Как найти источник света на плоскости

Светотенью называется распределение света и тени на поверхностях предметов. Законами светотени — принципы этого распределения.

Благодаря правильному распределению света и тени, мы можем показать на рисунке форму предмета и характер освещения.

Помимо этого, светотень мощное выразительное средство. Творческий метод таких мастеров как Караваджо, Рембрандт, Сурбаран основан на работе со светотенью. Уводя в тень второстепенное и освещая главное они создавали удивительно точные, цельные и лаконичные образы.

Светотень в рисунке.

Распределение света и тени в рисунке мы делаем на глаз, без точных построений.

При этом, если мы хотим создать реалистичное изображение, необходимо соблюдать ряд правил:

• На поверхности каждого освещенного предмета есть: 

1. свет с бликом 
2. полутон 
3. тень 
4. рефлекс (участки, освещенные отраженным светом)

И этот предмет отбрасывает падающую тень.

• Границы между этими участками ( светом и тенью и.т.д.) проходят по поверхности предмета, а значит, должны соответствовать ее форме. Например, на шаре граница между светом и собственной тенью не может иметь углов, а на боковой поверхности Цилиндра- не может быть дугообразной. Если предмет сложной формы, границы меняют направление вместе с изменением формы поверхности. Рисуя шар, обратите внимание, что границы на нем — эллипсы или линии.

• Свет находится на поверхности предмета обращенной к источнику света, собственная и падающая тень находятся с противоположной стороны.

• Рефлекс всегда темнее полутона.

• Выявляя светотень мы пользуемся штрихом по форме, то есть штрихи должны повторять форму поверхности, например, на шаре они дугообразные, а на кубе — прямые.

• Тень более светлого предмета светлее тени более темного, свет более светлого предмета светлее света более темного.

• Падающая тень по очертаниям напоминает предмет. Но ее границы менее четкие.

• Детали тщательно прорабатываются либо на светах, либо в тенях.Чаще на светах. Если мы выявляем фактуру и детали в светах, нормально и правильно, что тени сливаются и деталей в них не видно

• Мы не изображаем предметы в вакууме, пространство вокруг предмета так же заполнено другими поверхностями, имеющими тон и освещенными тем же источником света. Даже если фон в постановке белый, мы не воспринимаем и не изображаем его как белый. Исключение — некоторые типы набросков и зарисовок.

Давайте отработаем эти правила на практике.

Упражнение 1.

Светотень как выразительное средство. Прежде чем учиться делать светотеневую моделировку, давайте поймем какие огромные выразительные возможности дает нам ее применение.

Возьмите интересный для вас предмет. Сфотографируйте его при разном освещении:

• Прямые солнечные лучи.

• Рассеянный свет (когда не четко видны границы между светом и тенью)

• Тусклый свет, полумрак.

• Направленный свет лампы. Поэкспериментируйте с направлением света и расстоянием до натуры. Попробуйте снять против света, с источником света совсем близко к натуре и т. д.

Отберите три самые выразительные фотографии.

Упражнение 2.

Есть только два способа научиться штриховать по форме: копирование и практика. Давайте начнем с первого. Скопируйте рисунки, приведенные ниже. Ваша задача — сделать это максимально точно, вплоть до штриха.

Упражнение 3.

Тональный рисунок коробки с натуры.

• Ставим натуру либо с боковым дневным светом, либо с направленным светом лампы так, чтобы было ясно, какие стороны на свету, а какие — в тени.
• Компонуем изображение на листе. Определяем, какого размера оно будет и где будет расположено.

• Строим на просвет
• Убираем линии поведения и невидимые линии. Оставшиеся линии должны быть тонкими и ровными.
• Смотрим на натуру и определяем, что темнее, что светлее. Можно сделать небольшой набросок и на нем обозначить тона цифрами (от самого светлого до самого темного)
• Штриховку я советую начать с того, что закрыть тоном все тени. Расстояние между штрихами небольшое, тон не очень темный.
• Разбираем по тону тени
• Разбираем света. Обратите внимание, что чем ближе к нам, тем темнее тень и тем светлее свет. Белая бумага остается только в самой ближней части самой светлой грани.

Упражнение 4.

Тональный рисунок чашки с натуры. Делаем в той же последовательности, как в предыдущем задании.

Рисунок темного и светлого предмета с натуры. Если у вас нет опыта, не изображайте ткани, стекло или металл. Помним, что тень более светлого предмета светлее тени более темного, свет более светлого предмета светлее света более темного.

Упражнение 6.

Зарисовки предметов сложной формы с натуры. Натуру ставим с контрастным освещением, чтобы граница света и тени была видна. в рисунках можно использовать линии. Строим форму, по возможности, подробно и напросвет. Определяем границу тени, штрихуем тень. СВЕТА НЕ НУЖНО ПРОРАБАТЫВАТЬ.

Дополнительное упражнение 1.

Тональный рисунок предмета сложной формы с натуры. Выполняем в той же последовательности, что и рисунок коробочки.

Дополнительное упражнение 2.

Натюрморт, черно-белая графика. У вас есть только два тона — черный и белый. Задача — передать объем и форму. Тени могут и должны сливаться, линии стараемся не использовать.

Основы построения падающих теней в перспективе. 

Когда мы рисуем с натуры, мы изображаем падающие тени на глаз. Но для того чтобы изображать их более достоверно, полезно понимать, как они образуются и как их можно построить.

Для построения теней мы пользуемся проекциями. Чтобы получить проекцию точки на плоскость, нам нужно опустить перпендикуляр из этой точки на эту плоскость.

Чтобы получить проекцию прямой на плоскость, нам нужно из двух точек прямой опустить перпендикуляры на плоскость и соединить их между собой.

Грубо говоря, проекция на горизонтальную плоскость — это то место, над которым находится прямая или точка.

Чтобы построить тень точки, нам нужно через точку провести луч, а через проекцию точки — проекцию луча. На месте их пересечения и будет тень точки.

На этом видео я простыми словами объясняю логику этого построения.

Есть два типа построения теней: от естественного источника света (солнце, луна) и от искусственного (лампа, свеча и т.д. ).

Но какой бы ни был источник света, алгоритм построения не меняется: проводим луч через точку и проекцию луча через ее проекцию. На месте пересечения получаем тень точки. Строем тени основных точек объекта, соединяем и получаем тень объекта.

Построение тени от естественного источника света. 

Так как естественные источники света бесконечно удалены от нас, мы условно считаем, что их лучи параллельны.

Из этого следует, что проекции лучей естественных источников света также параллельны между собой.

Возьмем самый простой случай — естественный источник света находится строго сбоку, то есть проекции его лучей параллельны картинной плоскости. Построим тени от всех его вершин и, соединив их между собой, получим тень от прямоугольника. Обратите внимание, что тени вершин, лежащих на горизонтальной плоскости, совпадают с этими вершинами.

Дополнительное упражнение 3

Постройте тень от прямоугольного параллелепипеда при естественном освещении.

Построение тени от искусственного источника света.

При построении теней от искусственного источника света, мы условно считаем, что все лучи исходят из одной точки — источника света, и, соответственно, проекции лучей — из проекции источника света.

Когда мы рисуем по представлению, чтобы построить тени от предмета при искусственном освещении, мы произвольно, в соответствии с нашим замыслом, задаём положение источника света и его проекции.

Дальше действуем по общему алгоритму: проводим луч через точку и проекцию луча через проекцию этой точки. На месте пересечения получаем тень точки.

Найдя тени основных точек предмета, соединяем их в той же последовательности, как они соединены в самом предмете и получаем тень предмета.

На рисунке разобрано построение тени от прямоугольника при искусственном освещении.

Дополнительное упражнение 3

Постройте тень от прямоугольного параллелепипеда при искусственном освещении.

Свойства тонкой линзы определяются главным образом расположением ее главных фокусов. Поэтому, зная расстояние от источника света до линзы, а также ее фокусное расстояние (положение фокусов), мы можем определить расстояние до изображения, опустив описание хода лучей внутри самой линзы. Поэтому в изображении на чертеже точного вида сферических поверхностей линзы необходимость отсутствует.

Схематически тонкие линзы обозначают отрезком со стрелками на конце. Они смотрят от центра в противоположные стороны, если линза собирающая, и они направлены к центру отрезка, если линза рассеивающая.

Внимание!

Напомним, что линзы могут давать действительные и мнительные изображения. Причем, собирающая линза может давать как действительные, так и мнимые изображения. Рассеивающая линза всегда дает только мнимые изображения.

Способ построения изображений, а также вид самих изображений в линзе зависит от того, где расположен изображаемый предмет. Он может располагаться за двойным фокусным расстоянием, в фокальной плоскости второго фокуса, между вторым и первым фокусом, в фокальной плоскости главного фокуса и на расстоянии меньше фокусного расстояния линзы.

Определение

Вторым фокусом называют точку, которая расположена на главной оптической оси от главного фокуса на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы. Относительно линзы он располагается на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы.

Построение изображения в собирающей линзе

Предметы схематично изображаются в виде стрелки. Чтобы построить изображение предмета в собирающей линзе, нужно найти положение верхней и нижней точки этого изображения. Сначала находят положение точки изображения, соответствующей верхней точки предмета (точки А). Для этого из этой точки нужно пустить два луча:

Два вида лучей при построении изображений в линзе

Первый луч проходит из верхней точки предмета (точки А) параллельно главной оптической оси. На линзе (в точке С) луч преломляется и проходит через точку фокуса (точку F).

Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета (точки А) через оптический центр линзы (точку О). Он пройдет, не преломившись.

На пересечении двух лучей обозначаем точку А₁. Это и будет изображение верхней точки предмета. Таким же образом нужно поступить с нижней точкой предмета. Но на пересечении вышедших из линзы лучей нужно поставить точку В₁. Изображение предмета при этом — А₁ В_1.

В зависимости от того, где расположен предмет, изображение может получиться действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, перевернутым или прямым. Построим изображения для каждого из таких случаев.

Схема построения изображения	Расположение предмета относительно линзы + характеристика изображение
	Предмет располагается за двойным фокусом. Изображение: уменьшенное; перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в фокальной плоскости второго фокуса. Изображение: перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом. Изображение: увеличенное; перевернутое; действительное.
	Предмет находится в фокальной плоскости. Изображения нет, поскольку лучи идут параллельно друг другу и не пересекаются.
	Предмет располагается между линзой и фокусом. Изображение: увеличенное; прямое; мнимое.

Пример №1. Построить изображение предмета, изображенного на рисунке. Определить тип изображения.

Чтобы построить изображение предмета, достаточно определить его положение одной точки — верхней. Поскольку предмет расположен параллельно линзе, для построения изображения, достаточно будет соединить найденную точку изображения для верхней точки предмета перпендикуляром, проведенным к главной оптической оси.

Чтобы построить изображение верхней точки, пустим от нее два луча — побочную оптическую ось через оптический центр и перпендикуляр к линзе. Затем найдем пересечение побочной оптической оси с преломленным лучом. Теперь пустим перпендикуляр к главной оптической оси и получим изображение. Оно является действительным, увеличенным и перевернутым.

Частный случай — построение изображения точки

Положение изображения точки можно найти тем же способом, описанным выше. Нужно лишь построить два луча и найти их пересечение после выхода из линзы (см. рисунок ниже). Так, изображению точки S соответствует точка S´.

Особую сложность составляет случай, когда точка расположена на главной оптической оси. Сложность заключается в том, что все лучи, которые можно построить, будут совпадать с главной оптической осью. Поэтому возникает необходимость в определении хода произвольного луча. Направим луч от точки S (луч SB) к собирающей линзе. Затем построим побочную оптическую ось PQ такую, которая будет параллельна лучу SB. После этого построим фокальную плоскость и найдем точку пересечения (точка С) фокальной плоскости с побочной оптической осью. Теперь соединим полученную точку С с точкой В. Это будет преломленный луч. Продолжим его до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения с ней и будет изображением точки S. В данном случае оно является мнимым.

Пример №2. Построить изображение точки, расположенной на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение, пустим произвольный луч к линзе. Затем построим параллельную ему побочную оптическую ось и фокальную плоскость. Из места пересечения этой оси с фокальной плоскостью пустим луч, также проходящий через точку пересечения линзы с произвольным лучом. Построим продолжение луча до получения точки пересечения с главной оптической осью. Отметим точку пересечения — она является действительным изображением точки.

Построение изображения в рассеивающей линзе

Чтобы построить изображение предмета в рассеивающей линзе, нужно определить положения точек изображения, соответствующих верхней и нижней точкам предмета. Вот как определить положение точки изображения для верхней точки предмета:

1. Нужно пустить луч, перпендикулярный главной оптической оси. Этот луч после преломления отклонится. Но его продолжение обязательно пересечет главный фокус линзы.
2. Нужно пустить луч от верхней точки предмета через оптический центр линзы (построить побочную оптическую ось).
3. Точку пересечения продолжения луча, полученного в шаге 1, с побочной оптической осью, нужно обозначить за изображение верхней точки предмета (на рисунке это точка А´).

Точно такие же действия нужно выполнить для нижней точки предмета. В результате получится точка пересечения, соответствующая изображению нижней точки предмета (на рисунке это точка А´´).

Внимание! Независимо от расположения предмета относительно рассеивающей линзы, изображение всегда получается прямым, уменьшенным, мнимым.

Пример №3. Построить изображение предмета в рассеивающей линзе.

Чтобы построить изображение, пустим от верхней точки предмета побочную оптическую ось через оптический центр и проведем перпендикуляр к линзе. Затем из точки главного фокуса проведем луч через точку пересечения линзы с перпендикуляром. Пересечение этого луча с побочной оптической осью есть изображение верхней точки предмета. Теперь проведем от нее перпендикуляр к главной оптической оси. Это и будет являться изображением предмета. Оно является мнимым, уменьшенным и прямым.

Построение изображений в плоском зеркале

Определение

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света. Продемонстрируем это с помощью рисунка ниже.

Построим изображение точечного источника S. От точечного источника света лучи распространяются во все стороны. На зеркало падает пучок света ASB, и изображение создается всем пучком сразу. Но для построения изображения достаточно взять любые два луча из этого пучка. Пусть это будут лучи SO и SC.  Луч SO падает перпендикулярно поверхности зеркала АВ. Поскольку угол между ним и перпендикуляром, восстановленным в точке падения, равен 0, то угол падения принимаем равным за 0. поэтому отраженный пойдет в обратном направлении OS. Луч SC отразится под углом γ=α. Отраженные лучи OS и СК расходятся и не пересекаются, но если они попадают в глаз человека, то человек увидит изображение S₁, которое представляет собой точку пересечения продолжения отраженных лучей.

Таким образом, чтобы получить изображение в плоском зеркале, нужно:

• Пустить от источника света луч, перпендикулярный к плоскости зеркала (падающий луч совпадает с отраженным лучом).
• Пустить от источника света к плоскости зеркала еще один луч под произвольным углом.
• Построить отраженный луч от падающего луча, построенного в шаге 2, используя закон отражения света.
• Найти пересечение продолжений отраженных от зеркала лучей (пущенного под прямым углом и произвольным углом).

Внимание!

Изображение в зеркале всегда является мнимым. Это связано с тем, что изображение строится на пересечении продолжении лучей, а не на самих лучах.

Изображение в плоском зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии, как предмет от этого зеркала. Это легко доказать тем, что треугольники SOC и S₁OC равны по стороне и двум углам. Следовательно SO = S₁O. Отсюда делаем вывод, что для построения изображения точечного источника света достаточно знать расстояние, на котором он находится от зеркала. Останется только провести к зеркалу перпендикулярную прямую и отложить на ней точку на нужном расстоянии.

При построении изображения какого-либо предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Поэтому достаточно найти изображение крайних точек предмета. Так, изображение А₁В₁ соответствует предмету АВ.

Изображение и сам предмет всегда симметричны относительно зеркала.

Пример №4. Построить изображение треугольника ABC в плоском зеркале.

Чтобы построить изображение, пустим к плоскому зеркалу перпендикулярные прямые. Затем измерим расстояние от каждой точки до зеркала и отложим их по перпендикуляру от зеркала в обратную сторону. Так для точки А мы находим точку А´, для В — В´, для С — С´.

Видно, что треугольник отразился зеркально (изображение и предмет симметричны друг другу). Так и должно быть в случае с зеркалом.

Алиса Никитина | Просмотров: 31.6k

Содержание:

Геометрическая оптика – это раздел оптики, в котором изучаются законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче. Световой луч – это линия, имеющая направление, вдоль которого распространяется энергия световых волн.

Закон отражения света с точки зрения корпускулярной и волновой теории

Если луч света состоит из частиц, как утверждал И. Ньютон, то можно полагать, что они отражаются от поверхности, как упругие мячи (рис. 149) в соответствии с законом отражения, изученным в геометрической оптике.

К такому же выводу приводит и волновая теория, основанная на принципе Х. Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошло возмущение, является источником вторичных волн. Огибающая фронты вторичных волн является фронтом результирующей волны (§ 11).

Рассмотрим отражение плоской волны от поверхности MN (рис. 150). Лучи

Поскольку рассматриваемые треугольники равны, то углы равны, лучи лежат в одной плоскости, выполняется закон отражения света.

Запомните! Закон отражения: Угол падения равен углу отражения Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

На основе волновой теории можно объяснить, почему свет почти не отражается от поверхности толстого стекла и практически полностью отражается от тончайшей металлической фольги. Стекло – диэлектрик, в нем нет свободных заряженных частиц, он прозрачен для электромагнитных волн. В металлах свободные электроны под действием световой волны совершают колебательные движения, созданное ими поле отражает световую волну.

Применение закона отражения

Закон отражения получил применение в различных устройствах и аттракционах.

На транспорте применяется угловой отражатель – катафот, изготовленный из стекла или пластмассы. Сзади велосипеда укрепляют красный, впереди – белый, на спицах колес – оранжевый. Светоотражатель направляет луч света обратно к освещающему его источнику независимо от угла падения света на поверхность. Ими оборудуются все транспортные средства и опасные участки дорог. Светосигнальные приборы европейского образца появились на автодорогах республиканского значения, их установили на участках «Алматы – Ташкент – Термез», «Новый обход перевала Куюк» в Жамбылской области (рис. 151). Приборы заряжаются солнечными лучами, и они освещают осевую линию дороги в темное время суток. Установлены сигнальные столбики с надписью «Kazautozhol» на автомобильных дорогах, где нет искусственного освещения.

Светоотражающие материалы используются для пошива спецодежды – костюмов для работников пожарных, медицинских, военных и других видов служб. Существует два вида светоотражателей: на текстильной и основе ПВХ. Светоотражатели на текстильной основе производят с использованием стеклянных микрошариков с алюминиевым слоем отражателя, которые наносятся на рабочую поверхность материал полимерным клеем. Светоотражатели на основе ПВХ производят с использованием микропирамидок. Они превосходят светоотражатели на текстильной основе в износостойкости, поскольку микропирамидки находятся изнутри пленки.

Формула плоского зеркала

Запишем формулу плоского зеркала в соответствии с изображением, полученным на рисунке 158:

где d − расстояние от предмета до зеркала; − расстояние от зеркала до изображения. Знак минус свидетельствует о том, что изображение мнимое.

Изображение в двух плоских зеркалах

С помощью двух плоских зеркал можно получить несколько изображений, число которых определяется углом между отражающими поверхностями зеркал При построении необходимо помнить, что изображение первого зеркала становится предметом для второго зеркала, и наоборот, изображение второго зеркала – предметом первого. Последнее полученное изображение находится за отражающей поверхностью двух зеркал (рис. 159). Для определения числа изображений необходимо от числа секторов, на которые угол a делит полный угол, равный 360°, отнять один, в котором находится сам предмет:

Например, при число изображений в зеркалах равно:

Сферические зеркала. Основные точки и линии зеркал

Зеркала, отражающая поверхность которых представляет собой часть сферы, называют сферическими.

Основные точки и линии зеркал: вершина зеркала – точка O; центр кривизны – точка C; главная оптическая ось (ГОО) − прямая, проходящая через вершину и центр зеркала; фокус зеркала – точка F, в которой фокусируются все лучи, падающие на плоскость зеркала параллельно ГОО (рис. 160). Фокус выпуклого зеркала мнимый, он находится за плоскостью зеркала.

Введем еще несколько основных точек и линий для сферических зеркал. Побочная оптическая ось (ПОО) – прямая, проходящая через центр кривизны зеркала С. Фокус побочной оптической оси F₁ находится в точке пересечения ПОО с фокальной плоскостью (ФП). Через эту точку проходят лучи, параллельные ПОО. Фокальная плоскость – это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через ее фокус. МК – главная плоскость сферического зеркала – это плоскость, перпендикулярная ГОО и проходящая через вершину зеркала.

Формула вогнутого сферического зеркала

Формула вогнутого сферического зеркала справедлива для параксиальных лучей, которые составляют с главной оптической осью малые углы. При таком условии фокальная плоскость перпендикулярна главной оптической оси. На рисунке 161 изображен луч источника света S, он отражается от точки A поверхности вогнутого зеркала.

KM − касательная в точке А, перпендикулярная радиусу AC или побочной оптической оси. Для параксиальных лучей можно считать, что: следовательно, расстояние от зеркала до предмета расстояние от зеркала до изображения радиус кривизны Выразим  через катет AB треугольников полученных в результате построения:

Установим связь между углами треугольников. Угол является внешним для треугольника угол − внешним для треугольника следовательно:

Из (5) выразим и, подставив в (4), получим:

Тангенсы малых углов равны значениям углов в радианной мере. Выразим тангенсы из уравнений (3) и, подставив в уравнение (6), получим формулу сферического зеркала:

Построение изображения предмета в сферическом зеркале

Для построения изображения в сферическом зеркале достаточно использовать два луча из тех, ход которых известен (рис. 162):

1. луч, параллельный оптической оси, после отражения проходит через ее фокус;
2. луч, прошедший через фокус зеркала, отражается параллельно оптической оси;
3. луч, падающий в точку вершины зеркала, отражается под тем же углом;
4. луч, прошедший через центр кривизны зеркала, отражается вдоль линии падения в обратном направлении.

Алгоритм построения изображения точечного источника света

1. Провести ПОО, указать в точке пересечения с ФП фокус проведенной оси (рис. 163).

2. От источника света S построить луч, параллельный ПОО, до главной плоскости зеркала. Провести отраженный луч через фокус побочной оси.

3. Указать в точке пересечения с лучом, направленным вдоль ГОО, полученное изображение

Вспомните! Изображение мнимое, если пересекаются не сами отраженные лучи, а их продолжения. Изображение предмета действительное, если пересекаются лучи.

Линейное увеличение

Рассчитать изменение линейных размеров тела можно из подобия треугольников (рис. 162):

где H − высота изображения; h − высота предмета; − расстояние от изображения до вершины зеркала; d − расстояние от предмета до вершины зеркала; Г − увеличение.

Физическую величину, равную отношению высоты изображения к высоте предмета, называют линейным увеличением зеркала.

Если то размеры изображения тела увеличиваются; если  − уменьшаются. Лучи обратимы, следовательно, если считать, что на рисунке 162 предметом является отрезок то его изображением станет отрезок AB.

Закон преломления света с точки зрения волновой теории

Закон преломления света открыт экспериментально голландским математиком В. Снеллиусом в начале XVII в.

Произведение абсолютного показателя преломления на синус угла падения остается постоянной величиной, являясь «оптическим инвариантом» при переходе света из одной среды в другую.

где  – абсолютные показатели сред, – угол падения, – угол преломления.

Рассмотрим преломление двух лучей плоской волны на границе двух сред MN на основе принципа Гюйгенса (рис. 165). Фронт падающей волны в момент, когда луч достигает границы сред MN, обозначен на рисунке отрезком AC. Показатель преломления второй среды больше, чем первой среды Фронт вторичной волны, созданной во второй среде в момент падения луча на границу MN, обозначен отрезком DB. В результате построения получены прямоугольные треугольники с общей стороной AB. В треугольниках угол равен углу падения угол равен углу преломления  Выразим сторону AB через отрезки AD и CB, пройденные лучами за один и тот же промежуток времени, получим:

Из формул (3) и (4) следует, что:

Выразим скорость света в средах через абсолютный показатель преломления:

Вспомните! Абсолютный показатель преломления – это физическая величина, показывающая, во сколько раз скорость распространения света в вакууме больше скорости распространения света в данной среде: где n − абсолютный показатель преломления среды, с − скорость света в вакууме, − скорость света в среде. Оптически менее плотная среда обладает меньшим абсолютным показателем преломления.

Подставив формулы (6) в (5), получим:

На основе волновой теории Гюйгенса получен закон преломления Снеллиуса.

Вспомните! Относительный показатель преломления – это физическая величина, которая показывает во сколько раз скорость распространения света в первой среде больше скорости распространения света во второй среде.

Заменим в уравнении (7) отношение абсолютных показателей преломления относительным показателем, получим:

Полное внутреннее отражение света

Если направить луч света из оптически более плотной среды в менее плотную среду, то угол преломления больше угла падения. Наибольшему значению угла преломления, равному 90º, соответствует угол падения он назван предельным углом полного внутреннего отражения.

При падении луча на границу сред под углом, превышающим предельный угол полного внутреннего отражения преломленный луч исчезает, происходит полное отражение света (рис. 166).

Закон преломления для предельного угла примет вид:

Из полученного равенства следует, что предельный угол полного отражения определяется показателем преломления среды в том случае, если второй средой является вакуум или воздух:

Запомните! Закон преломления света:

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух сред есть величина постоянная. Она равна относительному показателю преломления второй среды относительно первой.

Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

Преимущества оптоволоконной технологии при передаче световых сигналов

Простейшая оптоволоконная система передачи информации между двумя точками состоит из трех основных элементов: оптического передатчика, оптоволоконного кабеля и оптического приемника.

Оптический передатчик преобразует электрический сигнал в модулированный световой поток, предназначенный для передачи по оптоволокну. В качестве источника света используются светодиоды и полупроводниковые лазеры. Длина волны излучения выбрана с учетом максимальной прозрачности материала волокна и наивысшей чувствительности фотодиодов. Оптические передатчики работают в диапазоне инфракрасных лучей с длиной волны 850, 1300 и 1550 нм.

Оптический приемник преобразует световой сигнал в копию исходного электрического сигнала. В качестве чувствительного элемента оптического приемника используется фотодиод.

Световод (оптоволоконный кабель) − закрытое устройство для направленной передачи света.

Оптоволоконный кабель состоит из одного или нескольких стеклянных волокон со ступенчатым или плавным изменением показателя преломления вдоль радиуса (рис. 167 а). Волокно со ступенчатым профилем показателя преломления состоит из сердцевины, изготовленной из стекла с малыми оптическими потерями, окруженной стеклянной оболочкой с более низким показателем преломления (рис. 167 б). Оптоволокно с плавным профилем состоит из стекла только одного сорта, но оно обработано так, что его показатель преломления плавно уменьшается от центра к поверхности волокна. Такой световод постоянно отклоняет распространяющийся по нему свет к центру (рис. 167 в).

В зависимости от числа волокон различают кабели одножильные, многожильные и многомодовые, которые позволяют распространяться световым волнам по нескольким различным путям, которые называют модами.

В многомодовых волокнах каждая световая волна распространяются под своим углом. Волны по-разному отражаются от оболочки и поступают в приемник в разное время. В одном многомодовом кабеле может быть порядка 80–100 мод. В многожильных кабелях возможно использование нескольких отдельных волокон, диаметр которых колеблется от 8 мкм до 10 мкм, соответствует диаметру одножильных кабелей. Многомодовые и многожильные кабели в сравнении с одножильными кабелями обеспечивают большую пропускную способность на малые расстояния, около 2 метров, на больших дистанциях возникают помехи. Одножильное оптоволокно чаще всего применяется в телекоммуникационных системах большой протяженности.

Оптические кабели имеют ряд преимуществ над обычными проводами и кабелями:

• могут с высокой скоростью передать значительно большее количество информации;
• тоньше и легче медных кабелей с такой же пропускной способностью;
• не подвержены внешним помехам, включая грозовые разряды;
• практически не взаимодействуют с агрессивными химическими веществами, вызывающими коррозию;
• не проводят электричество, могут находиться в прямом контакте с высоковольтным электрооборудованием, не несут опасности поражения электрическим током при ремонте;
• не создают вокруг себя электромагнитного излучения;
• обеспечивают защиту передаваемой информации, несанкционированное подключение к кабелю легко обнаруживается.

Интересно знать! В настоящее время используются оптоволоконные кабели, позволяющие передавать данные на большие расстояния с пропускной способностью до 100 Гбит/с. Максимальная пропускная способность оптоволоконного кабеля со спектральным уплотнением каналов WDM достигает 9,6 Тбит/с, так как он способен передать данные одновременно по 96 каналам.

Построение изображения в системе линз. Формула тонкой линзы

I. Собирающая и рассеивающая линзы

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями: (рис. 170 а). Одна из поверхностей может быть плоской, ее можно рассматривать как сферическую поверхность большого радиуса.

Обратите внимание! Если показатель преломления линзы больше показателя преломления среды, то выпуклые линзы фокусируют падающие на них лучи, вогнутые линзы – рассеивают.

II. Ход лучей в собирающей и рассеивающей линзах

Луч 1, параллельный главной оптической оси, проходит через задний фокус линзы (рис. 171);

Луч 2, прошедший через центр линзы, не преломляется (рис. 171);

Луч 3, прошедший через передний фокус линзы, становится параллельным главной оптической оси (рис. 171);

Луч 4, прошедший через центр кривизны одной из сферической поверхностей, проходит через центр кривизны другой поверхности (рис. 171).

Обратите внимание! Зеркала дают изображение в отраженных лучах, а линзы – в проходящих.

III. Побочные оси. Построение лучей с использование побочных осей

Фокусы побочных оптических осей F₁ также принадлежат фокальной плоскости и находятся в точках пересечения ПОО с ФП (рис. 175 а). Лучи, падающие на собирающую линзу параллельно побочной оси, проходят через фокус ПОО (рис. 175 б). В рассеивающей линзе в фокусе побочной оси пересекаются продолжения лучей (рис. 175 в).

В том случае, когда предмет представляет собой точечный источник света, находящийся на главной оптической оси, для построения изображения используют побочную ось. На рисунке 176 изображен ход лучей при условии использован луч, параллельный ПОО, и луч, проходящий через центр линзы О. Полученное изображение действительное, находится по другую сторону линзы за двойным фокусом.

Запомните! Побочную ось необходимо ввести для лучей, падающих на линзу под произвольным углом. Она проводится параллельно падающему лучу. В этом случае преломленный луч пройдет через задний фокус побочной оси собирающей линзы (рис. 176). Для рассеивающей линзы необходимо провести преломленный луч таким образом, чтобы его продолжение прошло через передний фокус побочной оси.

IV. Формула тонкой линзы. Оптическая сила линзы. Увеличение линзы

Формула тонкой линзы вам известна из курса физики 8 класса: 

где D – оптическая сила линзы. Для собирающей линзы фокус линзы положительный F > 0, для рассеивающей линзы – отрицательный F < 0.

Физическую величину, равную отношению высоты изображения к высоте предмета, называют увеличением линзы.

Если изображение предмета увеличенное, то увеличение больше единицы Г > 1, если изображение уменьшенное, то Г < 1.

Оптическая сила линзы – это физическая величина, равная обратной величине фокусного расстояния линзы.

Оптическую силу измеряют в диоптриях:

V. Зависимость преломляющих свойств линзы от показателя преломления и радиусов кривизны линзы

Рассмотрим ход луча от точечного источника, находящегося на главной оптической оси (рис. 179). Угол отклонения луча является внешним углом треугольника он равен сумме внутренних углов не смежных с ним:

Для параксиальных лучей углы имеют малые значения, в радианной мере они равны тангенсам углов:

Запомните! Для действительного предмета d > 0, для мнимого предмета d < 0. Если в расчетах получено то изображение действительное. Если то изображение мнимое.

Переместим источник в точку 2F, которая является центром кривизны линзы, тогда в точке преломления луч станет перпендикулярным касательной к сферической поверхности (рис. 180). Угол, образовавшийся в результате пересечения касательных, обозначим и рассмотрим линзу как тонкую призму. Угол отклонения луча равен преломляющему углу призмы, поскольку стороны углов взаимно перпендикулярны. Расстояние от предмета и изображения до линзы равны радиусам кривизны поверхности.

Соотношение углов (6) примет вид:

Подставив (7) и (8) в формулу тонкой призмы (9), получим:

Сократим на АО, получим

Полученные выражения (10), (11) являются формулами тонкой линзы.

Чем больше относительный показатель преломления вещества линзы и меньше радиус кривизны сферических поверхностей, тем больше оптическая сила линзы.

В случае двояковыпуклая линза рассеивает лучи, ее оптическая сила при этом условии имеет отрицательное значение.

Кусочки науки:

Луч света, падающий на призму, дважды преломляется при прохождении на гранях ОА и ОВ. Если призма сделана из материала оптически более плотного, чем окружающая среда, то луч света отклоняется на угол к основанию призмы:

где – преломляющий угол призмы (рис. 181).

Оптические приборы

I. Угловое увеличение оптического прибора

Основное назначение лупы, микроскопа и телескопа − увеличение угла зрения на рассматриваемые объекты.

Угловое увеличение оптического прибора – это отношение тангенса угла зрения при рассмотрении предмета через оптический прибор к тангенсу угла зрения при рассмотрении предмета невооруженным глазом на расстоянии наилучшего зрения.

Разрешающей способностью оптической системы называют наименьшее расстояние между элементами наблюдаемого объекта, при котором эти элементы еще могут быть отличены один от другого.

Оптический прибор и глаз наблюдателя составляют единую оптическую систему. Оптическая сила системы определяется суммой оптических сил приборов, входящих в систему.

II. Глаз, как оптический прибор

Нормальный глаз в спокойном состоянии дает изображение удаленных предметов. При приближении предметов к глазу наблюдателя кривизна хрусталика увеличивается, фокусное расстояние уменьшается, возрастает угол зрения – угол под которым виден предмет. Для нормального глаза благоприятным расстоянием является  см.  Угол зрения невооруженного глаза определяется расстоянием наилучшего зрения (рис. 182 а):

Способность глаза к аккомодации ограничена, поэтому приблизить предмет непосредственно к глазу невозможно, в таком случае используют оптические приборы.

Вспомните! Изображение, полученное на сетчатке глаза, всегда действительное, уменьшенное, перевернутое. Роль собирающей линзы выполняет хрусталик. Резкость изображения обеспечивается способностью глаза к аккомодации – изменению кривизны поверхностей хрусталика.

III. Лупа

Если предмет расположить в фокусе линзы то после прохождения через нее лучи попадают в глаз человека параллельным пучком. При таком условии нормальный глаз сводит пучок в точку на сетчатке без аккомодации, глаз не утомляется. При этом изображение на сетчатке и угол зрения увеличатся, угол зрения станет равным (рис. 182 б):

Подставим (2) и (3) в формулу (1). Тогда формула углового увеличения лупы примет вид:

Угловое увеличение лупы определяется отношением расстояния наилучшего зрения к фокусу линзы.

IV. Микроскоп

Оптическая система микроскопа состоит из объектива и окуляра (рис. 183). Наиболее благоприятное условие для нормального глаза осуществляется в том случае, когда промежуточное изображение находится в передней фокальной плоскости окуляра В этом случае изображение предмета удаляется в бесконечность, глаз фокусирует лучи на сетчатке без аккомодации.

Определим угловое увеличение по известной формуле:

где – угол зрения для невооруженного глаза, – угол зрения через микроскоп при условии, что изображение объектива лежит в фокальной плоскости окуляра. Подставим (6) и (7) в (5), получим:

Интересно знать! Оптический микроскоп дает возможность различать структуры с расстоянием между элементами до 0,20 мкм, т.е. разрешающая способность такого микроскопа составляет около 0,20 мкм или 200 нм. Предельная разрешающая способность микроскопа имеет предел, обусловленный волновыми свойствами света, она достигается при тысячекратном линейном увеличении.

В формуле (8) отношение является линейным увеличением объектива, представим его как отношение расстояний от линзы до изображения и предмета:

где L − расстояние между фокусами объектива и окуляра.

Поскольку в микроскопах объектив короткофокусный, то формула (9) примет вид:

Подставив (10) в (8), получим:

где − расстояние наилучшего видения;

− фокусные расстояния объектива и окуляра;

L − расстояние между фокусами объектива и окуляра – оптическая длина тубуса микроскопа.

Из формулы (11) с учетом (10) и (4) получим:

Угловое увеличение оптического микроскопа определяется произведением линейных увеличений объектива и окуляра.

Несложно доказать, что линейное увеличение микроскопа также равно произведению линейных увеличений окуляра и объектива:

V. Телескоп

Телескоп – это зрительная труба, предназначенная для наблюдения небесных тел. Телескоп, изготовленный из линз, называют рефрактором. Телескоп, в котором объектив заменен на вогнутое зеркало, называют рефлектором.

Зрительная труба – это оптический прибор, предназначенный для рассмотрения удаленных предметов.

Объектив и окуляр прибора располагаются в тубусе таким образом, чтобы задний фокус объектива совпадал с передним фокусом окуляра При совмещении фокусов лучи из окуляра выходят параллельным пучком, что позволяет наблюдать за объектом без аккомодации, т.е. без напряжения глазных мышц (рис. 184). Объектив дает уменьшенное изображение удаленного предмета который рассматривают через окуляр, как в лупу.

Интересно знать! Все звезды в телескоп видны как светящиеся точки, но благодаря угловому увеличению они отдаляются друг от друга, что позволяет обнаружить двойные, тройные звезды или скопление звезд. Телескоп с диаметром объектива 12,5 см может различить две звезды, находящиеся на угловом расстоянии 1″, полуметровый объектив телескопа позволяет различать две звезды, отстоящие на угловом расстоянии 0,25″.

Угол можно считать равным углу зрения невооруженного глаза ввиду значительной удаленности предмета. Выразим углы зрения через высоту изображения объектива

Угловое увеличение оптического прибора определяется отношением тангенса угла зрения через оптический прибор к тангенсу угла зрения невооруженного глаза:

Угловое увеличение зрительной трубы равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра.

Пример решения задачи:

Мальчик, сняв очки, читает книгу, держа ее на расстоянии d = 16 см от глаз. Какова оптическая сила его очков?

Дано:

d = 16 см

СИ 0,16 м

Решение: Для невооруженного глаза

где ƒ − расстояние от хрусталика глаза до сетчатки.

Если надеть очки, то

где d₀ = 25 см − расстояние наилучшего зрения.

Решая совместно уравнения (1) и (2) для оптической силы очков получим:  

Ответ: D_очк  = – 2,25 дптр.

Итоги

Закон отражения:

Угол падения равен углу отражения Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

Закон преломления:

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух сред есть величина постоянная. Она равна относительному показателю преломления второй среды относительно первой. Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

Глоссарий

Абсолютный показатель преломления – физическая величина, равная отношению скорости распространения света в вакууме к скорости распространения света в данной среде.

Главная оптическая ось линзы – прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы.

Оптический центр линзы – точка пересечения главной оптической оси с плоскостью линзы.

Оптическая длина тубуса микроскопа – расстояние между фокусами объектива и окуляра.

Относительный показатель преломления – физическая величина, равная отношению скорости распространения света в первой среде к скорости распространения света во второй среде.

Побочная оптическая ось линзы – любая прямая, проведенная через оптический центр линзы.

Телескоп – прибор, предназначенный для наблюдения небесных тел.

Увеличение линейное – физическая величина, равная отношению высоты изображения к высоте предмета.

Угловое увеличение оптического прибора – отношение тангенса угла зрения при рассмотрении предмета через оптический прибор к тангенсу угла зрения, при рассмотрении предмета невооруженным глазом на расстоянии наилучшего зрения.

Прямолинейное распространение света

Геометрической оптикой называют раздел оптики, в котором изучаются за-
коны распространения света в прозрачных средах на основе представления о нем как о совокупности световых лучей. Под лучом понимают линию, вдоль которой переносится энергия электромагнитной волны. Условимся изображать оптические лучи графически с помощью геометрических лучей со стрелками. В геометрической оптике волновая природа света не учитывается.

Уже в начальные периоды оптических исследований были экспериментально
установлены четыре основных закона геометрической оптики:

• закон прямолинейного распространения света;
• закон независимости световых лучей;
• закон отражения световых лучей;
• закон преломления световых лучей.

Впервые закон прямолинейного распространения света, составляющий основу геометрической оптики, был сформулирован в III в. до н. э. в труде Евклида «Оптика и катооптика». Закон утверждает, что:

• свет в прозрачной однородной среде распространяется прямолинейно.

Доказательством закона служит образование полной тени и полутени, геометрически подобных препятствиям. Источник дает полную тень (рис. 265), если его размеры значительно меньше расстояния до препятствия, отбрасывающего тень.

Такой источник принято называть точечным. Подчеркнем, что точечный источник света является идеализацией, подобно материальной точке в механике.

Несколько источников света, или неточечный (протяженный) источник помимо области полной тени, создают также и область полутени (рис. 266).

В этих законах использовались понятия световой пучок или световой луч, т. е. предполагалось, что пучок и луч бесконечно тонкие.

Световые пучки получают при пропускании излучения, идущего от удаленного источника, через отверстие (диафрагму) в экране 1 (рис. 267).

Эксперименты показывают, что если диаметр отверстия D гораздо больше длины световой волны и расстояние l от отверстия до экрана 2 не очень велико, то выходящий из диафрагмы пучок можно считать параллельным.

Если же диаметр диафрагмы оказывается справедливо сравним с длиной световой волны, то выходящий световой пучок становится расходящимся, свет проникает в область геометрической тени, происходит дифракция света (d > D), т. е. проявляется волновой характер светового излучения. Следует отметить, что дифракция будет наблюдаться на очень больших расстояниях от экрана даже при диаметре диафрагмы

Таким образом, луч — чисто геометрическое понятие. Луч указывает направление, перпендикулярное фронту волны, в котором опа переносит энергию. 

Лучи, выходящие из одной точки, называют расходящимися, а собирающиеся в одной точке — сходящимися. Примером расходящихся лучей может служить любой точечный источник света, а примером сходящихся — совокупность лучей, попадающих в зрачок нашего глаза от различных предметов.
Пересекающиеся световые лучи не взаимодействуют друг с другом в рамках геометрической оптики, т. е. «исказить» изображение с помощью других лучей невозможно. Факт независимости распространения световых лучей от наличия (или отсутствия) других лучей устанавливается в следующем законе геометрической оптики.

Закон независимости световых лучей:

• световые лучи распространяются независимо друг от друга.

Целый ряд оптических явлений (отражение облаков в воде, отражение предметов в зеркальной или любой полированной поверхности и т. д.) способствовали открытию следующего закона геометрической оптики — закона отражения света (рис. 268):

• угол отражения равен углу падения
• луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.

Эксперименты показывают, что существуют два вида отражения света: зеркальное и рассеянное. Поверхность, размеры неровностей которой меньше длины световой волны, называют зеркальной. Лучи света, падающие на такую плоскую поверхность параллельным пучком, после отражения остаются параллельными. Такое отражение называют зеркальным (рис. 269).

Поверхность, размеры неровностей которой больше длины световой волны, отражает лучи света по всевозможным направлениям и называется шероховатой, а отраженный свет — рассеянным или диффузным (рис. 270).

Используя закон отражения света, можно построить изображение предмета АВ в плоском зеркале (рис. 271), представляющем собой плоскую отражающую поверхность. Построив ход лучей 1 и 2 от точки А после отражения от зеркала KL, продолжим их до пересечения в точке А’. Аналогичные построения
сделаем для точки В, найдем ее изображение — точку В’. Глазу наблюдателя будет казаться, что лучи вышли из точек А’ и В’, т. е. оттуда, где будет находиться мнимое изображение А’В’ предмета АВ.

• Заказать решение задач по физике

В оптике изображение называется действительным, если оно образовано самими лучами (т. е. в данную точку поступает световая энергия), если же изображение образовано не самими лучами, а их продолжениями, то говорят, что изображение мнимое (световая энергия не поступает в данную точку).

Изображение называется прямым, если верх и низ изображения ориентированы аналогично самому предмету. Если же изображение перевернуто, то его называют обратным или перевернутым.

Таким образом, изображение предмета в плоском зеркале — мнимое прямое, в натуральную величину. Оно симметрично предмету относительно плоскости зеркала и находится на таком же расстоянии за плоскостью зеркала, как и сам предмет (см. рис. 271).

Преломление света

Изменение направления распространения луча света при прохождении через границу раздела двух сред называется преломлением света.
Для наблюдения данного явления достаточно поместить карандаш в стакан с водой и посмотреть на него со стороны — карандаш будет казаться «надломленным» (преломленным) (рис. 273), оставаясь при этом совершенно целым.

Первые упоминания о преломлении света в воде и стекле встречаются в труде Клавдия Птолемея «Оптика», вышедшего в свет во II в. нашей эры.
Закон преломления света был экспериментально установлен в 1621 г. голландским ученым Виллебродом Снеллиусом и независимо от него теоретически обоснован в 1637 г. Рене Декартом.
 

Закон преломления световых лучей:

• отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред;
• падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным в точке падения луча к плоскости границы раздела двух сред

Здесь — абсолютные показатели преломления сред.
Рассмотрим луч, падающий на плоскую границу раздела двух прозрачных сред под некоторым углом (рис. 274).

При этом наряду с отраженным лучом будет существовать и преломленный луч. Он распространяется во второй среде под некоторым углом у в соответствии с законом преломления.

Принцип Ферма

Хотя законы геометрической оптики были открыты экспериментально, однако все они (за исключением закона независимости световых лучей) являются следствием принципа «кратчайшего пути» или «минимального времени», сформулированного в 1679 г. французским математиком Пьером Ферма:
распространение света из одной точки среды в другую происходит по траектории,  которой соответствует минимальное время по сравнению с другими возможными траекториями.

При помощи этого принципа Ферма вывел закон преломления света. Из этого принципа также следуют законы прямолинейного распространения и отражения света, т. е. принцип Ферма является наиболее общим принципом геометрической оптики.

Действительно, в однородной прозрачной среде, где скорость света постоянна минимальному времени распространения света между двумя точками соответствует движение по прямой, т. е. приходим к закону прямолинейного распространения света.

При отражении от плоского зеркала в силу симметрии можем сказать, что сумма |АВ| + |ВС| (рис. 275) будет минимальна в случае, когда Это как раз и соответствует закону отражения света.

Впервые данный факт геометрически доказал Герон Александрийский (II в. н. э.) задолго до появления принципа Ферма.

Анализируя время распространения луча между двумя точками при преломлении света, можно показать, что принцип Ферма выполняется и в этом случае, т. е. при движении по «траектории» преломления свету потребуется наименьшее время но сравнению с любой другой возможной «траекторией».

Для законов отражения и преломления выполняется принцип обратимости световых лучей:

• луч света, распространяющийся по пути отраженного (преломленного) луча, отразившись в точке О от границы раздела сред, распространяется дальше по пути падающего луча. Иными словами можно менять падающий и отраженный (преломленный) лучи местами, т. е., не изменяя хода луча, поменять направление его распространения.

На границе раздела двух прозрачных сред обычно одновременно с преломлением наблюдается отражение волн.

Согласно закону сохранения энергии сумма энергий отраженной и преломленной волн равна энергии падающей волны 

Примерный баланс энергий между отраженной и преломленной волнами приведен на рисунке 276.

Как следует из закона преломления, при переходе света из оптически более плотной среды I (с большим абсолютным показателем преломления ) в оптически менее плотную среду II (с меньшим показателем преломления угол преломления становится больше угла падения (рис. 277).

По мере увеличения угла падения, при некотором его значении угол преломления станет т. е. свет не будет попадать во вторую среду.
Энергия преломленной волны при этом станет равной нулю, а энергия отраженной волны будет равна энергии падающей. Следовательно, начиная с этого угла падения вся световая энергия отражается от границы раздела этих сред в среду I.

Это явление называется полным отражением (см. рис. 277). Угол  при котором начинается полное отражение, называется предельным углом полного отражения. Он определяется из закона преломления при условии, что угол преломления

Таким образом, при углах падения, больших преломленный луч отсутствует.

Закон преломления света позволяет определять ход лучей в различных оптических системах.

 

На рисунке 278 показан ход светового луча в плоскопараллельной пластинке толщиной d, находящейся в воздухе. Согласно закону преломления на первой и второй границах раздела для луча, падающего под углом на первую границу,

Здесь — угол преломления на первой границе, — угол падения луча на вторую границу,  — угол преломления на второй границе, n — показатель преломления вещества пластинки.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВК — перпендикулярах к первой и второй параллельным границам — равны, т. е. Следовательно, Откуда следует, что

Таким образом, луч света, проходя через плоскопараллельную пластинку, с обеих сторон которой находится одна и та же среда, смещается параллельно своему начальному направлению. Поэтому все предметы, если смотреть на них сквозь прозрачную плоскопараллельную пластинку под углом, не равным нулю, будут казаться смещенными на некоторое расстояние h. Найдем, от каких параметров пластинки зависит это смещение.

Из треугольника АВС следует, что

Из треугольника ABD находим

Из этих двух соотношений получаем

С учетом закона преломления и тригонометрического тождества находим

Окончательно, смещение h между направлениями входящего и выходящего лучей можно определить из соотношения

Откуда видно, что h при данном угле падения зависит от толщины d пластинки и ее показателя преломления n.

На рисунке 279 показан ход луча через стеклянную призму, находящуюся в воздухе. Грани, через которые проходит луч, называются преломляющими гранями; их ребро — преломляющим ребром, а угол между ними — преломляющим углом призмы. Угол между направлениями входящего и выходящего лучей называется углом отклонения:

Если угол падения на грань призмы и преломляющий угол призмы малы, то малыми будут и углы Поэтому в законах преломления отношение синусов можно заменить отношением углов, выраженных в радианах, т. е. Из геометрических соотношений следует равенство Используя эти соотношения для угла отклонения, находим

Из последнего равенства следует, что, во-первых, чем больше преломляющий угол тем больше угол отклонения лучей призмой; во-вторых, угол отклонения лучей зависит от показателя преломления вещества призмы. А так как показатель преломления зависит от частоты волны n(v), то при падении на призму белого света он будет разлагаться в спектр.

Знание наименьшего угла отклонения лучей призмой позволяет определить показатель преломления вещества, из которого она изготовлена:

Направив пучок лучей белого света на призму, мы обнаружим его сложную структуру: на экране за призмой появится радужная полоска — спектр (рис. 280).

 

Образование спектра обусловлено тем, что призма, вследствие дисперсии, по-разному преломляет лучи, соответствующие различным длинам волн. Порядок следования лучей в спектре легко запомнить с помощью известной фразы:

• красный — 770—630 нм    каждый
• oранжевый — 630—590 нм    охотник
• желтый — 590—570 нм    желает
• зеленый — 570—495 нм    знать.
• голубой, синий — 495—435 нм    где сидят
• фиолетовый — 435—390 нм    фазаны

Явление дисперсии совместно с  полным отражением приводит к образованию радуги, вследствие преломления солнечных лучей на мельчайших водяных капельках во время дождя, к нежелательному «окрашиванию» изображений в оптических системах (хроматическая аберрация) и т. д.

Линза. Построение изображения в линзах

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллель-ный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей.

Как известно, плоское зеркало даст мнимое изображение предмета в натуральную величину. Однако для практических нужд чаще необходимы изображения увеличенные или уменьшенные. Эта задача решается с помощью линз (или криволинейных зеркал).
 

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное с двух сторон криволинейными поверхностями. Чаще всего применяются линзы с поверхностями, имеющими сферическую форму (сферические сегменты).
По форме ограничивающих поверхностей различают шесть типов линз. На рисунке 281, а. б показаны условные обозначения линз и типы линз.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

• толщина в центре больше толщины у краев;

• ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Рассмотрим основные характеристики линзы (рис. 282, а, б).

Прямая линия, на которой лежат центры обеих сферических поверхностей линзы, называется главной оптической осью.

Точка О линзы, проходя через которую луч не преломляется, называется оптическим центром.

Прямая линия, проходящая через оптический центр линзы, не совпадающая с главной оптической осью, называется побочной оптической осью. Каждая линза имеет только одну главную оптическую ось и бесконечно много побочных осей.

Плоскость, проходящая через оптический центр тонкой линзы перпендикулярно главной оптической оси, называют главной плоскостью линзы.

Точка, в которую собирается параксиальный пучок света после преломления в линзе, распространяющийся параллельно главной оптической оси, называется главным фокусом F линзы. Расстояние OF от оптического центра линзы до се главного фокуса называется фокусным расстоянием линзы.

Плоскость, проходящая через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость собирающей линзы является геометрическим местом точек, в которых пересекаются параллельные лучи, падающие на линзу под любым углом к главной оптической оси.

Пучок света, направленный на собирающую линзу параллельно побочной оптической оси, собирается в побочном фокусе, лежащем в фокальной плоскости.

Обычно для построений в линзах используют три характерных (стандартных) луча (рис. 283, а, б):

• луч, идущий через оптический центр О линзы, не испытывает преломления;
• луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления проходит через ее главный фокус;
• луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления идет параллельно главной оптической оси.

Для построения изображения в линзе достаточно построить ход двух лучей от каждой точки предмета. Изображение находится в месте пересечения лучей после преломления на поверхностях линзы (действительное изображение) или в месте пересечения продолжений лучей (мнимое изображение).
В зависимости от типа линзы и расстояния до нее можно получать изображения: увеличенные и уменьшенные, прямые и обратные (перевернутые), действительные и мнимые (рис. 284).

Все приведенные примеры построений относились к предметам, которые имели определенные размеры. А как найти построением положение изображения точечного источника света, находящегося на главной оптической оси?

Для этого необходимы два любых луча, один из которых — самый простой, — проходящий не преломляясь через оптический центр линзы. Для построения хода другого пользуются побочной оптической осью. Рассмотрим точечный источник, находящийся на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 285). Проведем из точки S произвольный луч SA. Для того чтобы найти ход луча после преломления в линзе, проведем побочную оптическую ось параллельную лучу SA. Нарисуем сечение KL фокальной плоскости линзы.

Точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью KL является побочным фокусом Следовательно, луч SA, преломившись в линзе, должен пройти через побочный фокус Продлевая прямую до пересечения с главной оптической осью, находим точку которая является изображением точечного источника S.

Положение изображения точечного источника, находящегося на главной оптической оси рассеивающей линзы, найдите построением самостоятельно.

Формула тонкой линзы

Между расстояниями от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная зависимость от фокусного расстояния линзы, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей (рис. 289).

Пусть расстояние от предмета АВ до линзы d, расстояние от линзы до изображения АВ f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до левого фокуса а, расстояние от изображения до правого фокуса а’.
Из рисунка видно, что следовательно,

 

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h:

Из соотношения (I) следует формула Ньютона:
С учетом того, что получаем формулу линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал прелом-ление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

в случае собирающей линзы действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными; в случае рассеивающей линзы мнимых источника и изображения величины F, d, f считают отрицательными.
Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F<0 — рассеивающей (отрицательной).

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — диоптрия (1 дптр).

Одна диоптрия соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием один метр: 1 дптр=

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды (вспомните, как плохо мы видим под водой без плавательных очков).
Современные оптические приборы для улучшения качества изображений используют системы линз. Оптическая сила D системы тонких линз, сложенных вплотную, равна сумме их оптических сил 

Оптические приборы: лупа, мультимедийный проектор, фотоаппарат

Познакомимся с простейшими оптическими приборами, широко используемыми человеком.

Лупа — оптический прибор (собирающая линза), позволяющий увеличить угол зрения (т. е. увеличить мелкие детали предметов).
Лупа представляет собой короткофокусную линзу (F от 10 мм до 100 мм), которая располагается между глазом и предметом (рис. 290).

Мнимое увеличенное изображение предмета получается на расстоянии наилучшего зрения — 25 см для нормального глаза (или на бесконечности). Таким образом, изображение предмета рассматривается глазом практически без напряжения.

Видимое увеличение, даваемое лупой:

где — расстояние наилучшего зрения, F — фокусное расстояние лупы.

Вследствие того, что м, лупы имеют увеличение от 2,5 до 25 раз (рис. 291).

Лупы с увеличением Г > 40 не применяются из-за сильных искажений изображения или малости обзора.

 

Мультимедийный (лазерный) проектор (рис. 292) — оптическое устройство, с помощью которого на экране получают действительное (прямое или обратное) увеличенное изображение, «снятое» с экрана компьютера, телевизора или других источников видеосигнала.

Для формирования изображения в мультимедиа-проекторах используются различные базовые технологии: жидкокристаллическая технология, технология цифровой обработки света или технология формирования цифровых изображений методом отражения.

При формировании цифрового изображения методом отражения источник света 1 при помощи разделяющих призм 2 освещает оптическую матрицу с изображением 3 и при помощи системы проекционных линз 4 передает увеличенное изображение на экран 5 (рис. 293).

Популярность мультимедийных проекторов обусловлен их универсальностью, поскольку помимо компьютерного изображения они поддерживают практически вес существующие стандарты видеозаписей, а также полностью совместимы с форматом телевидения высокой четкости.

Мультимедиа-проекторы активно работают на научных конференциях, вы-
семинарах и т. д., поскольку по размерам изображения и по возможностям его настройки с ними не способны конкурировать ни телевизоры, ни плазменные панели.

Так, например, мультимедиа-проекторы позволяют осуществить  обратную проекцию или проекцию изображения на просветный экран, при которой зрители и проекционное оборудование находятся по разные стороны экрана. При такой установке проектора докладчик может находиться непосредственно перед экраном, не заслоняя собой проекцию, а освещение в помещении не так сильно влияет на качество изображения.

 

Фотоаппарат (рис. 294) — прибор, предназначенный для получения действительных уменьшенных обратных изображений предметов на фотопленке. При этом предметы могут быть расположены на различном удалении от точки съемки.

Фотоаппарат состоит из закрытой светонепроницаемой камеры и системы линз, называемых объективом (О). С помощью перемещения объектива добиваются наводки на резкость, при которой изображение предмета АВ формируется на фотопленке. В противном случае изображение А’В’ получается нечетким (размытым). Количество световой энергии, поступающей на пленку, определяется размерами диафрагмы и временем открытия затвора (выдержкой).

Сегодня на смену пленочным приходят электронные (цифровые) фотокамеры, в которых изображение записывается не на фотопленку, а на специальный чувствительный элемент (матрицу), с которого информация считывается и хранится в электронном (цифровом) виде, как в памяти компьютера. К достоинствам электронных камер можно отнести возможность «мгновенного» просмотра сделанной фотографии, восстановление ресурсов памяти после переписывания информации в компьютер, высокий темп съемки (10 и более кадров в секунду).

Зрение человека не в состоянии фиксировать очень быстрые и очень медленные изменения положения объекта. Фотоаппарат благодаря возможности фотографировать с различными выдержками от тысячных долей секунды до  нескольких секунд позволяет хронометрировать события, визуально «неулавливаемые».

Глаз, очки

Основную часть информации (примерно 90 %) об окружающем мире мы получаем с помощью органов зрения.

Глаз представляет собой сложную оптическую систему, подобную фотоаппарату (рис. 295).

Преломляющая система глаза подобна объективу фотоаппарата, а сетчатка — фоточувствительному слою фотопленки.

У глаза имеется радужная оболочка (окрашенная часть глаза), которая играет роль диафрагмы и автоматически регулирует количество попадающего в глаз света. Зрачок — отверстие в радужной оболочке, через которое проходит свет.

Сетчатка играет роль светочувствительной пленки, находится на задней поверхности глаза. Она состоит из «палочек» (нервные волокна) и «колбочек»
(рецепторы), которые преобразуют световую энергию в электрические сигналы, распространяющиеся по нервным волокнам. Днем свет воспринимается колбочками, а ночью — палочками. Днем мы отчетливо видим мелкие предметы и различаем их цвет. Слабо освещенные предметы (например, ночью) мы видим только в черно-белых тонах (бесцветными). Недаром говорят, что «ночью все кошки серы». Желтое пятно — область диаметром около 0,25 мм — находится в центре сетчатой оболочки, в которой достигается особая острота зрения и наиболее четко различаются цвета. Слепое пятно — место входа глазного нерва — это область сетчатки, которая не участвует в формировании изображения. Роговица — служит предохранительным покрытием и является первой поверхностью, преломляющей свет. Хрусталик — это эластичное линзоподобное тело, которое осуществляет настройку нашего зрения на различные расстояния. В оптической системе глаза фокусировка изображения на сетчатку называется аккомодацией (от латинского слова commodus — удобный). У человека аккомодация происходит за счет увеличения или уменьшения выпуклости хрусталика, которое осуществляется с помощью цилиарных мышц. При этом изменяется оптическая сила глаза.
Точка, видимая глазом при расслабленной цилиарной мышце, называется дальней точкой, а точка, видимая при максимальном напряжении этой мышцы, — ближней точкой.

 

Расстояние наилучшего зрения — это расстояние от предмета до глаза, при котором глаз не устает и угол зрения достаточно велик. Размер изображения на сетчатке (рис. 296) определяется углом зрения с вершиной в оптическом центре глаза и лучами, направленными на крайние точки предмета.

От бесконечно удаленного предмета в глаз попадает пучок параллельных лучей. В этом случае аккомодации не требуется. Если предмет приближается, то лучи становятся расходящимися. Для того чтобы сделать их снова параллельными, необходимо изменить оптическую силу глаза так, чтобы его фокусное расстояние совпало с расстоянием до предмета, т. е. F=d. В этом случае оптическая система глаза соберет параллельные лучи на сетчатке.

Оптическую силу аккомодационной добавки или аккомодации найдем из условия

Зрение человека с нормальным зрением характеризуется понятием «нормальный глаз», т. е. расстояние наилучшего зрения около 25 см, а предел зрения (дальняя точка) находится на бесконечности.

Для нормального глаза преломляющая сила хрусталика без аккомодации D= 19,11 дптр, а при максимальной аккомодации — = 33,06 дптр; оптическая сила всего глаза, соответственно, D = 58,64 дптр и = 70,57 дптр. Пользуясь этими данными, можно определить минимальное расстояние, на котором нормальный глаз еще может ясно видеть предмет. Максимально возможная аккомодация обеспечивает изменение оптической силы нормального глаза на = 11,93 дптр. Этому изменению оптической силы соответствует минимальное расстояние = 8,4 см. Следует отметить, что такая аккомодация возможна только в молодости (до 20 лет). 

С возрастом возможность аккомодации быстро уменьшается в основном из-за уплотнения хрусталика, теряющего способность достаточно сжиматься. Пожилой человек не может отчетливо видеть близкие предметы, а также различать буквы в газетах и книгах. К пятидесяти годам расстояние наилучшего зрения увеличивается в среднем до 50 см.
С возрастом, по болезни или при несоблюдении гигиены могут появиться дефекты зрения. Два наиболее распространенных дефекта — близорукость и дальнозоркость.
 

Близорукость (миопия) — дефект зрения, при котором глаз видит удаленные предметы не резко, а расплывчато (предел зрения не равен бесконечности). Изображения предметов при этом не попадают на сетчатку глаза, а фокусируются перед ней (точка М на рис. 297, а). Для исправления этого дефекта зрения используют очки с рассеивающими линзами (рис. 297, б). Поскольку оптическая сила этих линз отрицательна, то в повседневной жизни такие очки называют отрицательными.

 

Дальнозоркость (гиперопия) — дефект зрения, при котором глаз не в состоянии видеть резко близкие объекты, хотя удаленные предметы он видит хорошо. Изображения предметов при дальнозоркости получаются за сетчаткой (точка Р на рис. 298, а), и для коррекции зрения необходимо применять собирающие линзы (рис. 298, б), оптическая сила которых положительна (положительные очки).

Оптические явления в атмосфере

Атмосфера нашей планеты представляет собой достаточно интересную оптическую систему, показатель преломления которой уменьшается с высотой вследствие уменьшения плотности воздуха. Таким образом, земную атмосферу можно рассматривать как «линзу» гигантских размеров, повторяющую форму Земли и имеющую монотонно изменяющийся показатель преломления.

Это обстоятельство приводит к появлению целого ряда оптических явлений в атмосфере, обусловленных преломлением (рефракцией) и отражением (реф-лекцией) лучей в ней.

Рассмотрим некоторые наиболее существенные оптические явления в атмосфере.
 

Атмосферная рефракция — явление искривления световых лучей при прохождении света через атмосферу.
С высотой плотность воздуха (значит, и показатель преломления) убывает. Представим себе, что атмосфера состоит из оптически однородных горизонтальных слоев, показатель преломления в которых меняется от слоя к слою (рис. 299).

При распространении светового луча в такой системе он будет в соответствии с законом преломления «прижиматься» к перпендикуляру к границе слоя. Но плотность атмосферы уменьшается не скачками, а непрерывно, что приводит к плавному искривлению и повороту луча на угол а при прохождении атмосферы.

В результате атмосферной рефракции мы видим Луну, Солнце и другие звезды несколько выше того места, где они находятся на самом деле.

По этой же причине увеличивается продолжительность дня (в наших широтах на 10—12 мин), сжимаются диски Луны и Солнца у горизонта. Интересно, что максимальный угол рефракции составляет 35′ (для объектов у линии горизонта), что превышает видимый угловой размер Солнца (32′).

Из этого факта следует: в тот момент, когда мы видим, что нижний край светила коснулся линии горизонта, на самом деле солнечный диск находится уже под горизонтом (рис. 300).

 

Мерцание звезд также связано с астрономической рефракцией света. Давно было подмечено, что мерцание наиболее заметно у звезд, находящихся вблизи линии горизонта. Воздушные потоки в атмосфере изменяют плотность воздуха с течением времени, что приводит к кажущемуся мерцанию небесного светила. Космонавты, находящиеся на орбите, никакого мерцания не наблюдают.

В жарких пустынных или степных районах и в полярных областях сильный прогрев или охлаждение воздуха у земной поверхности приводит к появлению миражей: благодаря искривлению лучей становятся видимыми и кажутся близко расположенными предметы, которые на самом деле расположены далеко за горизонтом.

Иногда подобное явление называется земной рефракцией. Возникновение миражей объясняется зависимостью показателя преломления воздуха от температуры. Различают нижние и верхние миражи.
 

Нижние миражи можно увидеть в жаркий летний день на хорошо прогретой асфальтовой дороге: нам кажется, что впереди на ней есть лужи, которых на самом деле нет. В данном случае мы принимаем за «лужи» зеркальное отражение лучей от неоднородно разогретых слоев воздуха, находящихся в непосредственной близости от «раскаленного» асфальта.

 

Верхние миражи отличаются значительным разнообразием: в одних случаях они дают прямое изображение (рис. 301, а), в других — перевернутое (рис. 301, б), могут быть двойными и даже тройными. Эти особенности связаны с различными зависимостями температуры воздуха и показателя преломления от высоты.

Атмосферные осадки приводят к появлению в атмосфере эффектных оптических явлений. Так, во время дождя удивительным и незабываемым зрелищем является образование радуги, которое объясняется явлением различного преломления (дисперсии) и отражения солнечных лучей на мельчайших капельках в атмосфере (рис. 302).

В особо удачных случаях мы можем увидеть сразу несколько радуг, порядок следования цветов в которых взаимообратен.

Световой луч, участвующий в формировании радуги, испытывает два преломления и многократные отражения в каждой дождевой капле. В данном случае, несколько упрощая механизм образования радуги, можем сказать, что сферические дождевые капельки играют роль призмы в опыте Ньютона по разложению света в спектр.

Вследствие пространственной симметрии радуга видна в виде полуокружности с углом раствора около 42°, при этом наблюдатель (рис. 303) должен находиться между Солнцем и каплями дождя, спиной к Солнцу.

Преломление света в кристалликах льда, сопровождающееся разложением в спектр, приводит к появлению сравнительно редкого и не менее красивого оптического явления гало (рис. 304).

Гало проявляется в виде кругов (иногда столбов, крестов) вокруг Солнца и Луны. Для появления яркого гало необходимо достаточное количество ледяных кристаллов правильной формы.

Разнообразие цветов в атмосфере объясняется закономерностями рассеяния света на частичках различных размеров. Вследствие того, что синий цвет рассеивается сильнее, чем красный, — днем, когда Солнце находится высоко над горизонтом, мы видим небо голубым. По этой же причине вблизи линии горизонта становится красным и не таким ярким, как в зените. Появление цветных облаков также связано с рассеянием света на частичках различных размеров в облаке.

Основные формулы в геометрической оптике

Предельный угол полного отражения:

Формула тонкой линзы:    

Оптическая сила линзы:   

Поперечное увеличение: