу, а мера неслучайных равна .
Всякая случайная по Мартину-Лёфу последовательность невычислима.
Если случайная по Мартин-Лёфу, то

$lim_{ntoinfty} frac{text{число единиц в префиксе длины n}}{n} = frac12.$

Заключение

Если вам интересно изучить эту тему подробнее, то я рекомендую обратиться к следующим источникам.

Верещагин Н.К., Щепин Е.В. Информация, кодирование и предсказание. МЦНМО. (нет в свободном доступе, но pdf продаётся за копейки)
В.А. Успенский, А.Х. Шень, Н.К. Верещагин. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность.
Курс “Введение в теорию информации” А.Е. Ромащенко в Computer Science клубе.

Если вам интересны подобные материалы, подписывайтесь в соцсетях на CS клуб и CS центр, а так же на наши каналы на youtube: CS клуб, CS центр.

Источник

Как найти информационный объем

В курсе информатики визуальный, текстовый, графический и другие виды информации представлены в двоичном коде. Это «машинный язык» — последовательность нулей и единиц. Информационный объем позволяет сравнивать количество двоичной информации, входящей в состав разных носителей. Для примера можно рассмотреть, как вычисляются объемы текста и графики.

Инструкция

Для вычисления информационного объема текста, из которого состоит книга, определите начальные данные. Вы должны знать количество страниц в книге, среднее количество строк текста на каждой странице и число символов с пробелами в каждой строке текста. Пусть книга содержит 150 страниц, по 40 строк на странице, по 60 символов в строке.

Найдите количество символов в книге: перемножьте данные первого шага. 150 страниц * 40 строк * 60 символов = 360 тыс. символов в книге.

Определите информационный объем книги, исходя из того, что один символ весит один байт. 360 тысяч символов * 1 байт = 360 тысяч байт.

Перейдите к более крупным единицам измерения: 1 Кб (килобайт) = 1024 байт, 1 Мб (мегабайт) = 1024 Кб. Тогда 360 тысяч байт / 1024 = 351,56 Кб или 351,56 Кб / 1024 = 0,34 Мб.

Чтобы найти информационный объем графического файла, также определите начальные данные. Пусть изображение 10×10 см получено с помощью сканера. Надо знать разрешающую способность устройства — для примера, 600 dpi — и глубину цвета. Последнее значение, так же для примера, можно взять 32 бита.

Выразите разрешающую способность сканера в точках на см. 600 dpi = 600 точек на дюйм. 1 дюйм = 2,54 см. Тогда 600 / 2,54 = 236 точек на см.

Найдите размер изображения в точках. 10 см = 10 * 236 точек на см = 2360 точек. Тогда размер картинки = 10×10 см = 2360×2360 точек.

Вычислите общее количество точек, из которых состоит изображение. 2360 * 2360 = 5569600 штук.

Рассчитайте информационный объем полученного графического файла. Для этого умножьте глубину цвета на результат восьмого шага. 32 бита * 5569600 штук = 178227200 бит.

Перейдите к более крупным единицам измерения: 1 байт = 8 бит, 1 Кб (килобайт) = 1024 байта и т.д. 178227200 бит / 8 = 22278400 байт, или 22278400 байт / 1024 = 21756 Кб, или 21756 Кб / 1024 = 21 Мб. Из-за округления результаты получаются примерными.

Источники:

Нахождение информационного объема графического файла
определите информационный объём

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Набор символов знаковой системы (алфавит) можно рассматривать как различные возможные состояния (события).
Тогда, если считать, что появление символов в сообщении равновероятно, количество возможных событийN можно вычислить как N=2ⁱ
Количество информации в сообщении I можно подсчитать умножив количество символов K на информационный вес одного символа i
Итак, мы имеем формулы, необходимые для определения количества информации в алфавитном подходе:

Если к этим задачам добавить задачи на соотношение величин, записанных в разных единицах измерения, с использованием представления величин в виде степеней двойки мы получим 9 типов задач.
Рассмотрим задачи на все типы. Договоримся, что при переходе от одних единиц измерения информации к другим будем строить цепочку значений. Тогда уменьшается вероятность вычислительной ошибки.

Задача 1. Получено сообщение, информационный объем которого равен 32 битам. чему равен этот объем в байтах?

Решение: В одном байте 8 бит. 32:8=4
Ответ: 4 байта.

Задача 2. Объем информацинного сообщения 12582912 битов выразить в килобайтах и мегабайтах.

Решение: Поскольку 1Кбайт=1024 байт=1024*8 бит, то 12582912:(1024*8)=1536 Кбайт и
поскольку 1Мбайт=1024 Кбайт, то 1536:1024=1,5 Мбайт
Ответ:1536Кбайт и 1,5Мбайт.

Задача 3. Компьютер имеет оперативную память 512 Мб. Количество соответствующих этой величине бит больше:

1) 10 000 000 000бит 2) 8 000 000 000бит 3) 6 000 000 000бит 4) 4 000 000 000бит Решение: 512*1024*1024*8 бит=4294967296 бит.
Ответ: 4.

Задача 4. Определить количество битов в двух мегабайтах, используя для чисел только степени 2.
Решение: Поскольку 1байт=8битам=2³битам, а 1Мбайт=2¹⁰Кбайт=2²⁰байт=2²³бит. Отсюда, 2Мбайт=2²⁴бит.
Ответ: 2²⁴бит.

Задача 5. Сколько мегабайт информации содержит сообщение объемом 2²³бит?
Решение: Поскольку 1байт=8битам=2³битам, то
2²³бит=2²³*2²³*2³бит=2¹⁰2¹⁰байт=2¹⁰Кбайт=1Мбайт.
Ответ: 1Мбайт

Задача 6. Один символ алфавита “весит” 4 бита. Сколько символов в этом алфавите?
Решение:
Дано:

i=4	По формуле N=2ⁱ находим N=2⁴, N=16
Найти: N – ?

Ответ: 16

Задача 7. Каждый символ алфавита записан с помощью 8 цифр двоичного кода. Сколько символов в этом алфавите?
Решение:
Дано:

i=8	По формуле N=2ⁱ находим N=2⁸, N=256
Найти:N – ?

Ответ: 256

Задача 8. Алфавит русского языка иногда оценивают в 32 буквы. Каков информационный вес одной буквы такого сокращенного русского алфавита?
Решение:
Дано:

N=32	По формуле N=2ⁱ находим 32=2ⁱ, 2⁵=2ⁱ,i=5
Найти: i– ?

Ответ: 5

Задача 9. Алфавит состоит из 100 символов. Какое количество информации несет один символ этого алфавита?
Решение:
Дано:

N=100	По формуле N=2ⁱ находим 32=2ⁱ, 2⁵=2ⁱ,i=5
Найти: i– ?

Ответ: 5

Задача 10. У племени “чичевоков” в алфавите 24 буквы и 8 цифр. Знаков препинания и арифметических знаков нет. Какое минимальное количество двоичных разрядов им необходимо для кодирования всех символов? Учтите, что слова надо отделять друг от друга!
Решение:
Дано:

N=24+8=32	По формуле N=2ⁱ находим 32=2ⁱ, 2⁵=2ⁱ,i=5
Найти: i– ?

Ответ: 5

Задача 11. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц. На каждой странице — 40 строк, в каждой строке — 60 символов. Каков объем информации в книге? Ответ дайте в килобайтах и мегабайтах
Решение:
Дано:

K=360000	Определим количество символов в книге 1504060=360000. Один символ занимает один байт. По формуле I=Ki*находим I=360000байт 360000:1024=351Кбайт=0,4Мбайт
Найти: I– ?

Ответ: 351Кбайт или 0,4Мбайт

Задача 12. Информационный объем текста книги, набранной на компьютере с использованием кодировки Unicode, — 128 килобайт. Определить количество символов в тексте книги.
Решение:
Дано:

I=128Кбайт,i=2байт	В кодировке Unicode один символ занимает 2 байта. Из формулыI=Ki* выразимK=I/i,K=128*1024:2=65536
Найти: K– ?

Ответ: 65536

Задача 13.Информационное сообщение объемом 1,5 Кб содержит 3072 символа. Определить информационный вес одного символа использованного алфавита
Решение:
Дано:

I=1,5Кбайт,K=3072	Из формулы I=Ki* выразимi=I/K,i=1,510248:3072=4
Найти: i– ?

Ответ: 4

Задача 14.Сообщение, записанное буквами из 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объем информации оно несет?
Решение:
Дано:

N=64, K=20	По формуле N=2ⁱ находим 64=2ⁱ, 2⁶=2ⁱ,i=6. По формуле I=Ki* I=20*6=120
Найти: I– ?

Ответ: 120бит

Задача 15. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если его объем составил 1/16 часть мегабайта?
Решение:
Дано:

N=16, I=1/16 Мбайт	По формуле N=2ⁱ находим 16=2ⁱ, 2⁴=2ⁱ,i=4. Из формулы I=Ki* выразим K=I/i, K=(1/16)10241024*8/4=131072
Найти: K– ?

Ответ: 131072

Задача 16. Объем сообщения, содержащего 2048 символов,составил 1/512 часть мегабайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?
Решение:
Дано:

K=2048,I=1/512 Мбайт	Из формулы I=Ki* выразим i=I/K, i=(1/512)102410248/2048=8. По формулеN=2ⁱ*находим N=2⁸=256
Найти: N– ?

Ответ: 256

Задачи для самостоятельного решения:

Каждый символ алфавита записывается с помощью 4 цифр двоичного кода. Сколько символов в этом алфавите?
Алфавит для записи сообщений состоит из 32 символов, каков информационный вес одного символа? Не забудьте указать единицу измерения.
Информационный объем текста, набранного на компьюте¬ре с использованием кодировки Unicode (каждый символ кодируется 16 битами), — 4 Кб. Определить количество символов в тексте.
Объем информационного сообщения составляет 8192 бита. Выразить его в килобайтах.
Сколько бит информации содержит сообщение объемом 4 Мб? Ответ дать в степенях 2.
Сообщение, записанное буквами из 256-символьного ал¬фавита, содержит 256 символов. Какой объем информации оно несет в килобайтах?
Сколько существует различных звуковых сигналов, состоящих из последовательностей коротких и длинных звонков. Длина каждого сигнала — 6 звонков.
Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 20 до 100%, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатом наблюдений.
Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 512000 бит/с. Через данное соединение передают файл размером 1500 Кб. Определите время передачи файла в секундах.
Определите скорость работы модема, если за 256 с он может передать растровое изображение размером 640х480 пикселей. На каждый пиксель приходится 3 байта. А если в палитре 16 миллионов цветов?

Тема определения количества информации на основе алфавитного подхода используется в заданиях А1, А2, А3, А13, В5 контрольно-измерительных материалов ЕГЭ.

Источник

Расчёт иформационного объема текстового сообщения

Расчёт
информационного объёма текстового
сообщения (количества информации,
содержащейся в информационном сообщении)
основан на подсчёте количества символов
в этом сообщении, включая пробелы, и на
определении информационного веса одного
символа, который зависит от кодировки,
используемой при передаче и хранении
данного сообщения.

В
традиционной кодировке (Windows,
ASCII)
для кодирования одного символа
используется 1 байт (8 бит). Эта величина
и является информационным весом одного
символа. Такой 8-ми разрядный код позволяет
закодировать 256 различных
символов, т.к. 2⁸=256.

В
настоящее время широкое распространение
получил новый международный стандарт
Unicode,
который отводит на каждый символ два
байта (16 бит). С его помощью можно
закодировать 2¹⁶=
65536 различных символов.

Итак,
для расчёта информационного объёма
текстового сообщения используется
формула

V_text
=
n_симв*i
/ k_сжатия, (2)

где
V_text
–
это информационный объём текстового
сообщения, измеряющийся в байтах,
килобайтах, мегабайтах; n_симв
–
количество символов в сообщении, i
–
информационный вес одного символа,
который измеряется в битах на один
символ; k_сжатия
– коэффициент сжатия данных, без сжатия
он равен 1.

Примеры.

Информация
в кодировке Unicode
передается
со скоростью 128 знаков в секунду в течение
32 минут. Какую часть дискеты ёмкостью
1,44Мб займёт переданная информация?

Дано:
v
=
128 символов/сек;
t
=
32 минуты=1920сек;
i
=
16 бит/символ

Решение:

n_симв=
v*t
=
245760 символов
V=n_симв*i
=
245760*16 = 3932160 бит = 491520 байт = 480 Кб = 0,469Мб,
что составляет 0,469Мб*100%/1,44Мб = 33% объёма
дискеты

Ответ:
33%
объёма дискеты будет занято переданным
сообщением

Расчёт иформационного объема растрового изображения

Расчёт
информационного объёма растрового
графического изображения (количества
информации, содержащейся в графическом
изображении) основан на подсчёте
количества пикселей в этом изображении
и на определении глубины цвета
(информационного веса одного пикселя).

Итак,
для расчёта информационного объёма
растрового графического изображения
используется формула (3):

V_pic=
K
*
n_симв*
i
/ k_сжатия, (3)

где
V_pic
–
это информационный объём растрового
графического изображения, измеряющийся
в байтах, килобайтах, мегабайтах; K
–
количество пикселей (точек) в изображении,
определяющееся разрешающей способностью
носителя информации (экрана монитора,
сканера, принтера); i
–
глубина цвета, которая измеряется в
битах на один пиксель; k_сжатия
– коэффициент сжатия данных, без сжатия
он равен 1.

Глубина
цвета задаётся количеством битов,
используемым для кодирования цвета
точки. Глубина
цвета связана с количеством отображаемых
цветов формулой
N=2ⁱ,
где N
–
это количество цветов в палитре, i
–
глубина цвета в битах на один пиксель.

Примеры.

1)
В результате преобразования растрового
графического изображения количество
цветов уменьшилось с 256 до 16. Как при
этом изменится объем видеопамяти,
занимаемой изображением?

Дано:
N₁=
256 цветов;
N₂=
16 цветов;

Решение:

Используем
формулы
V₁=
K*i₁;
N₁=
2ⁱ¹;
V₂=
K*i₂;
N₂=
2ⁱ²;

N₁=
256 = 2⁸;
i₁=
8 бит/пиксель

N₂=
16 = 2⁴;
i₂=
4 бит/пиксель

V₁=
K*8;
V₂=
K*4;

V₂/V₁=
4/8 = 1/2

Ответ:
объём графического изображения уменьшится
в два раза.

2)
Сканируется цветное изображение
стандартного размера А4 (21*29,7 см).
Разрешающая способность сканера 1200dpi
и
глубина цвета 24 бита. Какой информационный
объём будет иметь полученный графический
файл?

Дано:
i
=
24 бита на пиксель;
S
=
21см*29,7 см
D
=
1200 dpi
(точек
на один дюйм)

Решение:

Используем
формулы
V
=
K*i;

1дюйм
= 2,54 см

S
=
(21/2,54)*(29,7/2,54) = 8,3дюймов*11,7дюймов

K
=
1200*8,3*1200*11,7 = 139210118 пикселей

V
=
139210118*24 = 3341042842бита = 417630355байт = 407842Кб =
398Мб

Ответ:
объём сканированного графического
изображения равен 398 Мегабайт

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
06.03.20161.42 Mб33ОТИ практическая 5.docx
#

Источник

1.6.1. Алфавитный подход к измерению информации

1.6.2. Информационный вес символа произвольного алфавита

1.6.3. Информационный объём сообщения

1.6.4. Единицы измерения информации

Самое главное.

Вопросы и задания.

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Пример

Применение: цена информации

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Примеры

Свойства энтропии Шеннона

Энтропия пары

Примеры

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Условная энтропия Шеннона

Примеры

Свойства условной энтропии

Взаимная информация

Примеры

Свойства взаимной информации

Применение энтропии Шеннона: кодирование

Связь с энтропией

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Сравнение языков программирования

Свойства колмогоровской сложности

Примеры

Несжимаемые строки

Колмогоровская сложность: вычислимость

Связь с энтропией Шеннона

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Свойства случайных последовательностей

Заключение

Как найти информационный объем

Расчёт иформационного объема текстового сообщения

Расчёт иформационного объема растрового изображения

Вам также может понравиться

Как найти нерусского парня

Найти как называется судно

Как составить иск в суд на наследство

Добавить комментарий Отменить ответ