Два вектора
a→
и
b→
всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от
0°
до
180°
включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. острый угол;
2. тупой угол;
3. прямой угол (векторы перпендикулярны).
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
4. угол величиной
0°
(векторы сонаправлены);
5. угол величиной
180°
(векторы противоположно направлены).
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен
0°
.
Угол между векторами записывают так:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ
.
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен
0°
, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен
180°
. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как
a→2
.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1.
a→2≥0
, к тому же
a→2>0
, если
a→≠0→
.
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:
a→⋅b→=b→⋅a→
.
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:
a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→
.
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:
k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→
.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если
a→x1;y1;z1
,
b→x2;y2;z2
, то
a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что
cosα=a→⋅b→a→⋅b→
, то
.
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла
β
между нормальным вектором
n→
данной плоскости и неким вектором
b→
равен синусу угла
α
между прямой и плоскостью, так как
α
и
β
вместе образуют угол в
90°
.
При нахождении косинуса угла между
n→
и
b→
можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор
b→
, и плоскостью.
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→
Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a→,b→^=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→^=π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→^.
Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cosa→,b→^=a→,b→a→·b→
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a→ и b→ . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa→,b→^=-93·6=-12 ,
Теперь определим угол между векторами: a→,b→^=arccos (-12)=3π4
Ответ: cosa→,b→^=-12, a→,b→^=3π4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:
cosa→,b→^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2
Исходные данные: векторы a→=(2, 0, -1), b→=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cosa→,b→^=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170⇒a→,b→^=arccos(-170)=-arccos170
- Также можно определить угол по формуле:
cosa→,b→^=(a→, b→)a→·b→,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a→=22+02+(-1)2=5b→=12+22+32=14a→,b→^=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa→,b→^=a→,b→^a→·b→=-15·14=-170⇒a→,b→^=-arccos170
Ответ: a→,b→^=-arccos170
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC→ и BC→.
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC→=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC→=(7-3, -2-2)=(4, -4)
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC→, BC→^=(AC→, BC→)AC→·BC→=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313
Ответ: cosAC→, BC→^=313
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,
что равносильно:
b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos(a→, b→)^=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
cos(a→, b→)^=a→, b→a→·b→
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$
Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $ |
| Решение |
|
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле: $$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $ |
| Пример 2 |
| Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $ |
| Решение |
|
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$ $$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса: $$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
| Ответ |
| Угол $ phi = 45^0 $ |
Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| |a| · |b| | 5 · 5 | 25 |
Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| |a| · |b| | 5√2 · 5√2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| |a| · |b| | 5 · 6 | 15 |
Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
|a| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10
|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Найдем угол между векторами:
cos α =
a · b|a| · |b|
=
5√10 · 5√2
=
12√5
=
√510
= 0.1√5
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно – 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = – 9 3 · 6 = – 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = – 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , – 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 70 ) = – a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 = – 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = – 1 5 · 14 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , – 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , – 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 – 2 , – 2 – ( – 1 ) ) = ( 5 , – 1 ) B C → = ( 7 – 3 , – 2 – 2 ) = ( 4 , – 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( – 1 ) · ( – 4 ) 5 2 + ( – 1 ) 2 · 4 2 + ( – 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → – a → 2 = a → + b → – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Угол между векторами.
Формула вычисления угла между векторами
| cos α = | a · b |
| | a |·| b | |
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| | a | · | b | | 5 · 5 | 25 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| | a | · | b | | 5 · 6 | 15 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Скалярное произведение векторов
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
- Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
- Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенства
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Тогда, →AB = →OB – →OA = →b – →a = (bx – ax, by – ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем
Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz
Формула скалярного произведения n-мерных векторов
В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn
Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.
→0 * →0 = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
→a * →a = →∣∣a∣∣2
Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:
→a * →b = →b * →a
Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:
(→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c
Сочетательный закон для скалярного произведения:
(k * →a) * →b = k * (→a * →b)
Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:
a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)
По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.
Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,
Примеры вычислений скалярного произведения
Пример 1.
Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.
Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.
Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.
В данном случае:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3
Пример 3.
Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем
Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем
Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Пример 4.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Введем систему координат.
Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.
Пример 5.
а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно
б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)
Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.
Обратите внимание на два существенных момента:
- В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
- В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.
Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.
Пример 6.
Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.
По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:
Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.
Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).
Вычислим скалярное произведение:
Вычислим длины векторов:
Найдем косинус угла:
Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:
Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Найдём сам угол:
Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.
Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°
Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.
А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
[spoiler title=”источники:”]
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov
[/spoiler]
