Как найти какое число делится на 7 – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Признак делимости на 7 похож на признак делимости на 19 — делимость числа на 7 зависит от соотношения между последней цифры в записи числа и остальными его цифрами.

Признак делимости на 7

Натуральное число делится на 7, если разность — это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра — делится на 7.

Схематично признак делимости на 7 трёхзначного числа можно изобразить так:

priznak-delimosti-na-7

Для шестизначного числа делимость на 7 схематично выглядит так:

delimost-na-7

Примеры.

Определить, какие из чисел делятся на 7:

1) 574;

2) 891;

3) 1519;

4) 5483;

5) 6678;

6) 15015;

7) 457947.

Решение:

1) 574: 57-2∙4=57-8=49.

49 делится на 7, значит, 574 также делится на 7.

2) 891: 89-2∙1=89-2=87.

87 не делится на 7, следовательно, 891 также не делится на 7.

3) 1519: 151-2∙9=151-18=133,

13-2∙3=13-6=7.

7 кратно 7, поэтому 1519 также кратно 7.

4) 5483: 548-2∙3=548-6=542,

54-2∙2=50.

50 не делится на 7, значит, 5483 также не делится на 7.

5) 6678: 667-2∙8=667-16=651,

65-2∙1=65-2=63.

Так как 63 делится на 7, то и 6678 делится на 7.

6) 15015: 1501-2∙5=1501-10=1491,

149-2∙1=149-2=147,

14-2∙7=0. Так как 0 делится на 7, 15015 также делится на 7.

7) 457947: 45794-2∙7=45794-14=45780,

4578-2∙0=4578,

457-2∙8=457-16=441,

44-2∙1=42.

42 делится на 7, следовательно, 457947 также кратно 7.

Ответ: 574; 1519; 6678; 15015; 457947.

Источник

Вариант первый (шуточно-компьютерный): перейдите в восьмеричную систему счисления – а затем сложите цифры полученного числа (также в восьмеричной системе). Если полученная сумма делится на 7, то и само число делится на 7…

Вариант второй: пронумеруем цифры числа, начиная с разряда единиц. Затем сложим одну первую цифру (т.е. число единиц) с тремя вторыми (числом десятков) и двумя третьими. Вычтем одну четвертую, три пятых, две шестых. Снова прибавим одну седьмую, три восьмых, две девятых. Вычтем… и так далее…

Если полученный результат делится на 7, то и само число – тоже.

То есть, например, для числа 123456789 признак применяется так:

1*9+3*8+2*7-1*6-3*5-2*4+1*3+3*2+2*1=1*(9-6+3)+3*(8-5+2)+2*(7-4+1)=29 – то есть данное число не делится на 7, а при делении на 7 имеет остаток 1 (как и число 29).

Вообще эта формула (1,3,2,(-1,-3,-2)) (вторая половина – это первая, взятая с противоположным знаком, то есть помнить надо только первую) получается при анализе остатков от деления 1 на 7. Вернее, изначально получаются остатки (1,3,2,6,4,5), но 6=7-1, 4=7-3, 5=7-2…

Аналогично может быть выведен признак делимости на любое число. Например, хорошо известный признак делимости на 11 даст при делении 1 на 11 остатки (1,10) – или, иначе, (1,-1) – то есть надо чередовать сложение и вычитание.

На 19 – вектор остатков (5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,10) – или (5,-7,6,3,-8,-4,-2,-1,9) (и еще то же самое с противоположным знаком)… Данный признак может показаться сложным – но он не сложнее, чем деление на то же 19 длинного числа…

В любом случае для проверки делимости на К необходимо помнить не более, чем (К-1)/2 чисел – а далее использовать только операции сложения, вычитания и умножения (деление только для чисел, сравнимых с К)…

Источник

Признак делимости на 7.

Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на
7.

Этот признак можно применять к числу рекурсивно несколько раз подряд, пока число не станет достаточно маленьким.
Поэтому этот признак называется рекурсивным признаком делимости на 7.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 364 б) 411 в) 31815

Решение: а) 364. Число 364 без последней цифры — 36, удвоенная последняя цифра 4 2 = 8.
Разность 36 − 8 = 28, а число 28, как мы знаем, делится на 7. Поэтому и число 364 делится на 7.

б) 411. Число 411 без последней цифры — 41, удвоенная последняя цифра — 2. Разность 41 − 2 = 39,
а число 39 на 7 не делится. Поэтому 411 не делится на 7.

в) 31815. Так как число большое, то в этом примере придётся применять правило несколько раз:

3181 − 10 = 3171
317 − 2 = 315
31 − 10 = 21

Применив рекурсивно правило три раза, получили число 21.
Число 21 делится на 7, поэтому и число 31815 делится на 7.

Доказательство. Пусть — число, которое мы хотим проверить на делимость на 7.
Покажем, что если делится на 7, то и выражение

$[frac{n - (n bmod 10)}{10} - 2 cdot (n bmod 10)]$

делится на 7. В этом выражении — операция взятия остатка от деления.

Распишем выражение выше:

$[frac{n - (n bmod 10)}{10} - 2 cdot (n bmod 10) = ]$

$[=frac{n - (n bmod 10) - 20 cdot (n bmod 10)}{10} = ]$

$[=frac{n - 21 cdot (n bmod 10)}{10}.]$

Число 10 в знаменателе на 7 не делится, поэтому будем рассматривать только числитель.
Так как слагаемое в числителе делится на 7 (число 21 делится на 7),
то всё выражение делится на 7 тогда и только тогда, когда число делится на 7.

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены
разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит
так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями
числа 1234567890.

Признак делимости на 7. Число делится на 7, если знакочередующаяся сумма его
трёхзначных граней делится на 7.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком
«минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 626647 б) 23013 в) 99148

Решение: а) 626647. Разбиение этого числа на трёхзначные грани выглядит так: 626|647. Знакочередующаяся
сумма трёхзначных граней этого числа равна 626 − 647 = −21. Так как −21 делится на 7, то и число 626647 делится
на 7. Ответ: делится.

б) 23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа
есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не
делится.

в) 99148. Разбиваем число на трёхзначные грани: 99|148. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа
равна 99 − 148 = −49. Число −49 делится на 7, поэтому и число 99148 делится на 7. Ответ: делится.

Доказательство этого признака смотрите в большой статье
про признаки делимости.

Источник

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм “Математика не для всех”, чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Добрый день, уважаемый Читатель! Продолжаю делиться материалами, которые мне присылают неравнодушные к математики подписчики. Сегодня очередной способ проверки делимости на 7 : по-моему даже интересней, чем то, что был показан в этом материале. Поехали!

Суть метода

Приветствую Вас!
Ещё одна закономерность при определении делимости на 7 для чисел меньше тысячи:
1) выберем произвольное число вида abc (при этом “с” может либо отсутствовать, либо соответствовать любой цифре)
2) произведём следующие вычисления: aX2 +bX3 + c
3) обозначим полученное в результате вычислений число как d
4) если число d без остатка делится на 7, то и первоначально выбранное число abc без остатка делится на 7
если число d без остатка не делится на 7, то и первоначально выбранное число abc без остатка не делится на 7
С уважением Руслан Цвиткис.

Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-pdb/2198036/d7a106a6-d9ce-434d-b3a2-a231e1dfa602/s1200?webp=false

Давайте разбираться на примере, а потом посмотрим, что получается в общем виде:

Вроде как все работает. Теперь давайте посмотрим в общем виде:

abc – обозначим так схематично проверяемое число

r и t – произвольные натуральные числа, которые при умножении на 7 дают исходные. Теперь делаем такую манипуляцию: умножаем вторую строчку на 50 и вычитаем получившееся выражение:

Немного приведя слагаемые в левой части уравнения, получаем итоговое выражение:

Что однозначно дает право утверждать, что для всех трехзначных чисел, свойство делимости на 7 выполняется.

Кстати, если положить в последнем равенстве с=0, то случай оказывается верен и для двухзначных чисел.

**************************************************************************

Путеводитель по каналу “Математика не для всех” – здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про 10 математических фактов о русском языке!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Источник

Признак делимости на 7

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 205.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 205.

Признак делимости на 7 – это достаточно интересный признак, который выделяется из прочих сложной формулировкой. Большая часть признаков запоминается достаточно легко, но если разобраться, то и в этом признаке нет ничего особо сложного. Рассмотрим признак подробнее.

Делимость и признак делимости

Делимостью называют способность одного числа поделиться на другое нацело. Признаки делимости позволяют определить возможность такого деления без выполнения расчетов.

В делимости большое значение имеет понимание разницы между цифрами и числами. Число, это как слова в русском языке. Чтобы записать число требуются буквы, т.е. особые знаки, это и есть цифры. Цифр всего 10, тогда как чисел можно придумать бесконечное множество.

Делимость на 7

Для того, чтобы проверить, делится ли число на 7 нужно:

Отделить последнюю цифру этого числа. В результате получится два числа, одно из которых всегда меньше 10.
Меньшее число нужно умножить на 2.
Из большего числа вычесть полученное произведение. Если результат делится на 7, то и изначальное число делится на 7.

Схожий метод используется в признаке делимости на 19.

Пример

Приведем пример, чтобы окончательно разобраться в вопросе. Проверим, делится ли число 1774 на 7.

Если отделить последнюю цифру, то получится два числа: 177 и 4.
4*2=8.
177-8=169.
Число 169 еще раз проверим на делимость с помощью того же метода. Разделим число на 16 и 9.
9*2=18.
16-18=-2 – это число не делится на 7, значит и изначальное значение не делится на 7.

Заключение