Как найти к чему стремится предел функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Определение предела функции
Решение пределов
- С заданным числом
- С бесконечностью
- С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
- С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

предел обозначается значком lim;
под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
затем справа дописывается сама функция, например:

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

3 – 1 = 2
3 – 10 = -7
3 – 100 = -97
3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на (x – 1):

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Источник

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

Урок математики. Учительница говорит:

— Сегодня мы будем брать интегралы.

Вовочка спрашивает:

— А как это в жизни пригодится?

— Ты ебало-то завали.

Рассмотрим простейший пример:

Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение – эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень. Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле: (циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа – бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

В Хогвартсе такое не проходят.

Получилось вот что:

Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное.

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49. На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

Источник

В этой заметке речь пойдет о пределах. С ними сталкиваются в 10-11 классах на уроках физики, когда начинают выводить частоту колебаний математического или физического маятников. В математике с пределами сталкиваются, когда учащихся знакомят с производными и дифференцированием. Поэтому эта одно из самых базовых понятий математического анализа, в котором не должно быть пробелов.

Давайте начнем с простых (условно и относительно) пределов, которые вам могут попасться на первом курсе.

Математический анализ. Учимся решать пределы

С некоторыми из них практически ничего не нужно делать, а только подставить значение…

А другие становятся легче, если разделить на общий одночлен, который представляет собой старшую степень переменной.

В пределах, имеющих радикалы частенько помогает домножение на “сопряженное” выражение. Также упростит понимание таких действий тот факт, если вы хорошо помните формулы сокращенного умножения, в частности разность квадратов.

Структурировать информацию лучше сразу

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей:

1) ноль делить на ноль
2) бесконечность делить на бесконечность
3) ноль умножить на бесконечность
4) бесконечность минус бесконечность
5) единица в степени бесконечность
6) ноль в степени ноль формула
7) бесконечность в степени ноль

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

● упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
● использование замечательных пределов;
● применение правила Лопиталя;
● использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только к первому и второму из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности. Если числитель и знаменатель являются бесконечно малыми или бесконечно большими одновременно, то можно посчитать отношениях производных этих функций. При дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Иногда приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге.Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 0^0, 1^∞, ∞^0 пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞/∞ используется следующий алгоритм:
● Выявление старшей степени переменной;
● Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм:
● Разложение на множители числителя и знаменателя;
● Сокращение дроби.Для раскрытия неопределённостей типа ∞ – ∞ иногда удобно применить следующее преобразование:
● f(x) – g(x) = 1/ (1/f(x) ) – 1/(1/g(x)) = (1/g(x) – 1/f(x))/( (1/g(x)) * (1/f(x)) )

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Ещё немного примеров для закрепления материала

Вычисление простейших пределов

В пределах могут быть и суммы вместо функций. Подумайте какой подвох в следующем пределе ? Правильно ли получен ноль ?

Рассуждение и оценки предела суммы одного интересного ряда

Вы еще думаете, что пределы – это просто? А как насчет предела с параметром?

Интересная задачка по математике с параметрическим интегралом.
Чему равен предел lim[ I(a) ] при a → 0 если в качестве I(a) выступает интеграл: I(a) = Int( x⁵ ⋅ ( cos(a²x) + sin(5a²x) )^(x/a²) ) dx
в пределах от 2^a до 2^(a+1).

Так как предел считается от параметра, а параметр не зависит от переменной интегрирования, то вполне законно пронести предел внутрь выражения и применить его только к той части, которая представляет наибольшую сложность. Аппроксимация сводит выражение ко второму замечательному пределу. А дальше дело за аккуратными вычислениями интегралов по частям. Придумали другой способ? Напишите в комментариях.

Рассмотрим ещё один сложный предел, для которого вам не помогут табличные бесконечно малые функции в силу их небольшой точности

Интересный предел на базе второго замечательного предела.
Задача: вычислить предел lim(1/n + exp(-1/n))^(n²) при n → ∞

Пределы на базе второго замечательного могут быть очень запутанные. Приведу вам ещё один пример. Что может быть интереснее, чем посидеть зимним вечером за математическим анализом с чашечкой кофе? 🙂

Задание: найти предел

Естественно, интересно решить это аналитически. Потому что вбивать в математические пакеты сможет любой человек. Мы видим, что у нас одна зависящая от x функция возводится в степень другой зависимой от x функции. Уже это должно нам намекнуть “а не второй замечательный предел у нас тут спрятался?”

Конечно же он! Только нужно подойти к нему. Делаем искусственный прием, чтобы отсечь единичку от дроби, а оставшуюся часть заменить на некоторую переменную. Я назвал её t, но можно называть как угодно. Сразу же нужно посмотреть к чему будет стремиться данная переменная, при стремлении x —> 1. Видим, что стремление t происходит в бесконечность, а значит мы уже можем определиться с формой записи второго замечательного предела, под который будем подгонять наши преобразования.

Так как мы пытаемся перейти к t, в степени, в косинусе у нас находится голенькое x, то нам придется выразить его из предшествующей замены переменных. Получается квадратное уравнения, которое дает два корня. Эта неоднозначность не должна вас смущать, так как корень подходит только один, причем положительный для x, т.к. x —> 1 (значит x > 0)

Далее несколько преобразований приводят нас к тому, что у нас получается е в некоторой степени, лимит (предел) которой нам предстоит найти. Но степень оказывается тоже с неопределенностью в знаменателе 0 * infinity. Тогда мы искусственно перебрасываем лишнюю переменную в числитель. Применяем правило Лопиталя-Бернулли (предел отношений функций равен пределу отношения производных этих функций). И у нас получается что-то очень похожее на первый замечательный предел. Но на самом деле уже сюда достаточно подставить t = infinity и получить конечный ответ.

Решение полное будет выглядеть так:

Под вторым замечательным пределам также могут скрывать тригонометрические функции, которые также усложняют жизнь, потому что студенты часто пытаются разрешить их простейшими преобразованиями или разложением в ряд, что не всегда кончается успехом.

Например задание:

Интересный предел. Сложность в том, чтобы вспомнить универсальную тригонометрическую подстановку, затем не побояться её подставить и сделать правильную замену переменных, чтобы выделить второй замечательный предел.

Есть и задачи, где можно применить первый замечательный предел

Очередная интересная задача на нахождение предела. Не особо очевидное применение первого замечательного предела. Конечно же применение правила Бернулли — Лопиталя, возможно, упростило бы нахождение ответа, но разве ценителям математики интересны простые пути? 🙂

На сегодня закончим, ведь тут итак есть над чем задуматься. А с каким самым сложным пределом сталкивались вы на занятиях математикой? Расскажите об этом в комментариях!

Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:

Репетитор IT mentor в VK

Репетитор IT mentor в Instagram

Physics.Math.Code в контакте (VK)

Physics.Math.Code в telegram

Physics.Math.Code в YouTube

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен .

Преде́лом фу́нкции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции f(x) в точке понимали предел последовательности значений функции: ${displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),dots }$ , соответствующих последовательности элементов области определения функции ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}dots }$ , сходящейся к точке . Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Также благодаря рассмотрению расширенной вещественной прямой (на которой базу окрестностей можно построить и для бесконечно удалённой точки) можно определить такие понятия, как предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также стремление самой функции к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) как раз представляет собой пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции в точке означает, что для любого заданного значения области значений можно подобрать такую окрестность этого значения, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.

Определения[править | править код]

Рассмотрим функцию f(x) и точку стремления x_0, являющуюся предельной точкой для области определения но не обязанную ей принадлежать. Существуют несколько равносильных определений предела функции — среди них есть сформулированные Гейне и Коши.

Предел функции по Гейне[править | править код]

Значение называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке x_0, если для любой последовательности точек $left{ x_n right}_{n=1}^{infty}$ , сходящейся к $x_{0}$ , но не содержащей $x_{0}$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $x_{0}$ ), последовательность значений функции ${displaystyle {f(x_{n})}_{n=1}^{infty }}$ сходится к ^[1].

Предел функции по Коши[править | править код]

Значение называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке x_0, если для любого положительного числа можно подобрать соответствующее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию ${displaystyle 0<left|x-x_{0}right|<delta ,}$ выполняется неравенство: то есть ^[1].

${displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=ALeftrightarrow {Big [}forall varepsilon >0~exists delta =delta {big (}varepsilon )>0~forall x~(0<|x-x_{0}|<delta {big )}Rightarrow {big (}|f(x)-A|<varepsilon {big )}{Big ]},}$

где:

Окрестностное определение предела по Коши[править | править код]

Значение называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке x_0, если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность ${displaystyle {dot {O}}(x_{0})}$ точки $x_{0}$ такая, что образ этой окрестности ${displaystyle f{big (}{dot {O}}(x_{0}){big )}}$ лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье «Предел вдоль фильтра».

${displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=ALeftrightarrow {big [}forall O(A)~exists {dot {O}}(x_{0})~f{big (}{dot {O}}(x_{0}){big )}subseteq O(A){big ]}.}$

Предел по базе множеств[править | править код]

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

Если — предельная точка множества , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве не пуста, а значит, существует база проколотых окрестностей в точке . Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при , стремящемся к по множеству ». Если область определения функции совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « xto a » и читается «при , стремящемся к ».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

Соответственно этому вводятся две базы:

Эквивалентность определений[править | править код]

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны^[1]. Для доказательства этого необходимо и достаточно принять счётную аксиому выбора. Однако в иных формальных системах, например в конструктивной математике, эквивалентность опровергается на примерах.

Вариации и обобщения[править | править код]

Односторонний предел[править | править код]

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция вещественной переменной имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра[править | править код]

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности[править | править код]

Предел функции на бесконечности описывает поведение значений функции, когда по модулю её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне[править | править код]

Пусть числовая функция задана на множестве , в котором может находиться сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного найдётся элемент множества лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для всякой последовательности точек ${displaystyle {x_{n}}_{n=1}^{infty },}$ которая начиная с некоторого номера n будет по модулю неограниченно расти, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках ${displaystyle {f(x_{n})}_{n=1}^{infty }}$ сходится к числу

${displaystyle lim _{xto infty }f(x)=ALeftrightarrow forall {x_{n}}_{n=1}^{infty }{Big (}{lim _{nto infty }}x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }f(x_{n})=A{Big )}.}$
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для всякой последовательности точек ${displaystyle left{x_{n}right}_{n=1}^{infty },}$ которая начиная с некоторого номера n будет неограниченно расти в положительную сторону, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках ${displaystyle {f(x_{n})}_{n=1}^{infty }}$ сходится к числу .

${displaystyle lim _{xto +infty }f(x)=ALeftrightarrow forall {x_{n}}_{n=1}^{infty }(exists kin mathbb {N} ~forall lin mathbb {N} ~l>kRightarrow x_{l}>0)land {Big (}{lim _{nto infty }}x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }f(x_{n})=A{Big )},}$

где — конъюнкция.
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности только при условии, что для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек $left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty}$ сходится к числу .

${displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=ALeftrightarrow forall {x_{n}}_{n=1}^{infty }(exists kin mathbb {N} ~forall lin mathbb {N} ~l>kRightarrow x_{l}<0)land {Big (}{lim _{nto infty }}x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }f(x_{n})=A{Big )}.}$

Предел на бесконечности по Коши[править | править код]

Пусть числовая функция задана на множестве , в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, превышающих по абсолютному значению, справедливо неравенство .

${displaystyle lim _{xto infty }f(x)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta (varepsilon )>0~forall xin X~|x|>delta Rightarrow |f(x)-A|<varepsilon .}$
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .

${displaystyle lim _{xto +infty }f(x)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta (varepsilon )>0~forall xin X~x>delta Rightarrow |f(x)-A|<varepsilon .}$
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее , справедливо неравенство .

${displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta (varepsilon )>0~forall xin X~x<-delta Rightarrow |f(x)-A|<varepsilon .}$

Окрестностное определение по Коши[править | править код]

Пусть функция f(x) определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции f(x) на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся такая достаточно большая окрестность нуля, что все значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .

${displaystyle lim _{xto infty }f(x)=ALeftrightarrow forall O(A)~exists O(0)~f{big (}Xsetminus O(0){big )}subseteq O(A)}$

Частичный предел[править | править код]

Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число называется частичным пределом функции f(x) в точке x_0, если существует такая бесконечная подпоследовательность последовательности ${displaystyle x_{n}to x_{0},x_{n}neq x_{0},}$ «проходя» по которой с неограниченным увеличением номера функция f(x) стремится к Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции f(x) в точке $x_{0}$ и обозначается ${displaystyle varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x),}$ наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции f(x) в точке $x_{0}$ и обозначается ${displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x).}$ Для существования предела функции в точке $x_{0}$ необходимо и достаточно, чтобы ${displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x)=varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x)}$ ^[2].

Обозначения[править | править код]

Если в точке $x_{0}$ у функции f(x) существует предел, равный , то говорят, что функция f(x) стремится к при стремлении к $x_{0}$ , и пишут одним из следующих способов:

${displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=A;}$
или ${displaystyle f(x)~{xrightarrow[{xto x_{0}}]{}}A.}$

Если у функции f(x) существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция f(x) стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

${displaystyle lim _{xto infty }fleft(xright)=A;}$
или

Если у функции f(x) существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция f(x) стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

${displaystyle lim _{xto +infty }f(x)=A;}$
или

Если у функции f(x) существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция f(x) стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

${displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=A;}$
или

Свойства пределов числовых функций[править | править код]

Пусть даны числовые функции и точка стремления ^[]

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

${displaystyle left(lim _{xto a}f(x)=A_{1}right)land left(lim _{xto a}f(x)=A_{2}right)Rightarrow (A_{1}=A_{2})}$

Сходящаяся функция сохраняет знак только локально и никак иначе. Более общо́:

${displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge (A>B)Rightarrow left(exists epsilon >0~forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap M~f(x)>Bright),}$

где $dot{U}_{epsilon}(a)$

— проколотая окрестность точки

радиуса

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

${displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=A>0right)Rightarrow left(exists varepsilon >0~forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap M~f(x)>0right).}$

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

${displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)Rightarrow left(exists varepsilon >0~exists K>0~forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap M~|f(x)|leqslant Kright).}$

Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

${displaystyle exists lim limits _{xto a}f(x)=Aneq 0Rightarrow exists delta >0~forall xin {dot {U}}_{delta }(a)~|f(x)|geqslant {frac {A}{2}}.}$

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

${displaystyle left(exists varepsilon >0~forall xin {dot {U}}_{varepsilon }(a)~f(x)leqslant g(x)right)wedge left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bright)Rightarrow (Aleqslant B).}$

Теорема о двух милиционерах.

тогда существует $lim limits _{{xto a}}{{frac {f(x)}{g(x)}}}=lim limits _{{xto a}}{{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Предел суммы равен сумме пределов:

$left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)+g(x)bigr] = A+B right);$

Предел разности равен разности пределов:

$left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)-g(x)bigr] = A-B right);$

Предел произведения равен произведению пределов:

$left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)cdot g(x)bigr] = Acdot B right);$

Предел частного равен частному пределов:

${displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bneq 0right)Rightarrow left(lim limits _{xto a}left[{frac {f(x)}{g(x)}}right]={frac {A}{B}}right);}$

Предел композиции:

${displaystyle lim _{xto a}f(x)=A,;lim _{yto A}g(y)=B;Rightarrow ;lim _{xto a}gleft(f(x)right)=B.}$

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Правило Лопиталя
Замечательные пределы
Повторный предел
Непрерывная функция
Список пределов

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² ³ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
↑ Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 47.

Литература[править | править код]

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
Зорич В. А. Математический анализ. — Москва: Издательство МЦНМО, 2012. — Т. В двух томах.

Ссылки[править | править код]

Предел функции Архивная копия от 23 марта 2020 на Wayback Machine . Габович. И. Квант.1980 №10
Предел функции в точке. Теоретическая справка Архивная копия от 7 мая 2009 на Wayback Machine

Источник

Понятие предела в математике

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Правило Лопиталя в пределах

Определение предела функции

Решение пределов

С заданным числом

С бесконечностью

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Структурировать информацию лучше сразу

Ещё немного примеров для закрепления материала

Вы еще думаете, что пределы – это просто? А как насчет предела с параметром?

Определения[править | править код]

Предел функции по Гейне[править | править код]

Предел функции по Коши[править | править код]

Окрестностное определение предела по Коши[править | править код]

Предел по базе множеств[править | править код]

Эквивалентность определений[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Односторонний предел[править | править код]

Предел вдоль фильтра[править | править код]

Пределы на бесконечности[править | править код]

Предел на бесконечности по Гейне[править | править код]

Предел на бесконечности по Коши[править | править код]

Окрестностное определение по Коши[править | править код]

Частичный предел[править | править код]

Обозначения[править | править код]

Свойства пределов числовых функций[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти скин с металлической наклейкой

Как найти адрес видео на сайте

Как найти пятый айфон

Добавить комментарий Отменить ответ