Как найти изоморфную группе

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции.
Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Определение[править | править код]

Если заданы две группы (G, ∗) и (H, circ ).
Изоморфизм групп из (G, ∗) в (H, circ ) — это биективный гомоморфизм групп из G в H.

Другими словами, изоморфизм групп — это биекция , такая, что для любых u и v из G выполняется

Замечания[править | править код]

Часто используется более короткая и простая запись. Если групповые операции не приводят к двусмысленности, их опускают:

(Иногда даже пишут просто G = H. Не приведёт ли такая запись к путанице и двусмысленности, зависит от контекста. Например, употребление знака равно не очень подходит в случае, когда две группы являются подгруппами одной и той же группы.)

Если H = G и = ∗, биекция является автоморфизмом^[⇨].

Изоморфизм групп можно определить как двусторонний обратимый морфизм в категории групп.

Примеры[править | править код]

${displaystyle (mathbb {R} ,+)cong (mathbb {R} ^{+},cdot )}$

посредством изоморфизма

$f(x)=e^{x}$

(смотрите экспонента).

${displaystyle (mathbb {R} /mathbb {Z} ,+)cong (S^{1},cdot )}$

Изоморфизм задаётся выражением

$f(x+{mathbb {Z}})=e^{{2pi xi}}$

для любого x из

Обобщая, для всех нечётных n, группа Dih_2n изоморфна прямому произведению Dih_n и Z₂.

Для некоторых групп можно доказать изоморфизм, исходя из аксиомы выбора, но такое доказательство не показывает, каким образом сконструировать конкретный изоморфизм. Примеры:

Циклические группы[править | править код]

Если (G, ∗) является бесконечной циклической группой, то (G, ∗) изоморфна целым числам (по сложению). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (по сложению) является единственной бесконечной циклической группой.

Все конечные циклические группы заданного порядка изоморфны ${displaystyle (mathbb {Z} _{n},+)}$ .

Пусть G — циклическая группа и n — порядок группы G. G является группой, порождённой элементом ${displaystyle langle xrangle ={e,x,...,x^{n-1}}}$ .
Мы покажем, что

${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+)}$

Определим

$varphi :Grightarrow {mathbb {Z}}_{n}={0,1,...,n-1}$

, так что $varphi (x^{a})=a$

. Ясно, что varphi

биективно.

Таким образом,

${displaystyle varphi (x^{a}cdot x^{b})=varphi (x^{a+b})=a+b=varphi (x^{a})+varphi (x^{b})}$

, что доказывает, что ${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+)}$

Свойства[править | править код]

Ядро изоморфизма из (G, ∗) в (H, ) всегда равно {e_G}, где e_G — нейтральный элемент группы (G, ∗)

Если (G, ∗) изоморфна (H,) и если G абелева, то H тоже абелева.

Если f — изоморфизм между (G, *) и (H, ), тогда, если a принадлежит G и имеет порядок n, то такой же порядок имеет f(a).

Следствия[править | править код]

Из определения следует, что любой изоморфизм отображает нейтральный элемент G в нейтральный элемент H,

$f(e_{G})=e_{H}$

откуда следует, что обратные отображаются в обратные,

$f(u^{{-1}})=left[f(u)right]^{{-1}}$

и n-е степени в n-е степени,

$f(u^{n})=left[f(u)right]^{n}$

для всех u из G,
а также что обратное отображение $f^{{-1}}:Hrightarrow G$ тоже является изоморфизмом.

Отношение «изоморфно» удовлетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности. Если f является изоморфизмом двух групп G и H, то все утверждения, верные для G, связанные со структурой группы, можно перенести посредством f на такие же утверждения в H, и наоборот.

Автоморфизмы[править | править код]

Изоморфизм из группы (G, ∗) в себя называется автоморфизмом этой группы. Так как изомофизм биективен,

Автоморфизм всегда отображает нейтральный элемент в себя. Образ класса сопряжённости всегда является классом сопряжённости (тем же самым или другим). Образ элемента имеет тот же порядок, что и сам элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и эта операция с множеством всех автоморфизмов группы G, обозначаемая Aut(G), образует группу, группу автоморфизмов G.

Для всех абелевых групп имеется, по меньшей мере, автоморфизм, переводящий элементы группы в их обратные. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, этот автоморфизм является тривиальным, например, в четверной группе Клейна (для этой группы все перестановки трёх, не являющихся нейтральными, элементов группы являются автоморфизмами, так что группа изоморфизмов изоморфна S₃ и Dih₃).

В Z_p для простого числа p, один, не являющийся нейтральным, элемент может быть заменён другим, с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z_{p − 1}. Например, для n = 7, умножение всех элементов Z₇ на 3 (по модулю 7), является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку 3⁶ ≡ 1 (по модулю 7), а меньшие степени 1 не дают. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z₆. Имеется ещё один автоморфизм с этим свойством — умножение всех элементов Z₇ на 5 (по модулю 7). Таким образом, эти два автоморфизма соответствуют элементам 1 и 5 Z₆, в этом порядке или обратном.

Группа автоморфизмов Z₆ изоморфна Z₂, поскольку только эти два элемента 1 и 5 порождают Z₆.

Группа автоморфизмов Z₂ × Z₂ × Z₂ = Dih₂ × Z₂ имеет порядок 168, что можно показать следующим образом. Все 7 элементов, не являющихся нейтральными, играют одну и ту же роль, так что мы можем выбрать, который играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся шести может быть выбран для роли (0,1,0). Эти два определяют, что соответствует (1,1,0). (0,0,1) мы можем выбрать из четырёх, и этот выбор определяет оставшиеся элементы. Таким образом, получим 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмов. Они соответствуют автоморфизмам плоскости Фано, 7 точек которой соответствуют 7 элементам, не являющихся нейтральными. Прямые, соединяющие три точки, соответствуют операции группы: a, b, и c на прямой означают a + b = c, a + c = b, и b + c = a. См. также Полная линейная группа над конечным полем.

Для абелевых групп все автоморфизмы, за исключением тривиального, называются внешними автоморфизмами^[en].

Неабелевы группы имеют нетривиальные внутренние автоморфизмы, и, возможно, внешние автоморфизмы.

Примечания[править | править код]

↑ Ash. A Consequence of the Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. — 1973. — Т. 19. — С. 306—308.

Ссылки[править | править код]

Herstein, I. N. Topics in Algebra. — 2 edition. — Wiley, 1975. — ISBN 0-471-01090-1..

Источник

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаю раскладывать некоторые основания теории групп. Сегодня мы перейдем от геометрической интерпретации к комбинаторной в том виде, в которой нам её дал великий Эварист Галуа. Поехали!

Эварист Галуа. Источник: https://interesnyefakty.org/wp-content/uploads/evarist-galua.jpg

НАСТОЯТЕЛЬНО рекомендую перед прочтением данного материала ознакомиться с его первой частью и второй частью. Не лишним для понимания будет эта и эта статьи.

Итак, для удобства повторю рисунок из прошлого материала:

Важнейший термин в теории групп - изоморфизм. Объясняю на пальцах

Давайте уйдем от треугольников, симметрий и поворотов, ведь теория групп, потому и прекрасна, что не привязана к физической среде. Обратите внимание, что симметрии на рисунке выше мы можем записать как переходы, если будем считать вершины, например, с верхней и далее против часовой стрелки.

Тогда симметрия S будет соответствовать переходу [1,2,3 ——>1,3,2]. Запишем все известные нам преобразования треугольника в таком виде:

Лучше ставить здесь знак эквивалентности

Таким образом в математике записываются подстановки, которые определяют, новое расположение перестановок элементов множества. Как известно из той же комбинаторики, количество перестановок элементов равно факториалу от количества элементов, что в данном случае даёт 3! = 6 – столько же, сколько инвариантов у треугольника! Совпадение? Не думаю! Проверим еще вот что:

Если проверить все подстановки таким образом, Вы поймете, что они тоже составляют группу – ни один результат за пределы группы не выскакивает . Так же есть нейтральный элемент (умножьте любую подстановку на [1,2,3 —>1,2,3} , а для каждого элемента есть обратный (например, перемножьте подстановки R и R^2)

Как видно из рисунков, применение групповых операций даёт тот же результат, разве что записанный по другому. Чувствуется, что эти группы практически идентичны друг другу.

Впрочем, математика была бы не математикой, если бы не дала звучное название этой “идентичности”.

Знаки операций можно написать произвольно. В данном случае звездочка и там и там, хотя можно было бы обозначить операции как * и &, например. Суть дела от этого не меняется.

Проверим выполнение 3 свойств для некоторой функции f:

Группа H еще называется симметричной группой S3. На самом деле, всё, что здесь написано, можно свести к фразе “взаимно-однозначное соответствие”

Если существует такая функция f (а она существует – обычная биекция, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между элементами G и H, мы на отдельных примерах это показали), то группы G и H называются изоморфными, а сама функция f – изоморфизмом. С точки зрения теории групп такие группы имеют абсолютно одинаковые свойства, и их нет необходимости различать. И это один из важнейших инструментов!

Изоморфизм – это частный случай гомоморфизма, а есть еще автоморфизмы, эпифорфизмы, диффеоморфизмы, гомеоморфизмы…, но это уже совсем другая история.

Проще всего понять, что такое “изоморфизм” можно на примере числовых групп и я расскажу об этом в одном из следующих материалов. Кстати, мы еще не закончили с треугольниками, ждите статью с подробным анализом таблицы, которую мы составили для инвариантов треугольника. Спасибо за внимание!

Definition and notation[edit]

Given two groups (G, *) and a group isomorphism from (G, *) to is a bijective group homomorphism from to Spelled out, this means that a group isomorphism is a bijective function f:Gto H such that for all and in it holds that

The two groups (G, *) and are isomorphic if there exists an isomorphism from one to the other.^[1]^[2] This is written

Often shorter and simpler notations can be used. When the relevant group operations are understood, they are omitted and one writes

Sometimes one can even simply write Whether such a notation is possible without confusion or ambiguity depends on context. For example, the equals sign is not very suitable when the groups are both subgroups of the same group. See also the examples.

Conversely, given a group a set and a bijection we can make a group by defining

If and then the bijection is an automorphism (q.v.).

Intuitively, group theorists view two isomorphic groups as follows: For every element of a group there exists an element of such that “behaves in the same way” as (operates with other elements of the group in the same way as ). For instance, if generates then so does This implies, in particular, that and are in bijective correspondence. Thus, the definition of an isomorphism is quite natural.

An isomorphism of groups may equivalently be defined as an invertible group homomorphism (the inverse function of a bijective group homomorphism is also a group homomorphism).

Examples[edit]

In this section some notable examples of isomorphic groups are listed.

Some groups can be proven to be isomorphic, relying on the axiom of choice, but the proof does not indicate how to construct a concrete isomorphism. Examples:

Properties[edit]

The kernel of an isomorphism from (G, *) to is always {e_G}, where e_G is the identity of the group (G, *)

If (G, *) and are isomorphic, then is abelian if and only if is abelian.

If is an isomorphism from (G, *) to then for any the order of equals the order of f(a).

If (G, *) and are isomorphic, then (G, *) is a locally finite group if and only if is locally finite.

The number of distinct groups (up to isomorphism) of order is given by sequence A000001 in the OEIS. The first few numbers are 0, 1, 1, 1 and 2 meaning that 4 is the lowest order with more than one group.

Cyclic groups[edit]

All cyclic groups of a given order are isomorphic to ${displaystyle (mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ where $+_{n}$ denotes addition modulo

Let be a cyclic group and be the order of Letting be a generator of , is then equal to ${displaystyle langle xrangle =left{e,x,ldots ,x^{n-1}right}.}$
We will show that

${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Define

${displaystyle varphi :Gto mathbb {Z} _{n}={0,1,ldots ,n-1},}$

so that ${displaystyle varphi (x^{a})=a.}$
Clearly, varphi is bijective. Then

${displaystyle varphi (x^{a}cdot x^{b})=varphi (x^{a+b})=a+b=varphi (x^{a})+_{n}varphi (x^{b}),}$

which proves that ${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Consequences[edit]

From the definition, it follows that any isomorphism f:Gto H will map the identity element of to the identity element of

${displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$

that it will map inverses to inverses,

${displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}quad {text{ for all }}uin G,}$

and more generally, th powers to th powers,

${displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}quad {text{ for all }}uin G,}$

and that the inverse map ${displaystyle f^{-1}:Hto G}$ is also a group isomorphism.

The relation “being isomorphic” satisfies is an equivalence relation. If is an isomorphism between two groups and then everything that is true about that is only related to the group structure can be translated via into a true ditto statement about and vice versa.

Automorphisms[edit]

An isomorphism from a group (G, *) to itself is called an automorphism of the group. Thus it is a bijection such that

The image under an automorphism of a conjugacy class is always a conjugacy class (the same or another).

The composition of two automorphisms is again an automorphism, and with this operation the set of all automorphisms of a group denoted by forms itself a group, the automorphism group of

For all abelian groups there is at least the automorphism that replaces the group elements by their inverses. However, in groups where all elements are equal to their inverses this is the trivial automorphism, e.g. in the Klein four-group. For that group all permutations of the three non-identity elements are automorphisms, so the automorphism group is isomorphic to $S_{3}$ (which itself is isomorphic to ${displaystyle operatorname {Dih} _{3}}$ ).

In ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ for a prime number one non-identity element can be replaced by any other, with corresponding changes in the other elements. The automorphism group is isomorphic to ${displaystyle mathbb {Z} _{p-1}}$ For example, for multiplying all elements of ${displaystyle mathbb {Z} _{7}}$ by 3, modulo 7, is an automorphism of order 6 in the automorphism group, because ${displaystyle 3^{6}equiv 1{pmod {7}},}$ while lower powers do not give 1. Thus this automorphism generates ${displaystyle mathbb {Z} _{6}.}$ There is one more automorphism with this property: multiplying all elements of ${displaystyle mathbb {Z} _{7}}$ by 5, modulo 7. Therefore, these two correspond to the elements 1 and 5 of ${displaystyle mathbb {Z} _{6},}$ in that order or conversely.

The automorphism group of ${displaystyle mathbb {Z} _{6}}$ is isomorphic to ${displaystyle mathbb {Z} _{2},}$ because only each of the two elements 1 and 5 generate ${displaystyle mathbb {Z} _{6},}$ so apart from the identity we can only interchange these.

The automorphism group of ${displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus oplus mathbb {Z} _{2}=operatorname {Dih} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}}$ has order 168, as can be found as follows. All 7 non-identity elements play the same role, so we can choose which plays the role of Any of the remaining 6 can be chosen to play the role of (0,1,0). This determines which element corresponds to For (0,0,1) we can choose from 4, which determines the rest. Thus we have automorphisms. They correspond to those of the Fano plane, of which the 7 points correspond to the 7 non-identity elements. The lines connecting three points correspond to the group operation: a, b, and on one line means and See also general linear group over finite fields.

For abelian groups, all non-trivial automorphisms are outer automorphisms.

Non-abelian groups have a non-trivial inner automorphism group, and possibly also outer automorphisms.

References[edit]

Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0471010901.

^ ^a ^b Barnard, Tony & Neil, Hugh (2017). Discovering Group Theory: A Transition to Advanced Mathematics. Boca Ratan: CRC Press. p. 94. ISBN 9781138030169.
^ Budden, F. J. (1972). The Fascination of Groups (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. p. 142. ISBN 0521080169. Retrieved 12 October 2022 – via VDOC.PUB.
^ Ash (1973). “A Consequence of the Axiom of Choice”. Journal of the Australian Mathematical Society. 19 (3): 306–308. doi:10.1017/S1446788700031505. Retrieved 21 September 2013.

Источник

Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 и G 2 называются гомоморфными, если существует отображение : G 1 G 2, сохраняющее операции, определенные в G 1 и G 2. Т. е. , для и имеем: a, b G 1, (a b) = (a)○ (b). Обозн. : ~ . Если – взаимно-однозначное отображение, то группы называются изоморфными. Обозн. :

Примеры. 1) G 1 = , G 2 = <{ 1}, > : G 1 G 2 так, что (2 n) = 1; (2 n+1) = -1. Проверим сохранение операции: (2 n+2 k) = (2(n+k)) = 1 (2 n) (2 k) = 1 1=1 ((2 n+1)+(2 k+1)) = (2(n+k+1)) = 1 (2 n+1) (2 k+1) = (-1) = 1 1=1 (2 n+(2 k+1)) = (2(n+k)+1) = -1 (2 n) (2 k+1) = 1 (-1) = -1 – гомоморфизм. -1 = -1

2)G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a R* (a)=a 2. не является взаимно-однозначным ( (-2) = (2)), (ab) = (ab)2 = a 2 b 2 = (a) (b) – гомоморфизм. 3) G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a G 1 (a)=lna. – взаимно-однозначное, это следует из свойств функции y = lnx (ab) = lna+lnb = (a)+ (b), – изоморфизм.

Свойства изоморфизма Т 1. Изоморфный образ группы является группой. Дано: , G 1 – группа. Доказать: G 2 – группа. Доказательство: 1) Выполнимость: Пусть : G 1 G 2 – изоморфизм, b 1, b 2 G 2. Докажем, что b 1○b 2 G 2. Т. к. – изоморфизм, то a 1, a 2 G 1, (a 1) = b 1, (a 2) = b 2. a 1 a 2 G 1; (a 1 a 2) G 2. (a 1 a 2) = (a 1)○ (a 2) = b 1○b 2 G 2. 2) Ассоциативность: b 1, b 2, b 3 G 2, докажем, что (b 1○b 2)○b 3 = b 1○(b 2○b 3). (b 1○b 2)○b 3 = ( (a 1)○ (a 2))○ (a 3) = -изом. (a 1 a 2)○ (a 3) = -изом. ((a 1 a 2) a 3) =G 1–гр. (a 1 (a 2 a 3)) = -изом. (a 1)○ (a 2 a 3)= -изом. = (a )○( (a )○ (a )) = b ○(b ○b ). 1 2 3

3) Существование нейтрального элемента. Пусть e – нейтральный элемент из G 1. Покажем, что (e) – нейтральный элемент G 2. Т. е. b G 2 b○ (e) = (e)○b = b. Т. к. – изоморфизм, то a G 1, (a) = b. b○ (e) = (a)○ (e) = (a) = b (e)○b = (e)○ (a) = (e a) = (a) = b b○ (e) = (e)○b = b, следовательно (e) – нейтральный элемент G 2. 4) Нейтрализующий элемент. b G 2 b-1 G 2, b○b-1 = e’, e’ = (e) – нейтральный элемент G 2. (a) = b. Покажем, что (a-1) = b-1. b○b-1 = (a)○ (a-1) = (a a-1) = (e) = e’ G 2, b-1○b = (a-1)○ (a) = (a-1 a) = (e) = e’.

1) Взаимная однозначность. а) Пусть am 1 = am 2 am 1 -m 2 =e св-ва порядка m 1 = m 2 + nt, t Z. (am 1) = (am 2). б) Пусть (am 1) = (am 2), т. е. тогда

2) Сохранение операций: (am 1 am 2) = (am 1+m 2) =

Т 5 (Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе подстановок n -ой степени. Дано: G – группа; |G| = n. Доказать: Н Sn такая, что G H. Доказательство: G = {a 1, a 2, …, an, } ai G рассмотрим произведения a 1 ai, a 2 ai, …, an ai G. Все эти произведения будут различными Обозначим: a 1 ai = a 1, a 2 ai = a 2, … an ai = a n. 1, 2, …, n – некоторый набор чисел от 1 до n. Рассмотрим отображение Покажем, что – изоморфизм.

1) Взаимная однозначность. а) Пусть ai = aj из однозначности произведения (ai) = (aj) б) Пусть (ai) = (aj). Тогда k, k=1, 2, …, n ak ai = ak aj ai = aj. 2) Для доказательства сохранения операции будем использовать подстановку: Тогда

Ядро гомоморфизма (kernel [‘kə: nəl]) Пусть : G 1 G 2; –гомоморфизм. Определение. Ядром гомоморфизма называется множество элементов группы G 1, которые отображаются в нейтральный элемент группы G 2. G 1 G 2 e´ Обозн. : Ker = {a G 1 / (a) =e’, e’ G 2}.

Т 1. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы. Дано: G – группа, H = Ker . Доказать: H G. Доказательство: 1) Покажем, что H G а) a, b H ab H. Пусть a, b H, тогда (a) = (b) = e’. (ab) = – гомоморфизм (a) (b) = e’ e’ = e’ ab H. б) Пусть a H, тогда (a) = e’. Найдем (a-1) = ( (a))-1 = (e’)-1 = e’ a-1 H. 2) Покажем, что H G, т. е. a G a. H = Ha. Пусть ah a. H, покажем, что h 1 a Ha, такой, что ah=h 1 a. Рассмотрим aha-1 и найдем его образ: (aha-1) = (a) (h) (a-1) = (a) e (a-1) = (a a-1) = (e) = e’. Тогда aha-1 H или aha-1=h 1 ah=h 1 a.

Т 2. Любая нормальная подгруппа группы G является ядром некоторого гомоморфизма. Дано: H G Доказать: H – ядро некоторого гомоморфизма. Доказательство: G/H={H, g 1 H, g 2 H, …}. : G G/H g G (g) = g H. Покажем, что – гомоморфизм ( – сохраняет операцию). g 1, g 2 G (g 1 g 2) = (g 1 g 2) H = (g 1 g 2)H H = g 1 H g 2 H = (g 1) (g 2) – гомоморфизм. Покажем, что H = Ker . Пусть h H (h) = h H = H – нейтральный элемент G/H. Следовательно, h Ker и H Ker (1) Пусть h 1 Ker (h 1) = H или h 1 H = H h 1 H Ker H (2). Из (1) и (2) следует ч. т. д. Определение. Гомоморфизм группы G на факторгруппу G/H называется естественным гомоморфизмом группы G.

Т 3. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру этого гомоморфизма. Дано: : G 1 G 2; – гомоморфизм, H = Ker . Доказать: G 1/H G 2. Доказательство: Рассмотрим отображение : G 1/H G 2 такое, что g H G 1/H (g H) = (g); g G 1; (g) G 2. Покажем, что – изоморфизм. 1. Взаимная однозначность. Пусть g 1 H = g 2 H (g 2 -1 g 1)H = H g 2 -1 g 1 H, т. е. g 2 -1 g 1 Ker (g 2 -1 g 1) = e’ G 2. Т. к. – гомоморфизм, (g 2 -1) (g 1) = e’ или ( (g 2))-1 (g 1) = e’ (g 1) = (g 2) (g 1 H) = (g 2 H). Обратно, пусть (g 1 H) = (g 2 H), или (g 1) = (g 2), ( (g 2))-1 (g 1) = e’ G 2 (g 2 -1 g 1) = e’. Тогда g 2 -1 g 1 Ker = H или (g 2 -1 g 1)H = H g 1 H = g 2 H. 2. Сохранение операции. (g 1 H g 2 H) = ((g 1 g 2)H) = (g 1 g 2) = (g 1) (g 2) = (g 1 H) (g 2 H).

Источник

Определение[править | править код]

Замечания[править | править код]

Примеры[править | править код]

Циклические группы[править | править код]

Свойства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Автоморфизмы[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Читайте также:

Definition and notation[edit]

Examples[edit]

Properties[edit]

Cyclic groups[edit]

Consequences[edit]

Automorphisms[edit]

See also[edit]

References[edit]

Добавить комментарий Отменить ответ

Определение[править | править код]

Замечания[править | править код]

Примеры[править | править код]

Циклические группы[править | править код]

Свойства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Автоморфизмы[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Читайте также:

Definition and notation[edit]

Examples[edit]

Properties[edit]

Cyclic groups[edit]

Consequences[edit]

Automorphisms[edit]

See also[edit]

References[edit]

Вам также может понравиться

Как составить краткую характеристику предприятия

Как найти api key steam

Как исправить пересоленную рисовую кашу на молоке

Добавить комментарий Отменить ответ