Как найти какой корень больше

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.
 

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
 
(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);
 
(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);
 
(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).
 
(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).
 

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).
 
(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).
 
(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!
 
Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).
 
(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

Как сравнивать корни

Корнем n-ой степени из действительного числа a называется такое число b, для которого выполняется равенство b^n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени – только для положительных. Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.

Инструкция

Пусть требуется сравнить два иррациональных числа. Первое, на что следует обратить внимание – это показатели степени корней у сравниваемых чисел. Если показатели одинаковы, то сравнивают подкоренные выражения. Очевидно, что чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях. Например, пусть надо сравнить кубический корень из двух и кубический корень из восьми. Показатели одинаковы и равны 3, подкоренные выражения 2 и 8, причем 2 < 8. Следовательно, и кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.

В другом случае показатели степени могут быть разными, а подкоренные выражения одинаковыми. Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число.Возьмите для примера кубический корень из восьми и корень шестой степени из восьми. Если обозначить значение первого корня как a, а второго – как b, то a^3 = 8 и b^6 = 8. Легко видеть, что a должно быть больше b, таким образом кубический корень из восьми больше корня шестой степени из восьми.

Более сложной представляется ситуация с разными показателями степени корня и разными подкоренными выражениями. В таком случае надо найти наименьшее общее кратное для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.Пример: надо сравнить 3^1/3 и 2^1/2 (математическая запись корней есть на рисунке). Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно 6. Возведите оба корня в шестую степень. Тут же получится, что 3^2 = 9 и 2^3 = 8, 9 > 8. Следовательно, и 3^1/3 > 2^1/2.

Полезный совет

Чтобы сравнить арифметические выражения, состоящие из нескольких корней, придется их приводить к общему корню. Это можно сделать, пользуясь формулами сокращенного умножения, формулой Бинома Ньютона и другими приемами.

Источники:

• Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени
• кубический корень из 2

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

1. Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
2. Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
3. Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
4. В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или < – 2 , 1 , 5 >.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x 2 — 2x + 6 = 0
• x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений: ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0; ax 2 + c = 0, при b = 0; ax 2 + bx = 0, при c = 0. Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0 Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль. По шагам решение выглядит так: Как решить уравнение ax 2 + с = 0 Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0: перенесем c в правую часть: ax 2 = – c, разделим обе части на a: x 2 = – c/а. Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое: не имеет корней при — c/а 0. В двух словах Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0. Перенесем свободный член в правую часть: Разделим обе части на 8: В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней. Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0 Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0. Решить линейное уравнение: 0,5x = 0,125, х = 0,125/0,5 Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25. Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнение С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравнения Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac; если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет; если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a; если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравнений Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0 Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень Найдем корень Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1 Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0. Найдем дискриминант по формуле D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет. Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентов Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 – ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно: вычислить D1= n 2 – ac; если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле Формула Виета Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″> Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″> Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″> Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравнений Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентами Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: [spoiler title=”источники:”] http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/uravnenie-i-ego-korni/ http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya [/spoiler]

Сравнение арифметических корней

Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение арифметических корней»

---

Свойства корней:

АЛГОРИТМ
«Срaвнение арифмeтичeских корнeй»

1. Запишите каждую часть равенства или неравенства в виде корней a = √a², а > 0.
2. Сравните числа, стоящие под знаком корня:
   если а > b > 0, то √a > √b;
   если 0 < а < b, то √a < √b.

1. Сделайте вывод относительно заданных чисел.

---

ПРИМЕР 1. Сравните числа: 

Решение.

ПРИМЕР 2. (Сравнение суммы корней) Какое из чисел больше — (√5 + √6) или (2 + √7)?

Решение.

Ответ: первое число больше.

ПРИМЕР 3. (Сравнение разности корней) Сравните числа: 

Ответ: первое число меньше.

ПРИМЕР 4. При каких значениях а равенство  будет верным?

Решение.

Ответ: равенство будет верным при а = 19.

---

Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение корней».

Вернуться в раздел «АЛГЕБРА»

(c) В настоящей статье в учебных целях использованы цитаты из пособия «Алгоритмы — ключ к решению задач. Алгебра. 7-9 классы / Михайлова Ж.Н. — СПб.: Издательский дом Литера, 2018».