Как найти какое число рациональное

Данная статья посвящена изучению темы “Рациональные числа”. Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет. 

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой. 

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби ab, отрицательной обыкновенной дроби -ab или числа ноль. 

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1n.
2. Любое целое число, включая число 0, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15=151, -352=-3521.
3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь ab является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом. 
6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа -2, -358, -936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 35, 87, -358 также являются примерами рациональных чисел.  

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Рациональные числа – это такие числа, которые можно представить в виде дроби ±zn, где z – целое число, n – натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

0n=0÷n=0; -mn=(-m)÷n=-mn.

Таким образом, можно записать:

zn=zn, при z>00, при z=0-zn, при z<0

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа -3, 0, 5, -755, 0,0125 и -135. Все эти числа являются рациональными, так как  их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: -31, 01,-755, 12510000, 85.

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Рациональное число – это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта. 

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

1. Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
2. Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель – натуральным числом.
3. Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос “рационально ли число?” является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения – рациональное число.

Например, значение выражения 2·318-0,250,(3) является рациональным числом и равно 18. 

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число mn, заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n-ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9, 81 – рациональные числа. 9 и 81 – полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199, 28, 151 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел. 

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 2435? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243, поэтому исходное выражение можно переписать так: 2435=355=3. Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 1215. Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121.

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log25. Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log25=mn.По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

5=2log25=2mn5n=2m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log25 не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2·2=2.

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2log23 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2log23=3.

Рационáльное числó (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби , где — целое число, а — натуральное^[1]. Пример: , где , а .

Целые числа также могут быть записаны в виде дроби, например:

Поэтому целые числа также являются рациональными. Таким образом, множество рациональных чисел представляет собой расширение множества целых чисел путём добавления к ним дробей.

Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые величины (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что целых чисел недостаточно и необходимо ввести понятие доли: половины, трети, четверти и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел[править | править код]

Множество рациональных чисел обозначается (от лат. quotient, «частное») и может быть записано в таком виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь  — наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом.

Множество рациональных чисел располагается всюду плотно на числовой оси: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времён древних греков известно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали в частности, что не рациональное число. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятию вещественного числа. В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствует одномерному пространству), множество рациональных чисел имеет меру нуль.

Терминология[править | править код]

Формальное определение[править | править код]

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• 
• 

Из определения видно, что никакие операции сложения или умножения не приводят к появлению пары вида

Связанные определения[править | править код]

Правильные, неправильные и смешанные дроби[править | править код]

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанным числом. Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота дроби[править | править код]

Высота обыкновенной дроби — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби.
Высота рационального числа — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу^[2].

Например, чтобы узнать высоту дроби , нужно сначала из неё получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так: . Потом нужно сложить модуль числителя и знаменатель: . Значит высота дроби равна .

Комментарий[править | править код]

Термин дробное число (дробь) иногда^{[уточнить]} используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Свойства[править | править код]

Основные свойства[править | править код]

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.^[3]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и () существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом:

   

2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел и () существует бинарная операция сложения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется сложением. Правило сложения имеет следующий вид:
3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел и () существует бинарная операция умножения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и ) если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .

   

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

   

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

   

7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

   

8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

   

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

   

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

    

11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

    

12. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

    

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

    

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

    

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

    

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

    

Дополнительные свойства[править | править код]

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

• Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.

  

• Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

  

• Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

  

• Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей.

   — поле

• В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
• Каждое рациональное число является алгебраическим.

  

• Между любыми двумя различными рациональными числами и существует хотя бы одно рациональное число , такое, что и . (В качестве примера такого числа можно взять .) Ясно, что между и , а также между и тоже существует хотя бы по одному рациональному числу. Отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами и существует бесконечно много рациональных чисел. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. В частности, не существует наименьшего положительного рационального числа.
• Не существует наибольшего и наименьшего рационального числа. Для любого рационального числа найдутся рациональные (и даже целые) числа и такие, что и .

Счётность множества рациональных чисел[править | править код]

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.
Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой -ой строке в каждом -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где  — номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а  — номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. То есть дроби ставится в соответствие число 1, дроби  — число 2, и т. д. Нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Таким образом множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, воспользовавшись такими структурами как дерево Калкина — Уилфа, дерево Штерна — Броко или ряд Фарея.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, так как на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел (ведь между любыми двумя натуральными числами находится бесконечное множество рациональных). На самом деле это не так, и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел[править | править код]

В геометрии следствием так называемой аксиомы Архимеда (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , то есть числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число и такое натуральное число , что , причём дробь несократима, то есть числа и  — взаимно простые.

Если , то , то есть . Следовательно, число чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число также чётно. А значит найдётся натуральное число , такое что число можно представить в виде . Квадрат числа в этом смысле , но с другой стороны , значит , или . Как уже показано ранее для числа , это значит, что число  — чётно, как и . Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся на 2. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

См. также[править | править код]

• Дроби Фарея
• Иррациональные числа
• Непрерывная дробь

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
• П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
• И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Рациональные числа

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение рациональных чисел

Определение 1

К рациональным числам относятся числа, которые можно представить как положительную или отрицательную обыкновенную дробь или число нуль.

К рациональным числам относятся:

• Натуральные числа, которые можно представить как обыкновенную дробь. Например, $7=frac{7}{1}$.
• Целые числа, включая число нуль, которые можно представить как положительную или отрицательную обыкновенную дробь, или как нуль. Например, $19=frac{19}{1}$, $-23=-frac{23}{1}$.
• Обыкновенные дроби (положительные или отрицательные).
• Смешанные числа, которые можно представить как неправильную обыкновенную дробь. Например, $3 frac{11}{13}=frac{33}{13}$ и $-2 frac{4}{5}=-frac{14}{5}$.
• Конечная десятичная дробь и бесконечная периодическая дробь, которую можно представить как обыкновенную дробь. Например, $-7,73=-frac{773}{100}$, $7,(3)=-7 frac{1}{3}=-frac{22}{3}$.

Замечание 1

Заметим, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не относится к рациональным числам, т.к. ее нельзя представить как обыкновенную дробь.

Пример 1

Натуральные числа $7, 670, 21 456$ являются рациональными.

Целые числа $76, –76, 0, –555 666$ – рациональные.

Обыкновенные дроби $frac{7}{11}$, $frac{555}{4}$, $-frac{7}{11}$, $-frac{100}{234}$ – рациональные числа.

Таким образом, рациональные числа делятся на положительные и отрицательные. Число нуль является рациональным, но не относится ни к положительным, ни к отрицательным рациональным числам.

Сформулируем более краткое определение рациональных чисел.

Определение 2

Рациональными называются числа, которые могут быть записаны в виде дроби $frac{m}{n}$ с целым числом в числителе и натуральным числом в знаменателе.

«Рациональные числа» 👇

Определение 3

Рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Можно сделать следующие выводы:

• положительные и отрицательные целые и дробные числа относятся к множеству рациональных чисел;
• рациональные числа могут быть представлены в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель и которая является рациональным числом;
• рациональные числа могут быть представлены в виде любой периодической десятичной дроби, которая является рациональным числом.

Как определить, является ли число рациональным

1. Число задано в виде числового выражения, которое состоит только из рациональных чисел и знаков арифметических операций. В таком случае значением выражения будет рациональное число.
2. Квадратный корень из натурального числа – рациональное число только в том случае, когда под корнем стоит число, которое является полным квадратом некоторого натурального числа. Например, $sqrt{9}$ и $sqrt{121}$ – рациональные числа, так как $9=3^2$ и $121=11^2$.
3. Корень $n$-ой степени из целого числа – рациональное число только в том случае, когда число под знаком корня является $n$-ой степенью какого-либо целого числа. Например, $sqrt[3]{8}$ – рациональное число, т.к. $8=2^3$.

На числовой оси рациональные числа располагаются повсюду плотно: между каждыми двумя рациональными числами, которые не равны друг другу, можно расположить хотя бы одно рациональное число (следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел). В то же время, множество рациональных чисел характеризуется счетной мощностью (т. е. все элементы множества можно пронумеровать). Древние греки доказали, что существуют числа, которые невозможно записать как дробь. Они показали, что не существует такое рациональное число, квадрат которого равен $2$. Тогда рациональных чисел оказалось недостаточно для выражения всех величин, что и привело в дальнейшем к появлению вещественных чисел. Множество рациональных чисел, в отличие от вещественных чисел, является нульмерным.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.06.2022

Rational numbers are the types of real numbers that can be written in the form of p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. Thus, rational numbers themselves include natural numbers, whole numbers, integers, and others. The collection of all rational numbers is denoted by Q.

A Rational number is a number of the form a / b, where a and b are integers and b ≠ 0.

Examples: 1/4 , 3/7 , (-11)/(-6)

• All natural numbers, whole numbers, integers, and fractions are rational numbers.
• Every rational number can be represented on a number line.
• 0 is neither a positive nor a negative rational number.

What is a Rational Number?

Rational numbers can be defined as numbers represented in the form of p/q where q ≠ 0. Also, any fraction where the denominator is not equal to zero is considered to be a rational number. Thus, rational numbers are a group of numbers that includes fractions, decimals, whole numbers, and natural numbers.

How to identify rational numbers?

To identify a rational number use the following conditions:

• Rational numbers are represented in the form of p/q, where q≠0.
• Ratio p/q can be further simplified in simple form or decimal form
• Non-terminating decimals with repeating decimal values are also considered rational numbers as they can be represented in the form of p/q.

Difference Between Fractions and Rational Numbers

Fractions are the real numbers represented in the form of a/b where both a and b are whole numbers whereas rational numbers are the real numbers represented in the form of a/b where both a and b are integers. However, in both cases, the denominator should not be equal to 0. Thus, we can say that all fractions are rational numbers but vice-versa is not true.

Examples of Rational Numbers

Various types of numbers come under rational numbers. Some examples of rational numbers are as follows:

• 0 (which can be written as 0/1)
• 19  (which can be written as 19/1)
• 2/9
• √(64) which gives 4 or 4/1
• -6/7
• 0.333333 = 1/3
• -0.9 = -9/10

To know about, Is π a rational or irrational number? Click here,

Properties of Rational Numbers

Closure Property

• Closure property for Addition: For any two rational numbers a and b, the sum a + b is also a rational number.
• Closure property for Multiplication:  For any two rational numbers a and b, their sum ab is also a rational number

Example:

Take a = 3 / 4 and b = (-1) / 2

Now, 

  a + b = 3 / 4 + (-1) / 2 

           = 3 / 4 + (-2) / 4 

           = (3 – 2) / 4 

           = 1 / 4 is in Q
 Also, 
   a × b = 3 / 4 × (-1) / 2 

           = (-3) / 8 is in Q

Commutative Property

• Commutative property for Addition: For any two rational numbers a and b, a + b = b + a.
• Commutative property for Multiplication:  For any two rational numbers a and b, ab = ba.

Example:

Take a = (-7) / 8 and b = 3 / 5
Now, 

 a + b = (-7) / 8 + 3 / 5 

          = -7 x 5 + 3 x 8 / 40

          = (-35 + 24) / 40 

          = (-11) / 40
 Also   
 b + a = 3 / 5 + (-7) / 8 

          = 3 x 8 + (-7) x 5 / 40

          = (24 – 35) / 40 

          =  (-11) / 40 

 Hence addition is Commutative.
 Further,

     ab = (-7) / 8 x 3 / 5 

          = (-7 x 3) / (8 x 5)

          = (-21) / 40
Also,

     ba = 3 / 5 x (-7) / 8 

          = (3 x 7 ) / (5 x 8) 

          = (-21) / 40

  Hence multiplication is Commutative.

Associative Property

• Associative property for Addition: For any three rational numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c
• Associative property for Multiplication: For any three rational numbers a, b, and c, a (b c) = (a b)c

Example:

 Take rational numbers a,b,c as a = -1 / 2, b = 3 / 5, c = -7 / 10
 Now, 

     a + b = -1 / 2 + 3 / 5 

              = -5 / 10 + 6 / 10 
              = -5 + 6 / 10 

              = 1 / 10

(a + b) + c = 1 / 10 + (-7) / 10 

                  = 1 – 7 / 10 

                  = -6 / 10

                  = -3 / 5………………………………………………….( 1 )

Also,

        b + c = 3 / 5 + (-7) / 10

                 = 6 / 10 + (-7) / 10 

                 = 6 – 7 / 10 

                 = -1 / 10

  a + (b + c) = -1 / 2 + (-1) / 10 

                    = -5 / 10 + (-1) / 10

                    = -5 – 1 / 10 

                    = -6 / 10 

                    = -3 / 5 ………………………………………………..( 2 )

 (1) and (2) shows that (a + b) + c = a + (b + c) is true for rational numbers.

Similarly,

          a × b = -1 / 2 × 3 / 5 

                   = -3 / 10
 

    (a × b)× c = -3 / 10 × -7 / 10 

                   = -3× (-7) / 100 

                   = 21 / 100  …………………………………………( 3 )

Also,

            b∗ c = 3 / 5 × (-7) / 10 

                   = -21 / 50
 a × ( b ×c ) = -1 / 2 × (-21) / 50

                   = 21 / 100     …………………………………….( 4 )
 

( 3 ) and ( 4 ) shows that (a× b)× c = a × ( b × c ) is true for rational numbers. Thus,the associative property is true for addition and multiplication of rational numbers. 

Identity Property

• Identity property for Addition: For any rational number a, there exists a unique rational numbers 0 such that 0 + a = a = a + 0.
• Identity property for Multiplication: For any rational number a, there exists a unique rational number 1 such that a × 1 = a = a × 1.

Example:

Take a = 3 / (-7) that is a = -3 / 7 

Now,
 -3 / 7 + 0 = -3 / 7 = 0 + (-3) / 7

 Hence,0 is the additive identity for -3 / 7 

Also,

 -3 / 7 × 1 = -3 / 7 = 1 × 3 / 7

 Hence,1 is the multiplicative identity for -3 / 7. 

Inverse Property

• Additive Inverse property: For any rational number a, there exist a unique rational number -a such that a + (-a) = (-a) +  a = 0.Here, 0 is the additive identity.
• Multiplicative Inverse property: For any rational number b, there exist a unique rational number 1/b such that b × 1 / b = 1 / b × b = 1. Here, 1 is the multiplicative identity.

Example:

Take a = -11 / 23 

Now, -a = -(-11) / 23 

             = 11 / 23
 So,

  a + (-a) = -11 / 23 + 11 / 23 

               = -11 + 11 / 23

               = 0 / 23  

               =0
Also,
(-a) + a  = 11 / 23 + (-11) / 23 

              = 11-11 / 23 

              = 0 / 23 

              = 0

Hence a + (-a) = (-a) + a = 0 is true.
Also,

Take b = -17/29 

Now,

1 / b = 29 / (-17) = -29 / 17
b × 1 / b = -17 / 29 × -29 / 17 = 1
Also,
1 / b × b = 29 / 17 × -17 / 29 = 1
Hence, b × 1 / b = 1 / b × b = 1 is true. 

Distributive Property

Multiplicative is distributive over addition for the collection of rational numbers. For any three rational numbers a, b, and c the distributive law is  a × (b +c) = (a× b) + (a × c)

Example:

Take rational number a, b, c as a = -7 / 9, b = 11 / 18 and c = -14 / 27

Now,
b + c = 11 / 18 + (-14) / 27 

         = 33 / 54 + (-28) / 54

         = 33 – 28 /54 

         = 5 / 54

a × ( b + c ) = -7 / 9 × 5 / 54 

                  = (-7) × 5 / 9 × 54

                  = -35 / 486………………………………………………………………….(1) 

Also,
a × b = -7 / 9 × 11 / 18 

         = (-7) × 11 / 9 × 18 

         = -77 / 9 × 9 × 2
 

a ∗ c = (-7) /  9 ×(-14) / 27 

         = 7 × 14 / 9 × 9 × 3

         = 98 / 9 × 9 × 3
 

(a × b) + (a × c) = (-77 / 9 × 9 × 2 ) + ( 98 / 9 × 9 × 3)
     

                         = (-77) × 3 + 98 × 2 / 9 × 9 × 2 × 3
    

                         = -231 + 196 / 486 

                         = (-35) / 486…………………………………………………………….(2)
 

( 1 ) and( 2 ) shows that  a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ). Hence,multiplication is distributive over addition for the collection Q of rational numbers.

Solved Example on Rational Numbers

Example 1: Check which of the following is irrational or rational: 1/2, 13, -4, √3, and π.

Solution:

Rational numbers are numbers that can be expressed in the form of p/q, where q is not equal to 0.

1/2, 13, and -4 are rational numbers as they can be expressed as p/q.

√3, and π are irrational numbers as they can not be expressed as p/q.

Example 2: Check if a mixed fraction, 3(5/6) is a rational number or irrational number.

Solution:

The simplest form of 3(5/6) is 23/6

Numerator = 23, which is an integer

Denominator = 6, is an integer and not equal to zero.

So, 23/6 is a rational number.

Example 3: Determine whether the given numbers are rational or irrational.

(a) 1.33  (b) 0.1  (c) 0  (d) √5

Solution:

a) 1.33 is a rational number as it can be represented as 133/100.

b) 0.1 is a rational number as it can be represented as 1/10.

c) 0 is a rational number as it can be represented as 0/1.

d) √5 is an irrational number as it can not be represented as p/q.

FAQs on Rational Numbers

Question 1: What is the difference between rational and irrational numbers?

Answer:

A rational number is a number that is expressed as the ratio of two integers, where the denominator should not be equal to zero, whereas an irrational number cannot be expressed in the form of fractions. Rational numbers are terminating decimals but irrational numbers are non-terminating and non-recurring. An example of a rational number is 10/2, and an irrational number is a famous mathematical value Pi(π) which is equal to 3.141592653589…….

Question 2: What are rational numbers? Give Examples.

Answer:

A rational number is a number that is in the form of p/q, where p and q are integers, and q is not equal to 0. Some examples of rational numbers include 1/3, 2/4, 1/5, 9/3, and so on.

Question 3: Is 0 a rational number?

Answer:

Yes, 0 is a rational number because it is an integer that can be written in any form such as 0/1, 0/2, where b is a non-zero integer. It can be written in the form: p/q = 0/1. Hence, we conclude that 0 is a rational number.

Question 4: Is Pi(π) a rational number?

Answer:

No, Pi (π) is not a rational number. It is an irrational number and its value equals 3.142857…

Question  5: Are fractions rational numbers?

Answer:

Fractions are numbers that are represented in the form of (numerator/denominator) which is equivalent to p/q form so fractions are considered rational numbers. Example 3/4 is a fraction but is also a rational number.

Question 6: Are all rational numbers integers?

Answer:

No, all rational numbers are not integers but the opposite is true. i.e. “all integers are rational numbers.” For example, 1/2 is a rational number but not an integer whereas -7 is an integer and is also a rational number.

Question 7: Can rational numbers be negative?

Answer:

Yes, a rational number can be negative i.e. all negative number comes under rational numbers. Example -1.25 is a rational number.

Question 8: Are all whole numbers rational numbers?

Answer:

Yes, all whole number are considered as rational numbers. For example 1 is a whole number and is also a rational number.