Как найти канонический базис квадратичной формы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Принято считать, что квадратичная форма имеет Канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т. е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т. е.:

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:

Где – собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где – матрица-столбец новых переменных ; – матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1
или –1, т. е. квадратичная форма имеет вид:

Такую запись называют Нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу Квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства называется Каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т. е. при .

Если – канонический базис , то выражение:

Называется Каноническим видом в базисе , где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора по каноническому базису квадратичной формы , то значение на векторе вычисляется по формуле , .

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис Квадратичной формы и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения квадратичной формы на векторе достаточно:

1. разложить вектор по каноническому базису :

;

2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется Приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .

Доказательство:

, если , так как – Ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

, ,

Называемые Угловыми минорами матрицы , не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т. д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

– ее каноническим видом в базисе .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

7.1. Свойства знака суммирования

Рассмотрим сумму
вида
.

В математике
принято следующее обозначение системы

Выражение a_i,
стоящее под знаком ,
называется общим членом суммы. Под
знаком 
записывается индекс суммирования i
и его начальное значение k,
а над знаком 
– последнее значение i,
равное n.
Выражение
означает,
что в общем числе суммы надо последовательно
задаватьи получившиеся числа сложить.

Примеры:

1. Обозначение
индекса суммирования может быть изменено,
т.е.

2. Множитель, не
зависящий от индекса суммирования,
можно вынести за знак суммы

где
не зависит от.

3.
.

Нередко знак 
приходится употреблять несколько раз.
Рассмотрим, например, сумму всех элементов
матрицы
:

4. Два знака суммы
могут быть переставлены местами

При суммировании
по разным индексам скобки обычно опускают
и вместо
пишут,
подразумевая, что слагаемоесначала суммируют попри фиксированном(внутренняя сумма), затем полученные
величины суммируют по(внешняя сумма).

5. При суммировании
по двум индексам можно выносить из-под
знака внутренней суммы множитель, не
зависящий от индекса внутреннего
суммирования:

7.2. Понятие квадратичной формы

Квадратичной
формой
отn
неизвестных
называется сумма, каждое слагаемое
которой является квадратом одного из
этих неизвестных или произведением
двух разных неизвестных

Пример.
является квадратичной формой от трех
неизвестных.
Каждую квадратичную форму можно записать
в стандартном виде. Для этого сначала
приведем подобные в квадратичной форме,
затем обозначим коэффициент причерез,
а коэффициент при произведениичерез,
причем.
Члензапишем в виде.
Теперь квадратичную форму можно записать
в виде:

Матрица
называется матрицей квадратичной формы.
Так как,
то– симметричная матрица.

Пример.
Запишем предложенную (рассмотренную
выше) квадратичную форму в стандартном
виде и найдем матрицу.

Матрица
квадратичной формы имеет вид:

Квадратичная
форма может быть представлена в
векторно-матричном виде

Действительно:

здесь
– этоi–й
столбец матрицы
.

Приведенные
выкладки показывают в частности, что
если А –
симметричная матрица, то выражение
является квадратичной формой от
неизвестных.

Если 
– произвольный
-мерный
вектор, то, подставляя в квадратичную
форму
вместо x,
получим число
,
которое называют значением квадратичной
формына вектор.

7.3. Канонический базис квадратичной формы

Базис
пространстваназывается каноническим базисом
квадратичной формы,
еслипри.
Если– канонический базис,
то выражение

,
где
называется каноническим видомв базисе,
где– новый набор неизвестных.

Теорема.
Если
– разложение вектора
по каноническому базису
квадратичной формы,
то значениена векторе
вычисляется по формуле
,.

Доказательство:
рассмотрим следующую цепочку равенств

Доказанная теорема
утверждает, что если известен канонический
базис
квадратичной формыи ее канонический вид в этом базисе, то
для вычисления значенияквадратичной формына векторедостаточно:

1. Разложить 
по каноническому базису

2. Коэффициенты
разложения
подставить вместо неизвестныхв канонический вид.

Квадратичная форма
имеет много разных канонических базисов.
Процесс построения канонического базиса
называется приведением квадратичной
формы к сумме квадратов.

Теорема.
Ортонормированный базис пространства
,
состоящий из собственных векторовсимметрической матрицы,,
где– множество всех собственных векторов
матрицыпорядка,
принадлежащих ее собственным значениям,
является каноническим базисом квадратичной
формы,
а выражение– ее каноническим видом в базисе.

Доказательство:
Убедимся сначала, что– канонический базис.
Имеем,
если,
так какортонормированная система векторов.

Вычислим
теперь коэффициенты ее в каноническом
виде:,
так как система векторовнормированная, то,.

Итак, доказано,
что если
– ортонормированный базис из собственных
векторов симметрической матрицы,
то в этом базисе квадратичная формаимеет вид,
где– собственные значения матрицы .

Пример 1. Найти
канонический вид и канонический базис
квадратичной формы
в ортонормированном базисе из собственных
векторов матрицы

Собственные
значения матрицы:
,,.
Найдем,,.
Составим систему уравнений:

Решение имеет вид

,
=.

Также находим
,
решая систему

и
нормируя решение
.

Решая уравнение
,

получаем
=.

Заметим, что эти
векторы ортогональны, так как матрица
симметрическая.

В базисе
форма имеет вид.

Рассмотрим еще
один метод построения канонического
базиса и канонического вида квадратичной
формы (метод Якоби). Будем говорить, что
матрица
удовлетворяет условию Якоби, если
определители

,
,

называемые
угловыми минорами матрицы
,
не равны 0. Заметим, что,.
Обозначим черезматрицу

Из условия
следует, что.
Следовательно, каждая система уравнений

где
–k-й
вектор диагональной системы, – имеет
единственное решение,.

Система векторов
называется системой векторов Якоби
матрицы,
которая удовлетворяет условию Якоби.

Пример 2. Найти
систему векторов Якоби для формы, которая
рассматривалась в примере 1.

Сначала
убедимся, что матрица удовлетворяет
условию Якоби

;
,

Вектор
является решением системы уравнений

Единственное ее
решение – вектор
.

Вектор
является решением системы

Методом Гаусса
находим ее решение:

Наконец, вектор
является решением системы

Преобразуем
эту систему уравнений методом Гаусса

Теорема.
Если матрица
квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, то система
векторов Якобиматрицыявляется каноническим базисом квадратичной
формы,
а выражение

– ее
каноническим видом в базисе
.
Наша форма в базисе Якоби имеет вид.

Итак, в разных
канонических базисах квадратичная
форма имеет разный канонический вид,
однако, положительный индекс (число
положительных коэффициентов в каноническом
виде) и отрицательный индекс остаются
неизменными. У формы, рассмотренной в
примерах 1 и 2 положительный индекс равен
2, а отрицательный индекс равен 1.

Соседние файлы в папке Линейная и векторная алгебра

#
#
02.04.201584.68 Кб20лаба.xmcd
#
02.04.201584.68 Кб22лаба1.xmcd
#
02.04.2015205.1 Кб21лаба2.xmcd
#
#

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой

Пример:

Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через а коэффициенты при через причем „ Член записывается в виде После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица: называется матрицей квадратичной формы F. Так как то А – симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

где А – матрица квадратичной формы, X – матрица-столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если А -симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных ,т.е. квадратичная форма является

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если – произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо X получится число , которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе .

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами ,т.е.:

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку А -симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица S, такая что:

где -собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование – матрица-столбец новых переменных – матрица, обратная к S.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1 или -1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства R” называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. при

Если канонический базис F(X), то выражение: называется каноническим видом F(X) в базисе где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора а по каноническому базису квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы F(X) и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

разложить вектор а по каноническому базису :
коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе ,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы . Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что

Обозначим через матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. Из условия следует, что и, значит, каждая система уравнений , где вектор диагональной системы, имеет единственное решение . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

ее каноническим видом в базисе .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма F{X) называется положительно определенной, если значение F(X) на каждом ненулевом значении а больше нуля, т.е.:

Если же F(a) < 0 на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма , ее канонический базис, л выражение

канонический вид в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма F(X) положительно определена тогда и только тогда, когда .
Квадратичная форма F{X) отрицательно определена тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Необходимость. Дано, что F(X) – положительно определенная форма. Так как и поэтому .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты Нужно доказать, что F(X) положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор а и разложим его по базису :

Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма F(X) положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны.
Квадратичная форма F(X) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А отрицательны.

Заказать решение задач по высшей математике

Доказательство:

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства R”, состоящий из собственных векторов симметрической матрицы А, и пусть . Тогда канонический базис квадратичной формы F(X), а выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы А равен нулю у то найдется такой ненулевой вектор , что

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А положительны.
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А четного порядка положительны, а главные миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что F(X) положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы А отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Итак, матрица А удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом F(X), причем выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует,

что, и значит, что

Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы А отличны от нуля, и можно построить канонический базис квадратичной формы F(X), в котором – канонический вид квадратичной формы F(X). Поскольку , то F(X) положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей:

Задача о приведении кривой , к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы Q (х,у) этой кривой.

Пусть – собственные значения матрицы и ортонормированные собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям .

Ортонормированные векторы называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису Тогда ортогональное преобразование: приводит квадратичную форму Q (х,у) к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов, а начало совпадает с точкой О системы координат XY.

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где а,Ь,с – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало 0 = (-а—Ь), получим канонический вид уравнения

в системе координат . В зависимости от чисел ,с эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

Системы линейных уравнений с примерами
Линейное программирование
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Исследование функции
Евклидово пространство
Матрица – виды, операции и действия с примерами
Линейный оператор – свойства и определение
Многочлен – виды, определение с примерами

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 сентября 2021 года; проверки требуют 3 правки.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править код]

Пусть есть векторное пространство над полем и $e_{1},e_{2},dots ,e_{n}$ — базис в .

Функция Q:Lto K называется квадратичной формой,
если её можно представить в виде

$Q(x)=sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},$

где $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+cdots +x_{n}e_{n}$ , а $a_{{ij}}$ — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства[править | править код]

${displaystyle Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}}$

${displaystyle A'=C^{T}A,C,}$

где

— матрица квадратичной формы в новом базисе.

Из формулы ${displaystyle A'=C^{T}A,C}$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , если она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)={frac {1}{2}},(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид[править | править код]

Вещественный случай[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

${displaystyle Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^{2}-cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$

где — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты $a_{{i}}$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Существует также нормальный вид квадратичной формы:
${displaystyle Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$ .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p-q (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p,q) . Числа являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай[править | править код]

В случае, когда (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

${displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{r}^{2},qquad (**)}$

где — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Теорема Витта
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Источник

Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции

Определение 1.28 Квадратичной формой в евклидовом пространстве называется числовая функция , определенная следующим образом:

где – некоторый самосопряженный линейный оператор, действующий в .

Замечание. Мы излагаем этот раздел независимо от разделов 1.12 и 1.13. Читатель же, знакомый с этими разделами, легко поймет, что квадратичная форма есть частный случай симметрической билинейной формы, аргументы которой отождествляются.

Введем теперь в какой-то базис , не обязательно ортонормированный. Поскольку, как легко показать,

где – матрица Грама базиса , то

Рекомендуемые материалы

Таким образом, при записи квадратичной формы в некотором базисе возникает матрица , называемая матрицей данной квадратичной формы в данном базисе. Эта матрица, как мы видим, равна матрице самосопряженного оператора, определяющего форму, в выбранном базисе, умноженной справа на матрицу Грама данного базиса. Заметим, что, хотя оператор и самосопряженный, его матрица в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе может и не быть симметрической, и поэтому, в общем случае, . Если же выбран ортонормированный базис, то , и , т.е., в ортонормированном базисе матрица квадратичной формы совпадает с матрицей определяющего форму самосопряженного линейного оператора.

По определению, однако, принимается, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

В самом деле, записав квадратичную форму в виде

всегда можно перейти к симметрической матрице , положив

Пусть теперь – некий новый базис. Тогда

Следовательно, при переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по закону:

Этот закон, названный в п. 1.13 тензорным законом преобразования, совпадает с законом преобразования матриц линейных операторов тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональна и . Таким образом, при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному же базису матрица квадратичной формы преобразуется точно так же, как и матрица определяющего ее самосопряженного оператора. В противном же случае (скажем, при переходе от ортонорма к базису, не являющемуся ортонормом) матрица квадратичной формы уже не будет в новом базисе совпадать с матрицей оператора).

Среди всех базисов, в которых может быть записана квадратичная форма, выделяются такие, в которых матрица формы оказывается диагональной. Если квадратичная форма задана в таком базисе, то говорят, что форма приведена к каноническому виду, а сам базис при этом называют каноническим базисом данной квадратичной формы. Это понятие ни в коем случае не следует путать с понятием канонического базиса арифметического векторного пространства!

Более того, как показывает следующий простой пример, канонический базис совсем не обязан быть ортонормированным.

Рассмотрим такую квадратичную форму (для двумерного случая):

Преобразуем ее:

Введем новые переменные

Относительно этих новых переменных наша форма принимает канонический вид:

Соответствующая матрица перехода есть матрица, обратная к и равная .

Если исходную форму считать заданной в ортонорме , то новый базис будет состоять из векторов:

Ясно, что канонический базис получился не ортонормированным.

Среди всех канонических базисов квадратичной формы выделяются те, в которых матрица формы принимает вид , где все отличные от нуля числа равны по модулю единице.

Такой канонический базис называется нормальным, а сам вид квадратичной формы в таком базисе – нормальным видом.

Если квадратичная форма приведена к каноническому виду

то вводя новые переменные

придем к нормальному виду данной формы.

Поэтому без ограничения общности мы можем рассматривать приведение квадратичных форм к нормальному виду.

Определение 1.29 Сигнатурой квадратичной формы, заданной в нормальном виде, называется разница между числом положительных и отрицательных элементов ее матрицы (т.е., между числом положительных, равных «+1», коэффициентов в нормальном виде и числом отрицательных, равных «-1», коэффициентов). Число же всех ненулевых элементов матрицы в этом случае называется рангом квадратичной формы.

В рассмотренном выше примере сигнатура равна нулю, а ранг – двум.

Нетрудно видеть, что ранг квадратичной формы совпадает с рангом ее матрицы, независимо от выбора любого (не только канонического) базиса. Значительно менее тривиальным фактом оказывается то, что сигнатура квадратичной формы сохраняется в любом каноническом базисе данной формы. Этот факт, известный под названием закона инерции для квадратичных форм, мы сейчас докажем.

Теорема 1.17 (Закон инерции) Сигнатура квадратичной формы не зависит от выбора ее канонического базиса.

Доказательство. Пусть и – два разных канонических базиса квадратичной формы , причем в первом базисе форма имеет вид

а во втором:

(– ранг формы ).

Мы должны доказать, что .

Рассмотрим две линейные оболочки:

По определению линейной оболочки (п. 1.3, опр. 1.4) каждый вектор из имеет в базисе нулевую координату с номером, большим , а каждый вектор из – нулевую координату с номером, меньшим (в базисе ). Это значит, что

причем равенство имеет место только для нулевого вектора.

Это значит, что

Рассмотрим теперь систему

состоящую из векторов.

Докажем, что эта система линейно независима.

Предполагая противное, получим, что существует нетривиальная линейная комбинация

В этой комбинации по крайней мере один «штрихованный» и один «нештрихованный» коэффициент отличны от нуля, ибо иначе получится обращающаяся в нуль линейная комбинация векторов базиса.

Тогда имеем:

или

где все штрихованные и нештрихованные коэффициенты с двойными индексами отличны от нуля.

В последнем равенстве слева стоит ненулевой вектор из , а справа – из . Это значит, что существует ненулевой вектор, принадлежащий одновременно линейным оболочкам и , но мы только что доказали, что это невозможно.

Следовательно, построенная выше «смешанная» система линейно независима, и число векторов в ней не превышает размерности пространства:

или

Рассматривая теперь линейные оболочки и , построив «смешанную» систему , совершенно аналогично предыдущему докажем, что

т.е., что

Окончательно, , и теорема доказана.

Существует несколько различных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду. Важнейшим из них является метод ортогональных преобразований, сводящийся, в сущности, к диагонализации определяющего форму самосопряженного оператора. Согласно этому методу, мы вычисляем спектр и собственные векторы оператора, и записываем форму в ортонорме из собственных векторов в виде

где – все отличные от нуля собственные числа.

Приведем таким методом к каноническому виду квадратичную форму, рассмотренную выше в примере.

Запишем ее матрицу в исходном базисе (каноническом базисе двумерного арифметического пространства):

Составим характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получим:

Отсюда

Сразу можно написать канонический вид исходной формы:

Нормальный вид:

Найдем собственные векторы.

Для имеем уравнение

Полагая , получим:

Общее решение системы будет иметь вид:

В качестве единичного вектора нового базиса имеем вектор

Рекомендация для Вас – 5 Условия труда на производстве.

При имеем

Ортогональное преобразование, матрица которого состоит из столбцов , есть именно то преобразование, которое переводит исходный базис в канонический для данной квадратичной формы.

Еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа, будет рассмотрен в следующем пункте.

Источник

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

7.1. Свойства знака суммирования

7.2. Понятие квадратичной формы

7.3. Канонический базис квадратичной формы

Понятие квадратичной формы

Канонический базис квадратичной формы

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

Определение[править | править код]

Связанные определения и свойства[править | править код]

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править код]

Канонический вид[править | править код]

Вещественный случай[править | править код]

Комплексный случай[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Рекомендуемые материалы

Вам также может понравиться

Если у собаки клеймо как ее найти

Как составить план факт предприятия

Физика как найти сопротивление проводника

Добавить комментарий Отменить ответ