Как найти изгибающие моменты в точке

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском
поперечном изгибе в поперечном сечении
балки возникают два внутренних силовых
фактора
и.

Перед определением
иопределяют реакции опор балки (рис. 6.3,
а), составляя уравнения равновесия
статики.

Для определения
иприменим метод сечений. В интересующем
нас месте сделаем мысленный разрез
балки, например, на расстоянииот левой опоры. Отбросим одну из частей
балки, например правую, и рассмотрим
равновесие левой части (рис. 6.3, б).
Взаимодействие частей балки заменим
внутренними усилиямии.

Установим следующие правила знаков для
и:

• Поперечная сила
  в сечении положительна, если ее векторы
  стремятся вращать рассматриваемое
  сечение по часовой стрелке;

• Изгибающий момент
  в сечении положителен, если он вызывает
  сжатие верхних волокон.

Рис. 6.3

Для определения данных усилий используем
два уравнения равновесия:

1.
;;.

2.
;

;

Таким образом,

а) поперечная сила
в поперечном сечении балки численно
равна алгебраической сумме проекций
на поперечную ось сечениявсех внешних сил, действующих по одну
сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении
балки численно равен алгебраической
сумме моментов (вычисленных относительно
центра тяжести сечения) внешних сил,
действующих по одну сторону от данного
сечения.

При практическом вычислении руководствуются
обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится
   повернуть балку относительно
   рассматриваемого сечения по часовой
   стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для
   она дает положительное слагаемое.

2. Если внешняя нагрузка создает относительно
   рассматриваемого сечения момент,
   вызывающий сжатие верхних волокон
   балки (рис. 6.4, а), то в выражении для
   в этом сечении она дает положительное
   слагаемое.

Рис. 6.4

Построение эпюр ив балках.

Рассмотрим двухопорную балку
(рис. 6.5, а). На балку действует в точкесосредоточенный момент,
в точке– сосредоточенная силаи на участке– равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью.

Определим опорные реакции
и(рис. 6.5, б).
Равнодействующая распределенной
нагрузки равна,
а линия действия ее проходит через центр
участка.
Составим уравнения моментов относительно
точеки.

Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянииот точки А(рис. 6.5, в).
Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянииот точки(рис. 6.5, г).Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от
координаты сечения
,
следовательно, во всех сечениях участкапоперечные силы одинаковы и эпюраимеет вид прямоугольника. Изгибающий
момент

Изгибающий момент изменяется по линейному
закону. Определим ординаты эпюры для
границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянииот точки(рис. 6.5, д).Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному
закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

.

Эпюра изгибающих моментов на этом
участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение
изгибающего момента, приравниваем к
нулю производную от изгибающего момента
по абсциссе сечения
:

Отсюда

Для сечения с координатой
значение изгибающего момента будет
составлять

В результате получаем эпюры поперечных
сил (рис. 6.5, е) и изгибающих
моментов(рис. 6.5, ж).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 марта 2021 года; проверки требует 1 правка.

Изгибающий момент — момент внешних сил относительно нейтральной оси сечения балки или другого твёрдого тела.

Основные понятия[править | править код]

Изгибающий момент вычисляется, как произведение приложенной статической силы (включая реакции опор) на кратчайшее расстояние от вектора этой силы до нейтральной оси сечения. Если таких сил несколько, то изгибающие моменты от каждой силы складываются с учётом знака. Отсюда понятно, что в каждом сечении тела изгибающие моменты могут различаться.

Для сечения, находящегося в равновесии, изгибающий момент равен моменту внутренних сил относительно нейтральной оси сечения. Внутренние силы можно представить, если мысленно удалить часть тела по одну сторону от сечения и заменить её внешними силами так, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии.

Если других воздействий нет (прямой чистый изгиб), то сечение при деформации изгиба остается плоским и поворачивается на малый угол. В реальности изгибающий момент часто сочетается со сдвигающими, растягивающими, крутящими и другими внешними силами.

Использование в расчетах[править | править код]

Определение изгибающего момента является очень важным для расчета конструкций на прочность. При изгибающем воздействии часть стержня (волокна), расположенная по одну сторону от нейтральной оси, растягивается, а другая — сжимается. Наибольшие напряжения возникают в крайних волокнах стержня. Если они превышают прочность материала, конструкция разрушается. Связь между внутренними напряжениями и изгибающим моментом была впервые математически выражена Ш. Кулоном в 1773 году ^[1].

Простейшие случаи вычисления изгибающего момента[править | править код]

Для консоли длиной l с нагрузкой P на конце консоли изгибающий момент увеличивается от нуля на конце консоли до P*l.

Для консоли, равномерно загруженной нагрузкой q, изгибающий момент увеличивается от нуля на конце консоли до q l² / 2.

Для балки, изображенной на рисунке,

.

Виды изгибающих моментов[править | править код]

• Волновой изгибающий момент; определяется на миделе судна, находящегося на волне
• Положительный изгибающий момент; в машиностроении принято считать положительным момент на сжатых волокнах балки, в строительстве — на растянутых
• Отрицательный изгибающий момент

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Момент изгибающий // Строительный словарь.

Пример решения задачи на построение эпюры внутренних изгибающих моментов M_x для стальной консольной балки нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.

Задача

Рассмотрим порядок построения эпюры изгибающих моментов M_x для консольной балки закрепленной в жесткой заделке.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Пример решения

Ранее для данной балки уже были рассмотрены примеры определения опорных реакций и построения эпюры поперечных сил Q_y.

Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.

Для построения эпюры изгибающих моментов M_x запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Другие видео

Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Q_y.

Рассмотрим I силовой участок:

Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.

I с.у. (AB) 0 ≤ z₁≤ 0,5м

Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.

Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.

По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:

M_xI=Σm_i=M+R∙z₁=30+60z₁

В выражении переменная z₁ в первой степени, поэтому эпюра M_x на первом участке будет иметь вид прямой линии.

Рассчитаем значения M_xI на границах участка, т.е. при z₁=0 и при z₁=0,5м

M_xI (z₁=0)=30кНм
M_xI (z₁=0,5м)=60кНм

Переходим на второй силовой участок:

Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.

Эта часть балки изгибается силой F и распределенной нагрузкой q.

II с.у. (BC) 0 ≤ z₂ ≤ 1м
M_xII=Σm_i=-q∙z₂(z₂/2)+F∙z₂= -50∙z₂²+40∙z₂

Получено выражение с переменной z₂ во второй степени, значит, эпюра M_x на втором участке будет иметь вид параболы.

Видео про построение эпюр:

Другие видео

Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения M_x на границах и в середине II силового участка, то есть при z₂=0, z₂=1м и z₂=0,5м.

M_xII(z₂=0)=0
M_xII(z₂=0,5м)=7,5кНм
M_xII(z₂=1м)= -10кНм

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов M_x (готовую эпюру Q_y перенесем из ранее рассмотренной задачи)

I с.у. (AB) 0 ≤ z₁ ≤ 0,5м.
M_xI=30+60z₁ (прямая)
M_xI(z₁=0)=30кНм
M_xI(z₁=0,5м)=60кНм

II с.у. (BC) 0 ≤ z₂ ≤ 1м
M_xII= -50z₂²+40z₂ (парабола)
M_xII(z₂=0)=0
M_xII(z₂=0,5м)=7,5кНм
M_xII(z₂=1м)= -10кНм

Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Q_y.

Q_y — первая производная от M_x. Поэтому в том месте, где Q_y пересекает базовую линию (т.е. Q_y=0) на эпюре M_x будет экстремум.

Видео про расчет экстремума эпюры:

Другие видео

Рассчитаем значение экстремума эпюры M_x на II участке балки.

Для этого:

Отметив эту точку в области эпюры где Q_y=0 соединим ее с тремя другими параболой.

Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры M_x.

Расчеты на прочность >
Другие примеры решения задач >

From Wikipedia, the free encyclopedia

In solid mechanics, a bending moment is the reaction induced in a structural element when an external force or moment is applied to the element, causing the element to bend.^[1][2] The most common or simplest structural element subjected to bending moments is the beam. The diagram shows a beam which is simply supported (free to rotate and therefore lacking bending moments) at both ends; the ends can only react to the shear loads. Other beams can have both ends fixed (known as encastre beam); therefore each end support has both bending moments and shear reaction loads. Beams can also have one end fixed and one end simply supported. The simplest type of beam is the cantilever, which is fixed at one end and is free at the other end (neither simple or fixed). In reality, beam supports are usually neither absolutely fixed nor absolutely rotating freely.

The internal reaction loads in a cross-section of the structural element can be resolved into a resultant force and a resultant couple.^[3] For equilibrium, the moment created by external forces/moments must be balanced by the couple induced by the internal loads. The resultant internal couple is called the bending moment while the resultant internal force is called the shear force (if it is transverse to the plane of element) or the normal force (if it is along the plane of the element). Normal force is also termed as axial force.

The bending moment at a section through a structural element may be defined as the sum of the moments about that section of all external forces acting to one side of that section. The forces and moments on either side of the section must be equal in order to counteract each other and maintain a state of equilibrium so the same bending moment will result from summing the moments, regardless of which side of the section is selected. If clockwise bending moments are taken as negative, then a negative bending moment within an element will cause “hogging”, and a positive moment will cause “sagging”. It is therefore clear that a point of zero bending moment within a beam is a point of contraflexure—that is, the point of transition from hogging to sagging or vice versa.

Moments and torques are measured as a force multiplied by a distance so they have as unit newton-metres (N·m), or pound-foot (lb·ft). The concept of bending moment is very important in engineering (particularly in civil and mechanical engineering) and physics.

Background[edit]

Tensile and compressive stresses increase proportionally with bending moment, but are also dependent on the second moment of area of the cross-section of a beam (that is, the shape of the cross-section, such as a circle, square or I-beam being common structural shapes). Failure in bending will occur when the bending moment is sufficient to induce tensile/compressive stresses greater than the yield stress of the material throughout the entire cross-section. In structural analysis, this bending failure is called a plastic hinge, since the full load carrying ability of the structural element is not reached until the full cross-section is past the yield stress. It is possible that failure of a structural element in shear may occur before failure in bending, however the mechanics of failure in shear and in bending are different.

Moments are calculated by multiplying the external vector forces (loads or reactions) by the vector distance at which they are applied. When analysing an entire element, it is sensible to calculate moments at both ends of the element, at the beginning, centre and end of any uniformly distributed loads, and directly underneath any point loads. Of course any “pin-joints” within a structure allow free rotation, and so zero moment occurs at these points as there is no way of transmitting turning forces from one side to the other.

It is more common to use the convention that a clockwise bending moment to the left of the point under consideration is taken as positive. This then corresponds to the second derivative of a function which, when positive, indicates a curvature that is ‘lower at the centre’ i.e. sagging. When defining moments and curvatures in this way calculus can be more readily used to find slopes and deflections.

Critical values within the beam are most commonly annotated using a bending moment diagram, where negative moments are plotted to scale above a horizontal line and positive below. Bending moment varies linearly over unloaded sections, and parabolically over uniformly loaded sections.

Engineering descriptions of the computation of bending moments can be confusing because of unexplained sign conventions and implicit assumptions. The descriptions below use vector mechanics to compute moments of force and bending moments in an attempt to explain, from first principles, why particular sign conventions are chosen.

Computing the moment of force[edit]

An important part of determining bending moments in practical problems is the computation of moments of force.
Let be a force vector acting at a point A in a body. The moment of this force about a reference point (O) is defined as^[2]

where is the moment vector and is the position vector from the reference point (O) to the point of application of the force (A). The symbol indicates the vector cross product. For many problems, it is more convenient to compute the moment of force about an axis that passes through the reference point O. If the unit vector along the axis is , the moment of force about the axis is defined as

where indicates the vector dot product.

Example[edit]

The adjacent figure shows a beam that is acted upon by a force . If the coordinate system is defined by the three unit vectors , we have the following

Therefore,

The moment about the axis is then

Sign conventions[edit]

The negative value suggests that a moment that tends to rotate a body clockwise around an axis should have a negative sign. However, the actual sign depends on the choice of the three axes . For instance, if we choose another right handed coordinate system with , we have

Then,

For this new choice of axes, a positive moment tends to rotate body clockwise around an axis.

Computing the bending moment[edit]

In a rigid body or in an unconstrained deformable body, the application of a moment of force causes a pure rotation. But if a deformable body is constrained, it develops internal forces in response to the external force so that equilibrium is maintained. An example is shown in the figure below. These internal forces will cause local deformations in the body.

For equilibrium, the sum of the internal force vectors is equal to the negative of the sum of the applied external forces, and the sum of the moment vectors created by the internal forces is equal to the negative of the moment of the external force. The internal force and moment vectors are oriented in such a way that the total force (internal + external) and moment (external + internal) of the system is zero. The internal moment vector is called the bending moment.^[1]

Though bending moments have been used to determine the stress states in arbitrary shaped structures, the physical interpretation of the computed stresses is problematic. However, physical interpretations of bending moments in beams and plates have a straightforward interpretation as the stress resultants in a cross-section of the structural element. For example, in a beam in the figure, the bending moment vector due to stresses in the cross-section A perpendicular to the x-axis is given by

Expanding this expression we have,

We define the bending moment components as

The internal moments are computed about an origin that is at the neutral axis of the beam or plate and the integration is through the thickness ()

Example[edit]

In the beam shown in the adjacent figure, the external forces are the applied force at point A () and the reactions at the two support points O and B ( and ).
For this situation, the only non-zero component of the bending moment is

where is the height in the direction of the beam. The minus sign is included to satisfy the sign convention.

In order to calculate , we begin by balancing the forces, which gives one equation with the two unknown reactions,

To obtain each reaction a second equation is required. Balancing the moments about any arbitrary point X would give us a second equation we can use to solve for and in terms of . Balancing about the point O is simplest but let’s balance about point A just to illustrate the point, i.e.

If is the length of the beam, we have

Evaluating the cross-products:

If we solve for the reactions we have

Now to obtain the internal bending moment at X we sum all the moments about the point X due to all the external forces to the right of X (on the positive side), and there is only one contribution in this case,

We can check this answer by looking at the free body diagram and the part of the beam to the left of point X, and the total moment due to these external forces is

If we compute the cross products, we have

Thanks to the equilibrium, the internal bending moment due to external forces to the left of X must be exactly balanced by the internal turning force obtained by considering the part of the beam to the right of X

which is clearly the case.

Sign convention[edit]

In the above discussion, it is implicitly assumed that the bending moment is positive when the top of the beam is compressed. That can be seen if we consider a linear distribution of stress in the beam and find the resulting bending moment. Let the top of the beam be in compression with a stress and let the bottom of the beam have a stress . Then the stress distribution in the beam is . The bending moment due to these stresses is

where is the area moment of inertia of the cross-section of the beam. Therefore, the bending moment is positive when the top of the beam is in compression.

Many authors follow a different convention in which the stress resultant is defined as

In that case, positive bending moments imply that the top of the beam is in tension. Of course, the definition of top depends on the coordinate system being used. In the examples above, the top is the location with the largest -coordinate.

See also[edit]

• Buckling
• Deflection including deflection of a beam
• Twisting moment
• Shear and moment diagrams
• Stress resultants
• First moment of area
• Influence line
• Second moment of area
• List of area moments of inertia
• Wing bending relief

References[edit]

External links[edit]

• Stress resultants for beams

• Free online Calculation tools for bending moment