Как найти изобарную теплоемкость по температуре

Практическая
работа №3

Тема:
«Расчёт теплоёмкости системы по табличным термодинамическим данным».

Цель работы: Практически рассчитать
мольную и изобарную теплоёмкость.

Теоритическая часть:

Теплоёмкость – это отношение количества
теплоты, сообщённой  системе в каком – либо процессе, к соответствующему
изменению температуры.

В зависимости от условия протекания
процесса, различают теплоёмкость при постоянном объёме (
Cv)

Теплоёмкость при постоянном давлении
равна: 

Cv=                                        
Cv=
v

Cp=                                         
Cp=
p

Следовательно, теплоёмкость  Cv и
 
Cp   показывают
как изменяются с температурой соответственно внутренняя энергия и энтольпия
вещества, следовательно, теплоёмкости являются температурными коэффициентами
этих величин.

Теплоёмкость, отнесённую к одному молю
вещества называют, молярной теплоёмкостью, измеряют

Разность между молярной теплоёмкостью 
идеального газа,  равна универсальной газовой постоянной:       
Cp Cv
=
R

Теплоёмкость является функцией температуры
и она равна:
Cp = a+вТ+с’T-2 
коэффициенты а,в,с  являются табличными данными и найдены для всех известных
веществ.

Ход работы:

Задача №1:

Найдите мольную теплоёмкость при
температуре Т=298 К, для твёрдого вещества 
FeSiO2.

Дано:                                                 
Решение:

Т= 298 К                                  
C
(FeSiO2) = C(Fe) + C(Si)
2*C(O) = 6,3+3,8+ 2*4=18,1

FeSiO2                                                                         
Ответ: С(FeSiO2)
= 18,1

C(FeSiO2)
= ?

Задача №2:

Определите изобарную теплоёмкость веществ H2
и
CO2,
при температуре 295 К.

Дано:                                                    
Решение:

H2                                                                                 
    
Ср= а + в*Т+ с’*Т-2

CO2                                                                             
    
Ср (H2)
= 6, 95 – 0, 2 * 10-3 *
T
+0, 48 * 10-6 *
T-2
=

T= 295 К                                            
   = 6, 95 – 0,2 * 10-3 * 295 + 0, 48 * 10-6 * 295-2
=

Ср(СО2)=?                                             
6, 95 – 0,2 * 10-3 * 295 + 0, 48 * 10-6 *
 =

Ср2)=?                                                
6, 95 – 59 + 0,00552 = -52, 044 * 10-9

                                                               
Ср (
CO2)
=  6
, 396 + 10, 1 * 10-3 * 295 – 3,405 * 10-6
*

                                                               
295-2 = 6, 396 + 10, 1 * 10-3 * 295 – 3,405 * 10-6
*
=

                                                               
6, 396 + 2979, 5 – 0, 03912 = 1985, 856 * 10 -9

                                    Ответ:
Ср (
H2)
= -52, 044 * 10-9
; Cр
(
CO2)
= 1985, 856 * 10-9
 

Вывод: Я практически рассчитала мольную и
изобарную теплоёмкость.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 ноября 2020 года; проверки требует 1 правка.

Теплоёмкость определяется суммой поступательных, вращательных и удвоенным числом колебательных степеней свободы.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу delta Q, к изменению температуры dT, которое при этом произошло {displaystyle C={frac {delta Q}{dT}}} [1].

Удельная и молярная теплоёмкость[править | править код]

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества [2]:

{displaystyle C_{M}={frac {C}{nu }}={frac {1}{nu }}{frac {delta Q}{Delta T}},}

где {displaystyle nu =m/M,} m — масса, M — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)[1].

Формула расчёта удельной теплоёмкости[1][2]:

{displaystyle c={frac {C_{M}}{M}}={frac {delta Q}{mdT}},}

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах[править | править код]

Адиабатический[править | править код]

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть {displaystyle dQ=0}. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть {displaystyle dTneq 0}[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: C = {0 over dT} = 0.

Изотермический[править | править код]

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть {displaystyle dT=0}. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: {displaystyle Cto pm infty }

Изохорный[править | править код]

В изохорном процессе постоянен объём, то есть {displaystyle delta V=0} и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид[1]:

{displaystyle dU=delta Q=nu C_{V}dT.qquad (1)}

А для идеального газа

{displaystyle dU={frac {i}{2}}nu RDelta T.}

Таким образом,

C_V=frac i2  R,

где i — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

{displaystyle C_{V}={frac {R}{gamma -1}},}

где gamma  — показатель адиабаты, R — газовая постоянная газа.

Изобарный[править | править код]

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как C_p. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера C_p = C_v + R[1].
Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики[4]:

{displaystyle delta Q=mathrm {d} U+delta A,qquad (2)}.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

{displaystyle delta Q=C_{p}mathrm {d} T,}

Учитываем, что работа газа равна [4]:

{displaystyle delta A=mathrm {d} (pV)=nRmathrm {d} Tqquad =pmathrm {d} Vqquad +Vmathrm {d} pqquad =pmathrm {d} Vqquad ,(Vmathrm {d} pqquad =0)(3)}

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа[1]:

{displaystyle pmathrm {d} V=Rmathrm {d} T.qquad (4)}

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

{displaystyle delta A=Rmathrm {d} Tqquad (5)}

Так как энергия одной молекулы равна {displaystyle <e>={frac {i}{2}}kT} (6)[Комм 1][5], то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой[5]:

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры[5].

См. также[править | править код]

  • Идеальный газ
  • Первое начало термодинамики
  • Теплоёмкость

Комментарии[править | править код]

  1. i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
  2. 1 2 При жёсткой связи между атомами, то есть колебательные степени свободы исключены из рассмотрения. Примером трёхатомной линейной молекулы служит цианистый водород HCN.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 5 6 Савельев, 2001, с. 26—30.
  2. 1 2 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 41.
  3. 1 2 Савельев, 2001, с. 30—31.
  4. 1 2 Савельев, 2001, с. 18-20.
  5. 1 2 3 Савельев, 2001, с. 61-63.

Литература[править | править код]

  • Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
  • Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
  • Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.

Задача
6

Вычислите
среднюю теплоемкость
вещества, приведенного в табл. 6, в
интервале температур от 298 доТ
К.

Таблица
6

Вари-ант

Вещество

Т,
К

Вари-ант

Вещество

Т,
К

1

500

16

500

2

550

17

550

3

600

18

600

4

650

19

650

5

700

20

700

6

750

21

750

7

800

22

800

8

850

23

850

9

900

24

900

10

950

25

950

11

1000

26

1000

12

1050

27

1050

13

1100

28

1100

14

1150

29

1150

15

1200

30

1200

Решение:

Рассмотрим
расчет средней теплоемкости аммиака в
интервале температур от 298 до 800
К.

Теплоемкость
– это отношение количества теплоты,
поглощаемой телом при нагревании, к
повышению температуры, которым
сопровождается нагревание. Для
индивидуального вещества различают
удельную
(одного килограмма) и мольную
(одного моля) теплоемкости.

Истинная
теплоемкость

,
(21)

где
δQ
– бесконечно
малое количество теплоты, необходимое
для повышения температуры тела на
бесконечно малую величину
dT
.

Средняя
теплоемкость

– это отношение количества теплоты Q
к повышению температуры T
=
T2
T1,

.

Поскольку
теплота не является функцией состояния
и зависит от пути процесса, необходимо
указывать условия протекания процесса
нагревания. В изохорном и изобарном
процессах для бесконечно малого изменения
δQV
=
dU
и
δ
Qp
=
dH,
поэтому

и
.
(22)

Связь
между истинными
изохорной
(СV)
и изобарной
(Cp)
теплоемкостями
вещества и его средними
изохорной
и изобарнойтеплоемкостями
в интервале температур от Т1
до Т2
выражается уравнениями (23) и (24):

;

(23)

.
(24)

Зависимости
истинной теплоемкости от температуры
выражаются следующими эмпирическими
уравнениями:

;
(для неорганических веществ) (25)

.
(для органических веществ) (26)

Воспользуемся
справочником физико-химических величин.
Выпишем коэффициенты (a,
b,
c)
уравнения зависимости изобарной
теплоемкости аммиака от температуры:

Таблица 7

Вещество

a

b·103

c/·10–5

NH3(Г)

29,8

25,48

–1,67

Запишем
уравнение зависимости истинной
теплоемкости аммиака от температуры:

.

Подставим
это уравнение в формулу (24) и вычислим
среднюю теплоемкость аммиака:

=
1/(800-298)=

=
0,002 [29,8(800–298) + 25,5·10–3/2
(8002
– 2982)
+

+
1,67·105
(1/800 – 1/298)] = 43,5 Дж/моль·К.

Задача
№7

Для
химической реакции, приведенной в табл.
2, постройте графики зависимостей суммы
теплоемкостей продуктов реакции от
температуры

и суммы теплоемкостей исходных веществ
от температуры
.
Уравнения зависимости

возьмите из справочника. Рассчитайте
изменение теплоемкости в ходе химической
реакции ()
при температурах 298 К, 400 К и Т
К (табл. 6).

Решение:

Рассчитаем
изменение теплоемкости при температурах
298 К, 400 К и 600 К на примере реакции синтеза
аммиака:

.

Выпишем
коэффициенты (a,
b,
c,
с/)1
уравнений зависимости истинной
теплоемкости аммиака от температуры
для исходных веществ и продуктов реакции
с учетом стехиометрических коэффициентов
.
Вычислим сумму коэффициентов. Например,
сумма коэффициентова
для исходных веществ равна

= 27,88 + 3·27,28 = 109,72.

Сумма
коэффициентов а
для продуктов реакции равна

= 2·29,8 = 59,6.

=
=59,6 – 109,72 = –50,12.

Таблица 8

Вещество

а

b·103

c/·105

с·106

исходные

вещества

N2

27,88

4,27

H2

27,28

3,26

0,50

(,,)

109,72

14,05

1,50

продукт

NH3

29,80

25,48

–1,67

(,,)

59,60

50,96

–3,34

,
,

–50,12

36,91

–4,84

Таким
образом, уравнение зависимости

для продуктов реакции имеет следующий
вид:

=
59,60 + 50,96·10–3Т
– 3,34·1052.

Для
построения графика
зависимости суммы теплоемкости продуктов
реакции от температуры

рассчитаем сумму теплоемкостей при
нескольких температурах:

При
Т = 298 К

=
59,60 + 50,96·10–3
·
298 –
3,34·105/2982
= 71,03 Дж/К;

При
Т =
400 К
=
77,89 Дж/К;

При
Т = 600 К

= 89,25 Дж/К.

Уравнение
зависимости

для исходных веществ имеет вид:

=
109,72 + 14,05·10–3Т
+ 1,50·10-52.

Аналогично
рассчитываем

исходных веществ при нескольких
температурах:

При
Т=298 К

=109,72
+ 14,05·10–3 ·
298 + 1,50·105
/2982=115,60
Дж/К;

При
Т = 400 К
=
116,28 Дж/К;

При
Т = 600 К
=
118,57 Дж/К.

Далее
рассчитываем изменение изобарной
теплоемкости

в ходе реакции при нескольких температурах:

=
–50,12 + 36,91·10–3Т
– 4,84·1052,

= –44,57 Дж/К;

= –38,39 Дж/К;

= –29,32 Дж/К.

По
рассчитанным значениям строим графики
зависимостей суммы теплоемкостей
продуктов реакции и суммы теплоемкостей
исходных веществ от температуры.

Рис
2. Зависимости суммарных теплоемкостей
исходных веществ и продуктов реакции
от температуры для реакции синтеза
аммиака

В
данном интервале температур суммарная
теплоемкость исходных веществ выше
суммарной теплоемкости продуктов,
следовательно,

во всем интервале температур от 298 К до
600 К.

Задача
№8

Вычислите
тепловой эффект реакции, приведенной
в табл. 2, при температуре Т
К (табл. 6).

Решение:

Вычислим
тепловой эффект реакции синтеза аммиака


при температуре 800
К.

Зависимость
теплового эффекта
реакции от температуры описываетзакон
Кирхгоффа

,
(27)

где
– изменение теплоемкости системы в ходе
реакции. Проанализируем уравнение:

1)
Если
>
0, т.е сумма теплоемкостей продуктов
реакции больше суммы теплоемкостей
исходных веществ, то> 0,. зависимостьвозрастающая, и с повышением температуры
тепловой эффект увеличивается.

2)
Если
<
0, то< 0, т.е. зависимость убывающая, и с
повышением температуры тепловой эффект
уменьшается.

3)
Если
=
0, то= 0, тепловой эффект не зависит от
температуры.

В
интегральном виде уравнение Кирхгоффа
имеет следующий вид:

.
(28)

а)
если теплоемкость во время процесса не
меняется, т.е. сумма теплоемкостей
продуктов реакции равна сумме теплоемкостей
исходных веществ (),
то тепловой эффект не зависит от
температуры

= const.

б)
для приближенного
расчета

можно пренебречь зависимостью
теплоемкостей от температуры и
воспользоваться значениями средних
теплоемкостей участников реакции ().
В этом случае расчет производится по
формуле

.
(29)

в)
для точного
расчета

необходимы данные по зависимости
теплоемкости всех участников реакции
от температуры
.
В этом случае тепловой эффект рассчитывают
по формуле

(30)

Выписываем
справочные данные (табл.9) и вычисляем
изменения соответствующих величин для
каждого столбца по аналогии с задачей
№7). Полученные данные используем для
расчета:

Приближенно:

= –91880 + (–31,88)(800 –
298) = –107883,8 Дж = – 107, 88 кДж.

Точно:

= –91880 + (–50,12)(800 –
298) + 1/2·36,91·10—3(8002
– 2982)
+

– (–4,84·105)(1/800
– 1/298) = – 107815 Дж = – 107,82 кДж.

Для
реакции синтеза аммиака изменение
теплоемкости в ходе реакции<
0 (см. задачу №7). Следовательно< 0, с повышением температуры тепловой
эффект уменьшается.

Таблица
9

Вещество

Сумма
для продуктов реакции

Сумма
для исходных веществ

Изменение
в ходе реакции

N2

H2

NH3

,

кДж/моль

0

0

–45,94

=

=
–91,88

=

=
0

=

=
–91,88

,
Дж/(моль·К)

30,22

29,28

43,09

=

=
86,18

=

=
118,06

=

=
–31,88

a

27,88

27,28

29,80

=

=
59,60

=

=
109,72

=

=
–50,12

4,27

3,26

25,48

=

=
50,96

=

=
14,05

=

=
36,91

0,50

–1,67

=

=
–3,34

=
1,5

=

=
–4,84

=
0

=
0

=
0

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Пример 5.1

При постоянном давлении найти среднюю удельную массовую теплоёмкость кислорода при повышении его температуры от 600 до 2000 оС.

Решение

Искомую теплоёмкость принимаем равной истинной удельной изобарной теплоёмкости при средней арифметической температуре ():

 = (600 + 2000) / 2 = 1300 оС

Находим в приложении 2 истинную удельную изобарную теплоёмкость кислорода при температуре 1300 оС:   = 1,1476 кДж/(кг·К). Это значение теплоёмкости равно средней удельной изобарной теплоёмкости  кислорода в интервале температур 600…2000 оС.

Пример 5.2

Найти среднюю молярную изобарную теплоёмкость углекислого газа  при повышении его температуры от 200 до 1000 оС.

Решение.

Найти эту теплоёмкость можно найти из первого соотношения (5.1), из которого получаем:

.

Предварительно находим молярную массу (М). Относительная молярная масса углекислого газа Мг = 44,01. Следовательно, его молярная масса РАВНА:

М = 44,01·10-3 кг/моль.

Среднюю удельную изобарную теплоёмкость () находим из приложения 2 как истинную удельную изобарную теплоёмкость при средней температуре . В нашем примере эта температура равна:

 = (200 + 1000) / 2 = 600 оС.

Из приложения 2 находим, что при этой температуре искомая истинная удельная теплоёмкость = 1,1962 кДж/(кг·К). Значит, средняя удельная изобарная теплоёмкость в данном интервале температур тоже равна:

 = 1,1962 кДж/(кг·К).

Теперь можно найти искомую среднюю молярную изобарную теплоёмкость:

 = 1,1962 · 44,01·10-3 = 52,89 кДж/(моль·К).

Пример 5.3

Воздух, содержащийся в баллоне вместимостью 12,5 м3 при температуре 20 оС и абсолютном давлении 1МПа, подогревается до температуры 180 оС. Найти подведённую теплоту Q.

Решение

Из определения удельной теплоемкости с учетом того, что процесс нагревания происходит при постоянном объеме, можно записать:

,

откуда

.

Принимая во внимание, что при температуре  = 20 оС давление воздуха составляет  = 1 МПа, массу воздуха () найдём из уравнения состояния:

 = 1·106 · 12,5 / (287,1 · 293) = 148,6 кг,

где  = 287,1 Дж/(кг·К) – удельная газовая постоянная воздуха (см. приложение 1).

Среднюю удельную изохорную теплоёмкость принимаем равной истинной теплоёмкости при средней температуре воздуха 100 оС, т.е.

 = 722,6Дж/(кг·К).

Следовательно, искомое количество подведенной теплоты равно:

 = 722,6 · 148,6·(180 – 20) = 17,2 МДж.

Пример 5.4

Температура смеси, состоящей из азота массой 3 кг и кислорода массой 2 кг, в результате подвода к ней теплоты при постоянном объёме повышается от 100 до 1100 оС. Найти количество подведённой теплоты.

Решение

Искомое количество теплоты (Q) найдем из выражения:

.

Среднюю удельную изохорную теплоёмкость смеси найдём согласно уравнению:

,

где  и  – массовые доли компонентов азота и кислорода.

По условию задачи масса смеси = 3 + 2 = 5 кг.

Следовательно, массовая доля равна:

азота                              = 3 / 5 = 0,6;

кислорода                    = 2 / 5 = 0,4.

Для нахождения теплоёмкостей компонентов смеси  и  воспользуемся приложением 2. Примем, что они равны истинной удельной изохорной теплоёмкости при средней арифметической температуре:

 = (100 + 1100) / 2 = 600 оС.

При этой температуре:

для азота                       = 843 Дж/(кг·К);

для кислорода             = 809 Дж/(кг·К).

Найдем теплоёмкость смеси:

 = 0,6 · 843 + 0,4 · 0,809 = 829 Дж/(кг·К)

Подведённая к смеси теплота равна:

 = 5·829·(1100 – 100) = 4,1 МДж.

Пример 5.5

Состав продуктов сгорания бензина в цилиндре двигателя внутреннего сгорания в молях следующий: углекислого газа СО2 – 71,25, кислорода О2 – 21,5, азота N2 – 488,3; паров воды Н2О – 72,5. Температура газов 800 оС. Определить долю тепловых потерь с уходящими газами, если теплота сгорания бензина 43950 кДж/кг.

Решение

Найдём сначала теплоту (Q1) уходящих газов. Предположим, что сгорание происходит при постоянном давлении, поэтому можно записать:

,

где – средние молярные изобарные теплоёмкости соответственно всей смеси и её компонентов;  – количество вещества соответственно всей смеси и её компонентов.

При среднеарифметической температуре процесса

 = (0 + 800) / 2 = 400 оС

средние удельные теплоёмкости компонентов, а также их молярные массы согласно даным, представленных в приложении 2, равны:

для углекислого газа    = 1,11 кДж/(кг·К), М1 = 44·10-3 кг/моль;

для кислорода              = 1,02 кДж/(кг·К),  М2 = 32·10-3 кг/моль;

для азота                       = 1,09 кДж/(кг·К), М3 = 28·10-3 кг/моль;

паров воды                   = 2,08 кДж/(кг·К), М4 = 18·10-3 кг/моль.

По найденным значениям удельных теплоёмкостей и молярных масс вычислим значения молярных теплоёмкостей компонентов смеси:

углекислого газа

 = 1,11·44·10-3 = 48,84 Дж/(моль·К);

кислорода

= 1,02·32·10-3 = 32,64 Дж/(моль·К);

азота

= 1,09·28·10-3 = 30,52 Дж/(моль·К);

паров воды

 = 2,06·18·10-3 = 37,08 Дж/(моль·К).

Найдем количество теплоты, уносимой смесью (выхлопными газами):

;

* = 800·(71,25 · 48,84 + 21,5 · 32,64 + 488,3 · 30,52 + 72,5 · 37,08) = 17,418 кДж.

Обозначив теплоту сгорания бензина через Q, получим, что потеря теплоты с выхлопными газами в процентах составляет:

.

Добавить комментарий