Как найти изменение длины стержня

С учетом того что ε =N/EF, вторая формула (3.13) принимает вид:

где EF – жёсткость при растяжении-сжатии (этот параметр зависит от свойств материала (Е) стержня и площади его поперечного сечения).

Формула (3.14) может быть получена непосредственно из закона Гука (3.5) с учетом формул (3.9) и (2.1). Поэтому выражение (3.14) определяют как закон Гука для участка бруса при постоянной деформации на участке.

Если на участке бруса действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности q (рис. 3.5,б), то нормальная сила в произвольном сечении при известном значении в начальном сечении (Nн ) рав-

ось, то в этом сечении функция w имеет экстремум (dw/dz = 0). Этот случай на рис. 3.5,б показан штриховыми линиями. При z = l перемещение концевого сечения участка равно:

Изменение длины стержня может вызываться различными причинами: силовым воздействием, изменением температуры, отклонением от номинальной длины стержня.

Если на стержень действуют заданные нагрузки, то изменение длины любого его участка с постоянной деформацией (рис. 3.6,а) определяется по формуле (3.14).

Рис 3.6

При изменении температуры стержня на ∆ T° (температурное воздействие) любой его участок изменяет длину (рис. 3.6,б) на величину

где α T – температурный коэффициент линейного расширения мате-

риала. (Например, для стали α T =1,25 10-5 1/град.) Соответственно возникают температурные деформации:

Если силовое и температурное воздействия осуществляются одновременно, то изменение длины и деформация определяются с использованием принципа суперпозиции:

Использование принципа суперпозиции, при котором силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые, справедливо в том случае, когда модуль упругости Е и температурный коэффициент α T не зависят от температуры. Практически это имеет место при умеренном температурном воздействии. Например, для малоуглеродистой стали при Т < 300° C (cм. рис. 2.10).

Кроме того, изменение длины стержня или его участка может быть связано и с тем, что он изготовлен длиннее или короче своей номинальной длины на величину ∆ o= l – lo (рис. 3.6,в). Отклонение от номинального размера положительно (∆ o> 0), если стержень длиннее,

иотрицательно (∆ o< 0), если – короче.

Сучетом всех перечисленных факторов изменение длины участка стержня определяется выражением

Полное изменение длины стержня равно сумме изменений длин его участков.

3.5. Расчет стержня на прочность

Прочностной анализ стержня заключается в определении напряжений для стержня в целом, выявлении максимальных напряжений и сопоставлении их с допускаемыми или предельными напряжениями.

Сечение стержня, в котором возникают максимальные напряжения, называется опасным. Если максимальные напряжения действуют на всем участке стержня, то такой участок также называется опасным. При расчете на прочность стержня из пластичного материала ис-

пользуется условие прочности:

Максимальные напряжения σ max = (N/F)max в опасном сечении могут быть как растягивающими (положительными), так и сжимающими (отрицательными). В последнем случае величина напряжения берется по модулю. Допускаемые напряжения [σ ] либо заданы, либо вычисляются по второй формуле (3.21) при известном пределе текучести σ т (или σ 0,2) и коэффициенте запаса nт.

При расчете на прочность стержня из хрупкого материала используется система условий прочности:

Расчет ведется как для опасного сечения, в котором возникают максимальные растягивающие напряжения σ р,max, так и для опасного сечения с максимальными сжимающими напряжениями σ с,max.

Условия прочности (3.21), (3.22) подробно рассмотрены в разде-

ле 2.5.

При известных допускаемых напряжениях для материала стержня могут проводиться три варианта расчетов.

1. Если заданы нагрузки и размеры сечений стержня, то проводится поверочный расчет.

2.Если заданы нагрузки, то могут быть определены размеры сечений стержня (проектировочный расчет).

3.Если заданы размеры сечений, то могут быть определены допускаемые нагрузки.

Эти варианты расчета на конкретном примере рассмотрены в следующем разделе.

3.6. Расчёт статически определимого стержня

Для статически определимого стержня (рис. 3.7) реакция в за-

делке (или нормальная сила в любом сечении) может быть определена с использованием уравнений статики. Если реакция в заделке предварительно не определена, то построение эпюры N рациональнее начинать со свободного конца стержня. При этом, используя метод сечений, необходимо отбрасывать часть стержня с заделкой. Последовательно применяя метод сечений на каждом участке (i =1, 2, 3, 4), определяются нормальные силы на участках. По полученным значениям строится эпюра N. Скачки на эпюре N по величине равны силам, приложенным в соответствующих сечениях. Участок АВ не деформируется, участки ВС и DM растягиваются, а участок СD сжимается.

Рис. 3.7

Для построения эпюры σ определяются нормальные напряжения на каждом участке по формуле (3.9)

с учётом того, что F1=F2=F3=F и F4=2F.

Если стержень изготовлен из пластичного материала, то участки 3 и 4 равноопасны. Если стержень изготовлен из хрупкого материала, то более опасным может оказаться участок 4 (как правило, хрупкий материал хуже работает на растяжение).

Линейные деформации на участках определяются из закона Гука

Если стержень выполнен из одного материала (E(i) = E), то эпюра ε имеет такой же вид, как и эпюра σ .

Эпюра осевых перемещений w строится, начиная с сечения, где известно перемещение. Для рассматриваемого стержня – от сечения

М, так как wМ= 0.

В соответствии с формулами (3.13), (3.14) и учитывая, что wн = wМ= 0, а wк = wD, получим перемещение сечения D:

Если на i-ом участке стержня определена деформация ε (i) = const, то проще вычислять ∆ li по второй формуле (3.13):

Аналогично определяем перемещения других сечений по участ-

кам:

Участок АВ перемещается как жесткое тело, не деформируясь. Поэтому перемещения всех сечений на этом участке одинаковы. Сечение А перемещается вверх. Направления перемещения просто определить по участку 4. Так как этот участок растягивается (N4 > 0), то при wD > 0 сечение D перемещается вверх. Отсюда следует, что сечения, у которых w > 0, перемещаются вверх, и наоборот.

Полное изменение длины стержня (удлинение или укорочение), а значит и перемещение его концевого сечения относительно начального сечения, может быть определено суммированием изменений длин участков:

В данном случае ∆ l = wA = ∆ l1 +∆ l2 + ∆ l3 + ∆ l4.

Из построенной эпюры w видно, что наибольшее перемещение

имеет сечение D (wmax = wD).

Отметим, что в соответствии с формулой (3.4) значение деформации ε является производной от функции перемещений w. Двигаясь в положительном направлении оси z (вверх) от сечения М (см. рис.3.7), значения на эпюре ε определяют возрастание или убывание

функции перемещений w. И наоборот, перемещения являются интегральной функцией от деформаций ε формула (3.11). Например, перемещение произвольного сечения w(z) на участке 4 равно площади прямоугольника длиной z на эпюре ε (w(z) = ε 4 z).

Рассмотрим различные варианты расчета стержня на прочность.

Вариант 1. Проверить прочность стержня при заданных параметрах:

F = 2 см2, Р=10 кН, σ T = 320 МПа, nТ = 2.

Определяем максимальные напряжения σ max (см. эпюру σ на рис. 3.7) и допускаемые напряжения (3.21):

[σ ]= 320 = 160 МПа. 2

Сравнивая максимальные напряжения с допускаемыми, делаем заключение, что условие прочности (3.21) для стержня удовлетворяется. Вариант 2. Определить параметр F при следующих исходных дан-

Решая это неравенство относительно параметра F, находим:

Вариант 3. Определить максимально допустимое значение параметра нагрузкиРдлястержняизхрупкогоматериала, используятакиеданные:

F = 2 см2; σ вр =240 МПа; σ вс = 960 МПа; nв = 4 .

Материал стержня хуже работает при растяжении, поэтому наиболее опасным является участок 3 (см. эпюру σ на рис. 3.7). Подставляя σ p,max= 2P/F в первое неравенство (3.22), получим:

Решая это неравенство, находим:

Р ≤ [σ ]р F/ 2; Pдоп = 60 106 2 10 –4/2 = 6 кН.

Определимизменениедлиныстержняпризначенияхпараметров:

F = 2 см2; P = 20 кН ; l = 1м; E = 2 105 МПа.

Как следует из эпюры w (см. рис. 3.7,б), стержень удлиняется, так как wA > 0 (сечение А перемещается вверх):

При расчете стержня не учитывался его собственный вес. Считается, что им можно пренебречь по сравнению с действующими силами. Но в ряде практических случаев необходимо учитывать напряжения от собственного веса.

Рассмотрим стержень постоянного сечения (рис. 3.8,а), нагруженный собственным весом. Следует отметить, что расчетная схема стержня с сосредоточенной силой, равной силе веса стержня и приложенной в его центре тяжести (рис. 3.8,б), является весьма приближённой, так как нагруженной является половина стержня (см эпюру N на рис. 3.8,б). Тогда как очевидно, что в произвольном сечении 1-1 нормальная сила равна силе веса отсеченной части.

Рис. 3.8

Для расчётной схемы стержня (рис. 3.8,в) объемную нагрузку, определяемую собственным весом стержня P, заменим погонной нагрузкой интенсивности q = P/l. С учетом соотношения P = γ Fl, где γ – удельный вес материала стержня, получим q = γ F. Тогда N и σ в произвольном сечении стержня (рис. 3.8,в) определяются выражениями:

N = q (l – z) = γ F (l – z); σ = N/F = γ (l – z).

Соответствующие эпюры N и σ представлены наэтом жерисунке. Найдем предельную длину стержня lпр, при которой максимальные напряжения в стержне у заделки достигнут предела прочности и

стержень разрушится:

σ max = σ вр; γ lпр = σ вр; lпр = σ вр/γ .

Как видим, предельная длина стержня постоянного сечения не зависит от его площади поперечного сечения. Например, для стального стержня с γ = 7,8 104 Н/м3 и σ вр= 780 МПа получим lпр= 104м.

Более эффективно применять материал, у которого высокие прочностные характеристики (σ вр) и/или наименьший удельный вес (γ ), т.е. материал, имеющий большее значение lпр=σ вр/γ . В наибольшей степени таким условиям удовлетворяют волокнистые композитные материалы (углепластик, органопластик и др.).

Осевые перемещения сечений стержня определяются по формуле (3.18) при wн = 0 (в заделке):

Функция w(z) является квадратичной параболой. Перемещение концевого сечения стержня (при z = l и c учетом ql = P) равно:

w = Pl/2EF.

Отметим, что этот же результат получается и с использованием приближённой расчетной схемы на рис. 3.8,б. Следует также отметить, что при использовании этой схемы правильно определяются максимальные напряжения в стержне у заделки, однако распределение N , σ и w по длине стержня описываются неверно.

3.7. Расчёт статически неопределимого стержня

Статически неопределимым является стержень с двумя заделками (рис. 3.9). Две реакции не могут быть определены из одного уравне-

Второе уравнение должно быть получено из рассмотрения деформирования стержня. Для этого условно сделаем стержень статически определимым, удалив одну из заделок, например правую. Вместо удаленной заделки приложим неизвестную реакцию X1=RA. Получим

стержень, аналогичный (статически эквивалентный) заданному. При этом нужно учитывать, что из-за наличия двух заделок изменение полной длины стержня равно нулю (деформационное условие). В со-

Это уравнение является дополнительным к уравнению статики

(3.27).

Уравнение (3.30) может быть преобразовано к виду :

Первое слагаемое в этом уравнении определяет для эквивалентного стержня перемещение концевого сечения А от неизвестной реакции Х1, а второе слагаемое – перемещение от заданных сил. При этом коэффициент при Х1 численно равен перемещению сечения А от силы

Х1=1.

Решая уравнение (3.31), находим Х1 = RA = 3/4P, а затем из (3.29) – усилия на участках. После чего строятся эпюры N, σ и w, которые представлены на рис. 3.9. Эпюра w построена, начиная с сечения D. Правильность решения контролируется равенством нулю перемещения сечения А.

Для статически неопределимого стержня практическое значение имеет вычисление температурных и монтажных напряжений.

При изменении температуры статически определимого стержня в нем не возникают усилия и напряжения. Стержень просто удлиняется или укорачивается. Если же нагревать или охлаждать статически неопределимый стержень, то в нем возникают температурные усилия и напряжения. Это объясняется тем, что жесткие заделки не позволяют изменяться длине стержня. В результате при нагреве возникают сжимающие усилия и напряжения, а при охлаждении стержня – растягивающие усилия и напряжения.

Если длина стержня имеет отклонение от номинального размера (например, стержень выполнен длиннее на величину ∆ 0 = l – l0), то после принудительной установки такого стержня между жесткими опорами в нем возникают так называемые монтажные усилия и на-

пряжения.

Учет вышеуказанных факторов покажем для стержня, рассмотренного в предыдущем примере (см. рис.3.9). Предположим, что стержень нагрет на ∆ T° C и выполнен короче своей номинальной длины на ∆ 0 (рис. 3.10). При нагреве стержень получил бы удлинение ∆ T=α T∆ T.3l при отсутствии правой заделки. Если ∆ 0 ≥ ∆ T, то усилия и напряжения в стержне не возникают. Если же ∆ 0 < ∆ T, то в заделках возникают реакции RA и RD, которые не могут быть определены из одного уравнения статики:

Отметим, что возникающие реакции самоуравновешены.

Удалим правую заделку и вместо неё в сечении А приложим неизвестную реакцию X1 = RA. Учитывая, что изменение длины стержня (или перемещение сечения А) равно ∆ 0, запишем:

Нормальные силы на участках стержня равны:

Используя первую формулу (3.19) для определения ∆ li и значения Ni , уравнение (3.33) запишем в виде:

где ∆ T = 3α T∆ Tl – температурное удлинение стержня.

Если ∆ T = ∆ 0, то X1 = 0. На рис. 3.10 представлены эпюры N, σ и w. Эпюра w построена от сечения D (wD = 0). При этом получим:

Последнее равенство является проверкой расчёта. Из этого условия исходили, решая задачу.

При одновременном воздействии на стержень нагрузки, температуры и наличии монтажных отклонений в соответствии с принципом суперпозиции усилия, напряжения и перемещения, полученные при соответствующем расчете стержня (см. рис. 3.9) и (см. рис. 3.10), суммируются.

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до нагружения стержня его длина была равна то после нагружения она станет равной (рис. 1.6). Величину называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 1.8

Будем считать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияющие на деформации. Так, деформации зависят от температуры и времени действия нагрузки. Неупругие деформации зависят от “истории” нагружения, т.е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем.

Если стержень нагружен только силой Р, то напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях; деформация по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине

Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Если стержень нагружен сосредоточенной силой Р и распределенными силами (наиболее общий случай), то относительное удлинение не будет постоянным по длине стержня. Получим выражение для относительного удлинения стержня, рассматривая элемент стержня между плоскостями и

до и после нагружения (см. рис. 1.6). Если обозначить перемещение плоскости АА элемента стержня через и, то плоскость будет иметь перемещение, равное и где – дополнительное перемещение из-за растяжения элемента стержня. Тогда относительное удлинение элемента будет равно

Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков (см. рис. 1.6), взятых на участке оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуют плоскость, то и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении.

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями:

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и а, т.е. в мегапаскалях. Вместе с тем, поскольку модуль упругости может иметь довольно большие числовые значения, его предпочтительнее измерять не в мега-, а в гигапаскалях:

Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости Е имеет следующие значения,

Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду. Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию можно было бы с заданной точностью рассматривать как линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной при испытании материала.

Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем а на на Тогда получим

или

В результате получаем систему, состоящую из двух уравнений: первого уравнения системы (полагая ) и уравнения (1.5), которая позволяет определить напряженно-деформированное состояние прямолинейного стержня, нагруженного осевыми силами:

Из первого уравнения системы (1.6) находим осевое усилие а из второго – Получаемые выражения для и и будут содержать две произвольные постоянные, определяемые из двух краевых условий: при

Абсолютное удлинение стержня переменного сечения на длине будет равно

В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила не зависит от Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения то из выражения (1.5) получаем

При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом

наложения и деформацию с рассматривают как сумму силовой и чисто температурной деформации:

где а – коэффициент температурного расширения материала.

Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем

Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и а практически не зависит от . Для стали это имеет место до температуры порядка . При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость Е от

Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.

Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 1.7, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Материал – сталь, Поскольку сила Р велкка, собственный вес стержня можно не учитывать.

Рис. 1.7

Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила в каждом сечении стержня равна внешней силе Р. Построим график изменения силы вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами. Они дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин. В данном случае эпюра нормальной силы представлена на рис. 1.7, б прямоугольником, поскольку На рисунке эпюра заштрихована линиями, которые проведены параллельно откладываемым на графике значениям . В данном случае значение силы откладывают вверх, поэтому штриховка проведена вертикально.

Для того чтобы получить эпюру напряжений а, надо ординаты эпюры изменить обратно пропорционально величине (рис. 1.7, в). Большее значение а равно

Определим перемещение и каждого сечения стержня по направлению силы Р. Перемещение сечения равно удлинению отрезка длиной . Следовательно, согласно формуле (1.6), . Таким образом, на участке изменения от нуля до I перемещение и пропорционально z (рис. 1.7, а). На втором участке стержня перемещение Зависимость и от также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня: мм.

Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 1.8, о). Длина стержня площадь поперечного сечения плотность материала у.

Рис. 1.8

Нормальная сила в сечении z равна весу нижележащей части стержня: Следовательно, нормальная сила пропорциональна г. Эпюру в данном случае штрихуют горизонтальными линиями, поскольку

значения откладывают в горизонтальном налравденхн (рис. 1.8, в). Наг пряжение в сечении равно (см. рис. 1.8, в).

Перемещение и в сечении z равно удлинению верхнего участка стержня. Согласно формуле (1.5),

Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией 2. Наибольшее перемещение «шах имеет нижнее торцевое сечение (рис. 1.8, г):

Пример 1.3. Колонна (рис. 1.9, а) нагружена силой Р и силами собственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

Рис. 1.9

На расстоянии от торца нормальная сжимающая сила равна

По условию задачи

откуда

Дифференцируя обе части этого равенства по z, получим или После интегрирования находим

При следовательно, и тогда искомый закон изменения площади принимает вид

Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис. 1.9, б). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны (рис 1.9, в).

Нормальная сила в сечении z равна Эпюра показана на рис. 1.9, г.

Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочности. Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объема, такую конструкцию называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболее эффективно.

Пример 1.4. Кронштейн нагружен на конце силой Р (рис. 1.10, а). Требуете подобрать поперечное сечение стержней АВ и с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. При этом угол а должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна

Из условий равновесия узла В (рис. 1.10, б) находим нормальные силы в стержнях: .

Далее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения и:

Рис. 1.10

Вес конструкции кронштейна пропорционален объему: Подставляя длины и площади стержней, находим

Величина V имеет минимум при .