Как найти истинную величину угла вас

4. Решение можно дополнить построением проекций перпендикуляра KL на плоскостях 1 и 2. Построения проекций точки L — основания перпендикуляра — выполняются обратным ходом:

точка Lлежит в пересечении линии проекционной связи, проведенной из LIV перпендикулярно х1, и горизонтальной проекции перпендикуляра, опущенной из Kперпендикулярно С 1 ;

точка Lлежит на линии связи, проведенной из L , на расстоянии zL от

оси z (это расстояние берется с проекций на плоскости 4).

8.4.1. Произвольный плоский угол

О проецировании плоского угла мы рассказывали в разд. 6.3. Как уже отмечалось, в общем случае плоский угол проецируется с искажением. Теперь рассмотрим нахождение натуральной величины плоского угла.

Несколько приемов определения истинной величины плоской фигуры рассматривалось ранее (см. рис. 8.18 и 8.27). Этими же методами можно определить и величину плоского угла. Предлагаем теперь определить угол методом вращения вокруг горизонтали.

Пусть дан угол АВС (рис. 8.34). Вращением вокруг горизонтали повернем угол в положение, параллельное плоскости 1. Тогда угол в своей горизонтальной проекции изобразится без искажения.

1.В плоскости угла проведем горизонталь 12. Поворот треугольника 1В2 вокруг горизонтали 12 сводится к повороту одной вершины — точки В.

Из Впроведем перпендикулярно 1 2след плоскости вращения этой точки, и в пересечении следа и оси вращения 1 2получаем проекцию центра вращения OВ .

2.Натуральную величину радиуса вращения RB получаем при построении прямоугольного треугольника В OВВ0 , в котором катет В OВ представляет

собой горизонтальную проекцию радиуса вращения, а катет В В0 — разницу координат между точками В и ОВ по оси z ( zВОВ).

3.Точку Всоединяем с 1и 2— горизонтальными проекциями точек, расположенных на оси вращения и принадлежащих сторонам угла. Новая горизонтальная проекция 1 В 2равна заданному углу АВС.

Рис. 8.35. Угол между прямой и плоскостью

1. Вершины

Рис. 8.36. Определение угла между прямой LT и плоскостью

Найдем угол между прямой LT и плоскостью , заданной следами (рис. 8.36).

1.Проведем из любой точки прямой LТ, например, точки T перпендикуляр к плоскости :

фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна f0 ;

горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна h0.

2.В плоскости, заданной прямой LТ и перпендикуляром, через любую точку этой плоскости, например, через точку L проводим горизонталь L1.

3.Определяем истинную величину треугольника 1TL и, следовательно, истинную величину угла 1TL. Вращением вокруг горизонтали L1 поворачи-

ваем треугольник TL1 в положение, параллельное плоскости

L и 1, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Необходимо повернуть только точку T. Проводим плоскость вращения точки Т — плоскость :

Т h0; h0 1 L .

4. Определяем центр вращения ОТ ( OT , OT) точки Т:

OT = h0 1 L ; OT 1 L .

Рис. 8.37. Угол между двумя пересекающимися плоскостями

Рис. 8.38. Определение линейного угла между двумя пересекающимися плоскостями и

Определим истинную величину угла между двумя пересекающимися плоско-

2.Для плоскости, заданной треугольником АВС, предварительно строим проекции горизонтали С1 (C 1 , C 1 ) и фронтали С2 (C 2 , C 2 ). Гори-

зонтальную проекцию перпендикуляра bпроводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (b C 1 ); фронтальную проекцию перпендикуляра b — перпендикулярно фронтальной проекции фронтали

(b C 2 ).

3.Угол между перпендикулярами спроецирован на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций с искажением. Для определения истинной величины угла поворачиваем его вокруг фронтали 34 до положения, па-

раллельного плоскости 2. Через точку K проводим плоскость вращения : f0 3 4 .

218 Глава 8

грани двугранного угла стали перпендикулярны плоскости проекций 5, и угол между их “вырожденными” проекциями и есть искомый угол между плоскостями.

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Содержание

1. Метод прямоугольного треугольника
2. Способ параллельного переноса
3. Поворот вокруг оси

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Пример построения

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E”₁ и F”₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Пример построения

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M”₁. При этом исходим из того, что M” в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N”₁ и M”₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.