Как найти изменение кинетической энергии в физике

⠀⠀ Всем привет, меня зовут Савин Валерий, я репетитор по физике, и сегодня мы поговорим о теореме об изменении кинетической энергии и разберём задачу из С части ЕГЭ по физике, в которой она встречается.

⠀⠀Формулировка теоремы:

⠀⠀Работа равнодействующей силы, действующей на тело на прямолинейном участке движения, равна изменению кинетической энергии тела на этом участке.

⠀⠀ Теорема справедлива не только для прямолинейного участка, но и для произвольного: нужно лишь разбить этот участок на элементарные участки и проинтегрировать. Однако в рамках школьной программы и ЕГЭ по физике такие случаи не встречаются, поэтому рассматривать их мы не будем.

⠀⠀ Ниже приводится один из способов доказательства данной теоремы:

⠀⠀ Теперь разберём задачу из C части ЕГЭ по физике, в которой встречается данная теорема.

⠀⠀ В данной задаче ион вылетает из источника, ускоряется через электрическое поле и затем попадает в магнитное поле, в котором он будет двигаться по окружности. В электрическом поле на него будет действовать только одна сила – сила Кулона (сила тяжести тут тоже есть, но масса иона мала, поэтому силой тяжести пренебрегаем), следовательно, равнодействующая сила есть просто сила Кулона. Значит мы можем применить теорему об изменении кинетической энергии (вот тут как раз-таки надо использовать информацию из фразы условия задачи: “Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебречь”, – для нас это значит, что начальная кинетическая энергия иона равна нулю). Получается, кинетическая энергия иона на выходе из электрического поля будет равна работе, которое это поле совершило по разгону иона:

⠀⠀Работа электрического поля по переносу электрического заряда по определению равна произведению электрического заряда на разность потенциалов (напряжение). Подставив определение работы в теорему об изменении кинетической энергии, можно без труда найти скорость частицы (а точнее, её квадрат) на выходе из электрического поля:

⠀⠀При попадании иона в магнитное поле на него начинает действовать сила Лоренца. Если ион входит в магнитное поле под углом 90 градусов к линиям магнитной индукции В, то траекторией его движения будет окружность (это понятно и из условия задачи, в котором дан радиус траектории). Сила Лоренца направлена к центру окружности, или иными словами – она сообщает иону центростремительное ускорение:

⠀Подставив формулы силы Лоренца и центростремительного ускорения во второй закон Ньютона, мы решаем задачу с точки зрения физики. Всё, что осталось дальше – математика.

⠀Задачи с применением теоремы об изменении кинетической энергии встречаются редко, но метко! Успехов!

Одним из важнейших понятий в физике является энергия, то есть способность тела совершать ту или иную работу. Механическая энергия подразделяется на кинетическую и потенциальную. Рассмотрим первый ее вид.

Кинетическая энергия – понятие и определение

Например, движущийся автомобиль способен снести находящееся перед ним препятствие, а падающий камень – оставить вмятину на металлической пластинке.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Кинетическая энергия зависит от скорости движения и массы тела. Она описывается формулой:

(E_k=frac{mnu^2}2)

Единицей измерения кинетической энергии является Джоуль (Дж).

Проведя простые преобразования, легко вывести формулы для вычисления массы тела и скорости движения:

(m=frac{2E_k}{nu^2})

(nu=sqrt{frac{2E_k}m})

Из основной формулы видно: во сколько раз изменяется масса тела, во столько раз изменяется и величина кинетической энергии. Например, если масса будет уменьшена или увеличена в 5 раз, то и величина кинетической энергии станет соответственно меньше или больше в 5 раз.

При увеличении скорости кинетическая энергия увеличивается в квадратичной зависимости. Допустим, скорость движения тела стала в 6 раз больше. Соответственно его кинетическая энергия возросла в 36 раз.

Формула кинетической энергии тела справедлива только для скоростей значительно меньших, чем скорость света. Если же скорость движения приближается к 300 000 км/с, то тут начинает действовать теория относительности, созданная Альбертом Эйнштейном.

Кинетическая энергия зависит от особенностей рассмотрения системы. Если тело принимают как макроскопический объект, то оно будет обладать внутренней энергией. В этом случае кинетическая энергия возникнет только в момент его движения.

Это же тело можно рассматривать и с микроскопической точки зрения. Тепловое движение атомов и молекул обуславливает внутреннюю энергию тела. В то же время средняя кинетическая энергия этого движения пропорциональна абсолютной температуре тела. Коэффициент этой пропорциональной зависимости называется постоянной Больцмана.

Кинетическая энергия атомов и молекул при рассмотрении тела на микроскопическом уровне описывается формулой:

(E_k=frac32kT)

где (k) – это постоянная Больцмана.

Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим наиболее простой пример движения, при котором скорость движения и сила, действующая на тело имеют одинаковое направление. Тело совершает перемещение (S), так как сила (F) совершает работу (A). Также она изменяет и скорость движения, придавая телу некоторое ускорение. Это свидетельствует о наличии связи между работой силы и изменением скорости движения.

В данном случае работа силы будет описываться формулой:

A=FS

Запишем второй закон Ньютона в стандартном виде:

F=ma

При условии, что движение является равноускоренным (сила не зависит от координат и времени), работу можно записать так:

A=maS

Вспомним формулу из курса кинематики, связывающую перемещение, ускорение, начальную и конечную скорости движения тела:

(S=frac{nu^2-nu_0^2}{2a})

Подставляем ее в формулу работы:

(A=frac{ma(v^2-v_0^2)}{2a}=frac{mv^2}2-frac{mv_0^2}2)

Полученное равенство показывает, что разность между кинетической энергией в конечной и начальный момент времени равна работе силы. Это позволяет сформулировать теорему об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела равна равнодействующей всех сил или работе силы:

(A=E_{k2}-E_{k1})

Таким образом, сила будет совершать отрицательную работу, если она направлена в сторону, противоположную движению тела. В этом случае начальная кинетическая энергия будет больше, чем конечная:

(frac{mv_0^2}2>frac{mv^2}2)

Так как сила имеет противоположное скорости направление, то модуль скорости будет уменьшаться, что и становится причиной уменьшения величины кинетической энергии.

Если же сила будет направлена в сторону движения, то кинетическая энергия будет возрастать:

(frac{mv_0^2}2<frac{mv^2}2)

Фактически теорему об изменении кинетической энергии можно рассматривать как иную формулировку второго закона Ньютона. Поэтому ее использование возможно в различных случаях, например, при рассмотрении действия силы трения, тяжести или упругости.

Примеры решения задач, как найти кинетическую энергию

Рассмотрим примеры решения задач на нахождение кинетической энергии.

Задача 1

Тело, имеющее массу 2 кг движется поступательно со скоростью 36 км/ч. Найдите, какой кинетической энергией оно обладает.

Решение

Прежде чем приступить к вычислению необходимо перевести скорость тела в единицы СИ:

36 км/ч = 10 м/с

Подставим известные значения в формулу кинетической энергии и выполним расчет:

(E_k=frac{2times10^2}2=100;Дж\)

Ответ: кинетическая энергия тела составляет 100 Джоулей.

Задача 2

Груз массой 0,2 кг прикреплен к пружине, которая закреплена горизонтально. Максимальная скорость колебания 3 м/с. Вычислить максимальную кинетическую энергию тела.

Решение

Воспользуемся выражением определения кинетической энергии:

(E_{k_{max}}=frac{mv^2}2)

Выполним вычисление:

(E_{k_{max}}=frac{0.2times3^2}2=0.9;Дж)

Ответ: максимальная кинетическая энергия пружины и груза составляет 0,9 Дж.

Задача 3

Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы водорода при температуре Т = 280 К.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением, связывающим температуру и энергию:

(E_k=frac32kT)

где k – это постоянная Больцмана

Проведем вычисление:

(E_k=frac{3times1,38times10^{-23}times280}2=579,6times10^{-23};Дж)

Ответ: средняя кинетическая скорость молекулы водорода составляет (579,6times10^{-23};Дж.)

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики^[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел^[2][3].

Формулировка теоремы[править | править код]

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение^[2][3]:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу)^[4].

Доказательство теоремы[править | править код]

Рассмотрим систему материальных точек с массами , скоростями и кинетическими энергиями .
Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени будет выполняться

Учитывая, что представляет собой ускорение i-ой точки , а — перемещение той же точки за время , полученное выражение можно записать в виде:

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как , получаем

а затем в соответствии с определением работы

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

где и — значения кинетической энергии системы в моменты времени и соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии[править | править код]

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы^[5]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

где и  — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а  — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны^[6], то

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

или, что то же самое

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы выполняется

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии^[2][3].

Случай системы с идеальными стационарными связями[править | править код]

Основной источник: ^[7]

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает^[7]:

Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил

Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики на , получаем:

или

Поскольку , получаем окончательно:

Верхние значки в этих выражениях обозначают: — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, (от англ. external) и (от англ. internal) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.

См. также[править | править код]

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема об изменении количества движения системы

Примечания[править | править код]

Кинетическая энергия механической системы

Кинетической энергиейT материальной точки массы m, движущейся со скоростью V, называют величину

T=mV22 . (47)

Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетических энергий включенных в эту систему материальных точек:

T=∑nk=1mV2k2 . (48)

В тех случаях, когда масса системы распределена непрерывно, суммирование в выражении (48) заменяют интегрированием по области распределения.

Найдем связь между значениями кинетической энергии механической системы в двух системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется поступательно со скоростью →VA . В этом случае скорость →Vkточки в неподвижной координатной системе и относительная скорость →Vrk связаны соотношением

→Vk=→VA+→Vrk .

Тогда вместо (48) получим

T=MV2A2+M→VA→VrC+Tr . (49)

Здесь →VrC=∑mk→VrkM — относительная скорость центра масс; Tr=∑nk=1mk(Vrk)22 — кинетическая энергия механической системы в подвижной системе координат.

Если за начало координат подвижной системы принимается центр масс механической системы С, то выражение (49) упрощается (теорема Кенига):

T=MV2C2+Tr. (50)

Использование выражений (48) и (50) позволяет сформулировать следующие правила вычисления кинетической энергии твердого тела: при поступательном движении тела массой M со скоростью →V

T=MV22 ; (51)

при вращении с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси z тела с моментом инерции Iz

T=Izω22 ; (52)

при плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоростью ω при значении центрального момента инерции ICz относительно оси, перпендикулярной плоскости движения, и значении IPz момента инерции относительно мгновенной оси вращения

T=MV2C2+ICzω22=IPzω22 ; (53)

при сферическом движении с угловой скоростью вращения ω

и значении момента инерции тела Iξотносительно мгновенной оси вращения ξ

T=Iξω22 ; (54)

в общем случае движения твердого тела

T=MV2C2+ICξω22 . (55)

Здесь момент инерции ICξ вычисляется относительно мгновенной оси Cξтакого сферического движения тела, которое оно совершает в системе осей, перемещающихся поступательно вместе с центром масс С.

В качестве примера вычислим кинетическую энергию механической системы, изображенной на рис.28, как сумму кинетических энергий тел ее формирующих. В этом случае

T=Tпост1+Tврбл+Tпост3+Tвр3=P1˙s212g+I2˙ϕ222+P3˙s232g+I3˙ϕ232 .

С учетом уравнений кинематических связей ˙s1=˙ϕ⋅R и ˙s3=˙ϕ3r3 выражение для кинетической энергии рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы может быть записано через любые две переменные, принятые за независимые. Например, если полагать независимыми s1 и s2, то выражение для кинетической энергии примет вид

T=˙s21(P1R2+I)2gR2+˙s223P34g .

Энергетические характеристики

К энергетическим характеристикам силы относят ее мощность, работу и потенциальную энергию.

Мощностью Nсилы →F, точка приложения которой движется со скоростью →V, называют величину

N=→F⋅→V. (56)

Работа силы d‘Aна элементарном интервале времени dtи соответствующем этому промежутку времени элементарному смещению d→rточки приложения определяется по правилу

d‘A=Ndt=→F⋅→Vdt=→F⋅d→r. (57)

Работой A силы на конечном интервале времени [0;t] и соответствующем изменении радиуса – вектора точки приложения этой силы от →r0 до →r называют величину

A=∫t0Ndt=∫→r→r0→Fd→r . (58)

Работа момента пары сил вычисляется аналогично.

Потенциальная энергия Попределена только в тех случаях, когда выражение (57) представляет собой полный дифференциал П:

d‘A=−dП. (59)

При выполнении условия (59) говорят, что сила потенциальна. Сопоставление формул (57) и (59) позволяет записать соотношения, связывающие проекции силы на оси выбранной координатной системы с функцией П:

Fx=−∂П∂x; Fy=−∂П∂y; Fz=−∂П∂z . (60)

Если точка приложения силы переместилась из положения M1(x1;y1;z1) в положение M2(x2;y2;z2), то путем интегрирования (59) можно получить

A12=−∫M2M1dП=П(x1;y1;z1)−П(x2;y2;z2). (61)

Заметим (см. формулы (57), (60) и (61)), что потенциальная энергия определена с точностью до постоянного слагаемого; отмеченная особенность позволяет полагать потенциальную энергию равной нулю в выбираемой нами точке (например, в начале координат). В последнем случае формула (61) принимает вид

A10=−∫M0M1dП=П(x;y;z). (62)

Иными словами – потенциальная энергия равна работе сил по переводу системы из отклоненного положения в начальное.

В том случае, когда для совокупности сил, действующих на механическую систему, можно записать выражение потенциальной энергии П, механическую систему называют консервативной. Такие механические системы обладают важными особенностями – работа действующих сил не зависит от вида траектории и закона движения по ней; работа при движении по замкнутому контуру равна нулю (см. (61)). Из (60) легко получить условия, при выполнении которых существует функция П:

∂Fx∂y=∂Fy∂x ; ∂Fx∂z=∂Fz∂x ; ∂Fz∂y=∂Fy∂z. (63)

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для трех частных, но важных для технических приложений, случаев: действуют сила тяжести, центральная сила и сила упругости пружины.

Для силы тяжести →P=→i0+→j0−→kP выполняются критерии (63); тогда, в соответствии с формулами (58) и (62), имеем

П=A10=∫0z(Fxdx+Fydy+Fzdz)=∫0z(−P)dz=Pz.            (64)

Для центральной силы →F=F(r)→rr, модуль которой зависит от расстояния rдо начала координат, так же выполняются критерии (63), поэтому

П=A10=∫r0rF(r)→rrd→r=∫r0rF(r)dr .         (65)

Силу упругости пружины можно считать центральной силой, направленной к началу координат; в случае прямой пропорциональности между величиной силы Fx и удлинением x пружины имеем Fx=−cx. В этом случае

П=A10=∫0xFxdx=∫0x(−cx)dx=cx22.          (66)

При определении энергетических характеристик системы сил суммируют соответствующие характеристики для всех сил, действующих на механическую систему.

Теорема об изменении кинетической энергии

Умножим уравнения (2.5) скалярно на скорость →Vk и сложим.

∑nk=1mkd→Vkdt→Vk=∑nk=1→Fek→Vk+∑nk=1→Fik→Vk=Ne+Ni ,

где Ne и Ni— мощности внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему.

Заметим, что если связи между телами, формирующими систему, допускают деформацию (см. пружину жесткостью c2 в примере 21), то точки приложения равных и противоположно направленных внутренних сил →T2 имеют различные скорости, вследствие чего их суммарная мощность не будет равной нулю.

Изменив порядок суммирования и дифференцирования в левой части равенства, ее можно привести к виду

∑nk=1mkd→Vkdt→Vk=ddt∑nk=1mk→V2k2=ddt∑nk=1mkV2k2=dTdt .

Окончательно имеем запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

dTdt=Ne+Ni. (67)

— производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил.

В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

dT=(Ne+Ni)dt=d‘Ae+d‘Ai. (68)

Интегрируя (68) на интервале времени [0;t], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

T1−T0=Ae+Ai , (69)

где T1=T(t); T0=T(0); Ae=∫t0Nedt; Ai=∫t0Nidt.

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил системы можно записать выражение потенциальной энергии

d‘Ae+d‘Ai=−dП,

вместо (68) имеем соотношение

d(T+П)=0 . (70)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

T+П=const ,

а сама система называется консервативной.