Как найти изображение функции по определению - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x”+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x”’+x”-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x”(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x”’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x”(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация

Онлайн-помощь по математическому анализу
Дифференциальные уравнения – задачи с решениями
Как решать ДУ с помощью операционного исчисления

Источник

Пример
1.
Найти
изображение единичной функции Хевисайда,
которая обозначается и определяется в
соответствии с равенством:

Решение.
Пользуясь определением изображения по
Лапласу, находим

Пример
2.
Найти изображение функции

Решение.
Имеем

Заметим,
что указанную функцию можно записать
короче, если использовать в качестве
множителя единичную функцию (t),
а именно:

Роль множителя
(t)
состоит в том, что он «гасит» (обращает
в нуль) функцию при t
< 0.
В дальнейшем, говоря о функциях-оригиналах,
будем считать, что все они снабжены
множителем (t),
хотя сам этот множитель в написании
часто будем опускать. Так, например, мы
будем писать tⁿ,
e^at,
sint
и т. д., подразумевая при этом соответственно

и т. д.

Единичная
функция играет важную роль в операционном
исчислении. Зная ее изображение и
используя правила операционного
исчисления, можно найти изображения
различных оригиналов. Например, используя
теорему смещения, можно записать: из
того, что
,
следует, что
,

и
не пользоваться определением преобразования
Лапласа, связанного с вычислением
несобственного интеграла.

Пример
3.
Найти изображения функций

и
.

Решение.
Воспользуемся формулами Эйлера:

;

Согласно
свойству линейности преобразования
Лапласа имеем

Следовательно,

Точно также

то есть

Применяя
к полученным соотношениям свойство
смещения, находим

Точно также для
гиперболических функций получаем
соответствия:

;

Пример
4.
Найти изображение функции
tⁿ.

Решение.
Используем теорему дифференцирования
к изображению функции (t)
. Получим

;
.

Итак,

Пример
5.
Найти изображение функции

Решение.
На основании формулы

заменим
произведение

на
.

Тогда

Чтобы
найти изображение исходной функции,
воспользуемся тем, что операции умножения
на

в области оригиналов соответствует
операция смещения на 3 в области
изображений. Окончательно получим

Пример
6.
Найти изображение функции

Решение.
Воспользуемся соотношением

Далее,
согласно правилу (8), операции деления
на t
в области оригиналов соответствует
операция интегрирования в области
изображений.

Поэтому

Итак,

Пример
7.
Найти изображение функции

Решение.
Предварительно найдем изображение
функции
,
преобразовав ее по формуле
.
Имеем

Затем,
используя тот факт, что операции
интегрирования в области оригиналов
соответствует операция деления на р
в области изображений, окончательно
получим

Пример
8.
Найти изображение функции

Решение.
Воспользуемся равенством
.
Согласно теореме запаздывания имеем

В
данном примере существенно равенство
нулю функции при
,
т.е. возможность представления функции
f(t)
в виде

а
соответственно, и возможность использования
теоремы запаздывания.

Иначе
поступаем, если функция задана следующим
соотношением:

В
этом случае осуществлен сдвиг вправо
на

графика функции
,
но не произведено «погашение» его нулем
на участке
.
Поэтому запаздывания оригинала по
времени не происходит, а функция
представима в виде
.

Для нахождения ее
изображения воспользуемся равенством

Применив теоремы
подобия и линейности, получим

Из
этого примера следует, что при записи
оригиналов, являющихся функциями
запаздывающего аргумента
,
опускать множитель

не рекомендуется во избежание
недоразумений. Так, например, для
обозначения оригиналов степенной
и
показательной

функций запаздывающего аргумента с
запаздыванием 
следует пользоваться записью
,
,
а не записью

и
.

Последнюю
легко спутать с записью оригинала
незапаздывающего аргумента:

и
.

Пример
9.
Найти изображение функции

Решение.
Для того, чтобы применить теорему
запаздывания, предварительно преобразуем
оригинал как функцию аргумента
:

Заметим,
что изображение этого оригинала можно
найти согласно его определения:

Вычислив
интеграл, мы получим тот же результат.

Теорема
запаздывания является удобным способом
для нахождения изображений
кусочно-непрерывных функций.

Пример
10.
Найти изображение функции

Решение.
Пользуясь обобщенной единичной функцией,
оригинал f(t)
можно записать формулой

В
этом равенстве отражен тот факт, что
«сигнал» f₁(t)=(t–a)
был “включен” в момент t=a
и
“выключен” в момент t=b.
После этого включен сигнал f₂(t)=b–a.

Оригинал представим
в виде

При нахождении
его изображения исходим из соотношения

Используя теорему
запаздывания оригинала, получим

Пример
11.
Найти изображение функции

Решение.
Функция

есть свертка функций

и
.
Согласно теореме умножения свертке
двух функций соответствует произведение
их изображений. Если учесть, что

,
а
,

то
указанной свертке оригиналов будет
соответствовать изображение

Изображения
элементарных функций получаются путем
вычисления соответствующих несобственных
интегралов, иногда довольно сложных и
громоздких. Однако нет необходимости
проделывать все вычисления каждый раз
заново: достаточно составить таблицу
изображений и пользоваться ею подобно
тому, как мы пользуемся таблицей
производных или неопределенных
интегралов.

Приведем
таблицу изображений наиболее часто
встречающихся элементарных функций
(табл. 2).

Таблица
2 – Оригинал – изображение

№	Оригинал	Изображение
1	1
2	t
3	t^п
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Преобразование Лапласа и его свойства

Основные определения

1. Оригинал — это комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:

а) f(t)=0 при t<0 ;

б) на любом конечном отрезке [a;b]in[0;+infty) функция f(t) имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

в) f(t)f(t) имеет ограниченный рост, т.е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные M>0 и sigmageqslant0 , что $|f(t)|<M,e^{sigma t}$ при t>0 .

Замечания 5.1

1. Величина sigma_0=infsigma называется показателем роста функции f(t) . Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом, можно принять sigma_0=0 .

2. Обозначим $f(+0)= limlimits_{tto+0} f(t),~ f(+infty)= limlimits_{tto+infty} f(t)$ , если пределы существуют и конечны.

3. Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов.

4. В точке t_0 разрыва первого рода функция имеет конечные односторонние пределы: $limlimits_{tto t_0+0} f(t),~ limlimits_{tto t_0-0} f(t)$ .

Пример 5.1

2. Изображение функции f(t) — функция F(p) комплексного переменного , определяемая равенством

$F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.$

(5.1)

Область существования этой функции определяется областью сходимости интеграла Лапласа, стоящего в правой части равенства (5.1). Исследование интeгpaлa позволяет определить эту область и установить свойства функции F(p) . Имеет место следующее утверждение.

Утверждение 5.1. Если функция f(t) , является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно в области $operatorname{Re}p=sigma> sigma_0$ (рис. 5.1) , где sigma_0 — показатель роста оригинала. Внутри этой области, т.е. на любом замкнутом подмножестве $operatorname{Re}p=sigma geqslant a>sigma_0$ , интеграл сходится равномерно и определяет аналитическую функцию F(p) .

Рис. 5.1.

Замечания 5.2

1. Утверждение 5.1 аналогично свойствам степенных рядов, сходящихся в круге и равномерно сходящихся внутри этого круга, где сумма ряда является аналитической функцией.

2. Свойство аналитичности изображения имеет важное значение в теории и практике применения преобразования Лапласа, так как позволяет использовать в пространстве изображений методы теории аналитических функций, в частности разложения функций в ряды и теорию вычетов.

3. Совокупность всех изображений F(p) называется пространством изображений.

4. Переход, определяющий изображение F(p) по оригиналу f(t) , называется преобразованием Лапласа:

$F(p)= Lbigl[f(t)bigr]= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.$

(5.2)

Запись F(p)=L[f(t)] означает, что оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) .

5. Оригинал по изображению находится с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле обращения

$f(t)=L^{-1}bigl[F(p)bigr]= frac{1}{2pi i} intlimits_{sigma-iinfty}^{sigma+iinfty} e^{pt}F(p),dp,,$

(5.3)

где путь интегрирования — любая прямая operatorname{Re}p=sigma , параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой $operatorname{Re}p=sigma_0$ (рис. 5.1).

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно. Поэтому на практике пользуются методами, изложенными ранее.

Замечания 5.3

1. Для преобразования Лапласа используются различные обозначения, на пример f(t)risingdotseq F(p) и F(p)fallingdotseq f(t) , что означает: оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) и изображению F(p) соответствует оригинал f(t) . В некоторых учебниках вместо аргумента применяется , то есть F(s)=L[f(t)] и $L^{-1}[F(s)]=f(t)$ .

2. Для компактной записи оригиналов используется единичная ступенчатая функция boldsymbol{1}(t-tau)colon

$boldsymbol{1}(t-tau)= begin{cases}1,& t>tau,\ 0,& t leqslant tau,end{cases}$

(5.4)

Рис. 5.2.

где tau — точка приложения (рис. 5.2). Так как во многих практических задачах аргумент имеет смысл текущего времени, то tau также называется моментом приложения единичной ступенчатой функции. В системах автоматического регулирования и управления функция boldsymbol{1}(t-tau) рассматривается как типовой входной сигнал.

При tau=0 функция boldsymbol{1}(t-tau) является функцией Хевисайда:

$boldsymbol{1}(t)= begin{cases}1,& t>0,\ 0,& t leqslant 0.end{cases}$

(5.5)

Тогда, если функция f(t) удовлетворяет условиям “б”, “в” в определении оригинала (п. 1), но не удовлетворяет условию “а”, то функция f(t)cdot boldsymbol{1}(t) будет оригиналом, так как

$f(t)cdotboldsymbol{1}(t)= begin{cases}f(t),& t>0,\ 0,& tleqslant0. end{cases}$

Далее под заданной с помощью аналитической формулы функцией f(t) , там, где это не вызывает недоразумений, будем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда, а множитель boldsymbol{1}(t) опускать.

3. Функции F(p) , являющиеся изображениями, удовлетворяют необходимому условию: если F(p) есть изображение, то F(p)to0 при operatorname{Re}p=sigmato+infty . Поэтому функции $F_1(p)=1,~ F_2(p)=p,~ F_3(p)=sin p,~ F_4(p)= frac{p}{p-1}$ не являются изображениями. Однако в практических задачах функции типа и другие встречаются. Это требует расширения понятий оригинала и изображения.

Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть не ограничены в окрестности некоторых конечных точек, но такие, что интеграл Лапласа от них, тем не менее, сходится абсолютно в некоторой полуплоскости $operatorname{Re}p>sigma_0$ . К числу таких обобщенных оригиналов относятся степенная функция $f(t)=t^{mu}$ при mu>-1,~ln t и некоторые другие.

4. Во всякой точке t_0 , являющейся точкой разрыва функции f(t) , правая часть формулы (5.3) равна $frac{1}{2}bigl[f(t_0-0)+f(t_0+0)bigr]$ .

Примеры 5.2-5.3

Пример 5.2. Найти изображение единичной функции Хевисайда f(t)= boldsymbol{1}(t) .

Решение. Так как функция boldsymbol{1}(t) ограничена, то в качестве показателя роста можно положить sigma_0=0 . По формуле (5.2) имеем

$F(p)= L[boldsymbol{1}(t)]= intlimits_{0}^{+infty} boldsymbol{1}(t) e^{-pt},dt=left.{-frac{1}{p},e^{-pt}}right|_{0}^{+infty}= frac{1}{p},.$

так как из равенства $|e^{-pt}|= e^{operatorname{Re}(-pt)}= e^{-t operatorname{Re}p}= e^{-sigma t}$ следует, что $limlimits_{tto+infty} e^{-pt}=0$ при $operatorname{Re}p= sigma>sigma_0=0$ .

Пример 5.3. Найти изображение функции $f(t)=e^{at}$ , где — действительное число.

Решение. Показателем роста можно считать sigma_0=a . По формуле (5.2)

$F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{at}e^{-pt},dt= intlimits_{0}^{+infty} e^{(a-p)t},dt= left.{frac{e^{(a-p)t}}{a-p}}right|_{0}^{+infty}=-frac{1}{a-p}=frac{1}{p-a},.$

так как из равенства $|e^{(a-p)t}|= e^{-t(operatorname{Re}p-a)}= e^{-t(sigma-a)}$ следует, что $limlimits_{tto+infty} e^{(a-p)t}=0$ при operatorname{Re}p=sigma>a .

Свойства преобразования Лапласа

Будем предполагать, что рассматриваемые далее функции f(t),f_1(t),ldots,f_n(t) являются оригиналами. Соответствующие им изображения (при $operatorname{Re}p> sigma_i,~ i=0,1,ldots,n$ ) обозначим F(p),F_1(p),ldots,F_n(p) .

1. Линейность. Если f_1(t),ldots,f_n(t) — оригиналы, то для любых комплексных чисел c_i,~ i=1,2,ldots,n , функция $textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)}$ также является оригиналом и справедливо равенство $textstyle{L!left[ sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)right]= sumlimits_{k=1}^{n}c_k L[f_k(t)]}$

$L bigl[c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t)bigr]= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p),quad operatorname{Re}p>max{sigma_1,ldots,sigma_n}.$

(5.6)

Заметим, что для функции $textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)}$ существенно, что все слагаемыс являются оригиналами, так как, например, функция $f(t)=frac{e^{t}-1}{t}$ является оригиналом, а слагаемые $f_1(t)=frac{e^t}{t}$ и $f_2(t)=-frac{1}{t}$ не являются.

Справедливо и обратное утверждение: если F_1(p),ldots,F_n(p) — изображения, то

$L^{-1} bigl[c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p)bigr]= c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t).$

Здесь также важно, что слагаемые функции c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) являются изображениями, поскольку из того, что F(p)= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) — изображение, не следует, что F_1(p)+ldots+ F_n(p) — изображения. Например, функция $F(p)= ln frac{p-1}{p}$ является изображением, а слагаемые F_1(p)= ln(p-1) и F_2(p)=-ln p не являются.

Примеры 5.4-5.5

Пример 5.4. Найти изображение функции $f(t)=3+2e^{-t}$ .

Решение. Из примера 5.2 имеем $L[boldsymbol{1}(t)]= frac{1}{p}$ , а из примера 5.3 при a=-1 имеем $L[e^{-t}]= frac{1}{p+1}$ . Тогда согласно свойству линейности для оригинала $f(t)=3cdotboldsymbol{1}(t)+2cdot e^{-t}$ получаем $F(p)= 3cdot frac{1}{p}+2cdot frac{1}{p+1}$ .

Пример 5.5. Найти изображение функции f(t)=cos t .

Решение. Используя формулу Эйлера (2.11), получаем $f(t)=cos t=frac{e^{it}+e^{-it}}{2}= frac{1}{2},e^{it}+frac{1}{2},e^{-it}$ .

Из примера 5.3 при a=i и a=-i следует: $L[e^{it}]= frac{1}{p-i},,~ L[e^{-it}]=frac{1}{p+i}$ . Тогда по свойству линейности

$L[cos t]= frac{1}{2}L[e^{it}]+frac{1}{2}L[e^{-it}]= frac{1}{2}cdot frac{1}{p-i}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+i}= frac{p+i+p-i}{2(p^2+1)}= frac{p}{p^2+1},.$

2. Подобие (теорема подобия). Для любого a>0 из F(p)=L[f(t)] следует

$L bigl[f(at)bigr]= frac{1}{a},F! left(frac{p}{a}right)!,quad operatorname{Re}p>asigma_0,$

(5.7)

и обратно: $L^{-1} bigl[F(ap)bigr]= frac{1}{a},f! left(frac{t}{a}right)$ .

Пример 5.6

Найти изображение функции f(t)=cos at .

Решение. Из примера 5.5 следует, что $L[cos t]= frac{p}{p^2+1}$ . Тогда по теореме подобия

$L[cos at]= frac{1}{a}cdot frac{p!!not{phantom{|}},a}{(p!!not{phantom{|}}, a)^2+1}= frac{p}{p^2+a^2},.$

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном из F(p)= L[f(t)] следует

$L bigl[e^{at}f(t)bigr]= F(p-a),quad operatorname{Re}(p-a)>sigma_0,$

(5.8)

то есть умножению оригинала на $e^{at}$ соответствует смещение изображения на .

Пример 5.7

Найти изображение функции $f(t)=e^{at}cos bt$ .

Решение. Из примера 5.6 следует $L[cos bt]=frac{p}{p^2+a^2}$ . Тогда по теореме смещения $L[e^{at}cos bt]= frac{p-a}{(p-a)^2+b^2}$ .

Рис. 5.3.

Запаздывание оригинала

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого tau>0 из F(p)=L[f(t)] следует

$Lbigl[f(t-tau)bigr]= e^{-ptau}cdot F(p),quad operatorname{Re}p>sigma_0,$

(5.9)

где f(t-tau)=f(t-tau)cdot boldsymbol{1}(t-tau) (рис. 5.3), т.е. запаздыванию оригинала на tau>0 соответствует умножение изображения на $e^{-ptau}$ .

Примеры 5.8-5.10

Пример 5.8. Найти изображение функции f(t)=cos(t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3)= cos(t-3) .

Решение. В примере 5.5 получено $L[cos t]=frac{p}{p^2+1}$ . По теореме запаздывания при tau=3 имеем $L[cos(t-3)]= frac{e^{-3p}cdot p}{p^2+1}$ .

Пример 5.9. Найти оригиналы по изображениям: a) $F(p)=frac{(p-1)e^{-4p}}{(p-1)^2+4}$ ; б) $F(p)=frac{e^{-p}}{p^2}$ .

а) Из примера 5.7 следует, что при a=1,~b=2 изображению $frac{p-1}{(p-1)^2+4}$ соответствует оригинал e^tcos2t . Тогда по теореме запаздывания при tau=4 имеем

$f(t)= L^{-1}[F(p)]= e^{t-4}cos(t-4)cdot boldsymbol{1}(t-4).$

б) По формуле 3 из табл. 5.1 $L^{-1}!left[frac{1}{p^2}right]=t$ .По теореме запаздывания при tau=1 получаем $f(t)=L^{-1}[F(p)]= (t-1)cdot boldsymbol{1} (t-1)$ . Заметим, что для похожего, но отличного от полученного, оригинала f(t)=t-1 (его можно записать в виде (t-1)cdot boldsymbol{1}(t) ) изображение имеет вид $F(p)=frac{1}{p^2}-frac{1}{p}ne frac{e^{-p}}{p^2}$ .

рис. 5.4.

Пример 5.10. Найти изображение функции $delta_h(t)= begin{cases}frac{1}{h},& 0<tleqslant h,\ 0,& t<0,,t>h,end{cases}$ , график которой представлен на рис. 5.4.

С учетом (5.4) представим функцию delta_h(t) в виде $delta_h(t)= frac{boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-h)}{h}$ .

Из примера 5.2 имеем $L[boldsymbol{1}(t)]=frac{1}{p}$ . Применяя свойства линейности и запаздывания, получаем

$Lbigl[delta_h(t)bigr]= frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t)bigr]-frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t-h)bigr]= frac{1}{h}cdot frac{1}{p}-frac{1}{h}cdot frac{1}{p},e^{-ph}= frac{1-e^{-ph}}{ph},.$

Заметим, что, находя предел при hto0 в последнем выражении, можно получить изображение δ-функции $delta(t)= limlimits_{hto0} delta_h(t)colon$

$Lbigl[delta(t)bigr]= limlimits_{hto0} frac{1-e^{-ph}}{ph}= limlimits_{hto0} frac{p,e^{-ph}}{p}=1.$

Замечание 5.4. Дельта-функция часто встречается в инженерных приложениях как идеализация импульса конечной длительности. В теории автоматического регулирования и управления δ-функция вместе с единичной ступенчатой являются типовыми входными воздействиями.

Очевидно, изображение дельта-функции не удовлетворяет необходимому условию (п.2 замечаний 5.3). Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта-функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением

$intlimits_{a}^{b} f(t)delta(t-tau),dt= begin{cases}f(tau+0),& a leqslant tau<b,\ 0,& tau<a,, taugeqslant b.end{cases}$

(5.10)

Дифференцирование оригинала

5. Если функции $f(t),f'(t),ldots,f^{(n)}(t)$ являются оригиналами и F(p)=L[f(t)] , то

$begin{aligned}& L[f'(t)]= pF(p)-f(+0),\ & L[f''(t)]= p^2F(p)-pf(+0)-f'(+0),\ & quadvdots\ & L[f^{(n)}(t)]= p^nF(p)-p^{n-1}f(+0)-ldots-f^{(n-1)}(+0), end{aligned}$

(5.11)

где $f^{i}(+0)= limlimits_{tto+0} f^{(i)}(t),~ i=0,1,2,ldots,n-1$ .

Примеры 5.11-5.12

Пример 5.11. Найти изображение f'(t) , если $f(t)=e^{-t}cos3t$ .

Решение. Из примера 5.7 следует, что при a=-1,~b=3 имеем $L[e^{-t}cos3t]= frac{p+1}{(p+1)^2+9}$ .

Найдем $f(+0)=limlimits_{tto+0}e^{-t}cos3t=1$ . Согласно (5.11) $L[f'(t)]= pcdot frac{p+1}{(p+1)^2+9}-1$ .

Пример 5.12. Найти изображение выражения x''+3x'+2x+1 с начальными условиями x(+0)=1,~x'(+0)=4 .

Решение. Пусть X(p)=L[x(t)] , тогда L[x'(t)]= pX(p)-1;~ L[x''(t)]= p^2X(p)-pcdot1-4 . В примере 5.2 получено L[boldsymbol{1}(t)]=1!!not{phantom{|}},p . Используя свойство линейности, имеем

$begin{aligned}L[x''+3x'+2x+1]&= L[x'']+3L[x']+2L[x]+L[1]=\ &=p^2X(p)-p-4+3pX(p)-3+2X(p)+frac{1}{p}=\ &=(p^2+3p+2)X(p)-p-7+frac{1}{p},.end{aligned}$

Интегрирование оригинала

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)] , то

$textstyle{L! left[intlimits_{0}^{t} f(tau),dtauright]= dfrac{F(p)}{p},quad operatorname{Re}p>sigma_0,}$

(5.12)

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

Пример 5.13

Найти изображение интеграла $textstyle{intlimits_{0}^{t} f(tau),dtau}$ от функции f(t)=cos t .

Решение. Из примера 5.6 следует, что $L[cos t]=frac{p}{p^2+1}=F(p)$ . Тогда

$LBiggl[intlimits_{0}^{t} costau,dtauBiggr]= L[sin t]= frac{p}{p(p^2+1)}= frac{1}{p^2+1}$ , то есть $L[sin t]= frac{1}{p^2+1}$ .

Дифференцирование изображения

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)] . то

$Lbigl[(-1)^nt^nf(t)bigr]= F^{(n)}(p).$

(5.13)

Примеры 5.14-5.15

Интегрирование изображения

Если функция $frac{f(t)}{t}$ является оригиналом, то из F(p)=L[f(t)] следует

$L! left[frac{f(t)}{t}right]= intlimits_{p}^{infty} F(z),dz,.$

(5.14)

Пример 5.16

Найти изображение функции $frac{sin t}{t}$ .

Решение. Функция $frac{sin t}{t}$ является оригиналом, так как $left|frac{sin t}{t}right|<1$ (условие “в”) и точка t=0 является точкой разрыва первого рода (условие “б”). Из примера 5.13 следует $L[sin t]=frac{1}{p^2+1}=F(p)$ .

Отсюда $L! left[frac{sin t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2+1}= Bigl.{operatorname{arctg}z}Bigr|_{p}^{+infty}=frac{pi}{2}-operatorname{arctg}p.$ .

Умножение изображений (теорема Бореля)

Из F_1(p)=L[f_1(t)] и F_2(p)=L[f_2(t)] следует

Lbigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]= F_1(p)cdot F_2(p),

(5.15)

т.е. свертке оригиналов соответствует произведение изображений. Функция f_1(t)ast f_2(t) определяется формулой

$f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} f_1(tau)f_2(t-tau),dtau= intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau$

(5.16)

и называется сверткой оригиналов f_1(t) и f_2(t) .

Пример 5.17

Найти оригинал, соответствующий изображению $F(p)= frac{p}{(p^2+1)^2}$ .

Решение. Представим F(p) в виде произведения изображений: $F(p)= F_1(p)cdot F_2(p)= frac{1}{p^2+2}cdot frac{p}{p^2+1}$ .

Из примеров 5.6 и 5.13 следует $f_1(t)=L^{-1}! left[frac{1}{p^2+2}right]=sin t,~ f_2(t)=L^{-1}! left[frac{p}{p^2+2}right]=cos t$ .

Согласно (5.15),(5.16) получаем искомый оригинал:

$begin{aligned}L^{-1}! left[frac{p}{(p^2+1)^2}right]&= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} sintaucos(t-tau),tau= frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin t+sin(2tau-t)bigr]dtau=\ &=left.{frac{1}{2}! left(sin tcdottau-frac{1}{2}cos(2tau-t)right) }right|_{0}^{t}= frac{1}{2}! left(tsin t-frac{1}{2}cos t+frac{1}{2}cos(-t)right)= frac{t}{2}sin t.end{aligned}$

Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля)

10. Согласно свойствам 9 и 5 найдем преобразование Лапласа от производной свертки двух функций:

$Lleft{bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'right}= pF_1(p)cdot F_2(p).$

С другой стороны,

$bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(tau) f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau$

или, применяя правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, имеем

$bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau= f_1(0)f_2(t)+intlimits_{0}^{t} f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau,.$

Здесь при дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, применялась формула Лейбница, которая для общего случая имеет вид

$frac{d}{dlambda} intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)}f(x,lambda),dx= f bigl(v(lambda),lambdabigr)frac{dv}{dlambda}-f bigl(u(lambda),lambdabigr)frac{du}{dlambda}+ intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)} frac{partial}{partiallambda}f(x,lambda),dx,.$

Объединяя полученные результаты, можно записать:

$begin{aligned}L^{-1} bigl[pF_1(p)F_2(p)bigr]&= f_1(0)f_2(0)+ f'_1ast f_2= f_2(0)f_1(t)+ f'_2ast f_1=\ &=f_1(0)f_2(0)+ intlimits_{0}^{t}f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau,.end{aligned}$

(5.17)

Формула (5.17) называется интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля применяется для решения дифференциальных уравнений.

Пример 5.18

Найти оригиналы, соответствующие изображениям: a) $F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}$ ; б) $F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}$ .

Решение. а) Заметим, что здесь нельзя непосредственно воспользоваться теоре мой Бореля, так как в произведении $F(p)=frac{p}{p-1}cdot frac{1}{p-2}$ множитель $F_1(p)= frac{p}{p-1}$ не является изображением (не выполняется необходимое условие).

Представим изображение в виде произведения $F(p)=pcdotfrac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2}$ . Из примера 5.3 вытекает

$f_1(t)=L^{-1}bigl[F_1(p)bigr]= L^{-1}!left[frac{1}{p-1}right]= e^t;qquad f_2(t)= L^{-1} bigl[F_2(p)bigr]= L^{-1}! left[frac{1}{p-2}right]=e^{2t}.$

Тогда по формуле (5.17) имеем

$L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= 1cdot e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{tau}cdot e^{2(t-tau)},dtau= e^{2t}+ e^{2t} intlimits_{0}^{t} e^{-tau},dtau=-e^{t}+2e^{2t}.$

Можно решить этот пример с помощью теоремы Бореля, представив изображение в виде

$F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}= frac{p-1+1}{(p-1)(p-2)}= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2},.$

Тогда, используя свойство линейности и теорему Бореля, получаем

$L^{-1}bigl[F(p)bigr]= e^{2t}+e^{t}ast e^{2t}= e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{2tau}cdot e^{t-tau},dtau= e^{2t}+ e^{t} intlimits_{0}^{t} e^{tau},dtau= e^{2t}+e^{t}(e^{t}-1)= 2e^{2t}-e^{t}.$

б) Представим изображение в виде произведения:

$F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}= pcdot frac{p}{p^2+1}cdot frac{p}{p^2+1}= pcdot F_1(p)cdot F_2(p).$

Из примера 5.6 при a=1 и a=2 следует

$L^{-1}! left[frac{p}{p^2+1}right]=cos t=f_1(t),qquad L^{-1}! left[frac{p}{p^2+ 4}right]= cos2t= f_2(t).$

Тогда по формуле (5.17) получаем

$begin{aligned}f(t)&= L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= cos2t-intlimits_{0}^{t} sintaucos[2(t-tau)],dtau=\ &=cos2t-frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin(3tau-2t)+sin(2t-tau)bigr]dtau=\ &=cos2t+ left.{frac{1}{6}cos(3tau-2t)}right|_{0}^{t}-left.{frac{1}{2} cos(2t-tau)}right|_{0}^{t}= frac{4}{3}cos2t-frac{1}{3}cos t,.end{aligned}$

Теорема о связи “начальных” и “конечных” значений оригинала и изображения

Начальное значение оригинала находится по формуле

$f(+0)= limlimits_{ptoinfty} pF(p).$

(5.18)

Если существует конечный предел $limlimits_{tto+infty} f(t)= f(+infty)$ , то

$f(+infty)= limlimits_{pto0} pF(p).$

(5.19)

Из соотношений (5.18),(5.19) следует, что для нахождения начальных и конечных значений оригинала не требуется знания оригинала, а достаточно иметь соответствующее изображение. На практике соотношение (5.19) применяется, например, для нахождения установившегося значения выходного сигнала в системах автоматического регулирования.

Пример 5.19

Найти начальное и конечное значения оригинала, которому соответствует изображение $F(p)= frac{p+1}{(p+1)^2+9}$ .

Решение. Согласно (5.18) и (5.19) имеем

$f(+0)= limlimits_{ptoinfty} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=1;qquad f(+infty)= limlimits_{pto0} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=0.$

С другой стороны, из примера 5.7 следует, что

$f(t)= L^{-1}! left[frac{p+1}{(p+1)^2+9}right]=e^{-t}cos3t,,$

поэтому легко убедиться в правильности полученного результата.

Полученные решения примеров 5.2–5.17 позволяют сформировать таблицу преобразования Лапласа. Табл. 5.1 является фрагментом более полных таблиц, используемых далее при решении примеров и задач.

Нахождение изображения по оригиналу

Для нахождения изображения требуется применить свойства преобразования Лапласа Так, чтобы к функции или ее составляющим можно было применить результаты, содержащиеся в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Таблица основных преобразований Лапласа

Посмотреть

Пример 5.21

Найти изображения функций:

a) $f(t)=t,e^{2t}sin3t$ ; б) $f(t)=frac{2}{t}(1-cos t)$ ;

в) $f(t)=begin{cases}cos[4(t-2)],&t>3,\ 0,&t leqslant 2;end{cases}$ ; г) $f(t)= begin{cases}e^{-3t}cos[4(t-2)],& t>2,\ 0,& t leqslant 2;end{cases}$ ;

д) $f(t)= frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)}boldsymbol{1}(t-2)$ ; е) $f(t)= e^{2t}+ boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-4)sin[3(t-4)]$ ;

ж) $intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtau$ ; з) f(t)= cos(4t-8) .

Решение

а) Согласно формуле 12 из табл. 5.1 $L bigl[e^{2t}sin3tbigr]= frac{3}{(p-2)^2+9}$ . По свойству дифференцирования изображения (формула (5.13) при n=1 ):

L bigl[(-1)tf(t)bigr]=F'(p) или L bigl[tf(t)bigr]=-F'(p) .

Поэтому $Lbigl[t,e^{2t}sin3tbigr]=-left[frac{3}{(p-2)^2+9}right]'=-frac{-2(p-2)cdot3}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}$ .

Можно решать иначе, используя формулу 10 из табл. 5.1 при а = 3 и свойство смещения при a=2colon

$L bigl[tsin3tbigr]= frac{6p}{(p^2+9)^2}$ и $L bigl[t,e^{2t}sin3tbigr]= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}$ .

б) Применим свойства линейности и интегрирования изображения. Так как $L[1-cos t]=frac{1}{p}-frac{p}{p^2+1}$ в силу формул 1 и 9 из табл. 5.1 , то согласно (5.14)

$L! left[frac{2}{t}(1-cos t)right]= 2 intlimits_{p}^{+infty}! left(frac{1}{z}-frac{z}{z^2+1}right)!dz= ldots= lnfrac{p^2+1}{p^2},.$

в) По формуле 9 из табл. 5.1 $L[cos4t]= frac{p}{p^2+16}$ . Функцию fit) можно записать, используя единичную ступенчатую функцию: f(t)= cos[4(t-2)]cdot boldsymbol{1}(t-2) . Поэтому для нахождения изображения следует применить теорему запаздывания (5.9) к оригиналу cos4t при tau=2colon

$L bigl[cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2p}cdot frac{p}{p^2+16},.$

г) Согласно теореме смещения (5.8) и с учетом результата п. “в” имеем

$L bigl[e^{-3t}cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2(p+3)}cdot frac{p+3}{(p+3)^2+16}$ , так как a=-3 .

д) По теореме запаздывания (5.9) при tau=2 и по формуле 7 из табл. 5.1 при a=2,~ b=-1 получаем

$L! left[frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)} boldsymbol{1}(t-2)right]= e^{-2p}cdot L! left[frac{1}{2},t^2e^{-t}right]= e^{-2p}cdot frac{1}{2}cdot frac{2!}{(p+1)^3}= frac{e^{-2p}}{(p+1)^3},.$

е) Используя свойства линейности, запаздывания и формулы 6,1,8 из табл. 5.1, получаем

$F(p)= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p},e^{-p}+ e^{-4p}cdot frac{3}{p^2+9},.$

ж) По формуле 19 из табл. 5.1 находим $L[operatorname{sh}t]=frac{1}{p^2-1}$ . По свойству интегрирования изображения (формула (5.14)):

$L! left[frac{operatorname{sh}t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2-1}= left.{frac{1}{2}ln frac{z-1}{z+1}}right|_{p}^{+infty}= ldots=-frac{1}{2} ln frac{p-1}{p+1}= frac{1}{2}ln frac{p+1}{p-1},.$

По свойству интегрирования оригинала (5.12): $L Biggl[intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtauBiggr]= frac{1}{2p}ln frac{p+1}{p-1}$ .

з) Используем формулу косинуса разности и запишем оригинал в виде суммы:

f(t)= cos(4t-8)= cos4tcos8+sin4tsin8

По свойству линейности получаем:

$L bigl[cos(4t-8)bigr]= cos8cdot frac{p}{p^2+16}+ sin8cdot frac{4}{p^2+16}= frac{pcos8+4sin8}{p^2+16},.$

Заметим, что здесь f(t)=f(t)cdot boldsymbol{1}(t) и результаты пп. “в” и “з” различны так как оригиналами являются разные функции.

Нахождение изображений функций, заданных графиком

При решении прикладных задач оригинал часто задан графиком. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматической регулирования. В этом случае рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции (5.4), привести полученное выражение к виду, удобному для применения табл. 5.1 и свойстве преобразования Лапласа.

Пример 5.22

Найти изображения функций, заданных графиками на рис. 5.5.

Решение.

рис. 5.5.

а) Представим функцию в виде f(t)=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1) .

По формуле 3 из табл.5.1 и теореме запаздывания (формула (5.9) при tau=1 )

$F(p)=-frac{1}{p^2}cdot e^{-p}.$

б) Запишем функцию в виде f(t)=(1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)+boldsymbol{1}(t-1)bigr]=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1) .

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{e^{-p}}{p^2}$ .

в) Запишем изображенную функцию в виде f(t)=-tcdot boldsymbol{1}(t-1)= (-t+1-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1) .

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)=-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-p}}{p}$ .

г) Представим функцию в виде

$begin{aligned}f(t)&= (t-1)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\ &=(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-2(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}$

По формулам 3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)= frac{e^{-p}}{p^2}-frac{2e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}$ .

д) Запишем функцию в форме

$begin{aligned}f(t)&= t bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]+ bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\[2pt] &=tcdotboldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2),+\ &quad+(2-t)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ boldsymbol{1}(t-2)-(3-t)cdot boldsymbol{1}(t-3)=\[2pt] &=tcdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}$

По формулам З из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) $F(p)=frac{1}{p^2}-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}$ .

е) Представим изображенную функцию в виде

$begin{aligned}f(t)&= (1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-2)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2).end{aligned}$

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) $F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}+frac{1}{p^2},e^{-2p}$ .

ж) Запишем функцию в форме f(t)= sin tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-pi)bigr]= sin tcdotboldsymbol{1}(t)+ sin(t-pi)cdot boldsymbol{1}(t-pi) .

По формуле 8 из табл. 5.1 и по теореме запаздывания $F(p)= frac{1}{p^2+1}+ frac{e^{pi p}}{p^2+1}$ .

з) Представим функцию в виде $f(t)= e^{-t} bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= e^{-t}cdotboldsymbol{1}(t)-frac{e^{-(t-1)}}{e}cdot boldsymbol{1}(t-1).$ .

По формуле 6 из табл. 5.1 при a=-1 и (5.9) при tau=1 имеем

$F(p)= frac{1}{p+1}-frac{1}{e}cdot frac{e^{-p}}{p+1}= frac{1}{p+1}bigl(1-e^{-p-1}bigr).$

и) Представим функцию в виде f(t)=1cdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]= boldsymbol{1}(t)-2cdot boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-2). .

Используя формулы 2 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9), получаем $F(p)=frac{1}{p}-frac{2}{p}e^{-p}+ frac{1}{p},e^{-2p}$ .

Нахождение изображений периодических функций

Во многих приложениях используются оригиналы, являющиеся периодическими функциями.

Пусть f(t) — оригинал с периодом (рис. 5.6,в), образованный повторением функции f_0(t) (рис. 5.6,б):

$f_0(t)= begin{cases}0,& tleqslant 0,\ f(t),& 0<tleqslant T,\ 0,& t>T.end{cases}$ рис. 5.6,

Для нахождения изображения F(p) периодической функции f(t) следует:
1. Найти изображение функции f_0(t)colon, F_0(p)=Lbigl[f_0(t)bigr] .
2. Найти изображение F(p) по формуле

$F(p)= frac{F_0(p)}{1-e^{-Tp}}$

(5.20)

Пример 5.23.

Найти изображения функций, представленных на рис. 5.7.
Решение

рис. 5.7.

а) По графику (рис. 5.7,в) получаем

$f_0(t)= tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= 1cdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1).$

Поэтому $F_0(p)= frac{1}{p^2}-frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}$ .

Поскольку T=1 , по формуле (5.20) находим

$F(p)= frac{dfrac{1}{p^2}(1-e^{-p}-pe^{-p})}{1-e^{-p}}= frac{e^p(1-e^{-p}-pe^{-p})}{p^2(e^p-1)}= frac{e^p-1-p}{p^2(e^p-1)},.$

б) По графику (рис. 5.7,б) имеем $f_0(t)= boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-tau)$ , тогда $F_0(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p},e^{-ptau}$ . По формуле (5.20) при T=2tau имеем

$F(p)= frac{1}{p}(1-e^{-ptau})frac{1}{1-e^{-2tau p}}= frac{1}{p(1+e^{-ptau})},.$

в) Функция, изображенная на рис. 5.7,в , имеет период T=2c . Запишем аналитическое выражение для f_0(t) и соответствующее изображение F_0(p)colon

$begin{aligned}&f_0(t)= h bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-c)bigr]-h bigl[boldsymbol{1}(t-c)-boldsymbol{1}(t-2c)bigr]= hcdotboldsymbol{1}(t)-2hcdot boldsymbol{1}(t-c)+hcdot boldsymbol{1}(t-2c),\ &F_0(p)= frac{h}{p}-frac{2h}{p},e^{-pc}+frac{h}{p},e^{-2pc}.end{aligned}$

По формуле (5.20) получаем $F(p)=frac{h(1+e^{-2pc}-2e^{-pc})}{p(1-e^{2pc})}$ .

г) Для функции, изображенной на рис. 5.7,г, изображением для f_0(t) является $F_0(p)= frac{1}{p^2+1}(1+e^{-pi p})$ (см. пример 5.22 п.”ж”). Тогда по формуле (5.20) при T=pi получаем $F(p)= frac{1+e^{-pi p}}{(p^2+1)(1-e^{-pi p})}$ .

Нахождение оригинала по изображению

Непосредственное применение формулы обращения (5.3) затруднительно, поэтому для нахождения оригинала применяются теоремы разложения и правила преобразования изображения к виду, представленному в табл. 5.1.

Применение теорем разложения

Теорема 5.1 (первая теорема разложения). Если функция F(p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням $frac{1}{p}$ имеет вид $textstyle{F(p)= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}}$ , то функция (5.21) является оригиналом, соответствующим изображению F(p) .

$f(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} a_n frac{t^n}{n!},quad tgeqslant0$

(5.21)

Теорема 5.2 (вторая теорема разложения). Если изображение F(p) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек p_1,p_2,ldots,p_n лежащих в конечной части плоскости, то

$f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} bigl[e^{pt}F(p)bigr].$

(5.22)

Замечания 5.5

1. Формула (5.21) может быть записана в виде $textstyle{L^{-1}! left[sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}right]= sumlimits_{n=0}^{infty}a_nL^{-1}! left[dfrac{1}{p^{n+1}}right]}$ . Задача нахождения оригинала при выполнении условий теоремы сводится к нахождению коэффициентов разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

2. Формула (5.22) принимает наиболее простой вид в случае F(p)=R(p) — рационального изображения, т.е. $F(p)= R(p)= frac{P_m(p)}{Q_n(p)}$ , где P_m(p),,Q_n(p) — многочлены степеней /пил соответственно, не имеющие общих корней. Если все полюсы p_1,p_2,ldots,p_n функции F(p) простые, то по формуле (4.24) получаем $mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}$ , а формула (5.22) принимает вид

$f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}.$

(5.23)

3. Если при выполнении условий п.2 коэффициенты многочлена Q_n(p) — лействительные числа, то его комплексные корни, как известно, являются по парно сопряженными. Нахождение суммы вычетов в таких точках можно заме нить нахождением действительной части вычета в одной из них. Действительио, вычет в точке $overline{p}_k$ , используя свойства сопряженных чисел, можно записать следующим образом:

$mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(overline{p}_k)}{Q'_n(overline{p}_k)},e^{overline{p}_kt}= frac{overline{P_m(p_k)}}{overline{Q'_n(p_k)}},e^{overline{p_kt}}= overline{frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}}.$

Это означает, что вычет в точке $overline{p}_k$ есть число, сопряженное вычету в точке p_k , а сумма таких чисел равна их удвоенной действительной части:

$mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}.$

Пример 5.24

Найти оригиналы для функций:

a) $F_1(p)=frac{1}{p}exp frac{1}{p^2},quad F_2(p)=frac{1}{p}cos frac{1}{p},quad F_2(p)= frac{1}{sqrt{p}}sin frac{1}{sqrt{p}}$ ;

б) $F_1(p)=frac{p}{p^2+4p+5},quad F_2(p)=frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)},quad F_3(p)=frac{p^2+p+1}{(p-1)(p+1)^2}$ .

Решение. В случае “а” для решения задачи используем теорему 5.1, а в случае “б” — теорему 5.2.

а) Используем типовые разложения

$e^z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!},qquad cos z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},qquad sin z=sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},.$

Для заданных изображений получаем:

$begin{aligned}F_1(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n}n!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n+1}n!},quad a_{2n}=frac{1}{n!},;\[2pt] F_2(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n}(2n)!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n+1}(2n)!},quad a_{2n}= frac{(-1)^n}{(2n)!},;\[2pt] F_3(p)&= frac{1}{sqrt{p}} sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{sqrt{p^{2n+1}}(2n+1)!}= sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n+1)!p^{n+1}},quad a_n= frac{(-1)^n}{(2n+1)!},.end{aligned}$

Согласно первой теореме разложения

$f_1(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{n!}frac{t^{2n}}{(2n)!},,qquad f_2(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^{2n}}{[(2n)!]^2},,qquad f_3(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^n}{(2n+1)!n!},.$

б) Представим F_1(p) в виде

$F_1(p)= frac{p}{p^2+4p+5}= frac{P_1(p)}{Q_2(p)}= frac{p}{bigl[p-(-2+i)bigr] bigl[p-(-2-i)bigr]},.$

где p_1=-2+i,~ p_2=-2-i — простые полюсы функции F(p) . По второй теореме разложения

$begin{aligned}f_1(t)&= sumlimits_{k=1}^{2}frac{P_1(p_k)}{Q'_2(p_k)},e^{p_kt}= sumlimits_{k=1}^{2} frac{p_k}{2p_k+4},e^{p_kt}= frac{-2+i}{-4+2i+4},e^{(-2+i)t}+ frac{-2-i}{-4-2i+4},e^{(-2-i)t}=\ &=e^{-2t}! left(frac{-2+i}{2i},e^{it}+frac{2+i}{2i},e^{-it}right)= e^{-2t}! left(frac{e^{it}+e^{-it}}{2}-2cdotfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}right)= e^{-2t} bigl[cos t-2sin tbigr]. end{aligned}$

Тот же результат можно получить, пользуясь пп. 2 и 3 замечаний 5.5:

$begin{aligned}f_1(t)&= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2+i} frac{p,e^{pt}}{p^2+4p+5}= left.{2 operatorname{Re} frac{p,e^{pt}}{2p+4}}right|_{-2+i}= 2 operatorname{Re} frac{-2+i}{2i},e^{(-2+i)t}=\ &=2 operatorname{Re}! left[e^{-2t}, frac{1+2i}{2},e^{it}right]= operatorname{Re} bigl[e^{-2t}(1+2i)(cos t+isin t)bigr]= e^{-2t}(cos t-2sin t). end{aligned}$

Функция F_2(p) имеет четыре простых полюса: p_1=-1,~ p_2=2,~ p_3=2i .

Так как вычет в простом полюсе находится по формуле $mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} F(p)= limlimits_{pto p_k} F(p)(p-p_k)$ , то по второй теореме разложения

$begin{aligned}f_2(t)&= sumlimits_{k=1}^{4} mathop{operatorname{res}}limits_{p_k} bigl[F(p)e^{pt}bigr]= limlimits_{pto-1} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-2)(p^2+4)}+ limlimits_{pto2} frac{(p+2)e^{pt}}{(p+1)(p^2+4)},+\ &qquad + limlimits_{pto2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p+2i)}+ limlimits_{pto-2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p-2i)}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{2+2i}{8-24i},e^{2it}+ frac{2-2i}{8+24i},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{-32+64i}{640},e^{2it}+ frac{-32-64i}{640},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{64}{640}cdot frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2}-frac{128}{640}cdot frac{e^{2it}-e^{-2it}}{2i}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{1}{10}cos2t-frac{1}{5}sin2t,.end{aligned}$

Функция F_3(p) имеет два полюса: простой p_1=1 и полюс второго порядка p_2=-1 .

По второй теореме разложения $f_3(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}$ . Находим вычеты

$begin{aligned}mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)(p-1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p+1)^2}= frac{3}{4},e^{t},\[2pt] mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto-1} frac{d}{dp}! left[frac{(p^2+p+1)e^{pt}(p+1)^2}{(p-1)(p+1)^2}right]= ldots= frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}, end{aligned}$

получаем окончательный ответ $f_3(t)= frac{3}{4},e^{t}+frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}$ .

Применение таблицы и свойств преобразования Лапласа

Приведем ряд известных приемов нахождения оригинала.

1. Если изображение отличается от табличного на постоянный множитель, то его следует умножить и одновременно поделить на этот множитель, а затем воспользоваться свойством линейности.

Пример 5.25

2. Изображение, заданное в виде дроби $frac{apm b}{c}$ , разлагается на сумму дробей.

Пример 5.26

Найти оригинал для функций: а) $F(p)= frac{3p}{(p+5)^2}$ ; б) $F(p)= frac{3p-2}{(p+5)^2}$ ; в) $F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}$ .

Решение. Представим дроби в виде суммы двух слагаемых, а затем воспользуемся свойством линейности и формулами из табл. 5.1:

а) $F(p)= frac{3(p+5)-15}{(p+5)^2}= 3cdotfrac{1}{p+5}-15cdot frac{1}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)=3e^{-5t}-15te^{-5t}$ ;

б) $F(p)= 3cdot frac{p}{(p+5)^2}-frac{2}{1!}cdot frac{1!}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)= 3(1-5t)e^{-5t}-2te^{-5t}= e^{-5t}(3-17t)$ .

в) представим F(p) в виде $F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}= frac{p^3+2(p+ 1)}{p^3(p+1)}= frac{2}{p^3}+ frac{1}{p+1}$ . По формулам 4,6 из табл. 5.1 находим $f(t)= t^2+e^{-t}$ .

3. Если знаменатель дроби содержит квадратный трехчлен, то в нем выде ляется полный квадрат: ap^2+bp+c= a(ppmalpha)^2pmomega^2 . При этом числитель дроби представляется в виде многочлена от .

Пример 5.27

Найти оригиналы для функций: a) $F(p)=frac{3}{p^2+4p+7}$ ; б) $F(p)= frac{3p+2}{2p^2-8p+6}$ .

Решение. а) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и воспользуемся табл. 5.1 (по формуле 12 из табл. 5.1 при a=-2,~ b=sqrt{3} ):

$F(p)= frac{3}{(p+2)^2-4+7}= frac{3}{(p+2)^2+3}= sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{(p+2)^2+(sqrt{3})^2}quad Rightarrowquad f(t)=sqrt{3},e^{-2t}sin(t sqrt{3}).$

б) Используем представление

$F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{1,!5p+1}{(p-2)^2-1}= frac{1,!5(p-2)+3}{(p-2)^2-1}+ frac{1}{(p-2)^2-1}= 1,!5cdotfrac{p-2}{(p-2)^2-1}+4cdot frac{1}{(p-2)^2-1},.$

По формулам 19,20 из табл. 5.1 и по теореме смещения (формула (5.8))

$f(t)=frac{3}{2},e^{2t}operatorname{ch}t+ 4e^{2t}operatorname{sh}t= frac{3}{2},e^{2t},frac{e^t+e^{-t}}{2}+ 4e^{2t},frac{e^t-e^{-t}}{2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.$

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

$begin{gathered}F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{3p+2}{2(p-1)(p-3)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}= frac{5e^t}{2cdot(-2)}+ frac{11e^{3t}}{2cdot2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.end{gathered}$

4. Если оригинал представляет собой правильную рациональную дробь, то следует разложить ее на простейшие дроби и для каждой из полученных дробей найти оригинал.

Примеры 5.28-5.29

Пример 5.28. Найти оригиналы для функций:

а) $F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)}$ ; б) $F(p)=frac{p}{(p+2)^2(p-1)}$ ; в) $F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}$ ; г) $F(p)=frac{3p}{2p^2-2p-4}$ .

Решение. а) Представим F(p) в виде $F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)} = frac{A}{p}+ frac{Bp+C}{p^2+4p+13}$ , где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда следует равенство 3p^2+3p-13= Ap^2+4Ap+13A+Bp^2+Cp .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов:

$begin{cases}A+B=3,\ 4A+C=3,\ 13A=-13.end{cases}$ Решая ее, получаем A=-1,~B=4,~C=7 и

$F(p)=-frac{1}{p}+frac{4p+7}{p^2+4p+13}=-frac{1}{p}+ frac{4(p+2)-1}{(p+2)^2+9}=-frac{1}{p}+4cdot frac{p+2}{(p+2)^2+3^2}-frac{1}{3}cdot frac{3}{(p+2)^2+3^2},.$

По формулам 1,12,13 из табл. 5.1 $f(t)=-1+4e^{-2t}cos3t-frac{1}{3},e^{-2t}sin3t$ .

б) Представим F(p) в виде $F(p)= frac{p}{(p+2)^2(p-1)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{(p+2)^2}$ , где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда A(p+2)^2+ B(p-1)(p+2)+ C(p-1)=p .

Подставляя последовательно p=1,~p=-2,~ p=0 , получаем $A=frac{1}{9},~ B=frac{2}{3},~ C=-frac{1}{9}$ и поэтому

$F(p)=frac{1}{9}cdot frac{1}{p-1}-frac{1}{9}cdot frac{1}{p+2}+ frac{2}{3}cdot frac{1}{(p+2)^2},.$

По формулам 6,7 из табл. 5.1 находим $frac{1}{9},e^{t}-frac{1}{9},e^{-2t}+ frac{2}{3},t,e^{-2t}.$ .

в) Представим изображение в виде $F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{p-3}$ . Отсюда

A(p+2)(p-3)+ B(p-1)(p-3)+ C(p-1)(p+2)= p^2+4.

При p=1,~p=-2,~p=3 получаем $A=-frac{5}{6},~ B=frac{8}{15},~ C=frac{13}{10}$ , поэтому

$F(p)=-frac{5}{6}cdot frac{1}{p-1}+ frac{8}{15}cdot frac{1}{p+2}+ frac{13}{10}cdot frac{1}{p-3},.$

По свойству линейности и по формуле 6 из табл. 5.1 получаем

$f(t)=-frac{5}{6},e^{t}+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.$

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

$begin{gathered}F(p)= frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}\ Downarrow\ begin{aligned}f(t)&= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}=\ &= frac{5e^t}{3cdot(-2)}+ frac{8e^{-2t}}{(-3)cdot(-5)}+ frac{13e^{3t}}{2cdot5}=-frac{5}{6},e^t+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.end{aligned}end{gathered}$

г) Представим F(p) в виде $F(p)= frac{3p}{2p^2-2p-4}= frac{3p}{2(p-2)(p+1)}= frac{A}{p-2}+ frac{B}{p+1}$ , где A,,B — неопределенные коэффициенты.

Из равенства $A(p+1)+B(p-2)=frac{3p}{2}$ при p=-1,~p=2 получаем $A=1,~ B=frac{1}{2}$ , поэтому $F(p)=frac{1}{p-2}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+1}$ .

По формуле 6 из табл. 5.1 имеем $f(t)=e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}$ .

Можно также решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24 и п. “в” данного примера):

$begin{gathered}F(p)= frac{3p}{2(p^2-p-2)}= frac{3p}{2(p+1)(p-2)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=-1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=2} F(p)e^{pt}= frac{-3e^{-t}}{2cdot(-3)}+ frac{6e^{2t}}{2cdot3}= e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}. end{gathered}$

Пример 5.29. Найти оригиналы для функций: a) $F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}$ ; б) $F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}$ .

Решение. а) Решим пример различными способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

$F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{2}{p}+ frac{1}{p^2}-frac{2}{p-1}+ frac{1}{(p-1)^2},.$

По формулам 2,3,6,7 из табл. 5.1 получаем f(t)=2+t-2e^t+te^t .

Второй способ. Применим вторую теорему разложения, учитывая, что p_1=0 и p_2=1 — полюсы второго порядка функции F(p)colon

$begin{aligned} f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=0}F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=1}F(p)e^{pt}= limlimits_{pto0} frac{d}{dp}! left[frac{p^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]+ limlimits_{pto1} frac{d}{dp}! left[frac{(p-1)^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]= ldots= t+2+te^t-2e^t.end{aligned}$

Третий способ. Обозначим $F_1(p)= frac{1}{(p-1)^2}$ . Тогда f_1(t)=t,e^t . Рассмотрим функцию $F_2(p)= frac{1}{p}F_1(p)$ . По свойству интегрирования оригинала (формула (5.12)) получаем

$f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau},dtau= Bigl.{tau,e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}-Bigl.{e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}= t,e^t-e^t+1.$

Заметим, что $F(p)= frac{1}{p}F_2(p)$ . Применяя еще раз свойство интегрирования оригинала, имеем

$f(t)= intlimits_{0}^{t}(tau,e^{tau}-e^{tau}+1)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.$

Четвертый способ. Представим изображение в виде произведения

$F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{1}{p^2}cdot frac{1}{(p-1)^2}= F_1(p)cdot F_2(p)$ , где $F_1(p)=frac{1}{p^2},~~ F_2(p)=frac{1}{(p-1)^2}$ .

По формулам 3 и 7 из табл. 5.1 f_1(t)=t,~ f_2(t)=t,e^t . Далее по теореме Бореля (формула (5.15))

$f(t)= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau}(t-tau)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.$

б) Решим пример также несколькими способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

$F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p[p^2+4-(p^2+1)]}{3(p^2+1)(p^2+4)}= frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+1}-frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+4},.$

По формуле 9 из табл. 5.1 получаем $f(t)= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t$ .

Второй способ. Применим вторую теорему разложения с учетом пп. 2,3 замечаний 5.5:

$f(t)= 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}+ 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=2i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Третий способ. Представим изображение в виде произведения:

$F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p}{p^2+4}cdot frac{1}{p^2+1}= F_1(p)cdot F_2(p).$

Отсюда $f_1(t)= L^{-1}! left[frac{p}{p^2+4}right]=cos2t,~ f_2(t)= L^{-1}! left[frac{1}{p^2+1}right]= sin t$ . По теореме Бореля

$f(t)=f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} cos2tausin(t-tau)dtau= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Четвертый способ. Используем формулу 37 из табл. 5.1. При a=1,~b=2 получаем

$f(t)=frac{cos2t-cos t}{1-4}= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^<-pt>dt$$

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^<-3tau>dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Применение преобразования Лапласа к решению
линейных дифференциальных уравнений и систем

1°. Общие сведения о преобразовании Лапласа: оригинал и изображение

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:

2) функция интегрируема на любом конечном интервале оси ;

3) с возрастанием модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа 0″ png;base64,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” /> и такие, что для всех имеем

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

при s_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFIAAAATBAMAAADxBkdhAAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAQcCBEFor0KCR6LBxSK9m8wAAAVlJREFUKM9jYCAaJBsbGx8jSqVj71LRWVuIUiqrwMB6iViVDHcT0AQNcaoUQBN0LsVh+3UGBlYlVSAnqUVaFarUASrPuKkFprJQ8JQKA0NUQmwAA0vBpZZciPnOxVClUQmzYSoXW1xyYGC7ycBewMB65DYD7waIOCtUaTHDDQY2EajtQMR8WVD6AgNj6lUGXgWoEawVYKWrpiYw9AglQFSyX2PgvGFsbMDAwHmFQXYDTKUGWOXZuwVsC1gVICqZ7jAw3wHLAl1gGwBVWAkOOja38IvMCowXoCpvMrDdYGAAKvGdwLAKotAV6szYCYzXgCovglQWMHBcZ1OYlcDWABRX4FmG6vVTCcwKTGCVsnfvKrDUWgQwX9oElJvb0ZSAGvJOmzUcOCFmgkP3IBCDDClngxjVipSEGBig7kQGLDexJg2g3zegCfFcxZ6KZoSjJ6FJShOwGwqMIwCRZlRL/vuSSQAAAABJRU5ErkJggg==” style=”vertical-align: middle;” />. Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).

Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу его изображение , называется преобразованием Лапласа. При этом пишут .

Свойства преобразования Лапласа

Всюду в дальнейшем считаем, что

I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и

II. Теорема подобия. Для любого постоянного 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=” />

III. Дифференцирование оригинала. Если есть оригинал, то

Обобщение: если раз непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал, то

IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на “минус аргумент”, т.е.

V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на

VI. Интегрирование изображения равносильно делению на оригинала:

(предполагаем, что интеграл сходится).

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа

IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений и также является изображением, причем

Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций и и обозначается символом

Теорема XI утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов , т.е.

Отыскание оригиналов дробно-рациональных изображений

Для нахождения оригинала по известному изображению , где есть правильная рациональная дробь, применяют следующие приемы.

1) Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и находят для каждой из них оригинал, пользуясь свойствами I–IX преобразования Лапласа.

2) Находят полюсы этой дроби и их кратности . Тогда оригиналом для будет функция

где сумма берется по всем полюсам функции .

В случае, если все полюсы функции простые, т.е. , последняя формула упрощается и принимает вид

Пример 1. Найти оригинал функции , если

Решение. Первый способ. Представим в виде суммы простейших дробей

и найдем неопределенные коэффициенты . Имеем

Полагая в последнем равенстве последовательно , получаем

Находя оригиналы для каждой из простейших дробей и пользуясь свойствам линейности, получаем

Второй способ. Найдем полюсы функции . Они совпадают с нулями знаменателя . Таким образом, изображение имеет четыре простых полюса . Пользуясь формулой (17), получаем оригинал

Пример 2. Найти оригинал , если .

Решение. Данная дробь имеет полюс кратности и полюс кратности . Пользуясь формулой (16), получаем оригинал

2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Будем считать, что функция и решение вместе с его производньь ми до второго порядка включительно являются функциями-оригиналами. Пусть . По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (2) имеем

Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойством линейности преобразования, получаем операторное уравнение

Решая уравнение (20), найдем операторное решение

Находя оригинал для , получаем решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (19).

Аналогично можно решить любое уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и с начальными условиями при .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение операторным методом

Решение. Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем

Известно, что поэтому, переходя отданной задачи (21)–(22) к операторному уравнению, будем иметь

Легко видеть, что функция удовлетворяет данному уравнению и начальному условию задачи.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

Отсюда находим операторное решение

Разлагаем правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

и, следовательно, операторное решение

Разложим правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получим решение поставленной задачи

3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение системы двух уравнений с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

Будем предполагать, что функции , а также и являются функциями-оригиналами.

По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (24) имеем

Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (23) преобразование Лапласа, получим операторную систему

Эта система является линейной алгебраической системой двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая ее, мы найдем и , а затем, переходя к оригиналам, получим решение системы (23), удовлетворяющее начальным условиям (24). Аналогично решаются линейные системы вида

Пример 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений операторным методом

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Так как и , то операторная система будет иметь вид

Решая систему, получаем

Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные:

Переходя к оригиналам, получим искомое решение

Операционное исчисление с примерами решения и образцами выполнения

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

f(t)— кусочно-непрерывная при т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
Существуют такие числа что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные и другие (для функций вида ( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция (не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид она считается оригиналом, если действительные функции являются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде или (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости — показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости .

Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости (см. рис. 302).

Учитывая, что находим:

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Решение:

По формуле (78.1) при находим:

т. e. , или, в символической записи,

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Пример:

Найти изображение функции — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Замечание:

Функция является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

— постоянные числа, то

Используя свойства интеграла, находим

Пример:

Найти изображения функций — любое число), с (const),

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Аналогично получаем формулу

Далее, т. е.

Аналогично получаем формулу

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть . Тогда

Смещение (затухание)

т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

можно записать так:

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и обобщенной единичной функции . Поэтому

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции f(t) будет равно

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Решение:

Пусть Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Дифференцирование изображения

Если то

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Пример:

Найти изображения функций

Решение:

Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т. е.

Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5), Следовательно,

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция является оригиналом (можно проверить).

Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как ). А так как

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то т. е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Пример:

Найти изображение функции найти изображение интегрального синуса

Решение:

т. е. Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Умножение изображений

Если то

Можно показать, что функция является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е.

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Пример:

Найти оригинал функций

Решение:

Следствие:

Если также является оригиналом, то

Запишем произведение в виде

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение:

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Умножение оригиналов

где путь интегрирования — вертикальная прямая (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

6. Дифференцирование изображения

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Решение:

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки:

где Следовательно,

Теорема:

Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) то функция

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на :

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Итак, Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на найдем

Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим

Так как по формуле (78.3)

то на основании свойства линейности имеем

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Можно показать, что если правильная дробь, но корни (нули) знаменателя В(р) имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение является дробно-рациональной функцией от — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

корни знаменателя и, согласно формуле (79.1),

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как

Решение:

— простой корень знаменателя, — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь

на сумму простейших дробей:

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение и так как пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.

В этом случае

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях

Решение:

Пусть Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Отсюда Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших но так как корни знаменателя простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Пример:

Найти решение уравнения

при условии

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Таким образом, имеем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

то по теореме запаздывания находим:

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Система операторных уравнений принимает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=reshenie-du-i-sistem-operatornym-metodom

http://lfirmal.com/operacionnoe-ischislenie/

[/spoiler]

Источник

Свойства преобразования Лапласа
- - Линейность
  - Пример №78.4.
  - Подобие
  - Смещение (затухание)
  - Пример №78.5.
  - Запаздывание
  - Пример №78.6.
  - Пример №78.7.
  - Пример №78.8.
  - Дифференцирование оригинала
  - Пример №78.9.
  - Дифференцирование изображения
  - Пример №78.10.
  - Интегрирование оригинала
  - Интегрирование изображения
  - Пример №78.11.
  - Умножение изображений
  - Пример №78.12.
  - Пример №78.13.
  - Умножение оригиналов
  - Резюме
- Таблица оригиналов и изображений

Свойства преобразования Лапласа

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если , и — постоянные числа, то .

Используя свойства интеграла, находим

Пример №78.4.

Найти изображения функций ( — любое число), .

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

т.е.

Аналогично получаем формулу

Далее, , т. е.

Наконец, , т.е.

Аналогично получаем формулу

Подобие

Если , то , т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Например, пусть . Тогда

Смещение (затухание)

Если , то , т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной .

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример №78.5.

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если , то , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Функция называется обобщенной единичной функцией (см. рис 305).

Так как , то .

Запаздывающую функцию

можно записать так: .

Пример №78.6.

Найти изображение .

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию как

т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию как

т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим .

Пример №78.7.

Найти изображение функции

Решение:

Пример №78.8.

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда и :

т.е.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции будет равно

Замечания.

Изображение периодического оригинала с периодом, равным , есть .
Свойство опережения
применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак, . Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной :

Аналогично найдем изображение третьей производной :

Применяя формулу (78.11) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)—(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если , то ; если , то , и, наконец, если , то , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на .

Пример №78.9.

Найти изображение выражения

если .

Решение:

Пусть . Тогда, согласно формулам (78.11) — (78.13), имеем

Следовательно,

Дифференцирование изображения

Если , то

т. e. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на .

Согласно теореме 78.1 существования изображения, является аналитической функцией в полуплоскости . Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру (обоснование законности этой операции опустим), получим

т.е. . Тогда , и вообще .

Пример №78.10.

Найти изображения функций

Решение:

Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем , т. е.

Далее находим , т.е. . Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5), . Следовательно,

т. e. , или

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

Если , то , т. е. интегрированию оригинала от 0 до соответствует деление его изображения на .

Функция является оригиналом (можно проверить).

Пусть . Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как ). А так как

то . Отсюда , т. е. .

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то , т. e. интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на .

Пример №78.11.

Найти изображение функции ; найти изображение интегрального синуса .

Решение:

Так как , то , т.е. . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем .

Умножение изображений

Если , то

Можно показать, что функция является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. .

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.

Пример №78.12.

Найти оригинал функций

Решение:

Так как и то

т.е.

Аналогично получаем

Следствие 78.2. Если и также является оригиналом, то

Запишем произведение в виде

или

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или